111 年 國立中正大學心理學系碩士班《心理與教育統計學》

此題考驗配對樣本 t 檢定 (paired t-test) 的應用。由於我們想知道 X1 是否顯著高於 X2，這表示我們想檢定的是 X1 和 X2 這兩組配對樣本的平均數差異。

核心觀念： 配對樣本 t 檢定用於比較兩組相關樣本（例如同一受試者在不同時間點的測量，或配對的受試者）的平均數是否有顯著差異。

步驟：

1. 計算差異分數 (d)： 找出每一對觀察值之間的差異。
   $d = X1 - X2$

   • ID 1: $6 - 6 = 0$
   • ID 2: $7 - 8 = -1$
   • ID 3: $8 - 6 = 2$
   • ID 4: $9 - 8 = 1$
   • ID 5: $8 - 8 = 0$
   • ID 6: $10 - 6 = 4$

2. 計算差異分數的平均數 ($\bar{d}$) 與標準差 ($s_d$)：

   • 差異分數列表：0, -1, 2, 1, 0, 4
   • $\bar{d} = \frac{\sum d}{n} = \frac{0 + (-1) + 2 + 1 + 0 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1$
   • 計算差異分數的變異數 ($s_d^2$)：
     $s_d^2 = \frac{\sum(d - \bar{d})^2}{n-1}$
     • $(0-1)^2 = 1$
     • $(-1-1)^2 = 4$
     • $(2-1)^2 = 1$
     • $(1-1)^2 = 0$
     • $(0-1)^2 = 1$
     • $(4-1)^2 = 9$
       $\sum(d - \bar{d})^2 = 1 + 4 + 1 + 0 + 1 + 9 = 16$

此題考驗簡單線性迴歸的計算。我們要找出預測 Y 的迴歸方程式 $\hat{Y} = b_0 + b_1 X1$。

核心觀念： 簡單線性迴歸用於描述一個依變數 (Y) 與一個自變數 (X1) 之間的線性關係，並建立預測模型。迴歸係數 $b_1$ 代表 X1 每改變一個單位，Y 平均改變的量；$b_0$ 是截距，代表 X1 為 0 時 Y 的預測值。

步驟：

1. 計算迴歸係數 $b_1$ (斜率)：
   $b_1 = \frac{SS_{X1Y}}{SS_{X1X1}} = \frac{\sum(X1 - \bar{X1})(Y - \bar{Y})}{\sum(X1 - \bar{X1})^2}$

   首先，計算各變數的平均數：

   • $X1$: (6+7+8+9+8+10)/6 = 48/6 = 8
   • $X2$: (6+8+6+8+8+6)/6 = 42/6 = 7
   • $Y$: (7+9+10+11+8+9)/6 = 54/6 = 9

   接著，計算 $\sum(X1 - \bar{X1})(Y - \bar{Y})$ (共變異數的分子)：

   • X1 離均差: (6-8), (7-8), (8-8), (9-8), (8-8), (10-8) => -2, -1, 0, 1, 0, 2

此題考驗迴歸模型的顯著性檢定，即檢定自變數 X1 對依變數 Y 是否有顯著的預測能力。這通常透過 F 檢定來完成，其虛無假設為迴歸模型沒有解釋力（即斜率 $b_1 = 0$）。

核心觀念： 迴歸模型的顯著性檢定（F 檢定）用來評估整個迴歸模型是否比僅僅使用平均數來預測依變數有顯著的改進。對於簡單線性迴歸，F 檢定的結果與檢定斜率 $b_1$ 是否為零的 t 檢定結果是等價的 ($F = t^2$)。

步驟：

1. 建立虛無假設 ($H_0$) 與對立假設 ($H_1$)：

   • $H_0$: $\beta_1 = 0$ (X1 對 Y 沒有顯著的預測能力)
   • $H_1$: $\beta_1 \neq 0$ (X1 對 Y 有顯著的預測能力)
   • 顯著水準 $\alpha = 0.05$

2. 計算 F 統計量：
   在簡單線性迴歸中，F 統計量計算如下：
   $F = \frac{MSR}{MSE} = \frac{SS_{Reg}/df_{Reg}}{SS_{Res}/df_{Res}}$

   我們需要計算各項平方和 (Sum of Squares, SS) 和自由度 (degrees of freedom, df)。

   • 總變異數 ($SS_{Total}$)：
     $SS_{Total} = \sum(Y - \bar{Y})^2$
     Y 離均差平方: $(-2)^2=4$, $(0)^2=0$, $(1)^2=1$, $(2)^2=4$, $(-1)^2=1$, $(0)^2=0$
     $SS_{Total} = 4 + 0 + 1 + 4 + 1 + 0 = 10$
     $df_{Total} = n - 1 = 6 - 1 = 5$

   • 迴歸變異數 ($SS_{Reg}$)：
     $SS_{Reg} = \sum(\hat{Y} - \bar{Y})^2$
     或者，更常用的是 $SS_{Reg} = b_1 \times SS_{X1Y}$ (對於簡單迴歸)
     我們已知 $b_1 = 0.6$ 且 $SS_{X1Y} = \sum(X1 - \bar{X1})(Y - \bar{Y}) = 6$ (從上一題計算得出)。
     $SS_{Reg} = 0.6 \times 6 = 3.6$
     $df_{Reg} = 1$ (因為只有一個自變數)

此題探討多元迴歸中的 F 檢定與 t 檢定結果不一致時的解釋。F 檢定檢驗的是整個迴歸模型是否顯著，而 t 檢定則檢驗個別自變數是否顯著。

核心觀念： 在多元迴歸中，F 檢定用於檢驗所有自變數共同對依變數的預測能力是否顯著。而每個自變數的 t 檢定則檢驗該自變數在控制其他自變數後，是否仍對依變數有顯著的預測能力。當存在多個自變數時，即使個別自變數的 t 檢定不顯著，它們的組合也可能對依變數產生顯著的影響，反之亦然。

分析：

1. F 檢定結果：

   • ANOVA 表中的 F 檢定值為 9.700，顯著性 (p 值) 為 0.049。
   • 由於 p 值 (0.049) 小於顯著水準 $\alpha = 0.05$，我們拒絕虛無假設，認為至少有一個自變數 (X1 或 X2) 對依變數 Y 有顯著的預測能力。

2. t 檢定結果：

   • 對於 X1，t 值為 0.447，顯著性 (p 值) 為 0.685。由於 p 值 > 0.05，X1 並不顯著。
   • 對於 X2，t 值為 1.702，顯著性 (p 值) 為 0.187。由於 p 值 > 0.05，X2 並不顯著。

3. 解釋矛盾：

   • F 檢定顯著表示整個模型（X1 和 X2 合在一起）對 Y 有顯著的預測能力。
   • 然而，個別自變數的 t 檢定都不顯著，這表示在控制了另一個自變數後，單獨的 X1 或 X2 對 Y 的預測能力不再顯著。
   • 這種情況在多元迴歸中是可能發生的，並不構成真正的矛盾。原因可能包括：

此題為實驗設計與資料分析的應用題，考驗對不同實驗設計（如獨立樣本、重複測量、因子設計）的理解，以及如何將資料結構化以進行分析。

核心觀念： 實驗設計、變數的種類（自變數、依變數）、實驗條件、受試者間設計 (between-subjects design) vs. 受試者內設計 (within-subjects design)。

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題組共用題幹分析：
實驗研究者想了解「環境」是否會影響老鼠的「條件制約學習」。

• 依變數： 條件制約學習的程度 (未明確說明，但通常是學習的反應次數、強度或速度等，這裡假設是學習的反應數)。
• 自變數：
  • 環境 (Environment)：有兩種水平：聲音 (Auditory) 和震動 (Vibrational)。
  • 條件刺激 (Conditioning Stimulus)：有兩種水平：聲音 (Auditory) 和震動 (Vibrational)。
• 分組： 數據中還出現了「控制組」(Control Group)，這表示實驗設計中可能包含一個對照組。
• 資料結構： 資料被組織成一個表格，其中列出了不同「環境」下，不同「條件刺激」的「控制組」、「聲音」、「震動」的原始分數 ($\Sigma X$ 和 $\Sigma X^2$)。每組有 3 個觀察值。

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1. 若每隻老鼠僅能參加一細格實驗,請問該如何安排實驗進行?請分析這筆資料並解釋。(20分)

實驗設計： 這種情況描述的是一個受試者間獨立樣本設計 (Independent Groups / Between-Subjects Design)。每隻老鼠僅接受一種實驗處理（即處於一種特定的環境與條件刺激組合）。

資料的組織與分析：

• 實驗條件： 總共有 2 (環境) x 2 (條件刺激) = 4 種實驗條件（不考慮控制組）。加上控制組，總共 5 種處理。

  • 環境-聲音, 刺激-聲音 (E_Auditory, S_Auditory)
  • 環境-聲音, 刺激-震動 (E_Auditory, S_Vibrational)
  • 環境-震動, 刺激-聲音 (E_Vibrational, S_Auditory)
  • 環境-震動, 刺激-震動 (E_Vibrational, S_Vibrational)
  • 控制組 (Control Group)

• 數據結構： 題目給出的數據是 $\Sigma X$ 和 $\Sigma X^2$。這表示我們需要先計算每組的平均數和變異數（或標準差）。

  • 每組有 $n=3$ 個觀察值。

• 計算各組平均數和變異數：

  • 環境-聲音, 刺激-聲音 (E_Auditory, S_Auditory)：

    • $\Sigma X = 48$, $\Sigma X^2 = 818$
    • 平均數 $\bar{X} = \frac{48}{3} = 16$
    • 變異數 $s^2 = \frac{\Sigma X^2 - (\Sigma X)^2/n}{n-1} = \frac{818 - (48)^2/3}{3-1} = \frac{818 - 2304/3}{2} = \frac{818 - 768}{2} = \frac{50}{2} = 25$

  • 環境-聲音, 刺激-震動 (E_Auditory, S_Vibrational)：

    • $\Sigma X = 87$, $\Sigma X^2 = 2565$
    • 平均數 $\bar{X} = \frac{87}{3} = 29$
    • 變異數 $s^2 = \frac{2565 - (87)^2/3}{3-1} = \frac{2565 - 7569/3}{2} = \frac{2565 - 2523}{2} = \frac{42}{2} = 21$

  • 環境-震動, 刺激-聲音 (E_Vibrational, S_Auditory)：

    • $\Sigma X = 72$, $\Sigma X^2 = 1778$
    • 平均數 $\bar{X} = \frac{72}{3} = 24$
    • 變異數 $s^2 = \frac{1778 - (72)^2/3}{3-1} = \frac{1778 - 5184/3}{2} = \frac{1778 - 1728}{2} = \frac{50}{2} = 25$

  • 環境-震動, 刺激-震動 (E_Vibrational, S_Vibrational)：

    • $\Sigma X = 78$, $\Sigma X^2 = 2078$
    • 平均數 $\bar{X} = \frac{78}{3} = 26$
    • 變異數 $s^2 = \frac{2078 - (78)^2/3}{3-1} = \frac{2078 - 6084/3}{2} = \frac{2078 - 2028}{2} = \frac{50}{2} = 25$

  • 控制組 (Control Group)：

    • $\Sigma X = 39$, $\Sigma X^2 = 605$
    • 平均數 $\bar{X} = \frac{39}{3} = 13$
    • 變異數 $s^2 = \frac{605 - (39)^2/3}{3-1} = \frac{605 - 1521/3}{2} = \frac{605 - 507}{2} = \frac{98}{2} = 49$

• 實驗安排：

  • 將老鼠隨機分配到這 5 個組別（環境-聲音/刺激-聲音, 環境-聲音/刺激-震動, 環境-震動/刺激-聲音, 環境-震動/刺激-震動, 控制組）。
  • 每組 3 隻老鼠。
  • 對這些老鼠進行條件制約學習的訓練，並測量其學習程度。

• 資料分析計畫：

  • 由於有 5 個獨立的組別，可以使用單因子變異數分析 (One-Way ANOVA) 來檢定不同處理組別（包括控制組）的學習程度平均數是否有顯著差異。
  • 如果 ANOVA 顯著，則進行事後比較 (post-hoc tests)，例如 Tukey's HSD，來找出哪些組別之間存在顯著差異。
  • 也可以進行更複雜的對比分析，例如：
    • 比較兩種環境的總體學習差異 (環境-聲音 vs. 環境-震動)。
    • 比較兩種刺激的總體學習差異 (刺激-聲音 vs. 刺激-震動)。
    • 比較實驗組與控制組的差異。

解釋：
這個實驗設計屬於獨立樣本設計，每隻老鼠只接受一種處理。我們需要將老鼠隨機分配到 5 個組別（4 種實驗處理 + 1 種控制組），每組 3 隻。實驗後，我們收集學習程度的數據，並使用單因子 ANOVA 來分析各組平均數的差異。如果 ANOVA 顯著，則透過事後比較來確定哪些特定條件組合對學習有顯著影響。

【答案】將老鼠隨機分配到「環境-聲音/刺激-聲音」、「環境-聲音/刺激-震動」、「環境-震動/刺激-聲音」、「環境-震動/刺激-震動」以及「控制組」這五個獨立組別，每組 3 隻。進行條件制約學習實驗，測量學習程度。分析時，可對這五組的學習程度平均數進行單因子變異數分析 (One-Way ANOVA)，並視結果進行事後比較。

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2. 若每隻老鼠僅其中一種環境下生活,均需先後參加不同條件刺激的條件制約學習,請問該如何安排實驗進行?請分析這筆資料並解釋。(20分)

實驗設計： 這種情況描述的是一個受試者內設計 (Within-Subjects Design)，或稱為重複測量設計 (Repeated Measures Design)。每隻老鼠都會經歷所有或部分的條件刺激，但僅限於某一種環境。

資料的組織與分析：

• 實驗設計結構： 這裡有兩個層次：

  • 受試者間因素 (Between-Subjects Factor)： 環境 (Environment)。有兩種水平：聲音 (Auditory) 和震動 (Vibrational)。每種環境下有一組獨立的老鼠。
  • 受試者內因素 (Within-Subjects Factor)： 條件刺激 (Conditioning Stimulus)。有兩種水平：聲音 (Auditory) 和震動 (Vibrational)。同一組環境下的老鼠會先後接受這兩種條件刺激的學習。

• 資料結構：

  • 我們需要將老鼠分成兩大組：一組在「聲音」環境，另一組在「震動」環境。
  • 假設「聲音」環境組有 $N_1$ 隻老鼠，而「震動」環境組有 $N_2$ 隻老鼠。
  • 這兩組老鼠各自都需要接受「聲音」刺激和「震動」刺激的條件制約學習。

• 實驗安排：

  • 組別一：聲音環境組

    • 將一部分老鼠隨機分到「聲音環境」組。
    • 這些老鼠先接受「聲音」條件刺激的學習，記錄學習程度。
    • 然後，經過足夠的休息和恢復期，這些老鼠再接受「震動」條件刺激的學習，記錄學習程度。
    • 注意： 為了避免順序效應 (order effect)，需要考慮隨機化處理順序。可以讓一半的「聲音環境」老鼠先接受聲音刺激，另一半先接受震動刺激。

  • 組別二：震動環境組

    • 將另一部分老鼠隨機分到「震動環境」組。
    • 這些老鼠同樣先接受「聲音」條件刺激的學習，記錄學習程度。
    • 然後，經過休息，再接受「震動」條件刺激的學習，記錄學習程度。
    • 同樣需要考慮隨機化處理順序。

• 數據的分析：

  • 這種設計是典型的二因子變異數分析 (Two-Way ANOVA)，其中「環境」是受試者間因素，「條件刺激」是受試者內因素。

核心觀念

本題考查二因子獨立樣本變異數分析。因為每隻老鼠只參加一組實驗，所以每隻老鼠只會落在一個「條件刺激 × 生活環境」組合中，屬於受試者間設計。

兩個自變項為：

• 條件刺激：聲音、震動，共 2 個水準。
• 生活環境：控制組、聲音、震動，共 3 個水準。

依原卷表格，每個組合有 3 隻老鼠，因此是平衡的 $2\times3$ 因子設計，總樣本數 $N=18$。依變項為條件制約學習的測量分數。

解題方法

圖中欄是生活環境（控制組、聲音、震動），列是條件刺激（聲音、震動）；每一格列出 3 筆分數及其總和、平方和。由於各組老鼠彼此獨立，應以二因子獨立樣本變異數分析檢驗條件刺激主效果、生活環境主效果，以及兩者的交互作用。

令條件刺激為因子 $A$、生活環境為因子 $B$。先計算總和與平方和：

$$G=48+87+39+72+78+137=461$$ $$\sum X^2=818+2565+605+1778+2078+6321=14165$$

修正項為：

$$CF=\frac{G^2}{N}=\frac{461^2}{18}=11806.722$$

總平方和：

$$SS_T=\sum X^2-CF=14165-11806.722=2358.278$$

條件刺激兩列的總和為 $174$、$287$，每列有 9 隻老鼠：

$$SS_A=\frac{174^2+287^2}{9}-CF=709.389$$

生活環境三欄的總和為 $120$、$165$、$176$，每欄有 6 隻老鼠：

$$SS_B=\frac{120^2+165^2+176^2}{6}-CF=293.444$$

各組總和依序為 $48,87,39,72,78,137$，每組 $n=3$：

$$SS_{\text{組合}}=\frac{48^2+87^2+39^2+72^2+78^2+137^2}{3}-CF=2003.611$$

因此交互作用平方和為：

$$SS_{AB}=SS_{\text{組合}}-SS_A-SS_B =2003.611-709.389-293.444=1000.778$$

組內誤差平方和與自由度為：

$$SS_E=SS_T-SS_{\text{組合}}=2358.278-2003.611=354.667$$

核心觀念

本題考查混合設計變異數分析：環境有控制組、聲音、震動三組，屬於受試者間因子；條件刺激有聲音、震動兩種，且每隻老鼠都參加兩種條件制約學習，屬於受試者內因子（重複量數）。

因此要分別檢定環境主效果、條件刺激主效果，以及環境與條件刺激的交互作用。由於條件刺激是重複量數，條件刺激與交互作用都以「條件刺激 × 環境內受試者」作為誤差項。

解題方法

圖中列出兩種條件刺激、三種環境，以及各格三隻老鼠的分數與平方和。每隻老鼠都先後接受聲音與震動條件制約，因此應將同一環境欄內兩列相同位置的分數配成同一隻老鼠，進行 $3\times2$ 混合設計變異數分析。實驗安排上，環境分派給不同老鼠，條件刺激則由每隻老鼠都接受；兩種刺激的先後次序宜平衡或隨機安排，以控制次序影響。

令環境數 $a=3$、條件刺激數 $b=2$，每個環境組有 $n=3$ 隻老鼠。總觀察數為 $N=abn=18$。六個環境與刺激組合的總和為 $48,87,39,72,78,137$，總和與平方和為：

$$G=461,\qquad \sum X^2=14165$$

修正項為：

$$C=\frac{G^2}{N}=\frac{461^2}{18}=11806.722$$

總平方和：

$$SS_{\text{總}}=\sum X^2-C=14165-11806.722=2358.278$$

變異數分析計算

環境三組的總和為 $120,165,176$，每組有 $bn=6$ 個觀察值：

$$SS_{\text{環境}} =\frac{120^2+165^2+176^2}{6}-C =293.444$$

條件刺激兩列的總和為 $174,287$，每列有 $an=9$ 個觀察值：

$$SS_{\text{刺激}} =\frac{174^2+287^2}{9}-C =709.389$$

六個細格總和平方除以每格人數，減去修正項，可得細格平方和；再扣除環境與刺激平方和，得到交互作用平方和：

$$SS_{\text{交互作用}} =\frac{48^2+87^2+39^2+72^2+78^2+137^2}{3} -C-SS_{\text{環境}}-SS_{\text{刺激}} =1000.778$$

環境組內受試者平方和以各老鼠跨兩種刺激的分數總和計算。各環境內老鼠總分為控制組 $(30,40,50)$、聲音環境 $(46,54,65)$、震動環境 $(50,54,72)$：

$$SS_{\text{受試者（環境內）}} =\frac{30^2+40^2+50^2+46^2+54^2+65^2+50^2+54^2+72^2}{2} -\frac{120^2+165^2+176^2}{6} =328.333$$

因此環境主效果的誤差平方和為 $328.333$。重複量數部分的誤差平方和則為：

$$SS_{\text{誤差}} =SS_{\text{總}}-SS_{\text{環境}}-SS_{\text{受試者（環境內）}} -SS_{\text{刺激}}-SS_{\text{交互作用}} =26.333$$

核心觀念

本題要檢驗三種生活環境的平均學習表現是否不同，且不分析條件刺激種類。因此，把「環境」視為單一自變項，分成控制組、聲音環境、震動環境三組，使用單因子獨立樣本變異數分析。

解題方法

原卷表格的欄為三種環境，列為兩種條件刺激；每個「刺激 × 環境」格子有 3 筆觀察值。若只比較環境，便將同一環境下兩種條件刺激的資料合併，每個環境各有 $n=6$ 筆資料。

實驗安排上，將老鼠隨機分派到三種環境，每組 6 隻；若仍使用兩種條件刺激，應在各環境內各安排 3 隻接受聲音刺激、3 隻接受震動刺激，避免刺激種類與環境混淆。分析時不區分刺激種類，直接比較三組環境的平均數。

三組的總和與平均數為：

環境	合併後資料	$n$	$\sum X$	平均數
控制組	$11,16,21,19,24,29$	6	120	20.000
聲音	$25,28,34,21,26,31$	6	165	27.500
震動	$6,13,20,44,41,52$	6	176	29.333

單因子變異數分析的虛無假設為三種環境的母群平均數相等：

$$H_0:\mu_{\text{控制}}=\mu_{\text{聲音}}=\mu_{\text{震動}}$$ $$H_1:\text{至少有一組平均數不同}$$

各組內平方和可用 $\sum X^2-(\sum X)^2/n$ 計算：

$$SS_{\text{控制}}=2596-\frac{120^2}{6}=196$$ $$SS_{\text{聲音}}=4643-\frac{165^2}{6}=105.5$$ $$SS_{\text{震動}}=6926-\frac{176^2}{6}=1763.333$$

因此：

$$SS_{\text{組內}}=196+105.5+1763.333=2064.833$$