113 年 國立中正大學心理學系碩士班《心理與教育統計學》

本題主要在考察統計學中描述變項間線性關係的幾個重要指標，包含相關係數、迴歸係數與決定係數，並要求說明其關聯性。

1. Pearson's correlation coefficient (Pearson 相關係數)

   • 定義: Pearson 相關係數，通常用 $r$ 表示，是用來衡量兩個連續變項之間線性關係強度與方向的指標。其值介於 -1 到 +1 之間。
     • $r = +1$ 表示完全正相關。
     • $r = -1$ 表示完全負相關。
     • $r = 0$ 表示兩個變項之間沒有線性關係。
   • 公式:
     $r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}} = \frac{Cov(X, Y)}{s_x s_y}$
     其中 $x_i$ 和 $y_i$ 分別是兩個變項的個別觀測值，$\bar{x}$ 和 $\bar{y}$ 是樣本平均數，$s_x$ 和 $s_y$ 分別是兩個變項的樣本標準差。

2. Regression coefficient (迴歸係數)

   • 定義: 迴歸係數（通常指簡單線性迴歸中的斜率）表示當自變項（預測變項）每改變一個單位時，依變項（反應變項）預期改變的量。
   • 公式 (簡單線性迴歸):
     $y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon$
     其中 $\beta_1$ 是迴歸係數（斜率），$\beta_0$ 是截距。
     樣本估計式為 $\hat{y} = b_0 + b_1 x$。
     其中 $b_1 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2} = r \frac{s_y}{s_x}$。
     $b_0 = \bar{y} - b_1 \bar{x}$。

3. Coefficient of determination (決定係數)

   • 定義: 決定係數，通常用 $R^2$ 或 $r^2$ 表示，表示依變項的總變異中，有多少比例可以被自變項（或所有自變項）所解釋。它的值介於 0 到 1 之間。
   • 公式 (簡單線性迴歸):
     $R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST}$

本題要求針對提供的嘉義縣中輟生人數圖表，進行推論統計的思考，包含研究假設、所需資料、統計量與自由度，以及決策。

核心觀念: 推論統計是利用樣本資料來推論母群體的特性，並進行假設檢定。此題考驗對推論統計基本流程的理解，特別是當我們有一個時間序列的類別資料（人數）時，如何進行分析。

題組共用題幹: 提供的圖表顯示了嘉義縣國中生中輟人數在 106 至 109 年間的男女趨勢。

(1) 其研究假設 (Research Hypotheses)

這是一個關於趨勢的圖表，因此可以提出關於中輟生人數隨時間變化的假設。常見的研究假設可以分為虛無假設 (Null Hypothesis, $H_0$) 和對立假設 (Alternative Hypothesis, $H_a$ 或 $H_1$)。

• 假設一：關於整體中輟人數的趨勢

  • $H_0$: 嘉義縣國中生中輟人數在 106 至 109 年間沒有顯著的趨勢變化 (例如，人數保持穩定或隨機波動)。
  • $H_a$: 嘉義縣國中生中輟人數在 106 至 109 年間有顯著的趨勢變化 (例如，人數顯著增加或減少)。

• 假設二：關於性別差異與趨勢的互動

  • $H_0$: 嘉義縣國中生中輟人數的趨勢在男性與女性之間沒有差異。
  • $H_a$: 嘉義縣國中生中輟人數的趨勢在男性與女性之間存在差異。

• 假設三：關於特定時間點的比較 (如果我們要比較特定年份)

  • 例如：$H_0$: 109 年的國中生中輟人數與 106 年沒有顯著差異。
  • $H_a$: 109 年的國中生中輟人數與 106 年有顯著差異。

通常，若要檢定「趨勢」是否存在，最適合的假設會是關於整體趨勢的。

【答案】: 根據圖表，可以提出的研究假設包括：

1. 虛無假設 ($H_0$): 嘉義縣國中生中輟人數在 106 至 109 年間沒有顯著的趨勢變化。
2. 對立假設 ($H_a$): 嘉義縣國中生中輟人數在 106 至 109 年間有顯著的趨勢變化。
   或者，也可以探討性別差異的影響，例如：
3. 虛無假設 ($H_0$): 嘉義縣國中生中輟人數的趨勢在男性與女性之間沒有差異。
4. 對立假設 ($H_a$): 嘉義縣國中生中輟人數的趨勢在男性與女性之間存在差異。

(2) 需要那些額外的資料才能進行統計分析 (Additional Data Required)

圖表僅提供了「人數」這個原始計數（或可視為頻率），並且是跨時間的。要進行推論統計，我們需要更完整的資訊，例如：

• 總體樣本大小 (Population Size): 雖然圖表顯示的是「嘉義縣中輟生人數」，但我們需要知道「嘉義縣國中總學生人數」才能計算發生率，並進行更精確的推論。例如，如果中輟生人數增加，但總學生人數也大幅增加，那麼中輟「率」可能實際上沒有增加。
• 抽樣方法與樣本代表性: 了解這些數據是如何收集的，是否能代表嘉義縣所有國中生。
• 變異數或標準差: 如果我們要做統計檢定，通常需要估計變異數或標準差，以便計算統計量。
• 其他可能影響中輟的變項: 例如，社會經濟地位、家庭因素、學校政策、學業成績、地區發展差異等，若要進行更深入的迴歸或多變量分析，這些資料是必要的。
• 數據的原始值: 圖表是聚合後的數據，若能取得原始的個案數據（例如，每個學生的學籍資料、中輟狀態、性別、年級、入學年份等），則可進行更細緻的分析。

【答案】: 進行推論統計分析需要以下額外資料：

1. 嘉義縣各年度國中總學生人數，以計算中輟率。
2. 了解數據的抽樣方法與代表性。
3. 各年度中輟人數的變異數或標準差，或原始數據以計算。
4. 可能影響中輟的相關變項（如社經地位、家庭因素等）資料。

(3) 使用的推論統計量和其自由度 (Inferential Statistics and Degrees of Freedom)

根據問題的敘述「進一步將下圖的資料進行推論統計分析」以及圖表的特性（時間序列、類別數據、可能涉及性別比較），有幾種可能的統計方法：

• 檢定趨勢是否存在 (時間序列分析):
  • 方法: 可以將人數（或中輟率）視為時間序列的觀測值，然後進行趨勢檢定。例如，使用線性迴歸來預測時間對人數的影響。
  • 統計量: $t$ 檢定 (檢定迴歸斜率是否顯著不為零) 或 $F$ 檢定 (若模型包含其他自變項)。
  • 自由度:
    • 若以線性迴歸模型 $y = \beta_0 + \beta_1 t + \epsilon$ 進行檢定，其中 $y$ 是人數，$t$ 是時間（例如，106=1, 107=2, 108=3, 109=4），則：
      • 檢定斜率 $\beta_1$ 的 $t$ 檢定，其自由度為 $n-2$ (其中 $n$ 是時間點的數量，這裡 $n=4$)，所以自由度是 $4-2=2$。
      • 對應的 $F$ 檢定，自由度為 $df_{regression}=1$ (斜率數) 和 $df_{error}=n-2=2$。
  • 方法: 也可以將每年的數據視為一個類別，然後進行卡方檢定（$\chi^2$ 檢定）。
  • 統計量: 卡方檢定。
  • 自由度: $(k-1)$，其中 $k$ 是類別數（年份數），這裡 $k=4$，所以自由度是 $4-1=3$。

本題主要考驗對描述統計學中圖表判讀以及參數統計前提條件的理解。

核心觀念: 描述統計學是用來整理、描述與呈現資料特徵的學科；參數統計則是在資料符合特定假設（如常態性）下，對母群體進行推論的統計方法。

題組共用題幹: 某班級36位學生的每晚睡眠中斷次數的箱型圖。

(1) 此資料的分布性質 (Nature of the Data Distribution)

從箱型圖中，我們可以觀察到以下資訊來描述資料的分布性質：

• 中心趨勢 (Central Tendency):
  • 中位數 (Median)：箱型圖中標示為 1.0。這表示一半的學生睡眠中斷次數小於或等於 1 次，另一半大於或等於 1 次。
• 離散程度 (Dispersion):
  • 四分位距 (Interquartile Range, IQR)：箱子的長度，表示中間 50% 數據的範圍。從圖中可以看出，箱子從大約 0.5 到 3.0，所以 IQR 約為 $3.0 - 0.5 = 2.5$。
  • 全距 (Range)：圖中顯示最小值約為 0.0，最大值約為 3.0。
• 分布的形狀 (Shape):
  • 偏態 (Skewness):
    • 中位線 (Median) 相對於箱子（IQR）的位置：如果中位線偏向箱子的下緣，表示資料有正偏態（右偏）；如果偏向箱子上緣，表示資料有負偏態（左偏）。在此圖中，中位數 1.0 似乎略低於箱子的中心點（約 (0.5+3.0)/2 = 1.75），且上鬚 (whisker) 看起來比下鬚長，這可能暗示資料有 輕微的正偏態 (right skewness)。
    • 鬚 (Whiskers) 的長度：上鬚（從 Q3 到最大值）看起來比下鬚（從 Q1 到最小值）長，這也支持正偏態的判斷。
  • 峰態 (Kurtosis): 箱型圖本身較難直接判斷峰態（尖峰或平坦），但從數據點的散布可以看出一些端倪。
• 離群值 (Outliers):
  • 圖中顯示有標示出來的點，例如在 3.0 附近有幾個點，以及可能在 0.0 附近也有點。這些被視為潛在的離群值，表示它們遠離大部分數據。

綜合以上觀察:
該班級學生的每晚睡眠中斷次數的分布，其中心值約為 1 次。資料的離散程度由 IQR 約為 2.5 顯示。分布看起來有 輕微的正偏態，且存在 潛在的離群值。

【答案】: 此資料的分布呈現 輕微的正偏態，中心趨勢（中位數）約為 1，四分位距 (IQR) 約為 2.5。同時，圖中顯示存在 潛在的離群值。

(2) 若欲使用此資料進行參數統計(parametric statistic)分析,需要先進行甚麼處理? (Pre-processing for Parametric Statistics)

本題考驗對 Q-Q plot 的判讀能力，以及對標準常態分數 (z-score) 的理解。

核心觀念: Q-Q plot (Quantile-Quantile plot) 是一種視覺化工具，用於比較兩個機率分布的量化分位數。在這裡，它用來比較實際觀測數據的分布與理論上的常態分布。

題組共用題幹: 心理測驗成績的 Q-Q plot，橫軸為理想的 z 分數，縱軸為實際測驗分數。

(1) 此資料的分布性質 (Nature of the Data Distribution)

Q-Q plot 的判讀原則是：如果實際資料的分布與理論分布一致，那麼散點圖中的點應該會近似地落在對角線上（在此圖中，對角線是從左下到右上的直線）。

觀察圖中的散點：

• 大多數的點都非常接近一條從左下方向右上方延伸的直線。
• 這條直線代表了實際測驗分數與理想 z 分數之間的線性對應關係。
• 在圖中，散點緊密地排列在這條直線上，沒有明顯的彎曲或偏離。

結論:
這表示該班級學生的心理測驗成績 近似服從常態分布。

【答案】: 從 Q-Q plot 來看，散點緊密地分布在對角線上，顯示此心理測驗成績的分布 近似於常態分布。

(2) 橫軸的理想z分數是如何獲得? (How Theoretical z-scores are Obtained)

橫軸代表的是「理想的 z 分數」，這通常是指在一個 標準常態分布 (Standard Normal Distribution) 下，理論上應有的分數。標準常態分布的特性是：平均數為 0，標準差為 1。

本題考驗對單因子變異數分析 (One-way ANOVA) 的等組設計 (Between-subjects design, 也稱獨立樣本設計) 的理解，包括研究設計流程、變異數分析表的計算與解釋。

核心觀念: 等組設計是指將研究對象隨機分配到不同的處理組別，然後比較各組的平均數。變異數分析 (ANOVA) 是分析等組設計中組間差異的常用方法。

(1) 試述如何進行此研究設計及流程 (Description of the Research Design and Procedure)

「等組設計」（Between-subjects design 或 Independent groups design）是指將研究參與者隨機分配到 不同的、互斥的 實驗處理條件（組別）之一。每個參與者只會經驗到一種處理條件。

研究設計與流程:

1. 確定研究問題與變項:
   • 自變項 (Independent Variable, IV): 至少有一個自變項，且該自變項有兩個或兩個以上的 獨立的水準 (levels) 或處理條件。在變異數分析表中，通常以 A、B 等符號代表自變項。
   • 依變項 (Dependent Variable, DV): 一個連續測量的變項，用於衡量處理效果。
2. 確認研究參與者: 確定研究的目標母群體，並招募足夠數量的參與者。
3. 隨機分派 (Random Assignment): 這是等組設計的核心。將所有參與者 隨機地 分配到不同的處理組別。隨機分派的目的是確保在實驗開始前，各組在所有可能影響依變項的潛在變項（包括已知的和未知的）上是平均的，從而使各組在實驗前是 等質的 (equivalent)。
   • 例如，若研究欲比較三種不同的教學方法 (A1, A2, A3)，則將學生隨機分配到這三組中的一組。
4. 實施處理: 對每個組別的參與者施以其所屬處理條件下的刺激或介入。
5. 測量依變項: 在處理實施後，對所有參與者測量依變項。
6. 統計分析: 使用變異數分析 (ANOVA) 或其他適當的統計方法，比較各組依變項的平均數是否存在顯著差異。
7. 解釋結果: 根據統計分析結果，判斷自變項是否對依變項有顯著影響。

本題的變異數分析表 (ANOVA Table):
從變異數分析表的變源 (Source) 欄位看到 A、B、AB、誤差 (Error)、總和 (Total)，這表明這可能是一個 多因子變異數分析 (Factorial ANOVA)，其中 A 和 B 是兩個自變項。

• A: 代表第一個自變項，有 3 個自由度 (df=3)，意味著它有 4 個水準 (levels)，因為 df = levels - 1。
• B: 代表第二個自變項，其 MS 為 200，但 df 未知。
• AB: 代表 A 和 B 之間的 交互作用 (Interaction)。
• 誤差 (Error): 代表隨機誤差，有 99 個自由度。
• 總和 (Total): 總變異。

設計流程範例:
假設研究者想探討兩種不同的學習策略 (A: 方法一、方法二、方法三、方法四) 以及兩種不同的提示方式 (B: 提示 A、提示 B) 對學生考試成績 (依變項) 的影響。

1. 招募學生。
2. 將學生隨機分配到以下四個組別之一：(A1, B1), (A1, B2), (A2, B1), (A2, B2), (A3, B1), (A3, B2), (A4, B1), (A4, B2)。
   • 注意: 題目提供的變異數分析表顯示 A 有 3 個 df，表示 A 有 4 個水準 (4-1=3)。B 的 df 未知，AB 交互作用的 df 也未知。誤差 df 為 99。
   • 在多因子設計中，總自由度 (Total df) = A 的 df + B 的 df + AB 的 df + 誤差的 df。
   • 如果 A 有 4 個水準 (df=3) 和 B 有 $k$ 個水準 (df=$k-1$)，則 AB 的 df = $(df_A)(df_B) = 3(k-1)$。
   • 總 df = $3 + (k-1) + 3(k-1) + 99$。
   • 一般情況下，總 df = $N-1$，其中 $N$ 是總參與者人數。
   • 從表可知，總和 SS = 2500。

【答案】:
等組設計 (Between-subjects design) 的研究流程包括：

1. 定義至少一個具有多個獨立水準的自變項，以及一個連續的依變項。
2. 招募研究參與者。
3. 將參與者 隨機地 分配到不同的處理組別，確保各組在實驗前是等質的。
4. 對各組施以不同的處理。
5. 測量參與者在依變項上的表現。
6. 使用變異數分析 (ANOVA) 等統計方法，比較各組平均數的差異。
7. 解釋結果，判斷自變項是否對依變項有顯著影響。
   本題的變異數分析表顯示可能是一個包含自變項 A (4 個水準, df=3) 和自變項 B (df 未知) 及其交互作用 AB 的設計。

(2) 計算下表內甲、乙、丙的數值並解釋研究發現 (Calculation and Interpretation of Values)

我們需要計算 MS (Mean Square), F 值，並填補表格中的甲、乙、丙。
變異數分析的核心關係式：MS = SS / df。F 值 = MS(自變項或交互作用) / MS(誤差)。

已知資訊:

• A: SS=150, df=3, MS=?, F=?
• B: SS=?, df=?, MS=200, F=?
• AB: SS=350, df=?, MS=?, F=?
• 誤差 (Error): SS=?, df=99, MS=?
• 總和 (Total): SS=2500, df=?

計算步驟:

1. 計算 A 的 MS (甲):

   • $MS_A = SS_A / df_A = 150 / 3 = 50$
   • 所以，甲 = 50。

2. 計算總和的 df (乙):

   • 總 df = $df_A + df_B + df_{AB} + df_{Error}$

   • 我們需要先知道 $df_B$ 和 $df_{AB}$。

   • 在多因子 ANOVA 中，$df_{AB} = df_A \times df_B$。

   • 從總和 SS = 2500，我們知道 $SS_{Total} = SS_A + SS_B + SS_{AB} + SS_{Error}$。

   • 我們還知道 $MS_B = 200$。

   • 我們知道 $df_{Error} = 99$。

   • 我們知道 $SS_{Total} = 2500$。

   • 我們知道 $SS_A = 150$, $SS_{AB} = 350$。

   • 先計算誤差的 SS: $SS_{Error} = MS_{Error} \times df_{Error}$。但我們還不知道 $MS_{Error}$。

   • 先計算總和的 df: 在多因子設計中，總 df = $N-1$。

   • 找出 $df_B$ 和 $df_{AB}$:

     • 設 $df_B = x$。則 $df_{AB} = df_A \times df_B = 3x$。
     • $df_{Total} = df_A + df_B + df_{AB} + df_{Error} = 3 + x + 3x + 99 = 102 + 4x$。

   • 計算 $MS_{Error}$: 我們需要 $SS_{Error}$。

   • 計算 $SS_B$: $SS_B = MS_B \times df_B = 200x$。

   • 計算 $MS_{AB}$: $MS_{AB} = SS_{AB} / df_{AB} = 350 / (3x)$。

   • 計算 $MS_{Error}$: $MS_{Error} = SS_{Error} / df_{Error}$。

   • 利用 SS 的總和: $SS_{Total} = SS_A + SS_B + SS_{AB} + SS_{Error}$
     $2500 = 150 + 200x + 350 + SS_{Error}$
     $2000 = 200x + SS_{Error}$

   • 利用 MS 的關係: 我們需要 $MS_{Error}$ 來計算 F 值。

   • 回頭看 df 的關係: 總 df = $N-1$。

   • 考慮 ANOVA 表結構:

     Source	SS	df	MS	F
     A	150	3	50	?
     B	?	x	200	?
     AB	350	3x	?	?
     Error	?	99	?
     Total	2500	?

   • 計算 $SS_B$: $SS_B = MS_B \times df_B = 200 \times x$。

   • 計算 $MS_{AB}$: $MS_{AB} = SS_{AB} / df_{AB} = 350 / (3x)$。

   • 計算 $SS_{Error}$: $SS_{Total} = SS_A + SS_B + SS_{AB} + SS_{Error}$
     $2500 = 150 + 200x + 350 + SS_{Error}$
     $SS_{Error} = 2500 - 150 - 350 - 200x = 2000 - 200x$。

   • 計算 $MS_{Error}$: $MS_{Error} = SS_{Error} / df_{Error} = (2000 - 200x) / 99$。

   • 計算 $df_{Total}$: $df_{Total} = df_A + df_B + df_{AB} + df_{Error} = 3 + x + 3x + 99 = 102 + 4x$。

   • 通常，總 df = N-1。

   • 還有 F 值未定: $F_A = MS_A / MS_{Error}$, $F_B = MS_B / MS_{Error}$, $F_{AB} = MS_{AB} / MS_{Error}$。

本題考驗對單因子重複測量設計 (One-way Repeated Measures Design, 屬於受試者內設計) 的理解，以及 F 檢定與 t 檢定在單因子設計中的關係與異同。

核心觀念:

• 受試者內設計 (Within-subjects design): 實驗中的每個參與者都會接受所有或多個處理條件的測量。
• 單因子重複測量設計: 這是最簡單的受試者內設計，只有一個自變項（因子），該自變項有兩個或兩個以上的水準（處理條件），且所有參與者都會經歷所有水準。
• F 檢定與 t 檢定: F 檢定常用於比較三個或更多組的平均數，而 t 檢定通常用於比較兩組平均數。在特定情況下，兩者可以互相轉換。

(1) 試述如何進行此研究設計及流程 (Description of the Research Design and Procedure)

單因子受試者內設計 (One-way Within-Subjects Design):

1. 確定研究問題與變項:
   • 自變項 (Independent Variable, IV): 一個自變項，具有兩個或兩個以上的水準（處理條件）。
   • 依變項 (Dependent Variable, DV): 一個連續測量的變項。
2. 招募參與者: 確定研究對象。
3. 實施處理與測量:
   • 關鍵特徵: 每個參與者都會接受 所有 處理條件下的測量。
   • 順序問題: 參與者接受處理的順序可能會影響結果，因此通常會採用 隨機化處理順序 (randomizing the order of conditions) 或 平衡順序 (counterbalancing) 的方法來控制練習效果 (learning effects)、疲勞效果 (fatigue effects) 或順應性效果 (carryover effects)。
   • 例如，研究者想探討不同光線強度 (因子 A，水準：低光、中光、高光) 對反應時間 (依變項) 的影響。
     • 所有參與者都會被測量在低光、中光和高光下的反應時間。
     • 參與者接受這三種光線強度的順序可能是隨機的，例如：參與者 1 (低→中→高)，參與者 2 (中→高→低)，參與者 3 (高→低→中)，依此類推。
4. 統計分析: 使用單因子重複測量變異數分析 (One-way Repeated Measures ANOVA) 來分析數據。

流程範例:
研究者想了解不同音樂類型 (因子 A，水準：古典、流行、搖滾) 對專注力分數 (依變項) 的影響。

1. 招募 30 位參與者。
2. 為每位參與者隨機安排一個接受三種音樂類型測驗的順序。例如：
   • 參與者 1: 古典 → 流行 → 搖滾
   • 參與者 2: 搖滾 → 古典 → 流行
   • ...
3. 在每個音樂條件下，給予參與者一段時間，然後測量其專注力分數。
4. 對收集到的數據進行單因子重複測量變異數分析。

【答案】:
單因子受試者內設計是指，所有參與者都會接受所有處理條件的測量。研究流程為：1. 定義單一自變項（因子）及其多個水準（處理條件），以及一個連續的依變項。2. 招募參與者。3. 讓所有參與者依序經歷所有處理條件，並在每個條件下測量依變項。為控制順序效應，處理順序應隨機化或平衡化。4. 使用單因子重複測量變異數分析 (One-way Repeated Measures ANOVA) 進行統計分析。

(2) 依假設檢定進行步驟,試述F或t檢定有何異同 (Comparison of F-test and t-test in Hypothesis Testing)

F 檢定與 t 檢定的關係:
在單因子重複測量設計中，當自變項（因子）只有 兩個水準 時，F 檢定與 t 檢定是 完全等價 的。

• F 檢定: 用於檢定三個或更多組的平均數是否相等。
• t 檢定: 用於檢定兩組平均數是否相等（獨立樣本 t 檢定或配對樣本 t 檢定）。

在單因子設計，若因子有 $k$ 個水準：

• 如果 $k=2$，可以使用獨立樣本 t 檢定（等組設計）或配對樣本 t 檢定（受試者內設計）。同時，也可以進行單因子 ANOVA (F 檢定)。此時，F 檢定的結果與 t 檢定結果的平方是相等的 ($F = t^2$)，且 p 值也相同。
• 如果 $k>2$，則必須使用 F 檢定（ANOVA）來檢定所有水準的平均數是否相等。如果 ANOVA 檢定結果顯著，則表示至少有兩組的平均數不同，此時需要進行 事後比較 (post-hoc tests)，例如 Tukey's HSD, Bonferroni 等，來找出具體是哪些組別之間存在差異。

假設檢定的步驟: