108 年 國立清華大學核子工程與科學研究所甲組《流體力學》

這題主要在考察流體在管路中流動時的能量損失相關概念，特別是摩擦係數的定義、影響因素以及 Moody 圖的理解。

(1) 摩擦係數的定義

對於管路中的流體流動，摩擦係數（friction factor, $f$）是一個無因次參數，用來量化流體因管壁摩擦而造成的壓力損失或能量損失。最常見的定義方式是達西摩擦係數（Darcy friction factor），它出現在達西-白斯巴克（Darcy-Weisbach）方程中，該方程用於計算穩態、不可壓縮流體在圓管中的全流壓力損失：
$\Delta p = f \frac{L}{D} \frac{\rho V^2}{2}$
其中：

• $\Delta p$ 是壓力損失 (Pa)
• $f$ 是達西摩擦係數 (無因次)
• $L$ 是管路長度 (m)
• $D$ 是管路內徑 (m)
• $\rho$ 是流體密度 (kg/m³)
• $V$ 是流體平均速度 (m/s)

也可以用福寧係數（Fanning friction factor）來定義，其形式與達西摩擦係數類似，但通常是其四分之一：
$\Delta p = f_{Fanning} \frac{L}{D} \frac{\rho V^2}{2}$
在本題中，通常指的是達西摩擦係數。

(2) 摩擦係數對層流與紊流在表面粗糙度上的依賴性

• 層流 (Laminar Flow)：
  在層流狀態下，流體質點沿著平行的路徑運動，流體內部幾乎沒有混合。此時，流動的阻力主要來自於流體本身的黏滯性（viscosity）。流體質點與管壁的相對運動會產生剪應力，但管壁的粗糙度對流動的影響非常小，因為層流的流體會「繞過」微小的表面不平整。因此，在層流狀態下，摩擦係數 $f$ 不依賴於管壁的表面粗糙度，而主要取決於流體的雷諾數（Reynolds number, Re）。對於層流，Re 通常小於 2300。在層流區，達西摩擦係數的計算公式為：
  $f = \frac{64}{Re}$

• 紊流 (Turbulent Flow)：
  在紊流狀態下，流體質點的運動變得混亂且隨機，流體內部有顯著的混合。此時，流動的阻力除了來自流體本身的黏滯性外，還受到管壁表面粗糙度的顯著影響。粗糙的管壁會干擾紊流的邊界層，產生額外的渦流和能量耗散，進而增加壓力損失。因此，在紊流狀態下，摩擦係數 $f$ 同時依賴於雷諾數 (Re) 和相對粗糙度 ($\epsilon/D$)，其中 $\epsilon$ 是管壁的平均粗糙高度。

  • 低 Re 紊流 (Transition Zone)：在過渡區（約 2300 < Re < 4000），摩擦係數同時受到 Re 和 $\epsilon/D$ 的影響，但關係較為複雜。
  • 完全紊流 (Fully Turbulent Flow)：當 Re 非常大，且相對粗糙度 $\epsilon/D$ 較高時，流動進入完全紊流區。在此區域，流體邊界層內的渦流運動會被管壁的粗糙度完全支配，使得摩擦係數 $f$ 幾乎只與相對粗糙度 $\epsilon/D$ 有關，而與 Re 的關係不大。

總結來說：

• 層流：$f$ 主要與 $Re$ 有關，與 $\epsilon/D$ 無關。
• 紊流：$f$ 同時與 $Re$ 和 $\epsilon/D$ 有關。在完全紊流區， $f$ 主要與 $\epsilon/D$ 有關。

(3) Moody 圖的繪製與解釋

核心觀念

速度向量沿流線切線方向，可寫成 $\vec{V}=V\hat{s}$。流體微粒的加速度是速度向量對時間的變化，因此須同時考慮：

1. 速率 $V$ 的大小改變，形成切向加速度。
2. 流線方向 $\hat{s}$ 改變，形成法向加速度。

令 $s$ 為沿流線的弧長，$R$ 為流線在該點的曲率半徑，$\hat{n}$ 指向曲率中心。

解題方法

由 $\vec{V}=V\hat{s}$ 對時間微分，使用乘法微分法則：

$$\vec{a} =\frac{d\vec{V}}{dt} =\frac{dV}{dt}\hat{s} +V\frac{d\hat{s}}{dt}$$

沿流線的弧長變化率等於速率，因此

$$\frac{ds}{dt}=V$$

速率沿流線的變化率為

$$\frac{dV}{dt} =\frac{dV}{ds}\frac{ds}{dt} =V\frac{dV}{ds}$$

另一方面，單位切線向量隨弧長的變化率為曲率向量：

此題要求在給定的圓管環形區域內，推導穩態、不可壓縮、牛頓流體的層流速度場。

核心觀念：
此題是一個典型的流體力學問題，涉及穩態、不可壓縮、牛頓流體在幾何約束下的流動，需要應用連續性方程式和動量方程式（納維-斯托克斯方程式的簡化形式）。由於流動是軸對稱且無旋的，且壓力梯度沿單一方向，我們可以大大簡化動量方程式。

解題步驟：

1. 設定座標系和簡化方程式：

   • 採用圓柱座標系 $(r, \theta, x)$。
   • 流動是穩態的 (steady)，所以所有對時間的偏導數為零 ($\frac{\partial}{\partial t} = 0$)。
   • 流體是不可壓縮的 (incompressible)，所以密度 $\rho$ 是常數。
   • 流體是牛頓流體 (Newtonian fluid)，其剪應力與應變率呈線性關係。
   • 流動是軸對稱的 (axisymmetric) 且無旋 (no swirl)，如提示所示，$u_\theta = 0$ 且 $\frac{\partial}{\partial \theta} = 0$。
   • 由於流動沿 $x$ 方向，且管路是無限長的圓管，速度分量 $u_r$ 和 $u_\theta$ 應為零，只有 $u_x$ 存在。因此，$u_r = 0$, $u_\theta = 0$, $\vec{V} = u_x(r) \hat{x}$。
   • 忽略重力效應。

2. 連續性方程式 (Continuity Equation)：
   對於不可壓縮流體，圓柱座標系下的連續性方程式為：
   $\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}(r u_r) + \frac{1}{r} \frac{\partial u_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial u_x}{\partial x} = 0$
   代入 $u_r = 0$, $u_\theta = 0$，且由於流動是穩態的且不隨 $x$ 方向變化（完全發展流），所以 $\frac{\partial u_x}{\partial x} = 0$。
   $\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}(r \cdot 0) + \frac{1}{r} \frac{\partial (0)}{\partial \theta} + \frac{\partial u_x}{\partial x} = 0$
   $0 + 0 + \frac{\partial u_x}{\partial x} = 0$
   這表示 $u_x$ 僅依賴於 $r$，即 $u_x = u_x(r)$。這與提示一致。

3. 動量方程式 (Momentum Equation) - $x$ 方向：
   牛頓流體在圓柱座標系下的 $x$ 方向動量方程式為：
   $\rho \left(\frac{\partial u_x}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_x}{\partial r} + \frac{u_\theta}{r} \frac{\partial u_x}{\partial \theta} + u_x \frac{\partial u_x}{\partial x}\right) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \left[ \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u_x}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 u_x}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 u_x}{\partial x^2} \right]$
   根據上述簡化條件：

   • $\frac{\partial u_x}{\partial t} = 0$ (穩態)
   • $u_r = 0$, $u_\theta = 0$
   • $\frac{\partial u_x}{\partial x} = 0$ (完全發展流)
   • $\frac{\partial}{\partial \theta} = 0$ (軸對稱)
   • $\frac{\partial^2 u_x}{\partial x^2} = 0$ (完全發展流)

   將這些條件代入動量方程式，得到：
   $\rho (0 + 0 + 0 + 0) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \left[ \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u_x}{\partial r}\right) + 0 + 0 \right]$
   $0 = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \frac{1}{r} \frac{d}{dr}\left(r \frac{du_x}{dr}\right)$
   （注意：由於 $u_x$ 僅是 $r$ 的函數，偏導數變為全導數）

   重新整理得到：
   $\frac{1}{r} \frac{d}{dr}\left(r \frac{du_x}{dr}\right) = \frac{1}{\mu} \frac{\partial p}{\partial x}$
   題目給定 $\frac{\partial p}{\partial x}$ 是一個常數（負值）。我們令 $\frac{\partial p}{\partial x} = C$。
   $\frac{1}{r} \frac{d}{dr}\left(r \frac{du_x}{dr}\right) = \frac{C}{\mu}$

4. 積分求解速度 $u_x(r)$：
   首先，積分一次：
   $\frac{d}{dr}\left(r \frac{du_x}{dr}\right) = \frac{C}{\mu} r$
   再次積分：
   $r \frac{du_x}{dr} = \int \frac{C}{\mu} r \, dr = \frac{C}{2\mu} r^2 + K_1$
   其中 $K_1$ 是積分常數。
   現在，解出 $\frac{du_x}{dr}$：
   $\frac{du_x}{dr} = \frac{C}{2\mu} r + \frac{K_1}{r}$
   最後，再次積分以求得 $u_x(r)$：
   $u_x(r) = \int \left(\frac{C}{2\mu} r + \frac{K_1}{r}\right) dr = \frac{C}{4\mu} r^2 + K_1 \ln(r) + K_2$
   其中 $K_2$ 是另一個積分常數。

5. 確定積分常數 $K_1$ 和 $K_2$：
   我們需要利用邊界條件來確定這兩個常數。

   • 邊界條件 1： 在內圓管壁 ($r = R_1$)，速度為零（無滑動條件）：$u_x(R_1) = 0$。
   • 邊界條件 2： 在外圓管壁 ($r = R_0$)，速度也為零（無滑動條件）：$u_x(R_0) = 0$。

   將這些條件代入速度表達式：
   (a) $u_x(R_1) = \frac{C}{4\mu} R_1^2 + K_1 \ln(R_1) + K_2 = 0$
   (b) $u_x(R_0) = \frac{C}{4\mu} R_0^2 + K_1 \ln(R_0) + K_2 = 0$

   我們需要解這個關於 $K_1$ 和 $K_2$ 的聯立方程組。
   從 (a) 式減去 (b) 式：
   $\left(\frac{C}{4\mu} R_1^2 + K_1 \ln(R_1) + K_2\right) - \left(\frac{C}{4\mu} R_0^2 + K_1 \ln(R_0) + K_2\right) = 0$
   $\frac{C}{4\mu} (R_1^2 - R_0^2) + K_1 (\ln(R_1) - \ln(R_0)) = 0$
   $\frac{C}{4\mu} (R_1^2 - R_0^2) + K_1 \ln\left(\frac{R_1}{R_0}\right) = 0$
   $K_1 \ln\left(\frac{R_1}{R_0}\right) = -\frac{C}{4\mu} (R_1^2 - R_0^2) = \frac{C}{4\mu} (R_0^2 - R_1^2)$
   $K_1 = \frac{C}{4\mu} \frac{R_0^2 - R_1^2}{\ln(R_1/R_0)}$
   注意：由於 $R_1 < R_0$，$\ln(R_1/R_0)$ 是負值。而 $R_0^2 - R_1^2$ 是正值。所以 $K_1$ 是負值。

   現在，我們用 $K_1$ 來求 $K_2$。從 (a) 式：
   $K_2 = -\frac{C}{4\mu} R_1^2 - K_1 \ln(R_1)$
   代入 $K_1$ 的表達式：
   $K_2 = -\frac{C}{4\mu} R_1^2 - \left(\frac{C}{4\mu} \frac{R_0^2 - R_1^2}{\ln(R_1/R_0)}\right) \ln(R_1)$
   $K_2 = -\frac{C}{4\mu} \left(R_1^2 + \frac{(R_0^2 - R_1^2) \ln(R_1)}{\ln(R_1/R_0)}\right)$
   $K_2 = -\frac{C}{4\mu} \frac{R_1^2 \ln(R_1/R_0) + (R_0^2 - R_1^2) \ln(R_1)}{\ln(R_1/R_0)}$
   $K_2 = -\frac{C}{4\mu} \frac{R_1^2 (\ln(R_1) - \ln(R_0)) + R_0^2 \ln(R_1) - R_1^2 \ln(R_1)}{\ln(R_1/R_0)}$
   $K_2 = -\frac{C}{4\mu} \frac{R_1^2 \ln(R_1) - R_1^2 \ln(R_0) + R_0^2 \ln(R_1) - R_1^2 \ln(R_1)}{\ln(R_1/R_0)}$
   $K_2 = -\frac{C}{4\mu} \frac{R_0^2 \ln(R_1) - R_1^2 \ln(R_0)}{\ln(R_1/R_0)}$
   $K_2 = -\frac{C}{4\mu} \frac{R_0^2 \ln(R_1) - R_1^2 \ln(R_0)}{\ln(R_1) - \ln(R_0)}$

6. 最終速度場表達式：
   將 $C = \frac{\partial p}{\partial x}$ 和求得的 $K_1, K_2$ 代入 $u_x(r)$ 的表達式：
   $u_x(r) = \frac{1}{4\mu} \frac{\partial p}{\partial x} r^2 + \frac{1}{4\mu} \frac{\partial p}{\partial x} \frac{R_0^2 - R_1^2}{\ln(R_1/R_0)} \ln(r) - \frac{1}{4\mu} \frac{\partial p}{\partial x} \frac{R_0^2 \ln(R_1) - R_1^2 \ln(R_0)}{\ln(R_1/R_0)}$
   $u_x(r) = \frac{1}{4\mu} \frac{\partial p}{\partial x} \left[ r^2 + \frac{R_0^2 - R_1^2}{\ln(R_1/R_0)} \ln(r) - \frac{R_0^2 \ln(R_1) - R_1^2 \ln(R_0)}{\ln(R_1/R_0)} \right]$
   $u_x(r) = \frac{1}{4\mu} \frac{\partial p}{\partial x} \left[ r^2 - \frac{R_0^2 - R_1^2}{\ln(R_0/R_1)} \ln(r) - \frac{R_0^2 \ln(R_1) - R_1^2 \ln(R_0)}{\ln(R_1/R_0)} \right]$
   $u_x(r) = \frac{1}{4\mu} \frac{\partial p}{\partial x} \left[ r^2 - \left(\frac{R_0^2 - R_1^2}{\ln(R_0/R_1)}\right) \ln(r) - \frac{R_0^2 \ln(R_1) - R_1^2 \ln(R_0)}{\ln(R_1/R_0)} \right]$
   我們可以進一步整理常數項：
   令 $K_1 = \frac{C}{4\mu} \frac{R_0^2 - R_1^2}{\ln(R_1/R_0)}$ 和 $K_2 = -\frac{C}{4\mu} \frac{R_0^2 \ln(R_1) - R_1^2 \ln(R_0)}{\ln(R_1/R_0)}$。
   則 $u_x(r) = \frac{C}{4\mu} r^2 + K_1 \ln(r) + K_2$。

   為了簡化，我們可以將常數合併。
   考慮 $u_x(r) = A r^2 + B \ln(r) + D$ 的形式。
   $u_x(R_1) = A R_1^2 + B \ln(R_1) + D = 0$
   $u_x(R_0) = A R_0^2 + B \ln(R_0) + D = 0$
   $A = \frac{C}{4\mu} = \frac{1}{4\mu} \frac{\partial p}{\partial x}$
   $B = K_1 = \frac{C}{4\mu} \frac{R_0^2 - R_1^2}{\ln(R_1/R_0)}$
   $D = K_2 = -\frac{C}{4\mu} \frac{R_0^2 \ln(R_1) - R_1^2 \ln(R_0)}{\ln(R_1/R_0)}$

   整理常數項：
   $D = -\frac{C}{4\mu} \frac{R_0^2 \ln(R_1) - R_1^2 \ln(R_0)}{\ln(R_1/R_0)}$
   $D = -\frac{C}{4\mu} \frac{R_0^2 \ln(R_1) - R_1^2 \ln(R_0)}{\ln(R_1) - \ln(R_0)}$

   令 $c_1 = \frac{1}{4\mu} \frac{\partial p}{\partial x}$。
   $u_x(r) = c_1 r^2 + c_1 \frac{R_0^2 - R_1^2}{\ln(R_1/R_0)} \ln(r) + K_2$
   $K_2 = -\frac{c_1 (R_0^2 - R_1^2) \ln(R_1)}{\ln(R_1/R_0)} - c_1 R_1^2$
   $K_2 = -c_1 \frac{(R_0^2 - R_1^2) \ln(R_1) + R_1^2 \ln(R_1/R_0)}{\ln(R_1/R_0)}$
   $K_2 = -c_1 \frac{R_0^2 \ln(R_1) - R_1^2 \ln(R_1) + R_1^2 \ln(R_1) - R_1^2 \ln(R_0)}{\ln(R_1/R_0)}$
   $K_2 = -c_1 \frac{R_0^2 \ln(R_1) - R_1^2 \ln(R_0)}{\ln(R_1/R_0)}$

   所以，速度場為：
   $u_x(r) = \frac{1}{4\mu} \frac{\partial p}{\partial x} \left[ r^2 + \frac{R_0^2 - R_1^2}{\ln(R_1/R_0)} \ln(r) - \frac{R_0^2 \ln(R_1) - R_1^2 \ln(R_0)}{\ln(R_1/R_0)} \right]$
   或者可以寫成：
   $u_x(r) = \frac{1}{4\mu} \frac{\partial p}{\partial x} \left[ r^2 - \frac{R_0^2 - R_1^2}{\ln(R_0/R_1)} \ln(r) - \frac{R_0^2 \ln(R_1) - R_1^2 \ln(R_0)}{\ln(R_1/R_0)} \right]$
   由於 $\frac{\partial p}{\partial x}$ 是負值，為了使速度 $u_x$ 在環形區域內為正值（流動方向），我們通常會將負號移到 $\frac{\partial p}{\partial x}$ 裡，或者在前面加上一個負號，表示壓力下降的驅動力。
   令 $\frac{\partial p}{\partial x} = -\Delta P'$, 其中 $\Delta P'$ 是正值。
   $u_x(r) = -\frac{\Delta P'}{4\mu} \left[ r^2 + \frac{R_0^2 - R_1^2}{\ln(R_1/R_0)} \ln(r) - \frac{R_0^2 \ln(R_1) - R_1^2 \ln(R_0)}{\ln(R_1/R_0)} \right]$
   $u_x(r) = \frac{\Delta P'}{4\mu} \left[ -r^2 - \frac{R_0^2 - R_1^2}{\ln(R_1/R_0)} \ln(r) + \frac{R_0^2 \ln(R_1) - R_1^2 \ln(R_0)}{\ln(R_1/R_0)} \right]$
   $u_x(r) = \frac{\Delta P'}{4\mu} \left[ \frac{R_0^2 \ln(R_1) - R_1^2 \ln(R_0)}{\ln(R_1/R_0)} - \frac{R_0^2 - R_1^2}{\ln(R_0/R_1)} \ln(r) - r^2 \right]$
   這個形式比較常見。

   驗證：
   令 $R_1 \to 0$ (變成實心圓管)。
   當 $R_1 \to 0$，$\ln(R_1) \to -\infty$。
   $K_1 = \frac{C}{4\mu} \frac{R_0^2 - R_1^2}{\ln(R_1/R_0)}$。當 $R_1 \to 0$，$\ln(R_1/R_0) \to -\infty$。 $R_0^2 - R_1^2 \to R_0^2$。
   $K_1 \to \frac{C}{4\mu} \frac{R_0^2}{-\infty} \to 0$。
   $K_2 = -\frac{C}{4\mu} \frac{R_0^2 \ln(R_1) - R_1^2 \ln(R_0)}{\ln(R_1/R_0)}$。
   使用 L'Hopital's rule 或者觀察 $\frac{\ln(R_1)}{\ln(R_1/R_0)} = \frac{\ln(R_1)}{\ln(R_1)-\ln(R_0)} \to 1$ 當 $R_1 \to 0$。
   $K_2 \to -\frac{C}{4\mu} \frac{R_0^2 (1) - 0}{1} = -\frac{C}{4\mu} R_0^2$。
   所以，當 $R_1 \to 0$， $u_x(r) \to \frac{C}{4\mu} r^2 - \frac{C}{4\mu} R_0^2 = \frac{C}{4\mu} (r^2 - R_0^2) = -\frac{C}{4\mu} (R_0^2 - r^2)$。
   這正是實心圓管內層流的速度分佈 (Hagen-Poiseuille flow)。
   $u_x(r) = -\frac{1}{4\mu} \frac{dp}{dx} (R_0^2 - r^2)$。
   此驗證結果正確。

最終表達式：
將 $C = \frac{\partial p}{\partial x}$ 代入：
$u_x(r) = \frac{1}{4\mu} \frac{\partial p}{\partial x} \left[ r^2 - \frac{R_0^2 - R_1^2}{\ln(R_0/R_1)} \ln(r) + \frac{R_0^2 \ln(R_1) - R_1^2 \ln(R_0)}{\ln(R_0/R_1)} \right]$
注意：$\ln(R_1/R_0) = -\ln(R_0/R_1)$。
$u_x(r) = \frac{1}{4\mu} \frac{\partial p}{\partial x} \left[ r^2 - \frac{R_0^2 - R_1^2}{\ln(R_0/R_1)} \ln(r) - \frac{R_0^2 \ln(R_1) - R_1^2 \ln(R_0)}{\ln(R_0/R_1)} \right]$
$u_x(r) = \frac{1}{4\mu} \frac{\partial p}{\partial x} \left[ \frac{r^2 \ln(R_0/R_1) - (R_0^2 - R_1^2) \ln(r) - (R_0^2 \ln(R_1) - R_1^2 \ln(R_0))}{\ln(R_0/R_1)} \right]$
$u_x(r) = \frac{1}{4\mu} \frac{\partial p}{\partial x} \left[ \frac{r^2 (\ln(R_0) - \ln(R_1)) - (R_0^2 - R_1^2) \ln(r) - R_0^2 \ln(R_1) + R_1^2 \ln(R_0)}{\ln(R_0/R_1)} \right]$

核心觀念

本題考查平板外部層流的邊界層近似，核心是利用：

1. 邊界層內流向長度尺度遠大於法向長度尺度：
   $L \gg \delta$

2. 連續方程判斷 $u$、$v$ 的量級關係。

3. 比較慣性力與黏性力，判斷哪些項可以忽略。

4. 由慣性力與法向黏性力平衡，求出邊界層厚度與 Reynolds 數的關係。

令運動黏度為

$$\nu=\frac{\mu}{\rho}$$

並定義平板長度 Reynolds 數：

$$Re_L=\frac{UL}{\nu}=\frac{\rho UL}{\mu}$$

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解題方法與尺度分析

1. 各物理量的尺度

流向與法向座標分別取為

$$x\sim L,\qquad y\sim \delta$$

邊界層內的流向速度主要由外部主流決定，因此

$$u\sim U$$

由連續方程

$$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0$$

進行尺度估算：

$$\frac{\partial u}{\partial x}\sim \frac{U}{L}$$

因此

$$\frac{\partial v}{\partial y}\sim \frac{U}{L}$$

又因為 $y\sim\delta$，可得

$$v\sim \frac{U\delta}{L}$$

由於 $\delta\ll L$，所以

$$v\ll U$$

這表示邊界層內的法向速度遠小於流向速度，但 $v\,\partial u/\partial y$ 仍不可直接忽略，因為 $\partial u/\partial y$ 的變化非常劇烈。

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2. $x$ 方向動量方程

原方程可寫為

$$u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} + \nu\left( \frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} \right)$$

各項尺度如下：

慣性項

$$u\frac{\partial u}{\partial x} \sim U\frac{U}{L} = \frac{U^2}{L}$$ $$v\frac{\partial u}{\partial y} \sim \frac{U\delta}{L}\frac{U}{\delta} = \frac{U^2}{L}$$

因此兩個慣性項同階，皆須保留。

黏性項

$$\nu\frac{\partial^2u}{\partial x^2} \sim \nu\frac{U}{L^2}$$ $$\nu\frac{\partial^2u}{\partial y^2} \sim \nu\frac{U}{\delta^2}$$

兩者的比值為

$$\frac{\nu U/L^2}{\nu U/\delta^2} = \frac{\delta^2}{L^2} \ll 1$$

所以流向黏性項相較於法向黏性項小很多，可忽略：

$$\frac{\partial^2u}{\partial x^2} \ll \frac{\partial^2u}{\partial y^2}$$

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3. 壓力梯度的處理

在平板上方的外部主流速度為均勻的 $U$，且沒有逆壓力梯度，因此外部流場的壓力沿 $x$ 方向不變：

$$\frac{\partial p}{\partial x}=0$$

在法向動量方程中，由於 $\delta/L\ll1$，法向慣性項與黏性項相較於流向動量項更小，因此主要結果為

$$\frac{\partial p}{\partial y}=0$$

故邊界層內的壓力等於外部主流壓力，且本題均勻來流條件下有

$$\frac{\partial p}{\partial x}=0$$

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邊界層方程式

核心觀念

本題考查 Buckingham Pi 定理。未知出口平均速度以圖中的 $U$ 表示；題目文字中的 $V$ 視為同一速度，即令 $V\equiv U$。

問題中的物理量為

$$V,\ \rho,\ \mu,\ g,\ d,\ D,\ L$$

其基本量綱為

$$[V]=LT^{-1},\quad [\rho]=ML^{-3},\quad [\mu]=ML^{-1}T^{-1},$$ $$[g]=LT^{-2},\quad [d]=[D]=[L]=L.$$

共有 $n=7$ 個變數、$r=3$ 個基本量綱，因此需要

$$n-r=7-3=4$$

個獨立無因次群。

解題方法

依題目提示選擇 $L$ 作為長度尺度，並取 $\rho,g,L$ 為重複變數。

對速度建立無因次群：

$$\Pi_1=V\rho^a g^b L^c.$$

令其量綱為 $1$，可得

$$a=0,\qquad b=-\frac12,\qquad c=-\frac12,$$

所以

$$\Pi_1=\frac{V}{\sqrt{gL}}.$$

對黏度建立無因次群：

$$\Pi_2=\mu\rho^a g^b L^c.$$

量綱平衡後得到

$$a=-1,\qquad b=-\frac12,\qquad c=-\frac32,$$

因此

$$\Pi_2=\frac{\mu}{\rho\sqrt{gL^3}}.$$

三個長度尺度 $d,D,L$ 必須轉換為長度比：

$$\Pi_3=\frac{d}{L},\qquad \Pi_4=\frac{D}{L}.$$

由 Buckingham Pi 定理，

$$\Phi\left( \frac{V}{\sqrt{gL}}, \frac{\mu}{\rho\sqrt{gL^3}}, \frac{d}{L}, \frac{D}{L} \right)=0.$$

將速度群單獨表示，可寫成

$$\boxed{ \frac{V}{\sqrt{gL}} = F\left( \frac{\mu}{\rho\sqrt{gL^3}}, \frac{d}{L}, \frac{D}{L} \right) }$$

其中 $F$ 為無因次函數。