114 年 國立中正大學心理學系碩士班《心理與教育統計學》

此題在考驗信賴區間的性質。信賴區間的寬度與信賴水準(confidence level)成正比。

此題在考驗單尾與雙尾檢定的統計檢定力。統計檢定力 (Power) 是正確拒絕虛無假設的機率，即 $1-\beta$。

此題在考驗效果量與統計檢定力的關係。統計檢定力（Power）是指在母群體中，虛無假設（null hypothesis）為假時，我們能夠正確拒絕虛無假設的機率。

此題在考驗獨立樣本與相依樣本設計的統計檢定力。相依樣本（或稱配對樣本）設計通常比獨立樣本設計具有更高的統計檢定力。

此題在考驗等組（equal groups）與不等組（unequal groups）實驗設計的統計檢定力。

此題在考驗假設檢定的基本原理。假設檢定是推論統計（inferential statistics）的重要方法之一。推論統計的核心在於利用樣本（sample）的資料來推論母群體（population）的特性。

此題在考驗中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）。

此題在考驗樣本變異數的抽樣分布。樣本變異數的抽樣分布並非總是常態分布。

此題在考驗樣本平均數的期望值性質。樣本平均數（$\bar{X}$）是母群平均數（$\mu$）的一個不偏估計量（unbiased estimator）。

此題在考驗樣本變異數的估計性質。樣本變異數的定義通常是將總和的平方差除以 $n-1$（而不是 $n$），即 $s^2 = \frac{\sum(X_i - \bar{X})^2}{n-1}$。

此題在考驗標準化對相關係數的影響。標準化（standardization）是指將原始分數轉換為標準分數（z-scores），其公式為 $z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。標準化後的資料具有平均數為0，標準差為1的特性。

此題在考驗相關係數與共變數的關係。相關係數（$r$）與共變數（Cov）之間存在關係：$r = \frac{Cov(X, Y)}{s_X s_Y}$，其中 $s_X$ 和 $s_Y$ 分別是 $X$ 和 $Y$ 的樣本標準差。我們已知 $r=0.5$。

此題在考驗相關係數的顯著性。相關係數 $r=0.5$ 是一個中等程度的正相關。然而，相關係數的顯著性（statistical significance）不僅取決於相關的大小，還取決於樣本量（sample size）以及所設定的顯著水準

此題在考驗迴歸係數與相關係數的關係。在簡單線性迴歸中，自變項（predictor variable）與依變項（outcome variable）之間的迴歸係數（slope, $b$）的符號，與這兩個變項之間的相關係數（$r$）的符號是相同的。如果相關係數為正（如本題的 $r=0.5$），則迴歸係數也必然是正的。

此題在考驗決定係數的性質。決定係數（$R^2$）代表依變項變異中，能被自變項解釋的比例。它的值介於0到1之間。

此題在考驗顯著水準（$\alpha$）與型一錯誤（Type I error）的關係。型一錯誤是指當虛無假設（null hypothesis, $H_0$）實際上為真時，我們卻錯誤地拒絕了它。

此題在考驗顯著水準與拒絕虛無假設的關係。顯著水準 $\alpha$ 定義了拒絕區（rejection region）的大小。

此題在考驗假設檢定的判斷規則。在假設檢定中，我們計算出檢驗統計量（test statistic），並將其與預設的拒絕區（rejection region）進行比較。

此題在考驗信賴區間與假設檢定的關係。信賴區間和雙尾假設檢定是緊密相關的。對於一個給定的顯著水準 $\alpha$，若母體參數的 $(1-\alpha)$ 信賴區間「不包含」虛無假設中的特定值（通常是 $H_0:\mu = \mu_0$ 中的

此題在考驗 p值與顯著水準的關係。p值（p-value）是指在虛無假設為真的情況下，觀察到目前樣本統計量或更極端結果的機率。

此題在考驗多元迴歸分析的前置作業。在多元迴歸分析中，我們試圖用一個或多個自變項（predictor variables）來預測一個依變項（outcome variable）。

此題在考驗單變項相關與多元迴歸係數顯著性的關係。雖然某變項與薪資的單一相關係數（zero-order correlation）可能達到顯著，但這並不保證它在多元迴歸分析中的迴歸係數（partial regression coefficient）也會顯著。

此題在考驗單一相關係數符號與多元迴歸係數符號的關係。在簡單線性迴歸中，迴歸係數的符號與相關係數的符號是相同的。然而，在多元迴歸中，情況會變得複雜。多元迴歸中的偏迴歸係數（partial regression coefficient, $b_i$）衡量的是，在控制了其他自變項的影響後，該自變項對依變項的影響。這個偏迴歸係數的符號，雖然通常與該自變項與依變項的單一相關係數符號一致，但並非絕對。

此題在考驗多元迴歸係數與標準化迴歸係數的關係。多元迴歸係數（unstandardized regression coefficient, $b_i$）和標準化迴歸係數（standardized regression coefficient, $\beta_i$）反映的是同一個自

此題在考驗多元迴歸決定係數的計算方式。多元迴歸分析的決定係數（$R^2$）代表所有自變項共同解釋依變項變異的比例。它不是簡單地將各個自變項與依變項的相關係數平方加總。

此題在考驗中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）。題目中給出的是一個離散的機率分布圖，看起來是均勻分布（uniform distribution）或接近均勻分布，代表一個骰子的點數（假設是1到6點）的機率。每一個點數的機率約為 1/6。
中央極限定理指出，不論母群體的原始分布為何，只要樣本量足夠大（通常 $n \ge 30$），樣本平均數的抽樣分布就會近似於常態分布。
題目中提到「每投擲25次」，這表示樣本量 $n=25$。雖然 $n=25$ 並不算非常大，但對於一個相對對稱的母群分布（如骰子點數的分布），樣本平均數的抽樣分布已經會開始呈現常態分布的趨勢。
再觀察選項的圖形：

此題在考驗抽樣分布的概念，特別是當樣本量為1時。
盒鬚圖（box plot）顯示了資料的分布情況，包括中位數、四分位數、最大值和最小值。
抽樣分布（sampling distribution）是指重複抽取樣本，計算樣本統計量（例如樣本平均數）後，這些樣本統計量所形成的分布。
當樣本量為1時，抽樣分布實際上就是母群體的分布本身。因為每一個單獨的觀察值（樣本量為1的樣本）都直接代表了母群體中的一個點。
觀察題目提供的盒鬚圖，它顯示了資料的分布範圍、中心趨勢以及可能的偏態。
再看選項的圖形：
A) 呈現一個尖峰的常態分布。
B) 呈現一個單峰、略偏右的分布。

核心觀念

配對 $t$ 檢定是用來比較兩組具有配對關係的資料，例如：

• 同一批受試者前測與後測分數；
• 同一受試者接受兩種處理後的表現；
• 特徵相近的兩位受試者所形成的配對資料。

配對資料的重點不是將兩組平均數直接視為獨立，而是先計算每一對的差值：

再針對差值 $D_i$ 進行單一樣本 $t$ 檢定。其統計量為：

其中：

• $\bar{D}$ 為配對差值的平均數；
• $s_D$ 為配對差值的標準差；
• $n$ 為配對數；
• $\mu_{D0}$ 通常設定為 $0$。

配對 $t$ 檢定的虛無假設通常為：

也就是兩種條件的平均差異為零。

配對內的兩個資料點必須具有配對關係，通常來自相同受試者、相同單位，或來自同一研究母群中經適當配對的對象。配對內資料不能視為彼此獨立；真正需要彼此獨立的是「不同配對之間」的差值。

解題方法

判斷本題可從配對 $t$ 檢定與獨立樣本 $t$ 檢定的差異切入：

1. 配對 $t$ 檢定先將每一對資料轉換為差值。
2. 每一對中的兩個資料點必須有合理的配對基礎，通常是同一研究母群、同一個體或相同配對單位。
3. 配對內資料具有相依性，不能要求彼此獨立。
4. 配對 $t$ 檢定不要求兩組原始資料具有相同變異數。
5. 「兩組平均值相同」是虛無假設的內容，不是進行檢定前必須成立的條件。

所以本題正確選項為 A。

選項分析

A) 來自相同的母群（population）——正確

核心觀念

卡方檢定的統計量為：

其中：

• $O$：觀察次數（Observed frequency）
• $E$：理論期望次數（Expected frequency）

卡方檢定主要根據「次數或比例」判斷資料是否符合某種理論分配，常見用途包括：

1. 適合度檢定：檢驗樣本的次數分配是否符合某一理論分配，例如常態分佈。
2. 獨立性檢定：檢驗兩個類別變項是否彼此獨立。
3. 同質性檢定：檢驗不同母群在類別比例上是否相同。
4. 單一母群變異數檢定：在母群呈常態分佈的前提下，檢驗母群變異數是否等於某一指定值。

本題各選項中，只有 C 符合卡方檢定的典型用途。

解題方法

本題屬於概念辨識題，判斷重點是：卡方檢定主要處理「類別資料的次數分配」，不是直接比較平均數或樣本變異數。

若以卡方適合度檢定檢驗常態分佈，作法是先將資料分組，計算各組的觀察次數 $O$，再依常態分佈計算各組的期望次數 $E$，最後代入：

若計算所得的 $\chi^2$ 達顯著，表示樣本的次數分配與假定的常態分佈不符；若未達顯著，則沒有足夠證據拒絕常態分佈假設。

因此，依本題選項的設計，正確答案為 C。

選項分析

A) 檢驗兩個母群的平均值差異

錯誤。兩個母群平均數的差異通常使用：

• 獨立樣本 $t$ 檢定；
• 大樣本時使用 $z$ 檢定；
• 多組平均數比較則使用變異數分析（ANOVA）。

核心觀念

Tukey's HSD（Honestly Significant Difference）是 ANOVA 後常用的事後多重比較方法，主要用來進行各組平均數之間的兩兩比較，判斷哪些組別彼此存在顯著差異。

單因子 ANOVA 的虛無假設為：

若 ANOVA 達顯著，僅能表示「至少有一組平均數不同」，但無法指出具體是哪幾組不同。因此需要使用 Tukey's HSD 進一步比較：

其中 $i$ 與 $j$ 代表任意兩個組別。

Tukey's HSD 的重要功能是：在進行多次兩兩比較時，控制整體的第一型錯誤率（familywise Type I error rate），避免因比較次數增加而過度提高誤判顯著的機率。

在各組樣本數相同時，HSD 的概念公式為：

其中：

• $q_{\alpha;k,df_E}$：Tukey studentized range 分布的臨界值
• $k$：組別數
• $df_E$：誤差自由度
• $MS_E$：ANOVA 的誤差均方
• $n$：每組樣本數

兩組平均數的絕對差異若滿足：

即可判定兩組平均數達到顯著差異。

若各組樣本數不同，則使用 Tukey-Kramer 方法，其標準誤會依兩組樣本數調整。

解題方法

題目問的是「在進行多重比較時，使用 Tukey's HSD 檢定的目的」。

判斷關鍵在於 Tukey's HSD 的適用情境：

1. 通常在 ANOVA 顯著後使用。
2. 針對各組平均數進行兩兩比較。
3. 判斷哪些組別之間具有顯著差異。
4. 控制多重比較造成的整體第一型錯誤率。

因此，最符合題意的是「檢查多組之間是否有顯著差異」。

選項分析

核心觀念

效果量（effect size）是用來描述研究結果「差異或關聯的幅度有多大」，重點在於實際效果的大小，而不是只判斷結果是否達到統計顯著。

假設檢定主要回答：

觀察到的結果是否足以拒絕虛無假設？

效果量則進一步回答：

這個差異或關聯實際上有多大，是否具有實務或應用上的重要性？

常見效果量包括：

• 平均數差異的 Cohen’s $d$：

• 相關係數 $r$：衡量兩變項線性關聯的程度。
• $\eta^2$ 或偏 $\eta^2$：衡量變異數分析中自變項所解釋的變異比例。

效果量通常比單純的 $p$ 值更能反映結果的實質意義。因為 $p$ 值會受到樣本量影響：樣本量很大時，即使差異很小，也可能達到統計顯著；效果量則主要反映差異本身的大小。

解題方法

判斷各選項是否正確時，先區分三個概念：

1. 效果量：結果差異或關聯的實際幅度。
2. 顯著性水準：研究者事先設定的判定標準，例如 $\alpha=.05$。
3. 樣本量效果：樣本數對統計檢定力與 $p$ 值的影響。

題目問的是效果量的用途，因此應選擇描述「差異是否具有足夠大小與應用價值」的選項。

選項分析

A) 觀察到的結果與對立假設的差異

錯誤。

效果量不是用來衡量觀察結果與對立假設之間的差異。假設檢定通常是將觀察資料與虛無假設 $H_0$ 所代表的狀態比較，例如平均數差異是否為零。

對立假設 $H_1$ 通常只表示研究者預期存在差異或關聯，並不是效果量的比較基準。效果量描述的是觀察到的差異本身有多大，例如兩組平均數相差多少個標準差。

核心觀念

重複測量變異數分析中，同一受試者接受多個時間點或條件的測量，因此各次測量彼此相關。當重複測量的差異分數具有相同變異數時，稱為「球形性假設」（sphericity）。

若球形性假設違反，傳統 ANOVA 的自由度會過大，使 $p$ 值偏小，增加第一類錯誤率，也就是將虛無假設錯誤拒絕的機率提高。

Greenhouse-Geisser 調整以校正係數 $\varepsilon$ 修正自由度：

其中：

• $k$ 為重複測量的條件數或時間點數；
• $n$ 為受試者人數；
• $\varepsilon$ 為 Greenhouse-Geisser 球形性校正係數，通常介於 $\frac{1}{k-1}$ 與 $1$ 之間。

修正後，$F$ 值通常不變，但自由度降低，$p$ 值會變得較保守，以控制球形性違反所造成的第一類錯誤膨脹。

解題方法

判斷 Greenhouse-Geisser 調整的用途，可掌握以下因果關係：

因此，本題中的 Greenhouse-Geisser 調整，是為了處理重複測量 ANOVA 中假設違反所造成的假設檢定錯誤率問題。

此題在考驗資料變異性與統計檢定力的關係。統計檢定力（Power）是指正確拒絕虛無假設的機率。它受到幾個因素的影響，包括：

1. 效應大小（Effect Size）：效應越大，檢定力越高。
2. 樣本量（Sample Size）：樣本量越大，檢定力越高。
3. 顯著水準（Significance Level, $\alpha$）：$\alpha$ 越大，檢定力越高。

核心觀念

檢驗兩組「獨立樣本平均數」差異時，常見的獨立樣本 $t$ 檢定分為：

• 標準獨立樣本 $t$ 檢定：假設兩母體變異數相等。
• Welch's $t$ 檢定：不假設兩母體變異數相等，適合樣本變異數明顯不同的情況。

因此，本題的關鍵在於判斷兩組樣本的變異數是否相等。題目已明確指出「樣本的變異數不相等」，故應使用不要求變異數同質性的 Welch's $t$ 檢定。

解題方法

設兩組獨立樣本的資料如下：

• 第一組：樣本數 $n_1$、平均數 $\bar{X}_1$、變異數 $s_1^2$
• 第二組：樣本數 $n_2$、平均數 $\bar{X}_2$、變異數 $s_2^2$

Welch's $t$ 檢定的統計量為：

此公式不使用合併變異數，因此不需要假設 $s_1^2=s_2^2$。

其自由度採用 Welch–Satterthwaite 近似公式：

相較之下，標準獨立樣本 $t$ 檢定會先計算合併變異數：

這種作法建立在兩母體變異數相等的假設上。當樣本變異數不相等時，直接使用合併變異數可能造成標準誤與顯著性判斷偏誤，因此不宜採用。

選項分析

A) 使用配對 $t$ 檢定

錯誤。

核心觀念

單因子變異數分析的目的，是檢定 $k$ 個母群體平均數是否完全相同。

其假設為：

因此，拒絕虛無假設代表「所有組的平均數相等」不成立，也就是至少存在一對組別，其母群體平均數不同。

單因子變異數分析的 $F$ 統計量為：

當組間變異相對於組內變異足夠大時，$F$ 值會落入拒絕域，進而拒絕 $H_0$。

解題方法

關鍵在於直接判讀虛無假設的否定：

拒絕 $H_0$ 的邏輯結果是：

等價於：

所以，拒絕虛無假設只能表示「並非所有組的平均數都相等」，不能直接判定究竟是哪幾組不同，也不能判定所有組都不同。

選項分析

A) 所有組的平均值都不相等

錯誤。

拒絕 $H_0$ 只表示至少有一對組別的平均數不同。例如三組平均數為：

核心觀念

本題考查「卡方獨立性檢定」的假設判定。

• 虛無假設 $H_0$：學生性別與是否參加補習班彼此獨立，沒有顯著關聯。
• 對立假設 $H_1$：學生性別與是否參加補習班不獨立，存在顯著關聯。
• 顯著性水準：$\alpha=0.05$。

卡方獨立性檢定通常以卡方統計量

判斷觀察次數 $O$ 與期望次數 $E$ 的差異是否達到統計顯著。本題已直接提供卡方值與 $p$ 值，因此不需重新計算卡方統計量。

解題方法

判斷 $p$ 值與顯著性水準的大小：

當 $p<\alpha$ 時，結果達到統計顯著，因此拒絕虛無假設 $H_0$。

這表示資料提供足夠證據，顯示學生性別與是否參加補習班之間存在顯著關聯。

需要注意的是，「存在顯著關聯」不代表性別必然造成是否補習，也不代表兩者之間具有因果關係；卡方獨立性檢定主要只能判斷類別變項是否具有統計上的關聯。

選項分析

A) 拒絕虛無假設,性別與補習班參與存在顯著關聯

核心觀念

單因子變異數分析以 $F$ 統計量檢驗各組母體平均數是否相同，其核心是比較：

• 組間變異：不同組平均數彼此之間的差異。
• 組內變異：同一組內個別觀察值的差異。

若各組平均數確實相同，組間變異與組內變異的差異不應太大；若組間變異明顯大於組內變異，則表示各組平均數可能存在顯著差異。

因此，$F$ 統計量為：

其中：

$k$ 為組數，$N$ 為全部樣本數。

解題方法

判斷本題只需掌握 $F$ 統計量的定義：分子放置組間均方，分母放置組內均方。

將兩者代入，可得：

因此，$F$ 是「組間變異」與「組內變異」的比值。當組間變異越大，且組內變異越小，$F$ 值就越大，越有可能拒絕各組平均數相等的虛無假設。

選項分析

核心觀念

本題考查標準化迴歸係數的意義與用途。

多元迴歸方程式通常寫為：

其中，$b_j$ 是未標準化迴歸係數，會受到自變項與依變項測量單位的影響，因此不同變項的 $b_j$ 不宜直接比較。

將所有變項轉換為標準分數後，迴歸方程式為：

標準化迴歸係數 $\beta_j$ 的意義是：

在控制其他自變項後，自變項 $X_j$ 增加一個標準差，依變項 $Y$ 預測增加或減少多少個標準差。

未標準化係數與標準化係數的關係為：

由於標準化後各變項的測量單位一致，便能比較不同自變項對同一依變項的相對預測影響力。

解題方法

判斷標準化迴歸係數的用途，關鍵在於：

1. 未標準化迴歸係數會受測量單位影響。
2. 標準化迴歸係數將變項轉換成標準分數。
3. 因此，各自變項的迴歸係數可以放在相同尺度上比較。
4. 絕對值越大的 $\beta$，表示在控制其他預測變項後，該自變項與依變項的相對預測關聯通常越強。

例如，若：

表示在其他變項固定下，$X_1$ 對 $Y$ 的相對預測關聯通常強於 $X_2$。這種比較正是標準化迴歸係數的重要用途。

選項分析

A) 比較不同的依變項的截距大小

錯誤。

此題在考驗多元迴歸模型整體預測度的指標。
在多元迴歸分析中，我們使用多個自變項來預測一個依變項。模型的整體預測度，指的是這些自變項共同能夠解釋依變項變異的比例。
A) F值：在多元迴歸中，F 值用於檢驗整個迴歸模型的顯著性，即檢驗所有自變項的迴歸係數是否全為零。F 值本身不是預測度的指標，而是檢定模型整體顯著性。
B) p值：p 值是與 F 值對應的顯著性水平，用來判斷模型是否統計顯著，也不是預測度的直接指標。

核心觀念

本題考查假設檢定中，判斷是否拒絕虛無假設的主要依據。

假設檢定通常設定：

• 虛無假設：$H_0$
• 對立假設：$H_1$
• 顯著水準：$\alpha$

分析後會得到一個 $p$ 值，其定義為：

在虛無假設 $H_0$ 為真的前提下，觀察到目前樣本結果或更極端結果的機率。

判斷規則為：

因此，$p$ 值可用來衡量樣本結果與虛無假設的相容程度。$p$ 值越小，表示目前資料在 $H_0$ 為真時越不容易出現，對拒絕 $H_0$ 的統計證據越強。

解題方法

題幹詢問「進行假設檢定分析後，我們拒絕虛無假設的信心程度指標」為何者。

假設檢定中，實際得到的統計量會轉換成 $p$ 值，再與預先設定的顯著水準 $\alpha$ 比較：

代表樣本結果達到統計顯著，研究者拒絕虛無假設。因此，題目所描述的指標是 $p$ 值。

需注意，嚴格而言，$p$ 值不是「虛無假設為假的機率」，也不是拒絕虛無假設的絕對信心程度；它是衡量資料對 $H_0$ 不利程度的指標。考試題目以「拒絕虛無假設的信心程度」作為通俗說法時，答案仍是 $p$ 值。

選項分析

A) 效果量

效果量（effect size）用來表示研究結果的實質差異或關聯強度，例如平均數差異、相關程度或標準化差異：

核心觀念

非參數統計檢定主要適用於資料不符合參數統計方法的基本假設，或變項的測量層次較低、無法合理進行平均數與變異數等參數推論的情況。

常見適用情境包括：

1. 資料不符合常態分佈，且樣本數不足以依中央極限定理近似常態。
2. 資料含有明顯異常值，導致平均數與標準差容易受到扭曲。
3. 變項為名義量尺或順序量尺，無法直接進行一般平均數比較。

非參數檢定通常不要求母體服從特定機率分佈，常以次數、排序或名次進行分析。例如：

• 名義資料：卡方檢定、Fisher 精確檢定。
• 順序資料：Wilcoxon 符號等級檢定、Mann–Whitney U 檢定、Kruskal–Wallis 檢定。
• 連續資料但不符合參數假設：Spearman 等級相關等。

解題方法

逐一判斷各選項是否代表使用非參數統計檢定的典型條件：

• 若資料的分佈或異常值破壞參數檢定假設，非參數方法較合適。
• 若資料的測量量尺本身無法支持平均數、標準差等參數運算，應使用非參數方法。
• 若資料量尺較高，且符合常態性與其他參數假設，通常優先使用參數統計檢定。

選項分析

A）樣本資料不符合常態分佈：正確

許多參數統計方法，例如 $t$ 檢定、變異數分析與 Pearson 積差相關，通常具有常態性或誤差常態性的假設。

當樣本資料明顯偏離常態，尤其樣本數不大時，使用非參數方法可以避免常態假設被違反。例如：

• 兩獨立樣本平均數比較可改用 Mann–Whitney U 檢定。
• 兩相依樣本平均數比較可改用 Wilcoxon 符號等級檢定。
• Pearson 相關可改用 Spearman 等級相關。

因此 A 正確。

B）樣本數量很大：錯誤

樣本數大本身不是使用非參數檢定的理由。根據中央極限定理，當樣本數夠大時，即使母體資料不是完全常態，樣本平均數的抽樣分佈通常也會接近常態，因此參數統計方法往往具有一定的穩健性。

此題在考驗檢驗變項之間相關性的統計方法。相關性衡量的是兩個變項之間線性或單調關係的強度和方向。

讓我們逐一分析選項：
A) Pearson 相關係數 ($r$)：這是最常用的相關係數，用於衡量兩個連續變項之間線性關係的強度和方向。它可以進行顯著性檢定，判斷相關是否顯著。
B) Spearman 等級相關 ($\rho$)：也稱為 Spearman's rho，它是一種非參數相關係數，用於衡量兩個變項之間單調關係的強度和方向。它通常用於變項不符合常態分布，或測量尺度為順序尺度（ordinal scale）的情況。它也可以進行顯著性檢定。
C) 變異數分析(ANOVA)：ANOVA 主要用於比較三個或更多組別的平均數是否有差異，它檢驗的是組別（類別變項）與連續變項之間的關係，而不是兩個變項之間的相關性。

核心觀念

本題考查單因子變異數分析（one-way ANOVA）的適用情境。

單因子變異數分析用於檢驗：

• 一個類別自變項（因素）
• 該因素具有三個或以上的組別
• 比較各組在連續依變項上的平均數是否存在顯著差異

本題中：

• 自變項：治療方法，共三組
• 依變項：治療後焦慮分數
• 每組樣本數：$n=10$
• 研究設計：參與者隨機分派至不同治療方法

其虛無假設為：

對立假設為：

單因子變異數分析將總變異分解為組間變異與組內變異：

並以 $F$ 統計量判斷治療方法所造成的組間變異是否大於隨機誤差：

其中：

• $MS_{\text{between}}$：組間均方
• $MS_{\text{within}}$：組內均方

若 $F$ 值顯著，表示不同治療方法的平均焦慮分數並非完全相同。

解題方法

判斷每個選項是否符合「單一類別自變項，分成三組以上，檢驗連續依變項平均數差異」的條件。

本題的主要研究問題是比較三種治療方法的平均焦慮分數，因此直接對應單因子變異數分析。

此外，若另以年齡組別作為唯一因素，並比較各年齡組的焦慮平均分數，也符合單因子變異數分析的基本架構。

選項分析

A) 比較三個治療方法與焦慮分數的關係是否為線性

錯誤。

「線性關係」通常是相關或迴歸分析所要檢驗的問題。單因子變異數分析主要檢驗三個或以上組別的平均數是否不同，而不是檢驗自變項與依變項之間是否呈線性關係。

且三種治療方法屬於名目類別，沒有自然的數值順序，不能直接判定治療方法的線性趨勢。

B) 檢查不同年齡組的焦慮分數是否存在顯著差異

正確。

若將年齡劃分為三個或以上的類別，例如青年組、中年組與高年齡組，則：

此題在考驗雙因子變異數分析（Two-way ANOVA）的解釋和應用。本研究有兩個因子：教學方法（2水準）和性別（2水準），依變項是數學成績。

讓我們逐一分析選項：
A) 交互作用顯著時,不需要進行主要效果(main effect)的解釋：在雙因子 ANOVA 中，如果交互作用（interaction effect）顯著，通常意味著一個因子的主要效果（main effect）會因另一個因子的不同水準而改變。在這種情況下，對主要效果的解釋需要謹慎，有時甚至可能被交互作用所掩蓋或變得不那麼重要。但這並不意味著「不需要」解釋主要效果。更常見的做法是，當交互作用顯著時，我們需要進一步探討簡單主要效果（simple main effects），即在某一個因子的特定水準下，另一個因子的效果。因此，說「不需要」解釋主要效果是不準確的。
B) 若發現教學方法和性別的交互作用顯著,則可以得出結論:兩種教學方法對男女學生的影響有所
不同：交互作用顯著表示，教學方法的效果取決於性別，或者性別的效果取決於教學方法。這確實意味著，教學方法對男生的影響可能與對女生的影響不同。所以，這個結論是正確的。

此題在考驗統計檢定力分析（power analysis）的相關概念。統計檢定力分析是研究設計階段的重要環節，用於確定所需樣本量，以在給定顯著水準、預期效果量和所需檢定力下，獲得有意義的結果。

讓我們逐一分析選項：
A) 假設研究者增加樣本量至200人,統計檢定力會顯著提高：這是統計檢定力的基本原理。在其他條件相同的情況下，樣本量越大，統計檢定力越高。增加樣本量到200人（相對於未知的原始計算值），很可能會顯著提高統計檢定力。
B) 增加樣本量可提高檢測到小效果量的能力：這是統計檢定力分析的核心目的之一。當樣本量增加時，我們能夠更有效地檢測到較小的真實效應（效果量）。
C) 若研究者將顯著性水準提高至0.10,統計檢定力將會減少：這個敘述是錯誤的。顯著性水準 $\alpha$ 與統計檢定力 $1-\beta$ 之間存在權衡關係。