109 年 國立中正大學心理學系碩士班《心理與教育統計學》

核心觀念

本題考測量尺度的分類。常見的四種尺度如下：

1. 名義量尺（nominal scale）：只能分類與辨識，數值沒有大小順序，也不能進行有意義的加減。
2. 順序量尺（ordinal scale）：除了分類外，還具有高低或先後順序，但各級距離不一定相等。
3. 等距量尺（interval scale）：數值間距相等，但零點不代表「完全沒有」。
4. 比率量尺（ratio scale）：具有分類、順序、等距特性，且有絕對零點，因此可進行倍數比較。

解題方法

逐一判斷各選項所測量的變項：

• 若數值只是分類代號，屬於名義量尺。
• 若數值有先後次序，至少屬於順序量尺。
• 若測量的是重量、時間或數量，通常具有絕對零點，屬於比率量尺。

四個選項中，前三個選項以外的測量變項大多具有明確的數量意義，因此先排除比率量尺的選項，再比較剩餘選項。

選項分析

(A) 調查大學生在家中的出生序

出生序通常是以「老大、老二、老三」等類別表示。在本題的測驗脈絡中，出生序主要是將受試者分到不同類別，數字本身不是用來表示可加減的實際數量，因此最接近名義量尺。

本題在考驗標準常態分配 $N(0,1)$ 經過線性轉換後，其平均數、變異數及標準差的變化規則。
設一隨機變數 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，經過線性轉換 $Y = aX + b$，則：
平均數：$E(Y) = E(aX + b) = aE(X) + b = a\mu + b$
變異數：$Var(Y) = Var(aX + b) = a^2 Var(X) = a^2 \sigma^2$
標準差：$SD(Y) = \sqrt{Var(Y)} = \sqrt{a^2 \sigma^2} = |a| \sigma$

在此題中，我們處理的是標準常態分配 $N(0,1)$，即 $\mu = 0$ 且 $\sigma^2 = 1$，所以標準差 $\sigma = 1$。

我們逐一檢驗各選項：

(A) 若將 $N(0,1)$ 分配中每一個值除以 3 加上 3，轉換後新分配的變異數為 $1/9$。
此轉換可以表示為 $Y = \frac{1}{3}X + 3$。
其中 $a = 1/3$, $b = 3$, $X \sim N(0,1)$。
新分配的變異數為：$Var(Y) = a^2 Var(X) = (1/3)^2 \times 1 = (1/9) \times 1 = 1/9$。
選項 (A) 的敘述正確。

本題在考量何種抽樣方法最能代表「隨機抽樣」且能涵蓋中正大學的學生群體。隨機抽樣 (Random Sampling) 的目的是確保母群體中的每一個體都有機會被選入樣本，且機率是已知的、相等的。

(A) 午飯時間經過活動中心門口隨機找 100 位學生：
這個方法可能會有時間和地點的偏誤。例如，午飯時間在活動中心出沒的學生，可能多半是住宿生，或是住在附近宿舍的學生。而非住宿生、或是住在較遠宿舍的學生，被抽到的機率就較低。同時，這也無法涵蓋所有中正大學的學生。

(B) 周末時間在圖書館入口隨機找 100 位學生：
這個方法同樣有時間和地點的偏誤。周末時間在圖書館的學生，可能多半是需要趕報告或準備考試的學生，這與學生的整體分佈可能不同。此外，也不是所有學生都會去圖書館。

本題在考量樣本平均數的抽樣分配 (Sampling Distribution of the Sample Mean) 的特性。

根據中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT)，當樣本數 n 足夠大時 (通常 n ≥ 30)，不論母群體的分配形態如何，樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分配都會近似於常態分佈。

我們逐一檢驗各選項：

(A) 樣本平均數的抽樣分配為常態分佈。
這句話在母群體為常態分佈時，樣本數不論大小，樣本平均數的抽樣分配都是精確的常態分佈。若母群體非常態分佈，則當樣本數 n 夠大時 (CLT)，樣本平均數的抽樣分配近似於常態分佈。因此，這句話在大多數情況下是正確的，或至少是近似正確的。

(B) 樣本分配型態應近似母群分配。
這句話是錯誤的。樣本的分配型態 (Distribution of the Sample) 描述的是樣本中各個數值的分佈，而樣本平均數的抽樣分配 (Sampling Distribution of the Sample Mean) 描述的是從母群體中抽取多

本題在考量統計假設檢定的基本概念，包括型一錯誤、型二錯誤、統計檢定力以及結論的解釋。

我們逐一檢驗各選項：

(A) 型一錯誤 (Type I Error)，是指當虛無假設 ($H_0$) 為真時，我們卻拒絕了虛無假設。這個錯誤的機率通常用 $\alpha$ (顯著水準) 來表示。此敘述是正確的。

(B) 型二錯誤 (Type II Error)，是指當對立假設 ($H_1$) 為真 (即虛無假設 $H_0$ 為偽) 時，我們卻未能拒絕虛無假設 (保留虛無假設)。此敘述是正確的。

(C) 統計檢定力 (Statistical Power)，是指當對立假設 ($H_1$) 為真 (即虛無假設 $H_0$ 為偽) 時，我們成功拒絕虛無假設的機率。

核心觀念

本題考查：

1. 次數分配表的總次數、平均數、中位數與眾數。
2. 平均數、中位數與眾數判斷分配偏態。
3. 研究變項中依變項的意義。

相關公式如下：

$$\bar X=\frac{\sum fX}{N}$$

其中 $X$ 為分數，$f$ 為該分數的次數，$N=\sum f$ 為總人數。

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解題方法

先計算總次數：

$$N=3+1+5+8+6+12+13+10+15+9+8=90$$

計算加權總分：

$$\begin{aligned} \sum fX &=10(3)+11(1)+17(5)+18(8)+19(6)+20(12)\\ &\quad+21(13)+22(10)+23(15)+24(9)+25(8)\\ &=1878 \end{aligned}$$

因此平均數為：

$$\bar X=\frac{1878}{90}\approx20.87$$

接著計算累積次數：

分數	次數	累積次數
10	3	3
11	1	4
17	5	9
18	8	17
19	6	23
20	12	35
21	13	48
22	10	58
23	15	73
24	9	82
25	8	90

因為總次數為 $90$，中位數為第 $45$ 與第 $46$ 個觀察值的平均。第 $45$、第 $46$ 個觀察值都落在分數 $21$，所以：

$$\text{中位數}=21$$

眾數是次數最高所對應的分數。最高次數為 $15$，對應分數為 $23$，因此：

本題在考量信賴區間、p-value、顯著水準以及假設檢定的相關概念。

我們逐一檢驗各選項：

(A) 90%信賴區間會較 95%信賴區間窄。
信賴區間的寬度與信賴水準有關。信賴水準越高 (例如 95% vs 90%)，表示我們希望更高的信心來包含母群體參數，因此區間會越寬。反之，信賴水準越低 (例如 90% vs 95%)，區間會越窄。
對於常態分配，信賴區間的計算公式通常是：$\bar{X} \pm Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ (母群變異數已知) 或 $\bar{X} \pm t_{\alpha/2, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}$ (母群變異數未知)。
其中 $Z_{\alpha/2}$ 或 $t_{\alpha/2, n-1}$ 是與信賴水準相關的臨界值。
對於 95% 信賴區間，$\alpha = 0.05$，$\alpha/2 = 0.025$。
對於 90% 信賴區間，$\alpha = 0.10$，$\alpha/2 = 0.05$。
由於 $Z_{0.025} < Z_{0.05}$ (或 $t_{0.025, df} < t_{0.05, df}$)，因此 95% 信賴區間的寬度 $(\text{2} \times Z_{\alpha/2} \times SE)$ 會比 90% 信賴區間寬。
所以，90% 信賴區間會較 95% 信賴區間窄。此敘述是正確的。

(B) 顯著水準越小, p-value 也隨之越小。
顯著水準 ($\alpha$) 是我們在做決策時預設的拒絕虛無假設的標準。p-value 是在虛無假設為真的情況下，觀察到樣本結果或更極端結果的機率。
顯著水準和 p-value 是兩個獨立的概念，它們之間的關係是：

• 若 p-value < $\alpha$，則拒絕虛無假設。
• 若 p-value ≥ $\alpha$，則未能拒絕虛無假設。

本題在考量統計檢定力 (Statistical Power) 的影響因素。統計檢定力是指在虛無假設 ($H_0$) 為偽時，正確拒絕虛無假設的機率，即 $Power = 1 - \beta$，其中 $\beta$ 是型二錯誤的機率。檢定力越高，越能偵測到真實存在的效應。

我們逐一分析影響檢定力的因素：

(A) 增加樣本數 (n)：
當樣本數 n 增加時，標準誤 (Standard Error, SE) 會減小 (例如 $\sigma_{\bar{X}} = \sigma/\sqrt{n}$)。標準誤減小意味著抽樣分佈的變異性降低，這使得兩個分佈 (虛無假設下的分佈和對立假設下的分佈) 之間的距離相對變大，更容易將它們區分開來，從而增加檢定力。此選項是正確的。

(B) 降低顯著水準 ($\alpha$)：
顯著水準 $\alpha$ 是型一錯誤的機率。降低 $\alpha$ (例如從 0.05 降到 0.01) 意味著我們對拒絕虛無假設的要求更嚴格。

本題在考量 z 分數 (z-score) 的特性。z 分數是一種將原始分數轉換成標準分數的方法，用來衡量一個分數距離其平均數有多少個標準差。

我們逐一檢驗各選項：

(A) 某分配經 z 分數轉換後形成 z 分配。
嚴格來說，z 分數轉換會將任何原始分數的分配轉換成一個平均數為 0，標準差為 1 的分配。這個轉換後的分配通常被稱為「標準化分配」(Standardized Distribution)。如果原始分配是常態分配，那麼轉換後的 z 分配也是標準常態分配 $N(0,1)$。
選項 (A) 說「形成 z 分配」，這是不夠精確的。更準確的說法是「形成標準化分配」或「標準常態分配」(如果原始分配是常態)。
然而，在許多教材中，會簡稱為「z 分配」或「標準常態分配」。
這個選項本身可能不是最嚴重的錯誤。

(B) z 分數可用來判斷原始分數是否高或低於平均數。
z 分數的定義是 $z = (X - \mu) / \sigma$。
如果 $z > 0$，表示原始分數 $X > \mu$ (高於平均數)。
如果 $z < 0$，表示原始分數 $X < \mu$ (低於平均數)。
如果 $z = 0$，表示原始分數 $X = \mu$ (等於平均數)。
所以，z 分數可以清楚地指示原始分數相對於平均數的位置。此敘述是正確的。

本題在考量樣本數增加對樣本統計量及其抽樣分配的影響。

我們逐一檢驗各選項：

(A) 樣本平均數應該與原來差不多。
當樣本數 n 增加時，樣本平均數 $\bar{X}$ 的值可能會改變，但它仍然是母群平均數 $\mu$ 的一個估計值。中央極限定理告訴我們，樣本平均數的抽樣分配會趨近於常態，且平均數為 $\mu$。從某個單一樣本來看，增加樣本數 n，樣本平均數 $\bar{X}$ 的值可能會變化，但它仍然是圍繞著母群平均數 $\mu$ 波動。這句話的意思是，增加樣本數本身不會系統性地改變樣本平均數的值，它依然是母群平均數的一個估計。這句話可以理解為正確的。

(B) 樣本變異數應該與原來差不多。
樣本變異數 $s^2$ 是用來估計母群變異數 $\sigma^2$ 的。當樣本數 n 增加時，樣本變異數 $s^2$ 的值也可能改變，但它仍然是母群變異數 $\sigma^2$ 的一個估計值。

核心觀念

本題考查：

1. Pearson 積差相關係數 $r$：衡量複習時數 $X$ 與期末成績 $Y$ 的線性關聯方向與程度。
2. 簡單線性迴歸：以複習時數預測期末成績。
3. 相關係數與迴歸斜率的顯著性檢定。
4. 線性迴歸分析的基本假設。

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一、分析前應確認的假設

進行 Pearson 相關與簡單線性迴歸前，應確認：

1. 變項尺度適當：複習時數與期末成績皆為連續變項。
2. 觀察值彼此獨立：每位同學的資料不應互相影響；題目以隨機抽樣取得資料，有助於符合此假設。
3. 線性關係：複習時數與成績間應大致呈直線關係，可用散佈圖檢查。
4. 常態性：若要進行顯著性檢定，通常假設誤差近似常態；在相關分析中則常要求兩變項具有聯合常態性。
5. 變異數同質性：不同複習時數下，成績的誤差變異應大致相同。
6. 無嚴重離群值或具支配性的極端值：Pearson $r$ 與迴歸線容易受到極端觀察值影響。

簡單線性迴歸的模型可寫為：

$$Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+\varepsilon_i$$

其中誤差項通常假設彼此獨立、平均數為 $0$、具有相同變異數，且近似常態分配。

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二、計算相關係數

令：

• $X$：複習時數
• $Y$：期末成績
• $n=10$

原始資料的摘要如下：

$$\sum X=26,\qquad \sum Y=700$$ $$\sum X^2=102,\qquad \sum Y^2=50600$$ $$\sum XY=2015$$

先計算離均差平方和與離均差乘積和：

$$S_{XX}=\sum X^2-\frac{(\sum X)^2}{n} =102-\frac{26^2}{10} =34.4$$ $$S_{YY}=\sum Y^2-\frac{(\sum Y)^2}{n} =50600-\frac{700^2}{10} =1600$$ $$S_{XY}=\sum XY-\frac{(\sum X)(\sum Y)}{n} =2015-\frac{26(700)}{10} =195$$

Pearson 積差相關係數為：

$$r=\frac{S_{XY}}{\sqrt{S_{XX}S_{YY}}}$$

代入得：

$$r=\frac{195}{\sqrt{34.4(1600)}} =\frac{195}{\sqrt{55040}} \approx 0.831$$

因此，複習時數與期末成績呈現高度正相關。複習時數越多，期末成績通常越高。

相關的決定係數為：

$$R^2=r^2\approx (0.831)^2\approx 0.691$$

表示在此樣本中，成績變異約有 $69.1\%$ 可由複習時數的線性關係解釋。但這不代表複習時數必然造成成績提高，因為相關不等於因果。

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三、建立簡單線性迴歸線

迴歸線形式為：

$$\hat{Y}=a+bX$$

其中斜率：

$$b=\frac{S_{XY}}{S_{XX}} =\frac{195}{34.4} \approx 5.669$$

截距：

核心觀念

本題考查「混合設計變異數分析」與「重複量數資料的自由度」。

研究中有：

• 組間因素：教學法，共 $4$ 組（A、B、C、D）。
• 組內因素：測驗時間，共 $5$ 個時間點（前測、四次後測）。
• 受試者人數：$4\times30=120$ 人。
• 每位學童接受 $5$ 次測量，因此同一學童的五筆成績彼此相關，不能視為 $600$ 個彼此獨立的觀察值。

原分析把所有測量值當成獨立資料，將誤差自由度統一設為 $580$，忽略了「同一受試者重複測量」所造成的相關性，因此分析錯誤。

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解題方法

一、總自由度

總觀察值為：

$$N=4\times30\times5=600$$

因此總自由度為：

$$df_{\text{Total}}=600-1=599$$

混合設計 ANOVA 的自由度分解如下：

$$df_{\text{Total}} = df_{\text{教學法}} + df_{\text{受試者（教學法內）}} + df_{\text{測驗時間}} + df_{\text{教學法}\times\text{測驗時間}} + df_{\text{測驗時間}\times\text{受試者（教學法內）}}$$

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二、教學法主效應

教學法有 $4$ 組，因此：

$$df_{\text{教學法}}=4-1=3$$

教學法主效應的誤差來源是「受試者嵌套於教學法內」的變異。

每組有 $30$ 位受試者，因此每組的受試者自由度為：

$$30-1=29$$

四組合計：

$$df_{\text{受試者（教學法內）}} = 4(30-1) = 4\times29 = 116$$

所以教學法主效應為：

$$F_{\text{教學法}} = \frac{MS_{\text{教學法}}} {MS_{\text{受試者（教學法內）}}}$$

其自由度為：

$$\boxed{F(3,116)}$$

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三、測驗時間主效應

測驗時間有 $5$ 個水準，因此：

$$df_{\text{測驗時間}}=5-1=4$$

測驗時間是同一批受試者的重複測量，其誤差項為「測驗時間 × 受試者（教學法內）」。

因此：

$$df_{\text{測驗時間}\times\text{受試者（教學法內）}} = df_{\text{受試者（教學法內）}} \times df_{\text{測驗時間}}$$ $$=116\times4=464$$

所以測驗時間主效應為：

本題考驗卡方檢定 (Chi-square test for independence) 的應用，用於判斷兩個類別變項之間是否存在關聯。在此題中，兩個類別變項分別是「年齡群」 (年長者 vs. 年輕人) 和「總統候選人支持度」 (蔡英文, 韓國瑜, 宋楚瑜, 未決定)。

1. 設定假設：

• 虛無假設 ($H_0$)：年齡群與總統候選人支持度之間沒有關聯 (獨立)。
• 對立假設 ($H_1$)：年齡群與總統候選人支持度之間有關聯 (不獨立)。

2. 計算邊際總計與總樣本數：

	蔡英文	韓國瑜	宋楚瑜	未決定	列總計
年長者	230	186	100	116	632
年輕人	192	92	34	80	398
行總計	422	278	134	196	1030

總樣本數 $N = 1030$。

3. 計算預期次數 (Expected Frequencies, $E_{ij}$)：
預期次數的計算公式為：$E_{ij} = \frac{(\text{該列總計}) \times (\text{該行總計})}{N}$

• 年長者 vs. 蔡英文：$E_{11} = \frac{632 \times 422}{1030} \approx 259.99$

• 年長者 vs. 韓國瑜：$E_{12} = \frac{632 \times 278}{1030} \approx 170.61$

• 年長者 vs. 宋楚瑜：$E_{13} = \frac{632 \times 134}{1030} \approx 82.48$

• 年長者 vs. 未決定：$E_{14} = \frac{632 \times 196}{1030} \approx 120.92$

• 年輕人 vs. 蔡英文：$E_{21} = \frac{398 \times 422}{1030} \approx 162.01$

• 年輕人 vs. 韓國瑜：$E_{22} = \frac{398 \times 278}{1030} \approx 107.39$

• 年輕人 vs. 宋楚瑜：$E_{23} = \frac{398 \times 134}{1030} \approx 51.52$

• 年輕人 vs. 未決定：$E_{24} = \frac{398 \times 196}{1030} \approx 75.08$

(注意：計算時四捨五入，各列總計和應等於觀察值列總計。)

4. 計算卡方統計量 ($\chi^2$)：
卡方統計量的計算公式為：$\chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$

• 年長者 vs. 蔡英文：$\frac{(230 - 259.99)^2}{259.99} \approx \frac{(-29.99)^2}{259.99} \approx \frac{899.4}{259.99} \approx 3.46$

本題為單因子變異數分析 (One-Way ANOVA) 的應用，需要根據表格填補缺失的資訊，並根據 ANOVA 結果進行結論。

1. 填補表格：

首先，我們需要確定各項的自由度 (df)。

• 組別數 (Number of groups, k)：有四組 (控制組、低劑量、中劑量、高劑量)，所以 $k=4$。

• 樣本數 (Total number of observations, N)：每組 8 隻大鼠，共 $N = 4 \times 8 = 32$ 隻。

• 藥物組 (Treatment/Drug) 的自由度 (df_treatment)：
  $df_{treatment} = k - 1 = 4 - 1 = 3$。

• 殘差組 (Residual/Error) 的自由度 (df_residual)：
  $df_{residual} = N - k = 32 - 4 = 28$。

• 總計 (Total) 的自由度 (df_total)：
  $df_{total} = N - 1 = 32 - 1 = 31$。
  驗證：$df_{treatment} + df_{residual} = 3 + 28 = 31 = df_{total}$。

表格填補如下：

	自由度 (df)	Sum of Square (SS)	Mean Square (MS)	F值	p值
藥物	3	899
殘差	28	4910
總計	31

接著計算 Mean Square (MS)。

• 藥物組的 MS (MS_treatment)：
  $MS_{treatment} = \frac{SS_{treatment}}{df_{treatment}} = \frac{899}{3} \approx 299.67$。

• 殘差組的 MS (MS_residual)：
  $MS_{residual} = \frac{SS_{residual}}{df_{residual}} = \frac{4910}{28} \approx 175.36$。

表格繼續填補：

	自由度 (df)	Sum of Square (SS)	Mean Square (MS)	F值	p值
藥物	3	899	299.67
殘差	28	4910	175.36
總計	31

然後計算 F 值。

• F 值：
  $F = \frac{MS_{treatment}}{MS_{residual}} = \frac{299.67}{175.36} \approx 1.709$。

表格繼續填補：

	自由度 (df)	Sum of Square (SS)	Mean Square (MS)	F值	p值
藥物	3	899	299.67	1.71