108 年 國立清華大學工程與系統科學系碩士班甲組《物理冶金》

此題主要考查位錯的種類、特性、單位長度位錯的概念以及位錯間的交互作用。

(a) 位錯的種類及其幾何結構特性：
位錯主要分為兩種：刃位錯 (Edge Dislocation) 和螺位錯 (Screw Dislocation)。

1. 刃位錯 (Edge Dislocation)：

   • 結構: 想像將一完美的晶體切成兩半，然後將其中一半再多塞入半個原子平面。這個額外的半原子平面就形成了刃位錯。
   • 幾何結構: 刃位錯的特徵是一個額外的半原子平面終止於晶體內部。位錯線 (Dislocation line) 與半原子平面的邊緣垂直。
   • 移動: 在應力作用下，刃位錯可以通過鍵的斷裂與重組而移動，這種移動稱為滑移 (slip)。
   • 應力場: 在刃位錯周圍存在應力場，晶體平面在位錯線附近發生彎曲。在半原子平面上方區域（過剩平面區域）存在壓縮應力，下方區域存在拉伸應力。

2. 螺位錯 (Screw Dislocation)：

   • 結構: 想像將一完美的晶體切開，然後沿著某個方向（位錯線方向）將晶體向上或向下切割，但未完全切斷，再將兩部分相對位移一個原子間距，然後重新結合。
   • 幾何結構: 螺位錯的特徵是晶格平面像螺紋一樣繞著位錯線螺旋狀地纏繞。位錯線與原子位移方向平行。
   • 移動: 螺位錯的移動也是通過滑移實現，其移動方向與位錯線平行。
   • 應力場: 在螺位錯周圍存在剪應力場，晶格平面呈螺旋狀彎曲。

3. 夾雜位錯 (Mixed Dislocation)：

   • 大多數實際的位錯既不是純刃位錯也不是純螺位錯，而是兩者的組合，稱為夾雜位錯。其位錯線的一部分是刃位錯，另一部分是螺位錯。

(b) 位錯的單位長度與 FCC/BCC 晶體中的差異：

• 單位長度位錯 (Unit length of dislocation)：
  位錯的「單位長度」通常是指單位長度位錯線上的原子錯排量，這個量與晶格結構和位錯類型有關。更精確地說，對於刃位錯，單位長度位錯線上的「滑移步長」(slip distance) 通常與晶格參數相關。對於螺位錯，它描述了繞位錯線一周的晶格平面的總位移量，這個位移量也與晶格結構相關。在許多情況下，這個概念與 Burgers 向量 (Burgers vector, $\vec{b}$) 的大小有關。Burgers 向量代表了晶格在位錯形成時所發生的總畸變。

• FCC 晶體中的位錯單位長度：
  在面心立方 (FCC) 結構中，最常見的滑移系統是 $\{111\}$ 族平面與 $<110>$ 族方向。Burgers 向量的典型方向是 $<110>$ 方向，其大小為 $b_{FCC} = \frac{a}{\sqrt{2}}$，其中 $a$ 是晶格常數。例如，對於一個常見的 FCC Burgers 向量，如 $[1\bar{1}0]$，其大小為 $\frac{a}{\sqrt{2}}$。在 FCC 結構中，由於原子排列的緊密性，位錯線的結構相對緊密。

• BCC 晶體中的位錯單位長度：
  在體心立方 (BCC) 結構中，滑移系統較為複雜，最常見的滑移平面是 $\{110\}$ 族平面，但其他平面如 $\{112\}$ 或 $\{123\}$ 也可能參與滑移。Burgers 向量的典型方向是 $<111>$ 方向，其大小為 $b_{BCC} = \frac{\sqrt{3}}{2}a$，其中 $a$ 是晶格常數。例如，對於一個常見的 BCC Burgers 向量，如 $[111]$，其大小為 $\frac{\sqrt{3}}{2}a$。BCC 結構中的原子排列相對疏鬆，位錯線的結構可能更寬。

• 差異比較：

  • Burgers 向量大小: $b_{BCC} = \frac{\sqrt{3}}{2}a \approx 0.866a$ ； $b_{FCC} = \frac{1}{\sqrt{2}}a \approx 0.707a$。

核心觀念與解題方法

本題考查金屬拉伸時的應力—應變曲線、溫度與應變速率效應、單晶滑移造成的晶體旋轉，以及延性破壞機制。判讀曲線時，依序追蹤材料由彈性變形、均勻塑性變形到頸縮；分析單晶滑移時，則用施密特定律判斷滑移系統的啟動與晶體旋轉。

(a) 應力—應變曲線三個區域的斜率變化

圖中的兩條虛線將曲線分成三段，可對應到彈性變形、均勻塑性變形與頸縮破壞。

1. 第一區：彈性變形至降伏

   • **巨觀：**應力增加時，應變大致增加；彈性範圍內曲線斜率為楊氏模數 $E$，卸載後可恢復原狀。接近降伏時，斜率開始偏離彈性斜率。
   • **微觀：**原子鍵長與鍵角發生可逆改變。達到降伏後，位錯開始滑移，塑性變形逐漸出現。

2. 第二區：均勻塑性變形與加工硬化

   • **巨觀：**試片仍大致均勻伸長；要使材料繼續變形，需提高應力，曲線斜率為正，但切線斜率通常逐漸降低。
   • **微觀：**位錯大量增殖、交互纏結並阻礙彼此運動，形成加工硬化。材料愈變形愈難繼續滑移，因此流動應力上升。

3. 第三區：頸縮與破斷

   • **巨觀：**達到最大工程應力後，變形集中在局部形成頸縮，工程應力下降，最後試片破斷。
   • **微觀：**頸縮區內產生並長大微孔洞，微孔洞連結成裂縫。此時工程應力下降，是因試片最小截面快速縮小；材料局部的真應力仍可能持續上升。

工程應力與真應力分別為

其中 $A_0$ 是原始截面積，$A$ 是變形時的實際截面積。兩者的差異能解釋為何頸縮後工程應力下降，局部真應力卻不一定下降。

(b) 影響金屬變形行為的兩個因素

最重要的兩個因素是溫度與應變速率。

• **溫度：**升溫會增加原子熱活化與位錯越障能力，使位錯較容易滑移，通常降低流動應力、增加延性。溫度夠高時，動態回復或再結晶也會消除部分加工硬化。
• **應變速率：**應變速率提高時，位錯可供滑移與熱活化的時間縮短，金屬通常需要較高流動應力才能持續變形，延性也可能降低。

熱活化的定性關係可寫成

其中 $\dot{\varepsilon}$ 為應變速率、$Q$ 為活化能、$R$ 為氣體常數、$T$ 為絕對溫度。提高溫度會促進熱活化；若要在較高應變速率下維持相同變形，通常需要提高應力。

(c) 高於與低於室溫的應力—應變曲線

以下以相同材料與應變速率作比較：

應力 σ
  ↑
  │       低溫
  │      ／╲
  │     ／  ╲
  │    ／     ╲
  │   ／  室溫 ╲
  │  ／  ／╲   ╲
  │ ／  ／  ╲   ╲
  │／  ／ 高溫╲   ╲
  └────────────────→ 應變 ε

溫度較低時，位錯滑移較不容易，降伏強度與流動應力通常較高，破斷應變通常較小。溫度較高時，位錯較易移動，曲線通常向低應力、較大應變方向移動，延性增加。材料與熱處理狀態會影響曲線細節，但上述為一般金屬的趨勢。

(d) 沿 $P$ 軸受拉時的三條晶體旋轉軌跡

施密特定律給出滑移系統上的解析剪應力：

此題考查熱力學在材料科學中的應用，主要涉及平衡態的濃度、固溶度以及缺陷（空位）的熱力學。

(a) 平衡空位濃度與溫度關係的熱力學推導：

核心概念: 系統趨向於使自由能最小的狀態。在平衡狀態下，空位的形成會增加系統的焓 (enthalpy, $H$)，但同時也會增加系統的熵 (entropy, $S$)。自由能 $G = H - TS$。當空位形成導致自由能降低時，空位就會以平衡濃度存在。

假設:

1. 晶體是完美的，沒有任何缺陷。
2. 形成一個空位需要吸收能量 $\Delta H$ (焓變，即形成焓 Formation Enthalpy)。
3. 形成空位會增加系統的熵 $\Delta S$ (熵變，主要來自於原子位置的無序度增加)。

推導:
考慮一個具有 $N$ 個原子位置的純淨晶體。當我們形成一個空位時，總的原子位置數量保持不變，但其中一個位置是空的。
假設在溫度 $T$ 下，晶體中存在 $n_v$ 個空位。那麼，總的原子位置數為 $N$。
系統的總焓 $H_{total}$ 可以表示為：
$H_{total} = H_{perfect} + n_v \Delta H$
其中 $H_{perfect}$ 是沒有空位的完美晶體的焓。

系統的總熵 $S_{total}$ 可以表示為：
$S_{total} = S_{perfect} + S_{configurational}$
$S_{perfect}$ 是完美晶體的熵。
$S_{configurational}$ 是由 $n_v$ 個空位在 $N$ 個位置中隨機分佈所產生的構型熵。
根據統計力學，構型熵為：
$S_{configurational} = k_B \ln W$
其中 $W$ 是可能的微觀狀態數（即 $n_v$ 個空位在 $N$ 個位置中的組合數）。
$W = \frac{N!}{n_v! (N-n_v)!}$
因此，$S_{configurational} = k_B \ln \left( \frac{N!}{n_v! (N-n_v)!} \right)$
當 $N \gg n_v$ 時，可以使用 Stirling 近似：$\ln(n!) \approx n \ln n - n$。
$S_{configurational} \approx k_B [N \ln N - N - (n_v \ln n_v - n_v) - ((N-n_v) \ln (N-n_v) - (N-n_v))]$
$S_{configurational} \approx k_B [N \ln N - n_v \ln n_v - (N-n_v) \ln (N-n_v)]$
令空位濃度 $x_v = \frac{n_v}{N}$。則 $n_v = N x_v$ 且 $N-n_v = N(1-x_v)$。
$S_{configurational} \approx k_B [N \ln N - N x_v \ln (N x_v) - N(1-x_v) \ln (N(1-x_v))]$
$S_{configurational} \approx k_B [N \ln N - N x_v (\ln N + \ln x_v) - N(1-x_v) (\ln N + \ln (1-x_v))]$
$S_{configurational} \approx k_B [N \ln N - N x_v \ln N - N x_v \ln x_v - N(1-x_v) \ln N - N(1-x_v) \ln (1-x_v)]$
$S_{configurational} \approx k_B [- N x_v \ln x_v - N(1-x_v) \ln (1-x_v)]$
$S_{configurational} \approx -N k_B [x_v \ln x_v + (1-x_v) \ln (1-x_v)]$
由於 $N$ 是總原子位置數，$N k_B$ 是氣體常數 $R$。
$S_{configurational} \approx -R [x_v \ln x_v + (1-x_v) \ln (1-x_v)]$

當空位濃度很低時（$x_v \ll 1$），$\ln(1-x_v) \approx -x_v$。
$S_{configurational} \approx -R [x_v \ln x_v + (1-x_v)(-x_v)] \approx -R [x_v \ln x_v - x_v]$
由於 $x_v \ln x_v$ 在 $x_v \to 0$ 時趨近於 0，我們可以近似認為：
$S_{configurational} \approx -R x_v$ (這個近似不太準確，更精確的近似是 $k_B \ln W \approx N k_B \ln(e N/n_v)$)

更直接且常用的方法:
考慮形成一個空位的自由能變化 $\Delta G_v$。
$\Delta G_v = \Delta H_v - T \Delta S_v$
其中 $\Delta H_v$ 是形成一個空位的焓變，$\Delta S_v$ 是形成一個空位的熵變。

在平衡狀態下，系統會盡可能地形成空位來降低自由能。然而，空位的形成會增加焓（需要能量來打破鍵結並創造一個空位），但會顯著增加熵（由於原子位置的隨機性增加）。
考慮整個系統的自由能 $G = H - TS$。
當系統從完美晶體（$n_v=0$）轉變為含有 $n_v$ 個空位的狀態時，自由能的變化是：
$\Delta G_{total} = \Delta H_{total} - T \Delta S_{total}$
$\Delta H_{total} = n_v \Delta H_v$ （焓增加）
$\Delta S_{total} = S_{configurational}$ （熵增加）

在平衡狀態下，系統的自由能達到最小值。我們可以通過對空位濃度 $x_v$ 求導來找到最小值。
自由能 $G(x_v) = H_{perfect} - T S_{perfect} + n_v \Delta H_v - T S_{configurational}(x_v)$
$G(x_v) = G_{perfect} + N x_v \Delta H_v - T (-R [x_v \ln x_v + (1-x_v) \ln (1-x_v)])$
為了找到最小值，我們對 $x_v$ 求導並令其為零：
$\frac{dG}{dx_v} = N \Delta H_v - T (-R [\ln x_v + 1 - (\ln (1-x_v) + 1)])$
$\frac{dG}{dx_v} = N \Delta H_v - T (-R [\ln x_v - \ln (1-x_v)])$
$\frac{dG}{dx_v} = N \Delta H_v + RT \ln \left( \frac{1-x_v}{x_v} \right)$
令 $\frac{dG}{dx_v} = 0$：
$N \Delta H_v + RT \ln \left( \frac{1-x_v}{x_v} \right) = 0$
$RT \ln \left( \frac{1-x_v}{x_v} \right) = -N \Delta H_v$
$\ln \left( \frac{1-x_v}{x_v} \right) = -\frac{N \Delta H_v}{RT}$
$\frac{1-x_v}{x_v} = \exp \left( -\frac{N \Delta H_v}{RT} \right)$
$\frac{1}{x_v} - 1 = \exp \left( -\frac{N \Delta H_v}{RT} \right)$

由於空位濃度 $x_v$ 通常很小 ($x_v \ll 1$)，所以 $1-x_v \approx 1$。
因此，$\ln \left( \frac{1}{x_v} \right) \approx -\frac{N \Delta H_v}{RT}$
$x_v \approx \exp \left( \frac{N \Delta H_v}{RT} \right)$
這裡的 $N$ 是指單位原子數，或者 $N \Delta H_v$ 可以看作是形成一個空位的總焓變。
更常見的表達形式是：
$x_v = \exp \left( -\frac{\Delta G_v}{k_B T} \right) = \exp \left( -\frac{\Delta H_v - T \Delta S_v}{k_B T} \right) = \exp \left( \frac{\Delta S_v}{k_B} \right) \exp \left( -\frac{\Delta H_v}{k_B T} \right)$
其中 $k_B$ 是 Boltzmann 常數。
令 $C_0 = \exp \left( \frac{\Delta S_v}{k_B} \right)$，則：
$x_v = C_0 \exp \left( -\frac{\Delta H_v}{k_B T} \right)$

結論:
空位濃度 $x_v$ 是溫度的指數函數。隨著溫度的升高 ($T$ 增加)，指數項 $-\frac{\Delta H_v}{k_B T}$ 的絕對值減小，因此 $x_v$ 顯著增加。這是因為高溫提供了足夠的熱能來克服形成空位所需的能量壁壘 ($\Delta H_v$)，同時增加的熵 ($\Delta S_v$) 也促使系統趨向於無序狀態（即有更多空位）。

關於 "dopant" concentration:
如果題目中的 "dopant concentration" 指的是雜質原子在固溶體中的平衡濃度，那麼推導過程類似，但需要考慮雜質原子與基體原子的交互作用，以及它們對晶格畸變和熵的影響。通常，雜質在固溶體中的平衡濃度也與溫度呈指數關係。

(b) 固溶體中雜質溶解度的決定因素：

固溶度 (Solubility) 指的是一種元素（溶質）能夠溶解在另一種元素（溶劑）中的最大能力。決定固溶度的主要因素是吉布斯自由能變化 $\Delta G_{solution}$。當 $\Delta G_{solution} < 0$ 時，固溶體可以形成。
$\Delta G_{solution} = \Delta H_{solution} - T \Delta S_{solution}$

核心觀念與解題方法

本題考查室溫冷加工造成的加工硬化，以及後續退火時的回復、再結晶與晶粒長大。冷加工會增加位錯密度，使材料強度與硬度上升、延性與韌性下降；退火則可逐步降低缺陷密度、形成新的無應變晶粒，恢復塑性與韌性。

題目未提供合金牌號、析出相溶解溫度及實際熔點數值，因此無法給出可直接投產的精確溫度與時間。以下以均勻、單相熔點為參考，採絕對溫度的同調溫度 $T/T_m$ 給出概念性熱處理範圍；正式製程仍須依合金規格校核析出相與相變溫度。

(a) 室溫機械處理與組織變化

矯正葉片時，應以支撐模具控制形狀，分段施加載荷，並檢查回彈與裂紋。室溫下的變形屬於冷加工，組織變化可依塑性應變增加分為以下階段：

1. 彈性變形：卸載後形狀大致恢復，晶格只產生可恢復的微小彈性畸變，位錯密度變化有限。
2. 初期塑性變形：應力達降伏強度後，位錯開始滑移並增殖，晶粒逐漸沿變形方向伸長，形成滑移帶。
3. 中度冷加工：位錯數量大增並交互作用，形成位錯糾結、位錯胞與亞晶界；晶粒形狀與晶體取向逐漸呈現加工方向性。
4. 大量冷加工：位錯密度進一步上升，胞壁與亞晶界更明顯，晶粒高度扁長，可能出現剪切帶與微裂紋。此時材料均勻變形能力降低，後續加工開裂風險升高。

以位錯密度 $\rho$ 表示，塑性應變增加時，通常有 $\rho \uparrow$；晶粒則由近等軸逐漸轉為沿加工方向拉長。

(b) 加工硬化的原因

塑性變形會增殖位錯。位錯彼此交截、纏結，並受到溶質原子、析出物及晶界等障礙阻擋，使後續位錯滑移需要更大的外加應力。故流動應力隨塑性應變增加，稱為加工硬化或應變硬化。

常用的定性關係為：

其中 $\sigma$ 為流動應力，$\sigma_0$ 為基礎阻力，$\alpha$ 為材料常數，$G$ 為剪切模數，$b$ 為柏氏向量大小，$\rho$ 為位錯密度。冷加工提高 $\rho$，因此強度與硬度上升；但可用的滑移空間減少，延性與韌性下降。對大型風機葉片而言，過度冷加工亦會讓後續疲勞裂紋更容易萌生。

(c) 退火熱預算、組織演變與性能變化

熱處理階段與建議溫度範圍

溫度以絕對溫度表示，並以 $T/T_m$ 作為同調溫度。下列為一般金屬的概念範圍，實際轉變溫度會隨冷加工量、合金成分、析出物與保溫時間改變。