109 年 國立清華大學工程與系統科學系碩士班丙組《近代物理》

核心觀念

1. 粒子能量與相對論效應檢驗：

   • 質子的靜止質量能量約為： $$E_0 = m_p c^2 \approx 938\text{ MeV}$$
   • 當質子的動能 $K = 10\text{ MeV} \ll E_0$（$K/E_0 \approx 10/938 \approx 1.07\%$）時，相對論修正極小（$\gamma \approx 1.01$），可以直接使用非相對論性動能公式進行估算，所得結果的誤差遠小於題目要求的 10% 不確定度。

2. 動能與速度的關係：

   • 非相對論動能： $$K = \frac{1}{2} m_p v^2 \implies v = \sqrt{\frac{2K}{m_p}} = c\sqrt{\frac{2K}{m_p c^2}}$$
   • 單位換算：$1\text{ eV} = 1.60 \times 10^{-19}\text{ J}$，$1\text{ MeV} = 10^6\text{ eV} = 1.60 \times 10^{-13}\text{ J}$。

---

解題方法

1. 題目資訊篩選：

   • 出口能量（Exit kinetic energy）：$K = 10\text{ MeV}$。
   • 入射動能（3 eV）、RF 加速電壓振幅（1000 V）、加速縫隙寬度（10 mm）等資訊，僅為迴旋加速器的運作細節參數，決定的是質子在加速器內迴旋加速的圈數（次數），與最終出口處已達到的動能 $10\text{ MeV}$ 對應的速度無關。計算出口速度時，只需專注於最終動能 $K$。

2. 數值計算推導：

   • 質子出口動能轉為國際標準制（SI）單位： $$K = 10\text{ MeV} = 10 \times 10^6 \times 1.60 \times 10^{-19}\text{ J} = 1.60 \times 10^{-12}\text{ J}$$
   • 代入動能速度關係式： $$v = \sqrt{\frac{2K}{m_p}}$$
   • 代入已知常數（$m_p = 1.67 \times 10^{-27}\text{ kg}$）：

核心觀念

1. 康普頓效應（Compton Effect）與波長位移：
   入射光子與靜止電子發生彈性碰撞時，散射光子的波長變長，其波長變化量滿足康普頓公式：

   $$\lambda' - \lambda_0 = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)$$

   其中 $\theta$ 為光子的散射角，$m_e c^2$ 為電子的靜止能量。康普頓波長定義為 $\lambda_C = \frac{h}{m_e c}$。

2. 能量守恆與反衝電子動能：
   光子能量 $E = \frac{hc}{\lambda}$。由能量守恆定律，轉移給反衝電子的動能 $K_e$ 為入射光子能量 $E_0$ 與散射光子能量 $E'$ 之差：

   $$K_e = E_0 - E'$$

3. 康普頓邊緣（Compton Edge）：
   在輻射偵測（如高純鍺偵檢器 HPGe）的光譜中，當散射 $\gamma$ 射線完全逸出偵檢器、僅有反衝電子將動能完全沉積在偵檢器中時，反衝電子的動能具有一個理論最大值，此能量截斷點稱為「康普頓邊緣」（Compton edge）。該最大動能對應於光子發生「完全背向散射」（$\theta = 180^\circ$）的情況。

---

解題方法

步驟一：計算電子的靜止能量 $m_e c^2$

由題目給定之基本物理常數：

• $m_e = 9.11 \times 10^{-31}\text{ kg}$
• $c = 3.00 \times 10^8\text{ m/s}$
• $e = 1.60 \times 10^{-19}\text{ C}$

電子的靜止能量為：

$$m_e c^2 = (9.11 \times 10^{-31}\text{ kg}) \times (3.00 \times 10^8\text{ m/s})^2 = 8.199 \times 10^{-14}\text{ J}$$

轉換為千電子伏特（$\text{keV}$）：

$$m_e c^2 = \frac{8.199 \times 10^{-14}\text{ J}}{1.60 \times 10^{-19}\text{ J/eV}} \approx 512.44\text{ keV}$$

（若直接引用物理學常用標準值 $m_e c^2 \approx 511\text{ keV}$ 亦可，以下推導兩者皆予呈現）

步驟二：推導散射光子能量與反衝電子動能之關係式

入射光子波長 $\lambda_0 = \frac{hc}{E_0}$，散射光子波長 $\lambda' = \frac{hc}{E'}$。代入康普頓公式：

$$\frac{hc}{E'} - \frac{hc}{E_0} = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)$$

兩邊同除以 $hc$：

$$\frac{1}{E'} = \frac{1}{E_0} + \frac{1 - \cos\theta}{m_e c^2} = \frac{m_e c^2 + E_0(1 - \cos\theta)}{E_0 m_e c^2}$$

解得散射光子能量 $E'$ 為：

$$E' = \frac{E_0}{1 + \frac{E_0}{m_e c^2}(1 - \cos\theta)}$$

反衝電子的動能 $K_e$ 為：

$$K_e = E_0 - E' = E_0 \left[ 1 - \frac{1}{1 + \frac{E_0}{m_e c^2}(1 - \cos\theta)} \right] = \frac{E_0 \cdot \frac{E_0}{m_e c^2}(1 - \cos\theta)}{1 + \frac{E_0}{m_e c^2}(1 - \cos\theta)}$$

步驟三：求反衝電子的最大動能 $K_{e, \max}$

當反衝電子動能最大時，散射光子必須帶走最小能量，此情況發生在光子發生 $180^\circ$ 背向散射（backscattering）：

$$\theta = 180^\circ \implies \cos(180^\circ) = -1 \implies (1 - \cos\theta) = 2$$

此時散射光子的最小能量 $E'_{\min}$ 為：

核心觀念

1. 德布羅意波長（de Broglie Wavelength）：
   任何具動量 $p$ 的粒子均具有波動性，其物質波波長定義為： $$\lambda = \frac{h}{p}$$
2. 電子經電位差加速所獲得的動能：
   電子（電荷量大小為 $e$）從靜止經電位差 $V$ 加速後，電位能轉化為動能 $K$： $$K = e V$$
3. 相對論效應判斷準則：
   電子的靜止能量為： $$E_0 = m_e c^2 = (9.11 \times 10^{-31}\text{ kg}) \times (3.00 \times 10^8\text{ m/s})^2 \approx 8.20 \times 10^{-14}\text{ J} \approx 512.4\text{ keV}$$
   • 當動能 $K \ll m_e c^2$（通常 $K < 0.01 m_e c^2 \approx 5\text{ keV}$）時，可使用非相對論力學： $$p = \sqrt{2 m_e K}$$
   • 當動能 $K$ 與靜止能量 $m_e c^2$ 具備可比較的量級時（例如本題 (b) 的 $K = 200\text{ keV}$，已達靜止能量的約 $39\%$），必須使用狹義相對論力學： $$E^2 = (p c)^2 + (m_e c^2)^2 = (K + m_e c^2)^2$$ 推得相對論動量為： $$p = \frac{\sqrt{K(K + 2 m_e c^2)}}{c}$$

---

解題方法

(a) 加速電位差 $V = 50\text{ V}$

1. 能量分析與適用模型：
   電子的動能為：

   $$K = 50\text{ eV}$$

   相較於電子的靜止能量 $m_e c^2 \approx 512\text{ keV}$，$K \ll m_e c^2$，相對論修正量小於 $0.01\%$，故採用非相對論公式即可。

2. 動量計算：

   $$p = \sqrt{2 m_e e V}$$

   帶入題目所給常數數值：

   $$p = \sqrt{2 \times (9.11 \times 10^{-31}\text{ kg}) \times (1.60 \times 10^{-19}\text{ C}) \times 50\text{ V}}$$ $$p = \sqrt{1.4576 \times 10^{-47}} \approx 3.818 \times 10^{-24}\text{ kg}\cdot\text{m/s}$$

3. 德布羅意波長計算：

   $$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6.63 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}}{3.818 \times 10^{-24}\text{ kg}\cdot\text{m/s}} \approx 1.74 \times 10^{-10}\text{ m} = 0.174\text{ nm} = 1.74\text{ \AA}$$

---

(b) 加速電位差 $V = 200,000\text{ V} = 200\text{ kV}$

1. 能量分析與適用模型：
   電子的動能為：

   $$K = e V = (1.60 \times 10^{-19}\text{ C}) \times (2.00 \times 10^5\text{ V}) = 3.20 \times 10^{-14}\text{ J} = 200\text{ keV}$$

   電子靜止能量為：

   $$E_0 = m_e c^2 = (9.11 \times 10^{-31}\text{ kg}) \times (3.00 \times 10^8\text{ m/s})^2 = 8.199 \times 10^{-14}\text{ J}$$

   動能與靜止能量之比為 $K / E_0 \approx 0.39$（約 $39\%$），相對論效應不可忽略，必須採用相對論力學計算動量。

2. 相對論動量計算：
   利用相對論能量—動量關係式：

   $$(p c)^2 = (K + E_0)^2 - E_0^2 = K(K + 2 E_0)$$

   帶入數值：

核心觀念

本題考查**物質波（de Broglie 物質波）的基本性質與自由粒子（Free particle）**的能量動量關係：

1. 平面波函數的形式：
   一維沿 $+x$ 方向傳遞的平面物質波波函數一般式為：

   $$\Psi(x, t) = A e^{i(kx - \omega t)}$$

   其中 $k$ 為波數（wave number），$\omega$ 為角頻率（angular frequency）。

2. 德布羅意關係式（de Broglie Relations）：

   • 粒子的動量： $$p = \hbar k = \frac{h}{2\pi} k$$
   • 粒子的總能量（量子化能量）： $$E = \hbar \omega = \frac{h}{2\pi} \omega$$

3. 非相對論性自由粒子的色散關係（Dispersion Relation）：
   對於質量為 $m$ 的非相對論性自由粒子，勢能 $V(x) = 0$，其動能即為總能量：

   $$E = \frac{p^2}{2m}$$

   代入量子關係式 $E = \hbar\omega$ 與 $p = \hbar k$：

   $$\hbar\omega = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \implies m = \frac{\hbar k^2}{2\omega} = \frac{h k^2}{4\pi \omega}$$

---

解題方法

1. 提取波函數參數：
   對比題目給定的平面波函數：

   $$\Psi(x,t) = A e^{i(2.8 \times 10^{11}x - 2.0 \times 10^{13}t)}$$

   可得：

   • $k = 2.8 \times 10^{11} \text{ m}^{-1}$
   • $\omega = 2.0 \times 10^{13} \text{ s}^{-1}$

2. 帶入自由粒子的質量公式：

   $$m = \frac{h k^2}{4\pi \omega}$$

   代入題目共用題幹給定的常數 $h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$ 與 $\pi \approx 3.1416$：

核心觀念

本題的核心觀念為一維無限深位能井（One-dimensional Infinite Potential Well / Particle in a Box）之能階量子化與波耳躍遷輻射公式（Bohr frequency/wavelength condition）。

1. 一維無限深位能井中的電子能階：
   長度（寬度）為 $L$ 的一維無限深對稱/硬壁位能井，電子的定態能量為：

   $$E_n = \frac{n^2 h^2}{8 m L^2}, \quad n = 1, 2, 3, \dots$$

   其中 $m$ 為電子質量，$h$ 為普朗克常數。

2. 能階躍遷與光子輻射：
   電子從高能階 $n=2$ 躍遷至低能階 $n=1$ 時，釋放的光子能量等於兩能階差：

   $$\Delta E = E_2 - E_1 = \frac{h c}{\lambda}$$

   其中 $c$ 為真空光速，$\lambda$ 為釋放光子的波長。

---

解題方法

1. 推導兩能階差與井寬 $L$ 的關係：
   由能階公式計算 $n=2$ 與 $n=1$ 的能量差：

   $$\Delta E = E_2 - E_1 = \frac{(2^2 - 1^2) h^2}{8 m L^2} = \frac{3 h^2}{8 m L^2}$$

2. 聯立光子能量方程式：
   將能階差與光子能量相等：

   $$\frac{3 h^2}{8 m L^2} = \frac{h c}{\lambda}$$

   兩邊消去一個 $h$：

   $$\frac{3 h}{8 m L^2} = \frac{c}{\lambda}$$

3. 解出井寬 $L$ 的解析表示式：

   $$L^2 = \frac{3 h \lambda}{8 m c} \implies L = \sqrt{\frac{3 h \lambda}{8 m c}}$$

4. 代入題幹給定的常數數值：

   • $h = 6.63 \times 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$
   • $c = 3.00 \times 10^8\ \text{m/s}$
   • $m = 9.11 \times 10^{-31}\ \text{kg}$
   • $\lambda = 694\ \text{nm} = 694 \times 10^{-9}\ \text{m}$

   先計算根號內的各項數值：

   • 分子： $$3 h \lambda = 3 \times (6.63 \times 10^{-34}) \times (694 \times 10^{-9}) \approx 1.38038 \times 10^{-39}\ \text{J}^2\cdot\text{s}^2$$
   • 分母：

核心觀念

在多電子原子中，由於電子之間的庫侖排斥作用以及內層電子對外層電子的屏蔽效應（Shielding effect），副殼層（Subshell）的能量不再僅由主量子數 $n$ 決定，而是同時取決於主量子數 $n$ 與角動量量子數（軌域角動量）$l$。

多電子原子基態之副殼層能量排列遵循構築原理（Aufbau principle）與馬德隆規則（Madelung energy ordering rule，又稱 $(n+l)$ 規則）：

1. 第一準則：副殼層能量隨 $(n+l)$ 數值的增加而上升。$(n+l)$ 較小者，能量較低，電子優先填入。
2. 第二準則：若兩副殼層之 $(n+l)$ 數值相同，則主量子數 $n$ 較小者，穿透效應（Penetration effect）較顯著，受核電荷吸引較強，其能量較低。

角動量量子數符號對應關係：

• $\text{s}$ 軌域：$l = 0$
• $\text{p}$ 軌域：$l = 1$
• $\text{d}$ 軌域：$l = 2$
• $\text{f}$ 軌域：$l = 3$

---

解題方法

本題要求寫出從 $\text{1s}$ 到 $\text{5d}$ 的副殼層能量由低至高之完整排列順序。我們計算各副殼層的 $(n+l)$ 值並依準則排序：

1. $(n+l) = 1$：

   • $\text{1s}$：$n=1, l=0 \implies n+l = 1$

2. $(n+l) = 2$：

   • $\text{2s}$：$n=2, l=0 \implies n+l = 2$

3. $(n+l) = 3$：

   • $\text{2p}$：$n=2, l=1 \implies n+l = 3$
   • $\text{3s}$：$n=3, l=0 \implies n+l = 3$
   • （兩者 $n+l$ 相同，$n$ 較小的 $\text{2p}$ 能量低於 $\text{3s}$）

4. $(n+l) = 4$：

   • $\text{3p}$：$n=3, l=1 \implies n+l = 4$
   • $\text{4s}$：$n=4, l=0 \implies n+l = 4$
   • （兩者 $n+l$ 相同，$n$ 較小的 $\text{3p}$ 能量低於 $\text{4s}$）

5. $(n+l) = 5$：

   • $\text{3d}$：$n=3, l=2 \implies n+l = 5$
   • $\text{4p}$：$n=4, l=1 \implies n+l = 5$
   • $\text{5s}$：$n=5, l=0 \implies n+l = 5$
   • （依 $n$ 遞增排序：$\text{3d} < \text{4p} < \text{5s}$）

6. $(n+l) = 6$：

   • $\text{4d}$：$n=4, l=2 \implies n+l = 6$
   • $\text{5p}$：$n=5, l=1 \implies n+l = 6$

核心觀念

本題評量原子物理中**電子角動量耦合（Angular Momentum Coupling）與量子態表象（Representation / Basis）**的核心概念：

1. 未耦合表象（Uncoupled Representation）：
   • 量子數為 $\{n, l, m_l, m_s\}$。
   • 對應的基底為軌域角動量與自旋角動量的直積態 $|l, m_l\rangle \otimes |s, m_s\rangle$（通常省略固定的 $s = 1/2$）。
   • 其共同對易算符集合（CSCO）為 $\{\hat{H}_0, \hat{L}^2, \hat{S}^2, \hat{L}_z, \hat{S}_z\}$。
2. 耦合表象（Coupled Representation）：
   • 量子數為 $\{n, l, j, m_j\}$。
   • 對應的基底為全角動量態 $|l, s, j, m_j\rangle$，其中總角動量算符定義為 $\hat{\mathbf{J}} = \hat{\mathbf{L}} + \hat{\mathbf{S}}$。
   • 其共同對易算符集合（CSCO）為 $\{\hat{H}_0 + \hat{H}_{so}, \hat{L}^2, \hat{S}^2, \hat{J}^2, \hat{J}_z\}$。
3. 自旋-軌道耦合交互作用（Spin-Orbit Interaction）：
   • 哈密頓量微擾項為 $\hat{H}_{so} = f(r)\hat{\mathbf{L}} \cdot \hat{\mathbf{S}}$。
   • 由於 $\hat{\mathbf{L}} \cdot \hat{\mathbf{S}} = \frac{1}{2}(\hat{J}^2 - \hat{L}^2 - \hat{S}^2)$，在此交互作用下： $$[\hat{H}_{so}, \hat{J}^2] = 0, \quad [\hat{H}_{so}, \hat{J}_z] = 0$$ 但： $$[\hat{H}_{so}, \hat{L}_z] \neq 0, \quad [\hat{H}_{so}, \hat{S}_z] \neq 0$$
   • 因此在考慮此效應時，$m_l$ 與 $m_s$ 不再是守恆好量子數（good quantum numbers），而必須改用總角動量量子數 $j$ 與 $m_j$。

---

解題方法

1. 兩組量子數的本質差異

• 集合一 $\{n, l, m_l, m_s\}$（未耦合態）：
  • 適用於忽略自旋-軌道交互作用（或外加強磁場產生巴申-巴克效應 Paschen-Back effect）的情形。
  • 此時軌域運動與自旋運動彼此獨立，$\hat{\mathbf{L}}$ 在 $z$ 軸的分量量子數 $m_l$（取值 $-l, -l+1, \dots, l$）以及 $\hat{\mathbf{S}}$ 在 $z$ 軸的分量量子數 $m_s$（電子取值 $\pm 1/2$）各自守恆。
• 集合二 $\{n, l, j, m_j\}$（耦合態）：
  • 適用於**存在自旋-軌道耦合（Spin-Orbit Coupling）**的情形。

核心觀念

本題評量**正常塞曼效應（Normal Zeeman Effect）與拉莫爾進動（Larmor Precession）**的基本物理機制與能量—頻率轉換關係：

1. 波耳磁子（Bohr Magneton, $\mu_B$）：
   軌道磁偶極矩的量子化基本單位為：
   $\mu_B = \frac{e\hbar}{2m_e} = \frac{eh}{4\pi m_e}$

2. 塞曼能階分裂（Zeeman Splitting）：
   在弱外加磁場 $B$ 下，相鄰軌道磁量子數之能階間隔（即微波共振吸收能量 $\Delta E$）為：
   $\Delta E = \mu_B B$

3. 拉莫爾頻率（Larmor Frequency, $\nu_L$ 或 $\omega_L$）：
   帶電粒子於磁場中進動的古典與量子角頻率 $\omega_L$ 及對應之循環頻率 $\nu_L$（常以 $f_L$ 表示）定義為：
   $\omega_L = \frac{e B}{2m_e}$
   $\nu_L = \frac{\omega_L}{2\pi} = \frac{e B}{4\pi m_e}$
   因此，塞曼躍遷能量與拉莫爾頻率滿足普朗克量子關係式：
   $\Delta E = h \nu_L \implies \nu_L = \frac{\Delta E}{h}$

---

解題方法

本題有兩條解題切入路徑，兩者本質完全等價：

切入法一：利用量測之塞曼吸收能量 $\Delta E$ 求拉莫爾頻率

題目已給定微波吸收量測到的塞曼能量 $\Delta E = 5.8 \times 10^{-5}\text{ eV}$，且共用題幹給定普朗克常數 $h = 6.63 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}$ 及基本電荷 $e = 1.60 \times 10^{-19}\text{ C}$：

1. 將能量單位轉換為焦耳（J）：
   $\Delta E = (5.8 \times 10^{-5}\text{ eV}) \times (1.60 \times 10^{-19}\text{ J/eV}) = 9.28 \times 10^{-24}\text{ J}$
2. 由量子吸收條件 $\Delta E = h\nu_L$ 求得拉莫爾頻率 $\nu_L$：

核心觀念

本題考查 X 射線管產生連續 X 射線（制動輻射，Bremsstrahlung）的最短波長極限（又稱 Duane-Hunt 定律）。

1. 制動輻射（Bremsstrahlung）的截止波長：
   當高能入射電子在陽極靶材中受到原子核庫侖場減速時，其動能轉換為光子能量。若單一電子在一次碰撞中將全部動能一次性完全轉化為單一 X 射線光子的能量，該光子即具有最高能量 $E_{\max}$，對應最短波長 $\lambda_{\min}$（Cutoff wavelength）：

   $$E_{\max} = h\nu_{\max} = \frac{hc}{\lambda_{\min}} = eV$$

   其中：

   • $h$ 為普朗克常數（Planck's constant）
   • $c$ 為光速
   • $e$ 為基本電荷
   • $V$ 為 X 射線管的加速電壓（Tube potential）

2. Duane-Hunt 關係式：

   $$\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV}$$

   由公式可知，最短波長 $\lambda_{\min}$ 僅取決於加速電壓 $V$，與靶材材質（例如銅 target）及其特性吸收邊（如 K-edge 能量）完全無關。

---

解題方法

1. 題意判讀與已知條件：

   • 加速電壓 $V = 45\text{ kV} = 4.5 \times 10^4\text{ V}$
   • 入射電子最大動能 $K_{\max} = eV = 45\text{ keV}$
   • 題幹給定常數：
     • $h = 6.63 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}$
     • $c = 3.00 \times 10^8\text{ m/s}$
     • $e = 1.60 \times 10^{-19}\text{ C}$
   • 干擾資訊：靶材為 Cu、K-edge 為 $8.9\text{ keV}$（此為產生特性 X 射線的游離門檻，對制動輻射的極限最短波長無影響）。

2. 計算步驟：
   將上述數值代入 Duane-Hunt 公式：

   $$\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV}$$

核心觀念

本題測驗特性 X 射線（Characteristic X-ray）與 X 射線螢光（X-ray Fluorescence, XRF）的命名記號（Siegbahn 記號法）。

1. 電子能階與主量子數（Shell）：
   原子內層電子的殼層通常以英文字母命名，對應的主量子數 $n$ 為：

   • K 層：$n = 1$
   • L 層：$n = 2$
   • M 層：$n = 3$
   • N 層：$n = 4$

2. 特性 X 射線的命名規則（Siegbahn Notation）：
   當內層電子被游離或激發而產生電洞時，外層電子向下躍遷填補空缺，並放出特性 X 射線光子。

   • 大寫英文字母：代表電子躍遷終止的內層殼層（即被填補的電洞所在殼層）。例如躍遷至 K 層即稱為 K 系列（K-series）。
   • 希臘字母下標：代表電子起始的跳躍跨度（$\Delta n$）：
     • $\alpha$：來自相鄰上一層（$\Delta n = 1$），例如從 L 層（$n = 2$）躍遷至 K 層（$n = 1$），記為 $\text{K}_\alpha$。
     • $\beta$：來自相隔兩層（$\Delta n = 2$），例如從 M 層（$n = 3$）躍遷至 K 層（$n = 1$），記為 $\text{K}_\beta$。
     • $\gamma$：來自相隔三層（$\Delta n = 3$），例如從 N 層（$n = 4$）躍遷至 K 層（$n = 1$），記為 $\text{K}_\gamma$。

---

解題方法

題目描述電子躍遷過程為：

• 起始殼層：M 殼層（主量子數 $n = 3$）
• 終止殼層：K 殼層（主量子數 $n = 1$）

依據 Siegbahn 記號法進行判定：

1. 電子最終落入 K 殼層，故該輻射屬於 $\text{K}$ 系列。
2. 電子由 $n = 3$ 躍遷至 $n = 1$，主量子數變化量為：

$$\Delta n = 3 - 1 = 2$$

3. 跨越兩個主量子數差階的躍遷對應希臘字母 $\beta$。

因此，由 M 層躍遷至 K 層所釋放的螢光 X 射線名稱為 $\text{K}_\beta$（K-beta）。

---

核心觀念

海森堡測不準原理（Heisenberg Uncertainty Principle，或稱不確定度原理）是量子力學的基石之一。它指出在微觀量子世界中，某些彼此共軛（Conjugate）的物理量無法同時被無限精確地測量。其物理根源在於物質的波粒二象性（Wave-particle duality）以及量子態的非對易代數結構（Non-commuting operators）。

本題要求以位置 $x$、動量 $p$、能量 $E$ 與時間 $t$ 表示測不準原理的數學關係式：

1. 位置與動量（空間—動量測不準原理）：位置算符與動量算符滿足對易關係 $[\hat{x}, \hat{p}_x] = i\hbar$，因此兩者的標準差（不確定度）乘積存在理論下限。
2. 能量與時間（能量—時間測不準原理）：能量的不確定度（如激發態能階寬度）與該狀態所經歷或存續的特徵時間（如壽命或躍遷時間）之乘積同樣存在下限。

---

解題方法

在近代物理與量子力學中，測不準原理有嚴格的統計定義（以標準差表示的 Kennard-Robertson 不等式）與近物教材中常見的估算形式（Order-of-magnitude estimates）：

1. 位置與動量的不確定度關係（Position-Momentum Uncertainty Relation）

以波包展開與統計標準差 $\Delta x = \sqrt{\langle x^2 \rangle - \langle x \rangle^2}$ 及 $\Delta p_x = \sqrt{\langle p_x^2 \rangle - \langle p_x \rangle^2}$ 嚴格定義時，滿足：

$$\Delta x \, \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2} = \frac{h}{4\pi}$$

其中：

• $\hbar = \frac{h}{2\pi}$ 為約化普朗克常數（Reduced Planck constant）。
• $\Delta x$ 為粒子在 $x$ 方向的位置不確定度（標準差）。
• $\Delta p_x$ 為粒子在 $x$ 方向的動量不確定度（標準差）。

(註：在部分基礎近代物理教材中，若僅作定性估算或以半波寬/波包寬度定義，常簡記為 $\Delta x \, \Delta p \ge \hbar$ 或 $\Delta x \, \Delta p \approx h$。在研究所入學考試中，最嚴謹標準的數學形式為大於等於 $\frac{\hbar}{2}$。)

2. 能量與時間的不確定度關係（Energy-Time Uncertainty Relation）

若一個量子態的能量不確定度為 $\Delta E$（例如譜線自然寬度），該狀態的特徵存續時間或測量時間為 $\Delta t$（例如激發態平均壽命 $\tau$），則滿足：

核心觀念

在量子力學中，「簡併」（Degeneracy）是一個核心基礎概念。其物理定義為：系統中存在兩個或兩個以上不同且線性獨立的量子態（或特徵波函數），具有完全相同的可觀測量特徵值（通常指能量特徵值，即能量）。

• 若一個能階對應到 $g$ 個線性獨立的量子態波函數 $\psi_1, \psi_2, \dots, \psi_g$，滿足： $$\hat{H}\psi_i = E \psi_i \quad (i = 1, 2, \dots, g)$$ 則稱該能階為具有簡併性，而 $g$ 稱為該能階的「簡併度」（Degree of degeneracy）。
• 物理根源：簡併通常與系統的幾何對稱性（Symmetry）或動態守恆量有關。例如三維各向同性簡諧振子、三維立方無限深位能井，或氫原子中的球對稱性（導致磁量子數 $m_l$ 與軌域量子數 $l$ 在不考慮微細結構時的能量簡併）。若對稱性因外場（如 Zeeman 效應的磁場、Stark 效應的電場）或微擾而破壞，簡併現象便會發生「分裂」（Lifting of degeneracy）。

---

解題方法

本題為名詞解釋簡答題（佔分 5%），作答策略應包含：

1. 精準的中文定義：直接給出簡併的定義（多個不同狀態對應同一能量值）。
2. 數學與符號描述：列出哈密頓算符與特徵值方程式，使論述嚴謹具體。
3. 具體物理範例：舉出近代物理最常見的例子（如氫原子或三維位能井）佐證。
4. 英文對應簡答：由於考卷為全英文出題，文末附上標準英文定義，方便閱卷教授核對關鍵字。

---

解題技巧與常見陷阱

1. 區分「態」與「能階」：
   • 「態」（State）由一組完整的量子數（如 $(n, l, m_l, m_s)$ 或波函數 $\psi$）唯一決定。
   • 「能階」（Energy level）僅指該狀態的能量數值 $E$。
   • 切忌混淆寫成「同一個狀態有多個能量」（這是錯誤的疊加態概念），必須強調是「多個不同的態擁有相同的能量」。
2. 簡併度計算：

核心觀念

本題考查外加磁場中磁偶極矩的位能（磁位能，Magnetic Potential Energy）。
在電磁學與原子物理中，當一個具有磁偶極矩（磁矩） $\vec{\mu}$ 的微觀粒子或原子置於外加均勻磁場 $\vec{B}$ 中時：

1. 磁場會對磁偶極施加一個力矩（Torque）： $$\vec{\tau} = \vec{\mu} \times \vec{B}$$
2. 外力抗衡此力矩旋轉磁偶極所作的功，會轉換儲存為系統的磁位能 $U$。定義零位能點在 $\vec{\mu} \perp \vec{B}$（夾角 $\theta = 90^\circ$）處，則磁位能的向量表示式為： $$U = -\vec{\mu} \cdot \vec{B} = -\mu B \cos\theta$$ 其中 $\theta$ 為磁矩 $\vec{\mu}$ 與磁場 $\vec{B}$ 之間的夾角。

---

解題方法

1. 力矩與功的微積分推導

設磁場 $\vec{B}$ 朝固定方向，磁矩 $\vec{\mu}$ 與 $\vec{B}$ 的夾角為 $\theta$。
磁場作用在磁矩上的力矩量值為：

$$\tau = \mu B \sin\theta$$

此力矩的方向傾向於使 $\vec{\mu}$ 轉向與 $\vec{B}$ 平行（即減小 $\theta$）。

外力要將磁矩由參考角度 $\theta_0$ 準靜態旋轉至角度 $\theta$，外力所施加的力矩量值需等於 $\tau$，外力所作的功等於位能差：

$$\Delta U = U(\theta) - U(\theta_0) = \int_{\theta_0}^{\theta} \tau_{\text{ext}} \, d\theta' = \int_{\theta_0}^{\theta} (\mu B \sin\theta') \, d\theta'$$

計算積分：

核心觀念

1. 電子組態與構造原理（Aufbau Principle）的特殊穩定性：
   • 多電子原子的基態電子填入通常依循構造原理、包立不相容原理與洪德定則（Hund's Rule）。
   • 當副殼層達到**全填滿（completely filled）或半填滿（half-filled）**時，由於最大化的交換能（Exchange Energy）與對稱的電荷分布，具有極佳的量子力學穩定性。
2. 鑭系元素（Lanthanides）的游離與穩定氧化態：
   • 鑭系元素在游離時，能量較高且位處較外層的 $6s$ 與 $5d$ 電子會優先失去。
   • 氧原子傾向得到 2 個電子形成 $\text{O}^{2-}$。金屬陽離子與氧離子結合的化學式取決於金屬最穩定的氧化數，以達成整體電荷電中性。

---

解題方法

1. 基態 Gd 原子的電子組態推導（2%）

• 釓（Gd）的原子序為 $Z = 64$。
• 惰性氣體核心為氙（Xe, $Z = 54$），扣除核心後尚有：
  $64 - 54 = 10 \text{ 個價電子}$
• 依一般的軌域能階填充順序，電子應先填入 $6s$ 再填入 $4f$（預期可能為 $[\text{Xe}]\, 4f^8 6s^2$）。
• 然而，$4f$ 副殼層總共可容納 14 個電子，其半填滿狀態為 $4f^7$。若將一個電子配置於 $5d$ 軌域，組態變為：
  $[\text{Xe}]\, 4f^7 5d^1 6s^2$
  此時 $4f^7$ 的 7 個電子自旋平行，具有最大的自旋多重度（Spin Multiplicity）與交換穩定能，此穩定化能量足以補償電子進入 $5d$ 軌域所需的微小能階提升。因此，釓的基態電子組態為：
  $[\text{Xe}]\, 4f^7 5d^1 6s^2$
  （亦可展開寫作 $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 3d^{10} 4s^2 4p^6 4d^{10} 4f^7 5s^2 5p^6 5d^1 6s^2$）

2. 氧化後總是生成 $\text{Gd}_2\text{O}_3$ 的原因（3%）

• 在氧化反應中，氧原子形成穩定的氧化物陰離子 $\text{O}^{2-}$。在化合物 $\text{Gd}_2\text{O}_3$ 中，依電中性原理：
  $2 \times (\text{Gd 的氧化數}) + 3 \times (-2) = 0 \implies \text{Gd 的氧化數為 } +3$
  即釓原子失去 3 個電子形成 $\text{Gd}^{3+}$。
• 游離過程分析：