109 年 國立清華大學工程與系統科學系碩士班甲組《物理冶金》

本題主要考驗對 X 光繞射（特別是 Laue 法）的理解，以及熱處理（退火）對金屬材料微觀結構（位錯）和宏觀性質的影響。

(a) 題目敘述提到彎曲的試棒（Specimen A）在退火後，形狀產生了變化，並且原本的 Laue 圖案（Figure 1）顯示點狀斑點（spots）變成了拉長的條紋。這暗示了材料內部發生了應力釋放和回復的過程。
核心觀念：退火是熱處理的一種，目的是降低材料的內應力、回復晶體結構、改善延展性。對於有內應力或變形的材料，退火會導致其結構發生變化。
現象：試棒形狀的變化和 Laue 圖案的改變，都指向材料在退火過程中發生了「應力釋放」與「回復」。對於原本彎曲的試棒，退火會使其趨於回復到較低的應力狀態，可能導致形狀的微小變化。而 Laue 圖案上點的拉長，表示晶格的完整性受到影響，可能與內部應力的釋放有關。
【答案】應力釋放與回復 (Stress relaxation and recovery)。

(b) 宏觀與微觀層面的差異，以及與位錯的關聯。
核心觀念：位錯是晶體材料中造成塑性變形的缺陷。退火過程會影響位錯的排列與密度。
宏觀層面：
退火前：試棒彎曲，表示材料內部存在較大的殘留應力，且晶格可能已有一定程度的變形。
退火後：試棒形狀可能趨於平直（儘管題目說「varied」，但通常退火會趨於應力釋放），表示內應力降低。Laue 圖案點的拉長，也反映了晶格的應力狀態或缺陷排列。
微觀層面（位錯）：
退火前：彎曲的試棒表示內部累積了大量的位錯，且這些位錯可能呈現不規則的排列，與殘留應力有關。
退火後：退火會促使位錯發生運動、湮滅、攀移和重排，形成位錯牆 (dislocation walls) 或稱為亞晶粒界 (subgrain boundaries)，降低總位錯密度，並釋放內應力。這使得晶格趨於完整，但如果位錯重排形成較大的區域，也可能導致繞射點的拉長。
繪圖說明：
宏觀：畫一個彎曲的棒狀圖（退火前），和一個較平直的棒狀圖（退火後）。
微觀：畫出退火前雜亂、高密度的位錯網路。畫出退火後位錯重排形成的亞晶粒結構，位錯密度降低，形成位錯牆。
【答案】
宏觀：退火前試棒彎曲，退火後試棒形狀趨於平直或改變。
微觀：退火前位錯密度高且排列雜亂；退火後位錯重排形成亞晶粒結構，位錯密度降低。

(c) 退火過程中，驅動應力釋放與位錯重排的動力。
核心觀念：系統傾向於降低其總自由能。
動力：系統的總自由能包含焓 (enthalpy) 和熵 (entropy) 兩部分。在退火溫度下，原子具有足夠的熱能進行擴散，位錯可以移動和重排。降低位錯密度和消除內應力可以降低系統的焓 (entalpy)，因為位錯的形成和排列會增加晶格的畸變能。同時，位錯的重排也可能增加系統的熵 (entropy)。在退火溫度下，自由能的降低是驅動這些過程的主要動力。
【答案】降低系統的總自由能，主要透過降低位錯儲存的應變能 (strain energy) 和消除殘留應力。

(d) 退火過程中位錯排列改變的原因。
核心觀念：位錯在移動和交互作用時，會傾向於達到能量最低的狀態。
原因：

1. 應力釋放：退火提供的熱能使位錯能夠克服較小的能障移動。原本累積的內應力驅使位錯移動，並尋找能量較低的排列方式。
2. 位錯動力學：位錯之間存在排斥力或吸引力。當位錯移動到足夠靠近時，它們會相互湮滅（例如，刃位錯的兩個半平面相互抵消），或者重排形成位錯牆。
3. 擴散：在高溫下，點缺陷（如空位）的擴散速率增加，位錯可以透過與空位的交互作用（攀移）來改變其運動平面，從而實現更複雜的重排。
   最終結果是形成相對穩定、能量較低的位錯結構，如亞晶粒界。
   【答案】位錯間的交互作用（吸引與排斥）、應力驅動的位錯運動、以及高溫下點缺陷擴散輔助的位錯攀移。

(e) 退火後試棒 A 的硬度變化。
核心觀念：硬度與材料的位錯密度和排列方式有關。
變化：通常情況下，退火會導致材料的硬度降低。
原因：退火的主要目的是降低材料的內應力、回復晶體結構、提高延展性。這個過程伴隨著位錯數量的減少（湮滅）和排列的規則化（形成亞晶粒界）。

本題主要考驗對相圖、自由能曲線、擴散偶以及固態相變的理解。

(a) 繪製 400°C 時銅鋅系統的自由能對組成曲線。
核心觀念：在給定的溫度和壓力下，一個系統會趨向於處於自由能最低的狀態。不同相的自由能隨組成變化的曲線可以預測哪些相會穩定存在，以及哪些相可以共存。
根據 Figure 3（Cu-Zn 相圖），在 400°C 時，主要的穩定相區域有：

• $\alpha$ 相 (FCC 固溶體)：組成範圍約為 0-38.3 at% Zn。
• $\beta'$ 相 (BCC 結構，有序相)：組成範圍約為 44.8-48.2 at% Zn。
• $\gamma$ 相 (複雜 BCC 結構)：組成範圍約為 55.8-59.1 at% Zn。
• $\epsilon$ 相 (HCP 結構)：組成範圍約為 97.2-99.7 at% Zn。
• 還有 Liquid 相在高溫區，以及其他一些相，但在 400°C 附近，上述四種固相是主要的。
  繪製方法：

1. 畫出橫軸為鋅的原子百分比 (at% Zn)，縱軸為莫耳自由能 G。
2. 針對 400°C，繪製 $\alpha$, $\beta'$, $\gamma$, $\epsilon$ 相的自由能曲線。這些曲線通常是 U 形或類似的形狀。
3. 在相圖中，400°C 處 $\alpha$ 相的範圍是從純 Cu 到約 38.3 at% Zn。$\beta'$ 相的範圍是從約 44.8 at% Zn 到 48.2 at% Zn。$\gamma$ 相的範圍是從 55.8 at% Zn 到 59.1 at% Zn。$\epsilon$ 相的範圍是從 97.2 at% Zn 到 99.7 at% Zn。
4. 在多相區，例如 $\alpha + \beta'$ 之間，自由能曲線會形成一個「公共切線」。這表示在這兩個組成範圍內的材料，會形成由 $\alpha$ 和 $\beta'$ 組成的兩相混合物，其自由能會低於單相 $\alpha$ 或單相 $\beta'$ 的自由能。
5. 題目特別提到 Figure 2 顯示一個 $\beta'$ 相薄層，這意味著在 400°C，Cu 和 Zn 擴散偶的介面附近形成了 $\beta'$ 相。這通常發生在 $\alpha$ 相區和 $\beta'$ 相區的交界處，或者在存在 $\beta'$ 相的單相區內。
   繪製時，應確保：

• $\alpha$ 相在低 Zn 含量區穩定。
• $\beta'$ 相在中間範圍穩定。
• $\gamma$ 相在較高 Zn 含量區穩定。
• $\epsilon$ 相在接近純 Zn 的區域穩定。
• 在相區之間，應繪製公共切線來表示兩相共存的自由能。
  【答案】繪製 Cu-Zn 系統在 400°C 的自由能-組成曲線圖，包含 $\alpha$, $\beta'$, $\gamma$, $\epsilon$ 相的自由能曲線，並標示出可能的兩相共存區（如 $\alpha+\beta'$，$\beta'+\gamma$ 等）的公共切線。

(b) 繪製鋅的部分莫耳自由能隨銅鋅相圖變化的曲線。
核心觀念：部分莫耳自由能 ($\bar{G}_i$) 是評估擴散和相變的重要參數。
$\bar{G}_{Zn} = (\frac{\partial G}{\partial n_{Zn}})_{T, P, n_{Cu}}$
繪製方法：

1. 參考 Figure 3，在給定的溫度 (400°C) 下，考慮不同相區。
2. 對於每個單相區，其自由能曲線 $G(x_{Zn})$ 是給定的。其部分莫耳自由能 $\bar{G}_{Zn}$ 可以通過繪製切線來獲得。具體來說，$\bar{G}_{Zn} = G - x_{Zn} (\frac{\partial G}{\partial x_{Zn}})$。 或者，在 $G$ 對 $x_{Zn}$ 的圖上，$\bar{G}_{Zn}$ 是通過在點 $(x_{Zn}, G)$ 處繪製切線與縱軸（$x_{Zn}=0$）的交點來表示。
3. 對於兩相共存區，例如 $\alpha + \beta'$，在該組成範圍內，$\bar{G}_{Zn}$ 是一個常數，因為 $\alpha$ 和 $\beta'$ 的成分是固定的，並且它們共享相同的公共切線，其斜率代表了 $\bar{G}_{Zn}$。
4. 繪製圖表：橫軸為鋅的原子百分比 (at% Zn)，縱軸為鋅的部分莫耳自由能 ($\bar{G}_{Zn}$)。
   • 在 $\alpha$ 相區，$\bar{G}_{Zn}$ 應隨 $x_{Zn}$ 增加而增加。
   • 在 $\beta'$ 相區，$\bar{G}_{Zn}$ 應隨 $x_{Zn}$ 增加而增加，但斜率可能不同。
   • 在兩相區（如 $\alpha + \beta'$），$\bar{G}_{Zn}$ 應為一常數。
   • 在 $\beta' + \gamma$ 區，$\bar{G}_{Zn}$ 也應為一常數。
   • 在 $\gamma$ 相區，$\bar{G}_{Zn}$ 應隨 $x_{Zn}$ 增加而增加。

核心觀念

本題考查鋁銅合金的析出硬化，以及熱處理如何改變位錯運動與剪應力—剪應變曲線。鋁銅合金的析出序列可概括為：

其中，GP 區與 $\theta''$ 大致為共格析出物，$\theta'$ 為半共格析出物，$\theta$ 為平衡相。析出物的尺寸、數量密度、間距與共格性會改變位錯通過材料所需的剪應力。

以下以 $\tau$ 表示剪應力、$\gamma$ 表示剪應變。降伏剪應力可概念性地寫成：

純鋁沒有銅的固溶強化或析出強化，降伏剪應力最低。鋁銅合金經固溶處理、淬火及時效後，則依析出狀態呈現不同強度。

解題方法與曲線

先比較各狀態下位錯移動的阻力，再依降伏剪應力排列曲線。各曲線的初始彈性斜率約相同，因為材料的剪切模數相近；熱處理的主要影響是改變降伏剪應力與塑性變形時的加工硬化行為。

剪應力 τ
  ↑
  │                                  ╭──────── (c) 峰值時效
  │                            ╭─────╯
  │                       ╭────╯──────────── (e) 過時效
  │                  ╭────╯─────────────── (d) GP 區
  │             ╭────╯─────────────────── (b) 固溶處理後淬火
  │        ╭────╯──────────────────────── (a) 純鋁
  │      ╭╯
  │    ╭╯
  │  ╭╯
  └──────────────────────────────────────→ 剪應變 γ

圖為定性示意；各曲線的降伏後加工硬化率與斷裂應變會受試片及實際熱處理條件影響。一般而言，強度提高時延性會下降。

各狀態與硬化機制

核心觀念

本題考金屬在長時間高溫載荷下的潛變、在反覆載荷下的疲勞，以及如何由 $S$–$N$ 曲線判讀疲勞極限或疲勞強度。

• 潛變（creep）：在固定應力與溫度下，材料的塑性應變隨時間逐漸增加；高溫下尤其顯著。
• 疲勞（fatigue）：材料承受反覆或週期性載荷後，因裂縫萌生與成長而破壞；即使應力低於降伏強度，也可能在累積足夠循環後失效。
• $S$–$N$ 曲線：$S$ 表示循環應力，$N$ 表示破壞所需的循環次數。由曲線形狀可判斷材料是否具有疲勞極限。

解題方法

先比較圖中兩條曲線在高循環次數區的形狀：曲線（1）趨於水平，曲線（2）則仍隨循環次數增加而下降。鋼材常有明確疲勞極限；鋁合金通常沒有，因此分別對應曲線（1）與曲線（2）。

（a）潛變與疲勞

潛變是在固定應力與溫度下，應變隨時間增加的變形。疲勞則是反覆載荷造成的累積損傷，裂縫逐漸成長，最後導致破壞。

（b）直升機鋁合金：曲線（2）

鋁合金的 $S$–$N$ 曲線通常不會在高循環區形成水平平台，因此以疲勞強度描述：指定循環壽命 $N$ 時，材料可承受而不破壞的循環應力。

例如依圖取 $N=10^7$ 次，曲線（2）的疲勞強度約為 $150$–$160\ \text{MPa}$。維修規範應以預定服役壽命所對應的疲勞強度為依據，並考慮安全係數及實際載荷循環數。

（c）橋梁鋼材：曲線（1）

鋼材的曲線（1）在高循環區趨於水平，具有疲勞極限。依圖判讀，其疲勞極限約為 $320\ \text{MPa}$。設計或維修時，應控制反覆應力低於疲勞極限所對應的容許值，並保留安全係數。

（d）疲勞破面特徵

疲勞破面通常可辨認出裂縫起始區、逐步擴展區與最後瞬間過載破壞區。擴展區常見宏觀的海灘紋；在顯微尺度下可見疲勞條紋。裂縫大致垂直於最大拉應力方向，而最後過載區常呈現延性破壞特徵。