109 年 國立清華大學工程與系統科學系碩士班乙組《流體力學》

這題主要在考驗學生對流體力學基本概念的理解，包含描述流體運動的兩種方法、白努利方程式的原理與應用、以及流場的發展特性。

(a) 解釋 Lagrangian Method and Eulerian Method

Lagrangian Method (拉格朗日法) 和 Eulerian Method (歐拉法) 是描述流體運動的兩種基本方法。

• Lagrangian Method (拉格朗日法)：此方法追蹤單一一個流體質點 (fluid particle) 的運動軌跡。想像我們在流體中標記一個質點，然後觀察它在時間演進中的位置、速度、加速度等物理量如何變化。數學上，這意味著我們關注的是流體質點的軌跡函數 $\mathbf{x}(t; \mathbf{x}_0)$，其中 $\mathbf{x}_0$ 是質點的初始位置。這種方法對於分析特定質點的歷史非常有用，例如追蹤污染物擴散或研究渦流的演變。

• Eulerian Method (歐拉法)：此方法關注的是空間中固定點的流體性質。我們不追蹤個別質點，而是觀察在空間中某個固定位置 $\mathbf{x}$，流體的速度、壓力、密度等物理量隨時間 $t$ 的變化。數學上，我們關注的是場函數，例如速度場 $\mathbf{v}(\mathbf{x}, t)$ 和壓力場 $p(\mathbf{x}, t)$。這種方法在工程應用中更為常見，因為我們通常關心的是流場在特定區域的行為，而不是個別質點的軌跡。

【答案】

(b) 關於 Bernoulli equation

i. What is the Bernoulli equation?

Bernoulli equation (白努利方程式) 是流體力學中的一個基本能量守恆原理，它描述了在穩定、不可壓縮、無黏性流體中，沿著一條流線 (streamline) 的壓力、速度和高度之間的關係。

其數學表達式為：
$\frac{p}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} + z = \text{constant}$
其中：

• $p$ 是流體壓力 (pressure)。
• $\rho$ 是流體密度 (density)。
• $g$ 是重力加速度 (acceleration due to gravity)。
• $v$ 是流體速度 (fluid velocity)。
• $z$ 是參考高度 (elevation above a reference datum)。

這個方程式表明，在滿足特定假設的流場中，壓力能、動能和位能的總和沿著流線是恆定的。

【答案】

ii. 應用 Bernoulli equation 的假設為何？

應用 Bernoulli equation 必須滿足以下幾個關鍵假設：

1. 穩定流 (Steady flow)：流場中的所有物理量（如速度、壓力、密度）在空間中的任何一點都不隨時間變化。也就是說，$\frac{\partial}{\partial t} = 0$ 對於所有場變數。
2. 不可壓縮流 (Incompressible flow)：流體的密度 $\rho$ 為常數，不隨壓力或位置變化。對於大多數液體和低速氣體流動，此假設是合理的。
3. 無黏性流 (Inviscid flow)：忽略流體內部的黏性力 (viscous forces)。這意味著流體沒有內摩擦，動量不會在相鄰流體層之間傳遞。此假設在流體遠離固體壁面且流速不高時較為適用。
4. 沿著流線 (Along a streamline)：Bernoulli equation 的形式是針對單一流線而言的。在非保守力場（如渦流）存在的情況下，不同流線上的常數值可能不同。
5. 無外力做功 (No external work done)：假設沒有額外的能量被加入或從流體中移除（例如，沒有泵或渦輪機）。

【答案】

iii. 以 pressure 的觀點解釋 Bernoulli equation 內每一項。

將 Bernoulli equation 乘以 $\rho g$，可以得到另一種形式：
$p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z = \text{constant}$
從壓力的觀點來看，每一項都代表一種形式的「壓力」：

• $p$：靜態壓力 (Static pressure)。這是流體在靜止時所承受的壓力，也是流體本身所具有的壓力。它代表了流體儲存的熱力學勢能。
• $\frac{1}{2}\rho v^2$：動態壓力 (Dynamic pressure)。這是由於流體運動所產生的壓力。當流體速度增加時，動態壓力也增加。它代表了流體動能轉換成的壓力效應。
• $\rho g z$：靜水壓力 (Hydrostatic pressure) 或 重力勢能壓力 (Gravitational potential energy pressure)。這是由於流體高度差所產生的壓力。在重力作用下，較高的流體會對較低的流體施加壓力。它代表了流體因重力位能而產生的壓力效應。

這三項的總和在沿著流線的任何一點都必須是恆定的。這意味著，如果其中一項增加，則其他項必須相應減少，以保持總和不變。例如，當流體速度增加時（動態壓力增加），靜態壓力或高度（或兩者）必須減少。

【答案】

iv. 以 head 的觀點解釋 Bernoulli equation 內每一項。

將 Bernoulli equation 除以 $\rho g$，得到：
$\frac{p}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} + z = \text{constant}$
從 "head" (水頭) 的觀點來看，每一項代表了一種形式的「能量高程」，通常以長度單位表示：

• $\frac{p}{\rho g}$：壓力水頭 (Pressure head)。這是將流體壓力 $p$ 轉換為相當於該壓力所能支撐的流體高度。它代表了流體壓力所能達到的等效高度。
• $\frac{v^2}{2g}$：速度水頭 (Velocity head) 或 動水頭 (Kinetic head)。這是將流體動能 $\frac{1}{2}\rho v^2$ 轉換為相當於該動能所能支撐的流體高度。它代表了流體速度所能達到的等效高度。
• $z$：位勢水頭 (Elevation head) 或 靜水頭 (Potential head)。這是流體相對於某個參考基準面 (datum) 的高度。它代表了流體因重力位能而具有的高度。

這三項水頭的總和稱為 總水頭 (Total head)，在沿著流線的任何一點都必須是恆定的。這表示能量在不同形式之間轉換，但總能量（以水頭表示）保持不變。

【答案】

(c) 用圖形解釋 Developing flow, Entrance region 以及 Fully developed flow

• Developing flow (發展中流動)：這是指流體進入一個管道或通道後，其速度剖面 (velocity profile) 隨軸向距離 $x$ 變化，尚未達到穩定的狀態。在入口處，流體的速度剖面通常是較平坦的（例如，在管道入口處接近均勻的速度）。隨著流體向下游移動，由於邊界層 (boundary layer) 的發展以及黏性力的影響，速度剖面逐漸變得彎曲，靠近壁面的速度降低，中心區域的速度增加。

• Entrance region (入口區)：這是發展中流動的區域，從流體進入管道的入口處開始，一直到速度剖面不再隨軸向距離變化為止。在這個區域內，邊界層從管道壁面開始向內發展，逐漸擴大，直到在管道中心處相遇。

• Fully developed flow (充分發展流動)：當流體的速度剖面不再隨軸向距離 $x$ 變化時，就稱為充分發展流動。此時，流體質點的相對速度分佈在流動方向上是恆定的。對於圓管內的層流，充分發展流動的速度剖面是拋物線形的 (parabolic profile)。在充分發展流動區域，流體所受的剪應力 (shear stress) 和壓力降 (pressure drop) 在軸向上是恆定的。

以下圖形可以說明這三者的關係：

好的，這題是關於 Moody chart 的題目，主要考驗你對管流損失計算中，影響摩擦阻力係數的關鍵參數的理解，以及 Moody chart 的繪製與應用。

詳解

核心觀念：
Moody chart 是流體力學中用於計算圓管內穩態、不可壓縮、完全發展層流或紊流流動時的摩擦阻力係數 (friction factor, $f$) 的圖表。它整合了雷諾數 (Reynolds number, Re) 和相對粗糙度 (relative roughness, $\epsilon/D$) 這兩個無因次參數，來預測管路中的主要損失 (major loss)。

解題過程：

1. 繪製 Moody Chart (儘量詳細)

Moody chart 的橫軸是雷諾數 (Re)，通常取對數尺度；縱軸是摩擦阻力係數 ($f$)，也常取對數尺度。圖中有多條曲線，每一條曲線代表一個固定的相對粗糙度 ($\epsilon/D$) 值。

• 橫軸 (X-axis): 雷諾數 (Reynolds Number, Re)
  雷諾數是流體慣性力與黏滯力之比的無因次參數，用來判斷流動是層流 (laminar flow) 還是紊流 (turbulent flow)。
  $Re = \frac{\rho V D}{\mu}$
  其中：

  • $\rho$ 是流體密度 (kg/m³)。
  • $V$ 是流體的平均速度 (m/s)。
  • $D$ 是管徑 (m)。
  • $\mu$ 是流體的動力黏滯係數 (Pa·s 或 kg/(m·s))。
    Moody chart 的橫軸通常從 $10^3$ 到 $10^8$ 或更大，採用對數尺度。

• 縱軸 (Y-axis): 摩擦阻力係數 (Friction Factor, $f$)
  摩擦阻力係數是無因次參數，用於計算管路中的主要壓力損失 (major pressure loss)，也稱為達西摩擦係數 (Darcy friction factor)。
  $f = \frac{h_f}{L/D \cdot (V^2/2g)}$
  其中：

  • $h_f$ 是因摩擦造成的揚程損失 (m)。
  • $L$ 是管路長度 (m)。
  • $D$ 是管徑 (m)。
  • $V$ 是流體的平均速度 (m/s)。
  • $g$ 是重力加速度 (m/s²)。
    Moody chart 的縱軸通常從 $10^{-3}$ 到 $10^{-1}$ 或更大，採用對數尺度。

• 曲線 (Curves): 相對粗糙度 (Relative Roughness, $\epsilon/D$)
  每一條曲線代表一個固定的相對粗糙度值。相對粗糙度是管壁的絕對粗糙度 ($\epsilon$) 與管徑 ($D$) 的比值，是一個無因次參數。
  $\frac{\epsilon}{D}$
  其中：

  • $\epsilon$ 是管壁的絕對粗糙度 (m)，其值取決於管材的材質和製造方式。
  • $D$ 是管徑 (m)。
    Moody chart 上通常會標示出不同相對粗糙度的曲線，從左上角（低 Re, 低 $\epsilon/D$）到右下角（高 Re, 高 $\epsilon/D$）。

Moody Chart 的區域劃分：

1. 層流區 (Laminar Flow Region):

   • 當 $Re < 2300$ (或有時取 $Re < 2000$) 時，流動為層流。
   • 在此區域，摩擦阻力係數 $f$ 僅與雷諾數 Re 有關，與管壁粗糙度無關。
   • 其關係式為 Hagen-Poiseuille 定律：$f = \frac{64}{Re}$。
   • 在 Moody chart 上，這部分表現為一條斜率為 -1 的直線（在對數尺度下）。

2. 過渡區 (Transition Region):

   • 當 $2300 < Re < 4000$ (或 $2000 < Re < 4000$) 時，流動處於層流與紊流之間的過渡狀態。
   • 此區域的流動行為較不穩定，摩擦係數 $f$ 的值難以精確預測，Moody chart 在此區域的曲線通常是虛線或未標示。

3. 紊流區 (Turbulent Flow Region):

   • 當 $Re > 4000$ 時，流動為紊流。
   • 紊流區又可細分為兩個子區域：
     • 光滑管區 (Smooth Pipe Region):
       • 當相對粗糙度 $\epsilon/D$ 足夠小時，即使在紊流狀態下，流體靠近管壁的黏滯效應仍能抑制粗糙度的影響。
       • 此區域的摩擦係數 $f$ 主要與雷諾數 Re 有關，但其關係式與層流區不同，例如 Blasius 公式 ($f = 0.316 Re^{-0.25}$ for $3000 < Re < 10^5$) 或更廣泛的 Colebrook-White 方程式的近似解。
       • 在 Moody chart 上，這部分表現為一條略有彎曲的曲線，且隨 Re 增加而下降。
     • 粗糙管區 (Rough Pipe Region) 或稱平方律區 (Square-law Region):
       • 當相對粗糙度 $\epsilon/D$ 足夠大，或雷諾數 Re 非常高時，管壁的粗糙突起完全暴露於主流區，流體黏滯力在粗糙突起處的影響變得相對較小。
       • 在此區域，摩擦係數 $f$ 僅與相對粗糙度 $\epsilon/D$ 有關，與雷諾數 Re 無關。
       • 在 Moody chart 上，這部分表現為水平直線，每一條水平線對應一個固定的 $\epsilon/D$ 值。

Moody Chart 的用途：

Moody chart 的主要用途是計算管路系統中因摩擦所造成的主要損失 (major loss)。在工程設計中，了解管路中的壓力損失對於確定泵浦的功率需求、計算流體輸送的效率以及確保系統能夠正常運作至關重要。

具體而言，Moody chart 可以用來：

1. 計算摩擦阻力係數 ($f$)： 給定流體的性質（密度 $\rho$、黏滯係數 $\mu$）、流動條件（平均速度 $V$ 或流量 $Q$、管徑 $D$）以及管路的相對粗糙度 ($\epsilon/D$)，可以計算出雷諾數 Re，然後在 Moody chart 上找到對應的 Re 和 $\epsilon/D$ 值，讀出摩擦阻力係數 $f$。
2. 計算壓力損失 ($h_f$ 或 $\Delta P$)： 一旦求得 $f$，就可以利用達西-白斯巴赫 (Darcy-Weisbach) 方程式來計算管路中的揚程損失 $h_f$：
   $h_f = f \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g}$
   或者計算壓力損失 $\Delta P$：
   $\Delta P = f \frac{L}{D} \frac{\rho V^2}{2}$
3. 設計管路系統： 在設計管路時，工程師可以利用 Moody chart 來反推所需的管徑、流速或泵浦功率，以達到預期的流量和壓力降要求。例如，如果已知流量、管路長度和材質，可以透過迭代或試誤法，配合 Moody chart 來選擇合適的管徑。

繪製 Moody Chart 的注意事項：

• 詳細程度： 題目要求「儘量詳細」，這意味著需要標示出主要的區域（層流、過渡、紊流），以及層流區的公式 ($f=64/Re$) 和粗糙管區的特性（$f$ 與 Re 無關）。過渡區的範圍也應標示出來。

核心觀念

本題考查 Buckingham $\Pi$ 定理：若物理關係包含 $n$ 個有量綱變數，且這些變數由 $k$ 個獨立基本量綱組成，則可整理成 $n-k$ 個無因次群之間的關係。

本題的變數為 $F,V_1,\Delta P,\rho,\mu,A_1,A_2,L$，共 $8$ 個；它們涉及質量 $M$、長度 $L$、時間 $T$ 三個基本量綱，因此可組成 $8-3=5$ 個無因次群。各變數量綱為

$$[F]=MLT^{-2},\qquad [V_1]=LT^{-1},\qquad [\Delta P]=ML^{-1}T^{-2},$$ $$[\rho]=ML^{-3},\qquad [\mu]=ML^{-1}T^{-1},\qquad [A_1]=[A_2]=L^2,\qquad [L]=L.$$

解題方法

選 $\rho、V_1、A_1$ 作為重複變數。它們分別提供質量、時間與長度量綱，且彼此量綱獨立，因此可用來構造其餘變數的無因次群。

以力 $F$ 為例，設

$$\Pi_F=F\rho^aV_1^bA_1^c.$$

代入量綱：

$$[\Pi_F] =(MLT^{-2})(ML^{-3})^a(LT^{-1})^b(L^2)^c.$$

令 $M、L、T$ 的指數各自為零，可得

$$1+a=0,\qquad -2-b=0,\qquad 1-3a+b+2c=0.$$

解得 $a=-1、b=-2、c=-1$，所以

$$\Pi_F=\frac{F}{\rho V_1^2A_1}.$$

其餘變數依相同方式處理：

• 對壓差 $\Delta P$，得到 $\displaystyle \Pi_P=\frac{\Delta P}{\rho V_1^2}$。

核心觀念

本題利用微小圓柱控制體積，套用牛頓第二定律：

$$\sum \mathbf{F} = \frac{D}{Dt}\int_{CV}\rho \mathbf{v}\,dV$$

圓柱座標速度為

$$\mathbf{v}=v_r\mathbf{e}_r+v_\theta\mathbf{e}_\theta+v_z\mathbf{e}_z$$

其中 $r$ 為徑向、$\theta$ 為周向、$z$ 為軸向。由於圓柱座標的基底向量會隨 $\theta$ 改變，動量方程中會出現 $1/r$、$v_\theta^2/r$ 等幾何項。

以下假設為牛頓流體、黏度 $\mu$ 為常數，且為不可壓縮流：

$$\nabla\cdot\mathbf{v} = \frac{1}{r}\frac{\partial (rv_r)}{\partial r} +\frac{1}{r}\frac{\partial v_\theta}{\partial\theta} +\frac{\partial v_z}{\partial z} =0$$

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解題方法：微小圓柱控制體積

取尺寸為 $dr$、$r\,d\theta$、$dz$ 的微小控制體積，其體積為

$$dV=r\,dr\,d\theta\,dz$$

對控制體積分別在 $r$、$\theta$、$z$ 三方向套用動量守恆。

應力張量在圓柱座標中可寫成

$$\boldsymbol{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{rr} & \tau_{r\theta} & \tau_{rz}\\ \tau_{\theta r} & \sigma_{\theta\theta} & \tau_{\theta z}\\ \tau_{zr} & \tau_{z\theta} & \sigma_{zz} \end{bmatrix}$$

由角動量守恆，

$$\tau_{r\theta}=\tau_{\theta r},\qquad \tau_{\theta z}=\tau_{z\theta},\qquad \tau_{rz}=\tau_{zr}$$

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圓柱座標中的加速度

徑向加速度：

$$a_r= \frac{Dv_r}{Dt}-\frac{v_\theta^2}{r}$$

周向加速度：

$$a_\theta= \frac{Dv_\theta}{Dt} +\frac{v_rv_\theta}{r}$$

軸向加速度：

$$a_z=\frac{Dv_z}{Dt}$$

其中物質導數為

$$\frac{D}{Dt} = \frac{\partial}{\partial t} +v_r\frac{\partial}{\partial r} +\frac{v_\theta}{r}\frac{\partial}{\partial\theta} +v_z\frac{\partial}{\partial z}$$

因此，

$$\frac{Dv_r}{Dt} = \frac{\partial v_r}{\partial t} +v_r\frac{\partial v_r}{\partial r} +\frac{v_\theta}{r}\frac{\partial v_r}{\partial\theta} +v_z\frac{\partial v_r}{\partial z}$$ $$\frac{Dv_\theta}{Dt} = \frac{\partial v_\theta}{\partial t} +v_r\frac{\partial v_\theta}{\partial r} +\frac{v_\theta}{r}\frac{\partial v_\theta}{\partial\theta} +v_z\frac{\partial v_\theta}{\partial z}$$ $$\frac{Dv_z}{Dt} = \frac{\partial v_z}{\partial t} +v_r\frac{\partial v_z}{\partial r} +\frac{v_\theta}{r}\frac{\partial v_z}{\partial\theta} +v_z\frac{\partial v_z}{\partial z}$$

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徑向動量方程

徑向控制體積的表面應力合力，除了一般的應力梯度外，還包含圓柱幾何造成的修正項。因此徑向方向的動量方程為

$$\rho\left( \frac{Dv_r}{Dt}-\frac{v_\theta^2}{r} \right) = \frac{\partial\sigma_{rr}}{\partial r} +\frac{1}{r}\frac{\partial\tau_{r\theta}}{\partial\theta} +\frac{\partial\tau_{rz}}{\partial z} +\frac{\sigma_{rr}-\sigma_{\theta\theta}}{r} +\rho b_r$$

其中 $b_r$ 為單位質量的徑向體積力。

代入

$$\sigma_{rr}=-p+2\mu\frac{\partial v_r}{\partial r}$$ $$\sigma_{\theta\theta} = -p+2\mu \left( \frac{1}{r}\frac{\partial v_\theta}{\partial\theta} +\frac{v_r}{r} \right)$$

以及

$$\tau_{r\theta} = \mu\left[ r\frac{\partial}{\partial r} \left(\frac{v_\theta}{r}\right) +\frac{1}{r}\frac{\partial v_r}{\partial\theta} \right]$$ $$\tau_{rz} = \mu\left( \frac{\partial v_r}{\partial z} +\frac{\partial v_z}{\partial r} \right)$$

整理後得到

$$\boxed{ \rho\left( \frac{Dv_r}{Dt}-\frac{v_\theta^2}{r} \right) = -\frac{\partial p}{\partial r} +\mu\left[ \nabla^2v_r -\frac{v_r}{r^2} -\frac{2}{r^2}\frac{\partial v_\theta}{\partial\theta} \right] +\rho b_r }$$

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