108 年 國立清華大學工程與系統科學系碩士班乙組《熱傳學》

本題主要在檢驗學生對於熱傳學基本定律及重要無因次參數的理解。

(a) 基本熱傳定律

(a1) 牛頓冷卻定律 (Newton's Law of Cooling)

• 方程式：
  $q = h A (T_s - T_\infty)$
  或
  $\dot{Q} = h A (T_s - T_\infty)$

• 參數說明：

  • $q$ 或 $\dot{Q}$：熱傳速率 (Heat transfer rate)，單位為瓦特 (W)。表示單位時間內從物體表面傳遞出去的熱量。
  • $h$：對流熱傳係數 (Convective heat transfer coefficient)，單位為瓦特/平方公尺·凱氏溫標 (W/m²·K)。表示單位面積、單位溫差下，透過對流方式的熱傳效率。
  • $A$：熱傳面積 (Surface area)，單位為平方公尺 (m²)。指與周遭流體發生對流的物體表面積。
  • $T_s$：物體表面溫度 (Surface temperature)，單位為凱氏溫標 (K) 或攝氏溫標 (°C)。
  • $T_\infty$：周遭流體溫度 (Fluid temperature)，單位為凱氏溫標 (K) 或攝氏溫標 (°C)。

• 用途： 牛頓冷卻定律是描述對流熱傳的主要定律。它指出，在穩態條件下，透過對流傳遞的熱量與表面溫度和流體溫度之間的溫差成正比，並與對流熱傳係數及熱傳面積成正比。此定律廣泛應用於計算物體與流體間的熱交換，例如散熱器散熱、加熱器加熱等。

(a2) 傅立葉導熱定律 (Fourier's Law of Conduction)

• 方程式：

  • 一維穩態導熱：
    $q_x = -k A \frac{dT}{dx}$
    或對於平板，若厚度為 $L$ 且溫度分佈為線性：
    $q = -k A \frac{T_2 - T_1}{L} = k A \frac{T_1 - T_2}{L}$
  • 三維穩態導熱：
    $\vec{q} = -k \nabla T$
    其中 $q_x$ 是沿 x 方向的熱通量 (heat flux)，$\vec{q}$ 是熱通量向量。

• 參數說明：

  • $q_x$ 或 $q$：熱傳速率 (Heat transfer rate)，單位為瓦特 (W)。
  • $k$：導熱係數 (Thermal conductivity)，單位為瓦特/公尺·凱氏溫標 (W/m·K)。這是材料本身的熱傳導特性，表示材料導熱的能力。
  • $A$：垂直於熱流方向的截面積 (Cross-sectional area)，單位為平方公尺 (m²)。
  • $\frac{dT}{dx}$：溫度梯度 (Temperature gradient)，單位為凱氏溫標/公尺 (K/m)。表示溫度隨空間位置變化的速率。負號表示熱量總是從高溫區域流向低溫區域。
  • $T_1, T_2$：平板兩側的溫度。
  • $L$：平板厚度。
  • $\nabla T$：溫度梯度向量。

• 用途： 傅立葉導熱定律是描述固體材料內部熱傳導的主要定律。它指出，在穩態條件下，透過導熱傳遞的熱量與導熱係數、截面積以及溫度梯度成正比。此定律用於計算固體材料（如牆壁、金屬零件）的熱傳速率，以及分析材料的隔熱或導熱性能。

(a3) 史特凡-波茲曼定律 (Stefan-Boltzmann Law)

• 方程式：
  $q = \epsilon \sigma A (T_s^4 - T_{surr}^4)$
  或
  $\dot{Q} = \epsilon \sigma A (T_s^4 - T_{surr}^4)$
  其中 $T_s$ 和 $T_{surr}$ 必須使用絕對溫度 (凱氏溫標 K)。

• 參數說明：

  • $q$ 或 $\dot{Q}$：熱輻射速率 (Radiant heat transfer rate)，單位為瓦特 (W)。
  • $\epsilon$：物體表面的放射率 (Emissivity)，無因次。表示物體表面發射熱輻射的能力相較於相同溫度下黑體 (blackbody) 的比例。範圍在 0 到 1 之間。
  • $\sigma$：史特凡-波茲曼常數 (Stefan-Boltzmann constant)，約為 $5.67 \times 10^{-8} \, \text{W/m}^2\text{·K}^4$。
  • $A$：輻射表面積 (Surface area)，單位為平方公尺 (m²)。
  • $T_s$：物體表面的絕對溫度 (Absolute surface temperature)，單位為凱氏溫標 (K)。
  • $T_{surr}$：周遭環境的絕對溫度 (Absolute surrounding temperature)，單位為凱氏溫標 (K)。

• 用途： 史特凡-波茲曼定律描述了熱輻射的現象，特別是當物體表面與其周遭環境之間存在溫差時，會透過電磁波交換能量。此定律適用於計算高溫物體的熱輻射，例如燈絲、燃燒表面、太空中的物體等。當表面溫度相對較低，但溫差很大時，輻射的影響可能變得非常顯著，甚至超過對流和導熱。

(b) 無因次參數的物理意義

(b1) 努塞特數 (Nusselt number, Nu)

• 定義： $Nu = \frac{h L_c}{k_f}$
• 物理意義： 努塞特數代表了透過對流傳遞的熱量與透過相同尺寸物體但由周遭流體導熱傳遞的熱量之比。
  • $Nu > 1$ 表示對流比導熱更有效。
  • $Nu \approx 1$ 表示對流與導熱的效果相當。

本題包含兩個部分：一是導出熱擴散方程式，二是求解一個由兩種材料組成的平面壁之穩態溫度分佈。

(a) 熱擴散方程式的推導 (Heat Diffusion Equation Derivation)

我們考慮一個在三維笛卡兒座標系 $(x, y, z)$ 下的無限小控制體積 $dV = dx \, dy \, dz$。假設材料的導熱係數 $k$ 是均勻的，但溫度 $T(x, y, z, t)$ 隨空間和時間變化。控制體積內可能存在熱產生率 $q_g$ (單位 W/m³)，以及儲存熱量以改變其內部能。

1. 能量平衡 (Energy Balance)：
   根據能量守恆定律，在任何時間間隔內，進入控制體積的淨熱量加上控制體積內產生的熱量，等於控制體積內儲存的熱量（即內能的增加）。
   $\text{Net heat entering} + \text{Heat generation} = \text{Heat stored}$

2. 熱量進入與離開 (Heat In and Out)：
   熱量主要透過導熱進入或離開控制體積。考慮 x 方向的熱流：

   • 進入 x 方向的熱量：$q_x = -k A_x \frac{\partial T}{\partial x} \Big|_x = -k \, dy \, dz \frac{\partial T}{\partial x} \Big|_x$
   • 離開 x 方向的熱量：$q_{x+dx} = -k A_x \frac{\partial T}{\partial x} \Big|_{x+dx} = -k \, dy \, dz \frac{\partial T}{\partial x} \Big|_{x+dx}$
     其中 $A_x = dy \, dz$ 是垂直於 x 方向的截面積。

   淨進入 x 方向的熱量為：
   $q_{x+dx} - q_x = -k \, dy \, dz \left( \frac{\partial T}{\partial x} \Big|_{x+dx} - \frac{\partial T}{\partial x} \Big|_x \right)$
   利用泰勒級數展開，$\frac{\partial T}{\partial x} \Big|_{x+dx} \approx \frac{\partial T}{\partial x} \Big|_x + \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial T}{\partial x}\right) dx = \frac{\partial T}{\partial x} \Big|_x + \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} dx$。
   因此，淨進入 x 方向的熱量為：
   $-k \, dy \, dz \left( \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} dx \right) = -k \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} (dx \, dy \, dz) = -k \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} dV$

   同理，y 和 z 方向的淨進入熱量分別為：
   $-k \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} dV$
   $-k \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} dV$

   總淨進入控制體積的熱量為：
   $\text{Net heat entering} = -k \left( \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} \right) dV = -k \nabla^2 T \, dV$
   其中 $\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$ 是拉普拉斯算子 (Laplacian operator)。

3. 熱產生 (Heat Generation)：
   控制體積內產生的總熱量為 $q_g \, dV$。

4. 熱量儲存 (Heat Stored)：
   控制體積內儲存的熱量變化等於其內能的變化。內能變化率為：
   $\frac{dE}{dt} = m c_p \frac{dT}{dt}$
   其中 $m = \rho \, dV$ 是控制體積的質量，$\rho$ 是密度， $c_p$ 是定壓比熱。
   $\frac{dE}{dt} = (\rho \, dV) c_p \frac{\partial T}{\partial t}$
   因此，熱量儲存的速率為：
   $\text{Heat stored rate} = \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} dV$

5. 整合能量平衡方程式：
   將上述各項代入能量平衡方程式：
   $-k \nabla^2 T \, dV + q_g \, dV = \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} dV$
   兩邊同時除以 $dV$：
   $-k \nabla^2 T + q_g = \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t}$
   重新整理，得到三維熱擴散方程式：
   $\nabla^2 T + \frac{q_g}{k} = \frac{1}{\alpha} \frac{\partial T}{\partial t}$
   其中 $\alpha = \frac{k}{\rho c_p}$ 是熱擴散係數 (thermal diffusivity)。

   在笛卡兒座標系下，其展開式為：
   $\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} + \frac{q_g}{k} = \frac{1}{\alpha} \frac{\partial T}{\partial t}$

(b) 複合平面壁穩態溫度分佈

此問題涉及一維穩態導熱，包含熱產生和對流邊界條件。

已知條件：

• 材料 A：$q_A = 2 \times 10^6 \, \text{W/m}^3$ (均勻熱產生)，$k_A = 100 \, \text{W/m} \cdot \text{K}$，$L_A = 60 \, \text{mm} = 0.06 \, \text{m}$。左側邊界 (x=0) 絕熱。
• 材料 B：$q_B = 0$ (無熱產生)，$k_B = 200 \, \text{W/m} \cdot \text{K}$，$L_B = 30 \, \text{mm} = 0.03 \, \text{m}$。右側邊界 (x=$L_A+L_B$) 受到對流冷卻，$T_\infty = 25^\circ\text{C}$，$h = 1200 \, \text{W/m}^2\text{K}$。
• 假設：一維穩態，無輻射。
• 座標系：設 x=0 為材料 A 的左側邊界，x=$L_A$ 為 A 和 B 的介面，x=$L_A+L_B$ 為材料 B 的右側邊界。

解題步驟：

1. 計算總熱傳速率 ($\dot{Q}$):
   由於是穩態且無熱產生在材料 B，材料 A 的熱產生必須透過材料 B 傳遞出去。
   對於材料 A，考慮其總熱產生量：
   $\dot{Q}_{\text{gen, A}} = q_A \cdot (L_A \cdot A)$，其中 A 是壁的面積。
   由於左側絕熱，所有產生的熱量必須向右傳遞。因此，穩態熱傳速率 $\dot{Q}$ 通過介面和材料 B 的速率為：
   $\dot{Q} = q_A \cdot L_A \cdot A$
   每單位面積的熱傳速率 (熱流密度) 為：
   $q = \frac{\dot{Q}}{A} = q_A L_A = (2 \times 10^6 \, \text{W/m}^3) \times (0.06 \, \text{m}) = 120000 \, \text{W/m}^2$

2. 材料 A 的溫度分佈 (Steady-state temperature distribution in material A):
   對於材料 A，由於存在熱產生且左側絕熱，其一維穩態導熱方程式為：
   $\frac{d^2 T_A}{dx^2} + \frac{q_A}{k_A} = 0$
   積分一次得：
   $\frac{dT_A}{dx} = -\frac{q_A}{k_A} x + C_1$
   由於 x=0 處絕熱，即 $\frac{dT_A}{dx} \Big|_{x=0} = 0$。
   代入邊界條件：$0 = -\frac{q_A}{k_A} (0) + C_1 \implies C_1 = 0$。
   所以，溫度梯度為：
   $\frac{dT_A}{dx} = -\frac{q_A}{k_A} x$
   再次積分得溫度分佈：
   $T_A(x) = -\frac{q_A}{2k_A} x^2 + C_2$
   代入邊界條件 $x=0$ 時的溫度 $T_A(0)$：
   $T_A(0) = -\frac{q_A}{2k_A} (0)^2 + C_2 \implies C_2 = T_A(0)$。
   $T_A(x) = T_A(0) - \frac{q_A}{2k_A} x^2$
   我們需要找到 $T_A(0)$ 和 $T_A(L_A)$ (即介面溫度 $T_i$)。

3. 材料 B 的溫度分佈 (Steady-state temperature distribution in material B):
   對於材料 B，無熱產生，其一維穩態導熱方程式為：
   $\frac{d^2 T_B}{dx^2} = 0$
   積分一次得：
   $\frac{dT_B}{dx} = C_3$
   再次積分得溫度分佈：
   $T_B(x) = C_3 x + C_4$

本題考察瞬態導熱問題，特別是球體在流體中的溫度變化，涉及集總參數法、熱時間常數和有限差分法的應用。

(a) 溫度計探頭的瞬態導熱

此部分探討一個球形探頭在氣體流中的溫度響應。

已知條件：

• 球體屬性：$\rho = 8000 \, \text{kg/m}^3$, $c = 500 \, \text{J/kg} \cdot \text{K}$, $k = 50 \, \text{W/m} \cdot \text{K}$。
• 對流條件：$h = 500 \, \text{W/m}^2\text{K}$。
• 氣體溫度：$T_\infty = 250^\circ\text{C}$ (用於 a3)。
• 初始溫度：$T_i = 20^\circ\text{C}$ (用於 a3)。
• 目標溫度：$T_{final} = 249^\circ\text{C}$ (用於 a3)。
• 目標熱時間常數：$\tau_t = 1 \, \text{s}$ (用於 a2)。

解題步驟：

(a1) 計算比奧數 (Biot number, Bi) 並判斷是否適用集總參數法

比奧數定義為：$Bi = \frac{h L_c}{k_s}$。
對於球體，特徵長度 $L_c$ 通常取為體積與表面積之比的 3 倍：
$L_c = \frac{V}{A} = \frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{4\pi r^2} = \frac{r}{3} = \frac{D}{6}$。
其中 $D$ 是球體直徑，$r$ 是半徑。
題目中沒有給出直徑，但我們需要計算 Bi，這意味著 Bi 可能會隨直徑變化。通常，集總參數法適用於 $Bi < 0.1$。

如果題目是要我們判斷「一般情況下」或「對於一個典型的探頭」，則需要假設一個尺寸。然而，題目在 (a2) 中要求計算直徑以滿足特定時間常數，這暗示我們可能需要先找到一個直徑，然後再計算 Bi。但 (a1) 是獨立於 (a2) 的，所以我們必須假設一個尺寸來計算 Bi。
假設一個典型的探頭直徑，例如 $D = 2 \, \text{mm} = 0.002 \, \text{m}$。
則 $L_c = \frac{D}{6} = \frac{0.002 \, \text{m}}{6} \approx 0.000333 \, \text{m}$。
$k_s = k = 50 \, \text{W/m} \cdot \text{K}$。
$Bi = \frac{h L_c}{k_s} = \frac{(500 \, \text{W/m}^2\text{K}) \times (0.000333 \, \text{m})}{50 \, \text{W/m} \cdot \text{K}} = \frac{0.1665}{50} = 0.00333$。

• 判斷： $Bi = 0.00333 < 0.1$。因此，對於這個假設的直徑，物體內部的導熱阻遠小於表面的對流阻，溫度分佈可以近似均勻，可以應用集總參數法 (Lumped Capacitance Method)。

(a2) 計算所需直徑以獲得熱時間常數 $\tau_t = 1 \, \text{s}$

熱時間常數的定義為：$\tau_t = \frac{(\rho V c)}{h A} = \frac{\rho c L_c}{h}$。
對於球體，$L_c = D/6$。
$\tau_t = \frac{\rho c (D/6)}{h}$。
我們已知 $\tau_t = 1 \, \text{s}$, $\rho = 8000 \, \text{kg/m}^3$, $c = 500 \, \text{J/kg} \cdot \text{K}$, $h = 500 \, \text{W/m}^2\text{K}$。
$1 \, \text{s} = \frac{(8000 \, \text{kg/m}^3) \times (500 \, \text{J/kg} \cdot \text{K}) \times (D/6)}{500 \, \text{W/m}^2\text{K}}$
$1 = \frac{4 \times 10^6 \times (D/6)}{500}$
$500 = 4 \times 10^6 \times \frac{D}{6}$
$D = \frac{500 \times 6}{4 \times 10^6} = \frac{3000}{4 \times 10^6} = \frac{750}{10^6} = 0.00075 \, \text{m} = 0.75 \, \text{mm}$。

檢查 Bi 值：
對於 $D = 0.75 \, \text{mm} = 0.00075 \, \text{m}$，
$L_c = D/6 = 0.00075 / 6 = 0.000125 \, \text{m}$。
$Bi = \frac{h L_c}{k_s} = \frac{(500 \, \text{W/m}^2\text{K}) \times (0.000125 \, \text{m})}{50 \, \text{W/m} \cdot \text{K}} = \frac{0.0625}{50} = 0.00125$。
$Bi = 0.00125 < 0.1$，集總參數法仍然適用。

(a3) 計算達到 $249^\circ\text{C}$ 所需時間

使用集總參數法，溫度隨時間的變化關係為：
$\frac{T(t) - T_\infty}{T_i - T_\infty} = e^{-t/\tau_t}$
其中 $T_i = 20^\circ\text{C}$, $T_\infty = 250^\circ\text{C}$, $T(t) = 249^\circ\text{C}$, $\tau_t = 1 \, \text{s}$。

$\frac{249 - 250}{20 - 250} = e^{-t/1}$
$\frac{-1}{-230} = e^{-t}$
$\frac{1}{230} = e^{-t}$
$t = -\ln\left(\frac{1}{230}\right) = \ln(230)$

計算 $\ln(230)$:
$\ln(230) \approx 5.438 \, \text{s}$。

【答案】
(a1) 假設直徑為 2 mm 時，Bi = 0.00333 < 0.1，可應用集總參數法。
(a2) 所需直徑為 0.75 mm。
(a3) 達到 $249^\circ\text{C}$ 所需時間約為 5.44 秒。

(b) 75mm 金屬球的熱能累積

此部分處理一個較大的金屬球，要求計算其吸收最大可能熱能 90% 所需時間，以及此時中心溫度。

已知條件：

• 球體屬性：直徑 $D = 75 \, \text{mm} = 0.075 \, \text{m}$，$\rho = 3000 \, \text{kg/m}^3$, $c = 800 \, \text{J/kg} \cdot \text{K}$,

本題要求估計一個圓柱形咖啡罐從熱室移出到室溫環境中的初始熱散失率，需要考慮兩種放置方式（垂直和水平），並包含對流和輻射兩種傳熱機制。

已知條件：

• 咖啡罐初始溫度 $T_s = 70^\circ\text{C}$。
• 環境溫度 $T_\infty = T_{surr} = 25^\circ\text{C}$。
• 圓柱形狀：直徑 $D = 45 \, \text{mm} = 0.045 \, \text{m}$，高度 $H = 90 \, \text{mm} = 0.09 \, \text{m}$。
• 輻射參數：
  • 輻射係數 $h_r = 5.6 \, \text{W/m}^2\text{K}$ (此值通常是基於特定溫差下的估算值，或者題目提供的是一個簡化值)。
  • 放射率 $\varepsilon = 0.8$。
  • 史特凡-波茲曼常數 $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \, \text{W/m}^2\text{K}^4$。
• 粗糙架 (coarse-rack) 是非導電材料，且假設與罐體無導熱。
• 空氣流動自由，無顯著摩擦損失。

解題步驟：

總熱散失率 $q_{out}$ 是對流熱散失率 $q_{conv}$ 和輻射熱散失率 $q_{rad}$ 之和。
$q_{out} = q_{conv} + q_{rad}$

1. 計算相關參數：

• 表面積 A：

  • 圓柱側面面積：$A_{side} = \pi D H = \pi \times 0.045 \, \text{m} \times 0.09 \, \text{m} \approx 0.01272 \, \text{m}^2$。
  • 圓柱頂部和底部面積：$A_{top/bottom} = 2 \times \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi D^2}{2} = \frac{\pi (0.045 \, \text{m})^2}{2} \approx 0.00318 \, \text{m}^2$。
  • 總表面積 $A_{total} = A_{side} + A_{top/bottom} = 0.01272 + 0.00318 = 0.0159 \, \text{m}^2$。

• 溫差 $\Delta T$：
  $T_s = 70^\circ\text{C}$，$T_\infty = 25^\circ\text{C}$。
  $\Delta T = T_s - T_\infty = 70 - 25 = 45^\circ\text{C} = 45 \, \text{K}$。

• 絕對溫度：
  $T_s = 70 + 273.15 = 343.15 \, \text{K}$。
  $T_{surr} = 25 + 273.15 = 298.15 \, \text{K}$。
  $T_s^4 = (343.15)^4 \approx 1.383 \times 10^{10} \, \text{K}^4$。
  $T_{surr}^4 = (298.15)^4 \approx 7.902 \times 10^9 \, \text{K}^4$。
  $T_s^4 - T_{surr}^4 \approx (1.383 - 0.7902) \times 10^{10} \, \text{K}^4 \approx 5.928 \times 10^9 \, \text{K}^4$。

2. 估計對流熱傳係數 $h$：
題目未直接給出對流係數 $h$，但提到了「空氣可以自由流動」。這暗示了自然對流的可能性，或者是一個較低的強制對流。粗糙架的設計可能導致一定的空氣擾動，但不一定是強烈的強制對流。
由於題目問的是「估計」，且提供了輻射係數 $h_r$，這可能是提示我們使用一個估算的 $h$ 值，或者假設一個常見值。

選項一：假設自然對流。
對於圓柱體，自然對流的努塞特數 (Nu) 可以用葛拉曉夫數 (Gr) 和普朗特數 (Pr) 來關聯。
$Ra = Gr \cdot Pr = \frac{g \beta (T_s - T_\infty) D^3}{\nu \alpha}$。
空氣在約 $T_{avg} = (70+25)/2 = 47.5^\circ\text{C} \approx 320 \, \text{K}$ 的溫度下。
查表 (Table A2 in the appendix, approximate for 300K to 400K):
在 $T \approx 320 \, \text{K}$，$\beta = 1/T_{avg} \approx 1/320 \, \text{K}^{-1}$。
$\nu \approx 1.8 \times 10^{-5} \, \text{m}^2/\text{s}$。
$\alpha \approx 2.4 \times 10^{-5} \, \text{m}^2/\text{s}$。
$g = 9.81 \, \text{m/s}^2$。
$D = 0.045 \, \text{m}$。
$Ra = \frac{9.81 \times (1/320) \times (45 \, \text{K}) \times (0.045 \, \text{m})^3}{(1.8 \times 10^{-5} \, \text{m}^2/\text{s}) \times (2.4 \times 10^{-5} \, \text{m}^2/\text{s})} \approx \frac{0.0137 \times 45 \times 9.11 \times 10^{-5}}{4.32 \times 10^{-10}} \approx \frac{5.65 \times 10^{-5}}{4.32 \times 10^{-10}} \approx 1.3 \times 10^5$。
對於水平圓柱的自然對流，常用關聯式為：$Nu_D = C (Ra_D)^{n}$。
對於 $10^4 < Ra_D < 10^9$，常取 $C=0.53$ 和 $n=1/4$。
$Nu_D = 0.53 (1.3 \times 10^5)^{1/4} \approx 0.53 \times 19.1 \approx 10.1$。
$h = Nu_D \frac{k}{D} = 10.1 \times \frac{0.026 \, \text{W/m} \cdot \text{K}}{0.045 \, \text{m}} \approx 5.8 \, \text{W/m}^2\text{K}$。
這個值相對較小。

選項二：使用題目提供的 $h_r$ 作為 $h$ 的參考。
題目給了 $h_r = 5.6 \, \text{W/m}^2\text{K}$。這是一個非常接近我們計算出的自然對流 $h$ 值。這可能是題目暗示的對流係數。
我們採用 $h = 5.6 \, \text{W/m}^2\text{K}$。

3. 計算初始熱散失率 (qout)：

情況 1：垂直放置 (Vertical orientation)

• 頂部表面積 $A_{top} = \frac{\pi D^2}{4} \approx 0.00159 \, \text{m}^2$。

• 底部表面積 $A_{bottom} = \frac{\pi D^2}{4} \approx 0.00159 \, \text{m}^2$。

• 側面面積 $A_{side} = \pi D H = 0.01272 \, \text{m}^2$。

• 對流熱散失率 ($q_{conv}$):

  • 頂部：頂部表面通常有較強的自然對流（熱空氣上升）。
    $q_{conv, top} = h A_{top} \Delta T = (5.6 \, \text{W/m}^2\text{K}) \times (0.00159 \, \text{m}^2) \times (45 \, \text{K}) \approx 0.40 \, \text{W}$。
  • 底部：底部表面對流可能較弱。
    $q_{conv, bottom} = h A_{bottom} \Delta T = (5.6 \, \text{W/m}^2\text{K}) \times (0.00159 \, \text{m}^2) \times (45 \, \text{K}) \approx 0.40 \, \text{W}$。
  • 側面：側面通常是較弱的自然對流。
    $q_{conv, side} = h A_{side} \Delta T = (5.6 \, \text{W/m}^2\text{K}) \times (0.01272 \, \text{m}^2) \times (45 \, \text{K}) \approx 3.21 \, \text{W}$。
  • 總對流熱散失率：$q_{conv, vertical} = q_{conv, top} + q_{conv, bottom} + q_{conv, side} \approx 0.40 + 0.40 + 3.21 = 4.01 \, \text{W}$。
    （注意：此處假設 $h$ 對所有表面都相同。實際情況頂部可能稍高，側面和底部可能略低於平均值。但題目要求估計，此處採用平均 $h$ 是合理的。）

• 輻射熱散失率 ($q_{rad}$):
  使用簡化的輻射公式 $q_{rad} = h_r A \Delta T$ 或更精確的 $q_{rad} = \epsilon \sigma A (T_s^4 - T_{surr}^4)$。
  題目給了 $h_r$ 和 $\varepsilon$，通常在這種情況下，若無特別說明，輻射的總面積應與對流的總面積相同。

  • 使用 $h_r$：
    $q_{rad, vertical} = h_r A_{total} \Delta T = (5.6 \, \text{W/m}^2\text{K}) \times (0.0159 \, \text{m}^2) \times (45 \, \text{K}) \approx 4.01 \, \text{W}$。
  • 使用 $\varepsilon$ 和 $\sigma$：

核心觀念

本題考查同心管熱交換器的：

• 能量平衡
• 對數平均溫差法（LMTD method）
• 平行流與逆流的溫度分布判斷
• 整體熱傳係數
• 熱交換器有效度（effectiveness）

主要公式如下：

$$Q=C_h(T_{h,i}-T_{h,o})$$ $$Q=C_c(T_{c,o}-T_{c,i})$$ $$Q=UA\Delta T_{\mathrm{lm}}$$

其中，逆流熱交換器的兩端溫差為

$$\Delta T_1=T_{h,i}-T_{c,o}$$ $$\Delta T_2=T_{h,o}-T_{c,i}$$

對數平均溫差為

$$\Delta T_{\mathrm{lm}} = \frac{\Delta T_2-\Delta T_1} {\ln(\Delta T_2/\Delta T_1)}$$

熱交換器有效度定義為

$$\varepsilon=\frac{Q}{Q_{\max}}$$

且

$$Q_{\max}=C_{\min}(T_{h,i}-T_{c,i})$$

---

解題方法

先由冷側流體的熱容量率與溫度變化求出熱傳量，再利用能量守恆求熱側出口溫度。接著依出口溫度判斷流動型式，最後使用 LMTD 法求 $U$，並以最大可能熱傳量計算有效度。

---

(a) 熱側流體出口溫度

冷側吸收的熱量為

$$Q=C_c(T_{c,o}-T_{c,i})$$

代入

$$Q=4(76-20)=224\ \text{kW}$$

由能量守恆，熱側放出的熱量等於冷側吸收的熱量：

$$8(80-T_{h,o})=224$$

因此

$$80-T_{h,o}=28$$ $$\boxed{T_{h,o}=52^\circ\text{C}}$$

---

(b) 判斷流動型式

已知：

• 熱側入口：$80^\circ\text{C}$
• 熱側出口：$52^\circ\text{C}$
• 冷側入口：$20^\circ\text{C}$
• 冷側出口：$76^\circ\text{C}$

若為平行流，兩流體同端進入、同端離開，因此出口端必須滿足熱流體溫度高於冷流體溫度，即應有

$$T_{h,o}>T_{c,o}$$

但本題中

$$T_{h,o}=52^\circ\text{C}<T_{c,o}=76^\circ\text{C}$$

出現溫度交叉，平行流無法達成此溫度分布。

若為逆流，兩端溫差為

$$\Delta T_1=T_{h,i}-T_{c,o}=80-76=4\text{ K}$$ $$\Delta T_2=T_{h,o}-T_{c,i}=52-20=32\text{ K}$$

兩端溫差皆為正，符合逆流熱交換器的運作條件。

因此熱交換器為

$$\boxed{\text{逆流（counter-flow）}}$$

不是「無法判斷」，因為已知四個進出口溫度，足以判斷流動型式。

---

(c) 整體熱傳係數

逆流熱交換器的兩端溫差為

$$\Delta T_1=4\text{ K},\qquad \Delta T_2=32\text{ K}$$

因此對數平均溫差為

此區塊為附錄，提供了熱傳學問題中可能用到的公式和表格，包括集總參數法、球體瞬態導熱的精確解和單項近似解，以及相關的係數表。這些公式和表格是解答考古題中涉及瞬態導熱問題的重要工具。

• 集總參數法 (Lumped Capacitance Method)：
  $\theta = \frac{T - T_\infty}{T_i - T_\infty} = e^{-t/\tau_t}$
  $\tau_t = \frac{\rho V c}{hA_s} = R_t C_t$
  此公式適用於物體內部導熱阻遠小於表面對流阻的情況 ($Bi < 0.1$)。$\theta$ 是無因次溫度，$\tau_t$ 是熱時間常數。

• 球體瞬態導熱精確解 (Exact Solution for Transient Conduction in a Sphere)：
  $\theta = \frac{T - T_\infty}{T_i - T_\infty} = \frac{2}{Bi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(\lambda_n r^*)}{\lambda_n + \sin(\lambda_n)\cos(\lambda_n)} e^{-\lambda_n^2 Fo}$

此區塊為附錄，提供了熱傳學問題中可能用到的公式和表格，包括集總參數法、球體瞬態導熱的精確解和單項近似解，以及相關的係數表。這些公式和表格是解答考古題中涉及瞬態導熱問題的重要工具。

• 集總參數法 (Lumped Capacitance Method)：
  $\theta = \frac{T - T_\infty}{T_i - T_\infty} = e^{-t/\tau_t}$
  $\tau_t = \frac{\rho V c}{hA_s} = R_t C_t$
  此公式適用於物體內部導熱阻遠小於表面對流阻的情況 ($Bi < 0.1$)。$\theta$ 是無因次溫度，$\tau_t$ 是熱時間常數。

• 球體瞬態導熱精確解 (Exact Solution for Transient Conduction in a Sphere)：
  $\theta = \frac{T - T_\infty}{T_i - T_\infty} = \frac{2}{Bi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(\lambda_n r^*)}{\lambda_n + \sin(\lambda_n)\cos(\lambda_n)} e^{-\lambda_n^2 Fo}$

此區塊為附錄，提供了熱傳學問題中可能用到的公式和表格，包括集總參數法、球體瞬態導熱的精確解和單項近似解，以及相關的係數表。這些公式和表格是解答考古題中涉及瞬態導熱問題的重要工具。

• 集總參數法 (Lumped Capacitance Method)：
  $\theta = \frac{T - T_\infty}{T_i - T_\infty} = e^{-t/\tau_t}$
  $\tau_t = \frac{\rho V c}{hA_s} = R_t C_t$
  此公式適用於物體內部導熱阻遠小於表面對流阻的情況 ($Bi < 0.1$)。$\theta$ 是無因次溫度，$\tau_t$ 是熱時間常數。

• 球體瞬態導熱精確解 (Exact Solution for Transient Conduction in a Sphere)：
  $\theta = \frac{T - T_\infty}{T_i - T_\infty} = \frac{2}{Bi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(\lambda_n r^*)}{\lambda_n + \sin(\lambda_n)\cos(\lambda_n)} e^{-\lambda_n^2 Fo}$

此區塊為附錄，提供了熱傳學問題中可能用到的公式和表格，包括集總參數法、球體瞬態導熱的精確解和單項近似解，以及相關的係數表。這些公式和表格是解答考古題中涉及瞬態導熱問題的重要工具。

• 集總參數法 (Lumped Capacitance Method)：
  $\theta = \frac{T - T_\infty}{T_i - T_\infty} = e^{-t/\tau_t}$
  $\tau_t = \frac{\rho V c}{hA_s} = R_t C_t$
  此公式適用於物體內部導熱阻遠小於表面對流阻的情況 ($Bi < 0.1$)。$\theta$ 是無因次溫度，$\tau_t$ 是熱時間常數。

• 球體瞬態導熱精確解 (Exact Solution for Transient Conduction in a Sphere)：
  $\theta = \frac{T - T_\infty}{T_i - T_\infty} = \frac{2}{Bi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(\lambda_n r^*)}{\lambda_n + \sin(\lambda_n)\cos(\lambda_n)} e^{-\lambda_n^2 Fo}$