108 年 國立清華大學工程與系統科學系碩士班乙組《流體力學》

這題主要在考察流體在管路中流動時的能量損失相關概念，特別是摩擦係數的定義、影響因素以及 Moody 圖的理解。

(1) 摩擦係數的定義

對於管路中的流體流動，摩擦係數（friction factor, $f$）是一個無因次參數，用來量化流體因管壁摩擦而造成的壓力損失或能量損失。最常見的定義方式是達西摩擦係數（Darcy friction factor），它出現在達西-白斯巴克（Darcy-Weisbach）方程中，該方程用於計算穩態、不可壓縮流體在圓管中的全流壓力損失：
$\Delta p = f \frac{L}{D} \frac{\rho V^2}{2}$
其中：

• $\Delta p$ 是壓力損失 (Pa)
• $f$ 是達西摩擦係數 (無因次)
• $L$ 是管路長度 (m)
• $D$ 是管路內徑 (m)
• $\rho$ 是流體密度 (kg/m³)
• $V$ 是流體平均速度 (m/s)

也可以用福寧係數（Fanning friction factor）來定義，其形式與達西摩擦係數類似，但通常是其四分之一：
$\Delta p = f_{Fanning} \frac{L}{D} \frac{\rho V^2}{2}$
在本題中，通常指的是達西摩擦係數。

(2) 摩擦係數對層流與紊流在表面粗糙度上的依賴性

• 層流 (Laminar Flow)：
  在層流狀態下，流體質點沿著平行的路徑運動，流體內部幾乎沒有混合。此時，流動的阻力主要來自於流體本身的黏滯性（viscosity）。流體質點與管壁的相對運動會產生剪應力，但管壁的粗糙度對流動的影響非常小，因為層流的流體會「繞過」微小的表面不平整。因此，在層流狀態下，摩擦係數 $f$ 不依賴於管壁的表面粗糙度，而主要取決於流體的雷諾數（Reynolds number, Re）。對於層流，Re 通常小於 2300。在層流區，達西摩擦係數的計算公式為：
  $f = \frac{64}{Re}$

• 紊流 (Turbulent Flow)：
  在紊流狀態下，流體質點的運動變得混亂且隨機，流體內部有顯著的混合。此時，流動的阻力除了來自流體本身的黏滯性外，還受到管壁表面粗糙度的顯著影響。粗糙的管壁會干擾紊流的邊界層，產生額外的渦流和能量耗散，進而增加壓力損失。因此，在紊流狀態下，摩擦係數 $f$ 同時依賴於雷諾數 (Re) 和相對粗糙度 ($\epsilon/D$)，其中 $\epsilon$ 是管壁的平均粗糙高度。

  • 低 Re 紊流 (Transition Zone)：在過渡區（約 2300 < Re < 4000），摩擦係數同時受到 Re 和 $\epsilon/D$ 的影響，但關係較為複雜。
  • 完全紊流 (Fully Turbulent Flow)：當 Re 非常大，且相對粗糙度 $\epsilon/D$ 較高時，流動進入完全紊流區。在此區域，流體邊界層內的渦流運動會被管壁的粗糙度完全支配，使得摩擦係數 $f$ 幾乎只與相對粗糙度 $\epsilon/D$ 有關，而與 Re 的關係不大。

總結來說：

• 層流：$f$ 主要與 $Re$ 有關，與 $\epsilon/D$ 無關。
• 紊流：$f$ 同時與 $Re$ 和 $\epsilon/D$ 有關。在完全紊流區， $f$ 主要與 $\epsilon/D$ 有關。

(3) Moody 圖的繪製與解釋

核心觀念

流體微粒沿流線運動時，速度向量可寫成

$$\vec{V}=V\hat{s}$$

其中 $V$ 是速率，$\hat{s}$ 是沿流線切線方向的單位向量。加速度由速度向量對時間的變化率定義：

$$\vec{a}=\frac{d\vec{V}}{dt}$$

沿曲線運動時，速度大小的改變造成切線方向加速度；速度方向的改變則造成法線方向加速度。

解題方法

對 $\vec{V}=V\hat{s}$ 使用乘積微分法則：

$$\vec{a} =\frac{d}{dt}(V\hat{s}) =\frac{dV}{dt}\hat{s}+V\frac{d\hat{s}}{dt}$$

切線方向分量

微粒沿流線的弧長座標為 $s$，故其弧長變化率等於速率：

$$\frac{ds}{dt}=V$$

利用鏈鎖律，

$$\frac{dV}{dt} =\frac{dV}{ds}\frac{ds}{dt} =V\frac{dV}{ds}$$

因此加速度的切線分量為

$$a_s=V\frac{dV}{ds}$$

法線方向分量

核心觀念

本題考查圓柱座標下的穩態、不可壓縮、牛頓流體之充分發展流動。由於管道無限長，可忽略入口效應，速度僅隨徑向座標 $r$ 變化。

令內半徑 $R_i=R_1$、外半徑 $R_o=R_0$，且

$$\frac{\partial p}{\partial x} =\frac{P_2-P_1}{x_2-x_1}<0.$$

軸向為 $x$ 方向，速度場可寫成

$$\mathbf{u}=u_x(r)\mathbf{e}_x, \qquad u_r=0,\quad u_\theta=0.$$

其中 $u_r=0$ 來自充分發展流動、不可穿透壁面與連續方程。

解題方法

圓柱座標下，軸向動量方程為

$$0=-\frac{\partial p}{\partial x} +\mu\left[ \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left(r\frac{du_x}{dr}\right) \right].$$

因此

$$\frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left(r\frac{du_x}{dr}\right) = \frac{1}{\mu}\frac{\partial p}{\partial x}.$$

乘以 $r$ 後積分一次：

$$r\frac{du_x}{dr} = \frac{1}{2\mu}\frac{\partial p}{\partial x}r^2+C_1.$$

再積分一次：

$$u_x(r) = \frac{1}{4\mu}\frac{\partial p}{\partial x}r^2 +C_1\ln r+C_2.$$

兩個固定壁面皆滿足無滑移條件：

$$u_x(R_i)=0,\qquad u_x(R_o)=0.$$

代入並消去積分常數，可得

核心觀念

依原卷掃描圖，題目要求導出的邊界層方程為

$$u\frac{\partial u}{\partial x} +v\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{\mu}{\rho}\frac{\partial^2u}{\partial y^2}.$$

題目文字轉錄的最後一式與原圖不一致，以下依掃描圖中的實際方程作答。

令動黏度為

$$\nu=\frac{\mu}{\rho},$$

其中 $U$ 為主流速度、$L$ 為流向尺度、$\delta$ 為邊界層厚度。邊界層的基本特徵為

$$\delta\ll L.$$

因此，流向變化緩慢，法向速度雖小，但法向速度梯度很大。

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解題方法：量級分析

令

$$x\sim L,\qquad y\sim\delta,\qquad u\sim U,\qquad v\sim V.$$

1. 由連續方程求法向速度量級

連續方程為

$$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0.$$

各項量級為

$$\frac{\partial u}{\partial x}\sim\frac{U}{L}, \qquad \frac{\partial v}{\partial y}\sim\frac{V}{\delta}.$$

故

$$\frac{U}{L}\sim\frac{V}{\delta},$$

得到

$$V\sim U\frac{\delta}{L}.$$

由於 $\delta\ll L$，因此

$$v\ll u.$$

但是

$$v\frac{\partial u}{\partial y} \sim \left(U\frac{\delta}{L}\right)\frac{U}{\delta} = \frac{U^2}{L},$$

與

$$u\frac{\partial u}{\partial x} \sim U\frac{U}{L} =\frac{U^2}{L}$$

具有相同量級，所以 $v\partial u/\partial y$ 不能刪除。

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2. $x$ 方向動量方程的各項量級

$x$ 方向方程為

$$u\frac{\partial u}{\partial x} +v\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} +\nu\left( \frac{\partial^2u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2u}{\partial y^2} \right).$$

各項量級如下：

$$u\frac{\partial u}{\partial x} \sim\frac{U^2}{L},$$ $$v\frac{\partial u}{\partial y} \sim\frac{U^2}{L},$$ $$\nu\frac{\partial^2u}{\partial x^2} \sim\nu\frac{U}{L^2},$$ $$\nu\frac{\partial^2u}{\partial y^2} \sim\nu\frac{U}{\delta^2}.$$

兩個黏性項的比值為

$$\frac{\nu U/L^2}{\nu U/\delta^2} = \left(\frac{\delta}{L}\right)^2\ll1.$$

因此，流向黏性項可忽略，只保留法向黏性擴散項：

$$\nu\frac{\partial^2u}{\partial x^2} \ll \nu\frac{\partial^2u}{\partial y^2}.$$

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3. 壓力項與 $y$ 方向方程

核心觀念

本題考查 Buckingham Pi 定理。未知出口平均速度以圖中的 $U$ 表示；題目文字中的 $V$ 視為同一速度，即令 $V\equiv U$。

問題中的物理量為

$$V,\ \rho,\ \mu,\ g,\ d,\ D,\ L$$

其基本量綱為

$$[V]=LT^{-1},\quad [\rho]=ML^{-3},\quad [\mu]=ML^{-1}T^{-1},$$ $$[g]=LT^{-2},\quad [d]=[D]=[L]=L.$$

共有 $n=7$ 個變數、$r=3$ 個基本量綱，因此需要

$$n-r=7-3=4$$

個獨立無因次群。

解題方法

依題目提示選擇 $L$ 作為長度尺度，並取 $\rho,g,L$ 為重複變數。

對速度建立無因次群：

$$\Pi_1=V\rho^a g^b L^c.$$

令其量綱為 $1$，可得

$$a=0,\qquad b=-\frac12,\qquad c=-\frac12,$$

所以

$$\Pi_1=\frac{V}{\sqrt{gL}}.$$

對黏度建立無因次群：

$$\Pi_2=\mu\rho^a g^b L^c.$$

量綱平衡後得到

$$a=-1,\qquad b=-\frac12,\qquad c=-\frac32,$$

因此

$$\Pi_2=\frac{\mu}{\rho\sqrt{gL^3}}.$$

三個長度尺度 $d,D,L$ 必須轉換為長度比：

$$\Pi_3=\frac{d}{L},\qquad \Pi_4=\frac{D}{L}.$$

由 Buckingham Pi 定理，

$$\Phi\left( \frac{V}{\sqrt{gL}}, \frac{\mu}{\rho\sqrt{gL^3}}, \frac{d}{L}, \frac{D}{L} \right)=0.$$

將速度群單獨表示，可寫成

$$\boxed{ \frac{V}{\sqrt{gL}} = F\left( \frac{\mu}{\rho\sqrt{gL^3}}, \frac{d}{L}, \frac{D}{L} \right) }$$

其中 $F$ 為無因次函數。