114 年 國立成功大學都市計畫學系碩士班甲組《規劃分析方法》

重力模式（Gravity Model）是一種用於預測不同區域之間旅次（或流量）的空間交互作用模型。其基本概念是，兩個區域之間的吸引力與它們的「質量」（如人口、就業機會）成正比，與它們之間的距離（或旅行時間、成本）的某個函數成反比，類似於牛頓萬有引力定律。

重力模式的數學式：

最常見的重力模式形式為：
$T_{ij} = K \frac{P_i^a M_j^b}{d_{ij}^c}$
其中：

• $T_{ij}$：表示從區域 $i$ 到區域 $j$ 的旅次量（或流量）。
• $K$：是一個常數，用於調整整個系統的旅次總量，使其符合實際觀察值或預期值。
• $P_i$：表示區域 $i$ 的「生產力」或「質量」（例如，區域 $i$ 的人口數、就業機會數、GDP 等，代表旅次的來源）。
• $M_j$：表示區域 $j$ 的「引力」或「質量」（例如，區域 $j$ 的人口數、就業機會數、吸引力等，代表旅次的目的地）。
• $a$ 和 $b$：是分別代表生產力和引力質量對旅次量影響的指數（通常取為 1，但可根據實際情況調整）。
• $d_{ij}$：表示區域 $i$ 和區域 $j$ 之間的距離（或旅行時間、旅行成本等阻抗因素）。
• $c$：是代表距離（或阻抗）對旅次量影響的指數（通常大於 0，表示距離越遠，旅次量越少）。

數學式中各組成部分的意義：

• $T_{ij}$：代表了空間上兩個節點（區域）之間的連結強度，在交通規劃中常用來預測通勤、購物、旅遊等旅次。
• $P_i$ 和 $M_j$：代表了產生和吸引旅次的潛力。通常，人口越多、就業機會越多的區域，其產生的旅次越多（$P_i$），同時也越能吸引外來的旅次（$M_j$）。
• $d_{ij}$：代表了旅行的阻力。距離越遠，旅行時間或成本越高，人們通常越不願意進行跨區域的旅行。指數 $c$ 的大小反映了旅行阻力對旅次量的敏感度。
• $K$：是一個比例常數，用於確保模型預測的總旅次量與實際觀察到的總旅次量相符，或滿足特定約束條件（如總產出等於總輸入）。

重力模式在應用時的注意事項：

本題考驗最小平方法求解迴歸直線以及計算殘差的能力。

首先，我們需要計算樣本的平均值。
共有 $n=5$ 組數據。
$\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = \frac{15}{5} = 3$
$\bar{y} = \frac{3+5+7+7+9}{5} = \frac{31}{5} = 6.2$

接下來，我們計算迴歸直線的斜率 $\beta$。
$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 = (1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^2$
$= (-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2$
$= 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10$

$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = (1-3)(3-6.2) + (2-3)(5-6.2) + (3-3)(7-6.2) + (4-3)(7-6.2) + (5-3)(9-6.2)$
$= (-2)(-3.2) + (-1)(-1.2) + (0)(0.8) + (1)(0.8) + (2)(2.8)$
$= 6.4 + 1.2 + 0 + 0.8 + 5.6$
$= 14$

所以，斜率 $\beta = \frac{14}{10} = 1.4$。

(1) 以最小平方法求 $y$ 對 $x$ 的迴歸式

經濟基礎分析法（Economic Base Analysis, EBA）是一種用於分析區域經濟結構、預測經濟增長和規劃的傳統方法。其核心思想是將區域經濟活動區分為「基礎性產業」（Basic Industries）和「非基礎性產業」（Non-basic Industries 或 Service Industries）。

何謂經濟基礎分析法？

1. 基礎性產業 (Basic Industries)： 指那些生產的產品或服務是為了滿足區域外部市場需求的產業。這些產業的活動為區域帶來了外部的收入（例如，出口、吸引觀光客的消費）。基礎性產業的增長被認為是區域經濟增長的「引擎」。
2. 非基礎性產業 (Non-basic Industries)： 指那些生產的產品或服務主要為了滿足區域內部居民和企業需求的產業。這些產業的活動是為基礎性產業的就業人口和居民提供服務，例如零售業、餐飲業、醫療、教育、公共服務等。

經濟基礎分析法的基本假設是，區域經濟的發展和就業規模主要由基礎性產業的增長所驅動。基礎性產業的就業增加，會進一步帶動對非基礎性產業產品和服務的需求，從而創造更多的非基礎性產業就業。這種連鎖效應可以用一個「經濟基礎乘數」（Economic Base Multiplier）來衡量。

經濟基礎乘數的計算：

最簡單的計算方式是：
$\text{Multiplier} = \frac{\text{Total Employment}}{\text{Basic Employment}}$
或者
$\text{Multiplier} = \frac{\text{Total Income}}{\text{Basic Income}}$
有了乘數後，就可以預測基礎性產業就業的變化對總就業的影響：
$\Delta \text{Total Employment} = \text{Multiplier} \times \Delta \text{Basic Employment}$

使用經濟基礎分析法的注意事項：

1. 產業分類的困難性： 區分基礎性產業和非基礎性產業是 EBA 的關鍵步驟，但往往非常困難。一個產業的產品可能同時供給內部和外部市場，其「基礎性」程度難以精確界定。常見的分類方法有：

本題考驗計算不同折現率下的淨現值（Net Present Value, NPV）以及進行方案可行性評估的能力。

首先，我們需要理解表格中的各項數據：

• $t$：表示時間期數（年）。
• $C_t$：表示在時間期 $t$ 的成本（Cost）。
• $B_t$：表示在時間期 $t$ 的效益（Benefit）。
• $r_t$：表示在時間期 $t$ 的折現率（Discount Rate）。注意折現率在第 0-2 年和第 3-4 年不同。

淨現值（NPV）的計算公式為：
$NPV = \sum_{t=0}^{n} \frac{B_t - C_t}{(1+r_t)^t}$
其中 $n$ 為總期數。在此題中，$n=4$。

計算淨現值 (NPV)：

我們將分段計算，因為折現率在不同時期是不同的。

• 時間期 $t=0$：
  $\frac{B_0 - C_0}{(1+r_0)^0} = \frac{0 - 160}{(1+0)^0} = \frac{-160}{1} = -160$

• 時間期 $t=1$：
  $\frac{B_1 - C_1}{(1+r_1)^1} = \frac{60 - 10}{(1+0.04)^1} = \frac{50}{1.04} \approx 48.0769$

• 時間期 $t=2$：
  $\frac{B_2 - C_2}{(1+r_2)^2} = \frac{60 - 10}{(1+0.04)^2} = \frac{50}{1.04^2} = \frac{50}{1.0816} \approx 46.2270$

• 時間期 $t=3$：
  $\frac{B_3 - C_3}{(1+r_3)^3} = \frac{60 - 10}{(1+0.05)^3} = \frac{50}{1.05^3} = \frac{50}{1.157625} \approx 43.1918$

• 時間期 $t=4$：
  $\frac{B_4 - C_4}{(1+r_4)^4} = \frac{60 - 10}{(1+0.05)^4} = \frac{50}{1.05^4} = \frac{50}{1.21550625} \approx 41.1365$

將各期淨現金流量加總，得到總淨現值：
$NPV = -160 + 48.0769 + 46.2270 + 43.1918 + 41.1365$