108 年 國立清華大學核子工程與科學研究所甲組《核工原理》

本題主要在測試考生對核子工程基本概念的理解。
A. 中子擴散與費克定律 (Neutron diffusion and Fick's law)：
中子擴散是指中子在介質中隨機移動並與原子核碰撞的過程。費克定律是描述中子通量梯度與淨中子流之間的關係，在穩態且無中子產生或吸收的區域，其形式為：
$J = -\nabla \phi D$
其中 $J$ 為中子流密度（中子數/面積/時間），$\phi$ 為中子通量（中子數/體積），$D$ 為擴散係數（長度）。在中子擴散理論中，$D$ 通常與介質的微觀截面相關，例如 $D \approx \frac{1}{3\Sigma_s}$，其中 $\Sigma_s$ 為宏觀散射截面。
【答案】中子擴散是指中子在介質中隨機移動並與原子核碰撞的過程。費克定律描述中子通量梯度與淨中子流之間的關係，其形式為 $J = -\nabla \phi D$，其中 $J$ 為中子流密度，$\phi$ 為中子通量，$D$ 為擴散係數。

B. 中子截面與平均自由程 (Neutron cross sections and the mean free path)：
中子截面（cross section）是衡量中子與原子核發生特定反應（如散射、吸收、分裂等）機率的物理量，單位通常為 barn ($1 \text{ barn} = 10^{-28} \text{ m}^2$)。平均自由程（mean free path, $\lambda$）是指中子在介質中進行一次反應前平均行走的距離。它與介質的宏觀截面 ($\Sigma$) 成反比：
$\lambda = \frac{1}{\Sigma}$
其中 $\Sigma$ 是所有可能反應的總宏觀截面。

本題考驗考生根據給定的核電廠參數，計算反應爐的熱功率輸出以及 U-235 的原子密度與質量。

首先，我們需要釐清一些基本參數：
核心高度 $H = 3.5 \text{ m}$
總燃料質量 $M_{total} = 90000 \text{ kg}$
UO2 密度 $\rho_{UO2} = 10 \text{ g/cm}^3 = 10000 \text{ kg/m}^3$
U-235 豐度 (enrichment) = 3 wt% (即鈾中 U-235 佔總鈾質量的 3%)
燃料組件數 = 150
每個燃料組件的燃料棒數 = 200
發電廠的電功率 $P_{elec} = 1000 \text{ MW}$
熱效率 $\eta_{th} = 30\% = 0.3$

(a) 估算反應爐的熱功率輸出 (approximate thermal power output of the core)

熱功率 $P_{th}$ 是指反應爐產生的總熱能，而電功率 $P_{elec}$ 是將這些熱能轉化為電能的輸出。它們之間的關係由熱效率 $\eta_{th}$ 給出：
$\eta_{th} = \frac{P_{elec}}{P_{th}}$
因此，反應爐的熱功率輸出為：
$P_{th} = \frac{P_{elec}}{\eta_{th}} = \frac{1000 \text{ MW}}{0.3} = \frac{10000}{3} \text{ MW} \approx 3333.3 \text{ MW}$
【答案】(a) 反應爐的近似熱功率輸出約為 3333.3 MW。

(b) U-235 的原子密度和質量 (atom density of U-235 in the core and its mass)

首先，我們需要知道 UO2 的分子量，以及鈾 (U) 和氧 (O) 的原子量。
鈾 (U) 的原子量約為 238.03 g/mol。
氧 (O) 的原子量約為 16.00 g/mol。
UO2 的分子量 $M_{UO2} \approx 238.03 + 2 \times 16.00 = 270.03 \text{ g/mol}$。
Avogadro 常數 $N_A = 6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}$。

我們有總燃料質量 $M_{total} = 90000 \text{ kg} = 9.0 \times 10^7 \text{ g}$。
UO2 的密度 $\rho_{UO2} = 10 \text{ g/cm}^3$。
我們可以計算 UO2 的總體積：
$V_{UO2} = \frac{M_{total}}{\rho_{UO2}} = \frac{9.0 \times 10^7 \text{ g}}{10 \text{ g/cm}^3} = 9.0 \times 10^6 \text{ cm}^3$
將體積轉換為 $m^3$: $V_{UO2} = 9.0 \text{ m}^3$。

接下來，我們需要計算 UO2 中鈾 (U) 的總質量。
題目給定的 enrichment 是 3 wt%，這通常是指鈾元素中 U-235 的重量百分比。然而，這裡的「total fuel loading」指的是 UO2 的總質量。在 UO2 中，鈾的質量佔比為：
$\text{Mass fraction of U in UO2} = \frac{M_U}{M_{UO2}} = \frac{238.03 \text{ g/mol}}{270.03 \text{ g/mol}} \approx 0.8815$
所以，UO2 中鈾的總質量為：
$M_U = M_{total} \times (\text{Mass fraction of U in UO2}) = 90000 \text{ kg} \times 0.8815 \approx 79335 \text{ kg}$
現在，我們知道鈾中 U-235 的重量百分比是 3 wt%。因此，U-235 的質量為：
$M_{U-235} = M_U \times (\text{Enrichment}) = 79335 \text{ kg} \times 0.03 \approx 2380 \text{ kg}$
$M_{U-235} = 2380 \text{ kg} = 2.380 \times 10^6 \text{ g}$

最後，我們計算 U-235 的原子密度。
首先，計算 U-235 的摩爾質量 $M_{U-235} \approx 235 \text{ g/mol}$ (使用最常見的同位素質量數)。

核心觀念

燃耗量（Burnup）定義為：

$$B=\frac{\text{燃料所產生的熱能}}{\text{燃料中的鈾質量}}$$

常用單位為：

$$\mathrm{MWD/MTU}$$

其中：

• $\mathrm{MWD}$：熱功率乘以運轉天數；
• $\mathrm{MTU}$：公噸鈾，$1\ \mathrm{MTU}=1000\ \mathrm{kg\ U}$。

本題需先將電功率換算成反應器熱功率，再除以每年更換的三分之一燃料質量。

解題方法

1. 將電功率換算為熱功率

發電容量為 $1000\ \mathrm{MW_e}$，熱效率為 $30\%$：

$$\eta=\frac{P_e}{P_{th}}$$

因此反應器熱功率為：

$$P_{th}=\frac{P_e}{\eta} =\frac{1000}{0.30} =3333.33\ \mathrm{MW_{th}}$$

2. 計算一年所產生的熱能

以一年 $365$ 天計算：

$$E_{\text{year}} =P_{th}\times 365 =3333.33\times365 =1,216,667\ \mathrm{MWD}$$

這是反應器核心在一年內產生的總熱能。

3. 計算更換的燃料質量

總燃料裝載量為：

核心觀念

這題考一維穩態中子擴散，以及無限平面源如何以狄拉克 delta 函數表示。平面位於 $x=0$，系統在 $y,z$ 方向均勻，因此中子通量只隨 $x$ 改變。

設介質均勻、非增殖，擴散係數為 $D$，巨觀吸收截面為 $\Sigma_a>0$。穩態擴散方程為

$$D\nabla^2\phi-\Sigma_a\phi+S\delta(x)=0.$$

其中 $S$ 的單位為 $\text{neutrons}/(\text{cm}^2\cdot\text{s})$；乘上 $\delta(x)$ 後，體積源項的單位為 $\text{neutrons}/(\text{cm}^3\cdot\text{s})$。由平面對稱性，方程化為

$$D\frac{d^2\phi}{dx^2}-\Sigma_a\phi=-S\delta(x).$$

解題方法與推導

在 $x\ne 0$ 處沒有源項，方程成為

$$D\frac{d^2\phi}{dx^2}-\Sigma_a\phi=0.$$

定義擴散長度 $L=\sqrt{D/\Sigma_a}$，則方程為 $\phi''-\phi/L^2=0$。要求通量在遠離平面時趨近零，並利用平面兩側的對稱性，解可寫為

$$\phi(x)=C e^{-|x|/L}.$$

平面源沒有造成通量本身的無限跳變，因此 $\phi$ 在 $x=0$ 連續。將擴散方程在 $-\epsilon<x<\epsilon$ 積分，再令 $\epsilon\to0$，可得導數的跳躍條件：

$$D\left[\phi'(0^+)-\phi'(0^-)\right]=-S.$$

由 $\phi(x)=C e^{-|x|/L}$，

核心觀念

本題是均勻混合燃料的無限增殖因數計算，使用兩個定義：

1. 燃料利用因數

燃料利用因數 $f$ 表示所有吸收事件中，發生在燃料核種 $^{235}\mathrm{U}$ 上的比例：

$$f=\frac{\Sigma_{a,U}}{\Sigma_{a,U}+\Sigma_{a,Na}}$$

2. 無限增殖因數

對一群組、均勻且無限大的快速反應器，不考慮中子洩漏與慢化，因此

$$k_{\infty}=\eta f$$

題目表格給定 $^{235}\mathrm{U}$ 的 $\eta=2.2$。

鈉為非燃料材料，其吸收只會降低燃料利用因數。散射截面在此一群組無限系統中不直接出現在 $f$ 與 $k_{\infty}$ 的計算式內。

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解題方法

設混合物總質量為 $100\ \mathrm{g}$，其中：

• $^{235}\mathrm{U}$ 質量為 $x\ \mathrm{g}$
• Na 質量為 $(100-x)\ \mathrm{g}$

因此，$x$ 可直接表示為題目所稱的 wt%。

核種數目與質量除以原子量成正比，因此：

$$N_U\propto \frac{x}{235}$$ $$N_{Na}\propto \frac{100-x}{23}$$

表中吸收截面為：

$$\sigma_{a,U}=1.65\ \mathrm{barn}$$ $$\sigma_{a,Na}=0.0008\ \mathrm{barn}$$

共同的密度、阿伏加德羅常數及質量單位均會在比值中消去，所以宏觀吸收截面可寫成比例形式：

$$\Sigma_{a,U}\propto 1.65\frac{x}{235}$$ $$\Sigma_{a,Na}\propto 0.0008\frac{100-x}{23}$$

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(a) 燃料利用因數 $f(x)$

代入燃料利用因數定義：

$$f(x)= \frac{1.65(x/235)} {1.65(x/235)+0.0008[(100-x)/23]}$$

將分子、分母同乘 $235\times 23$，得：

$$f(x)= \frac{1.65(23)x} {1.65(23)x+0.0008(235)(100-x)}$$

因此：

$$\boxed{ f(x)=\frac{37.95x}{37.95x+0.188(100-x)} }$$

整理後：

$$\boxed{ f(x)=\frac{37.95x}{18.8+37.762x} } \qquad (x\text{ 以 wt\% 表示})$$