109 年 國立清華大學工程與系統科學系碩士班乙組《熱傳學》

本題主要在考察學生對於熱傳學基本觀念的理解，包含三大傳熱機制（傳導、對流、輻射）的定義、基本定律、適用方程式，以及幾個重要無因次參數的意義與物理圖像。

(a) 三大傳熱機制

(i) 熱傳導 (Heat Conduction)
熱傳導是物質內部或物質與物質接觸時，因溫度差異而透過分子碰撞、自由電子運動等方式傳遞熱能的現象。它不需要介質的宏觀流動。

• 主要介質： 固體、液體、氣體（但氣體和液體中，對流通常是更主要的傳熱方式，除非有外力約束）。
• 適用定律： 傅立葉導熱定律 (Fourier's Law of Heat Conduction)。
• 方程式：
  • 一維穩態：$q_x = -k A \frac{dT}{dx}$
  • 其中 $q_x$ 為熱流率 (Heat flow rate)，單位 W；$k$ 為導熱係數 (Thermal conductivity)，單位 W/(m·K)；$A$ 為垂直於熱流方向的截面積，單位 m²；$\frac{dT}{dx}$ 為溫度梯度 (Temperature gradient)，單位 K/m。
• 物理意義： 熱傳導率與垂直於熱流方向的面積成正比，與溫度梯度成反比。導熱係數 $k$ 越大，表示物質越容易導熱。

(ii) 熱對流 (Heat Convection)
熱對流是流體（液體或氣體）由於溫度差異引起密度變化，進而產生流動，並將熱能從高溫區域傳遞到低溫區域的現象。

• 主要介質： 液體、氣體。
• 適用定律： 牛頓第二冷卻定律 (Newton's Law of Cooling)。
• 方程式： $q = h A (T_s - T_\infty)$
  • 其中 $q$ 為對流量 (Heat transfer rate by convection)，單位 W；$h$ 為對流傳熱係數 (Convective heat transfer coefficient)，單位 W/(m²·K)；$A$ 為傳熱面積，單位 m²；$T_s$ 為物體表面溫度，單位 K 或 °C；$T_\infty$ 為流體主流溫度，單位 K 或 °C。
• 物理意義： 對流量與傳熱面積、表面溫度與主流溫度之差（溫差）成正比，與對流傳熱係數成正比。對流傳熱係數 $h$ 越大，表示對流傳熱越有效。

(iii) 熱輻射 (Thermal Radiation)
熱輻射是物體以電磁波的形式將熱能輻射出去的現象，不需要介質即可傳播。所有溫度高於絕對零度的物體都會發射熱輻射。

• 主要介質： 空間（真空或任何介質）。
• 適用定律： 史蒂芬-波茲曼定律 (Stefan-Boltzmann Law) 和普朗克定律 (Planck's Law)。
• 方程式（針對黑體）： $E_b = \sigma T^4$
  • 其中 $E_b$ 為黑體單位面積的輻射率 (Radiant emittance)，單位 W/m²；$\sigma$ 為史蒂芬-波茲曼常數 (Stefan-Boltzmann constant)，$\sigma \approx 5.67 \times 10^{-8}$ W/(m²·K⁴)；$T$ 為物體的絕對溫度 (Absolute temperature)，單位 K。
• 對於灰體： $E = \epsilon E_b = \epsilon \sigma T^4$
  • 其中 $\epsilon$ 為灰體放射率 (Emissivity)，是介於 0 和 1 之間的無因次參數。
• 淨輻射傳熱： 兩個表面之間的淨輻射傳熱更複雜，需要考慮形狀因子 (View factor) 和放射率，但核心是溫度的四次方關係。
• 物理意義： 物體輻射的能量與其絕對溫度的四次方成正比。溫度越高，輻射能力越強。

本題要求從能量平衡的基本原理出發，推導在直角座標系下，考慮三維、非穩態、有熱源以及儲熱項的熱擴散方程式（或稱導熱方程式）。

推導步驟：

1. 定義控制體積 (Control Volume)：
   考慮一個無限小的長方體控制體積，其邊長分別為 $dx$, $dy$, $dz$。體積為 $dV = dx dy dz$。此控制體積位於物質內部，其左下角座標為 $(x, y, z)$。

2. 能量平衡原理 (Energy Balance Principle)：
   根據能量守恆定律，在任意時間段 $\Delta t$ 內，控制體積內的總能量變化率等於進入控制體積的淨能量流入率加上控制體積內產生的淨熱量。
   $\frac{dE_{CV}}{dt} = \dot{E}_{in} - \dot{E}_{out} + \dot{E}_{gen}$
   其中：

   • $E_{CV}$ 是控制體積內的總能量。
   • $\frac{dE_{CV}}{dt}$ 是控制體積內能量隨時間的變化率（儲能項）。
   • $\dot{E}_{in}$ 是進入控制體積的能量淨流入率。
   • $\dot{E}_{out}$ 是從控制體積流出的能量淨流出率。
   • $\dot{E}_{gen}$ 是控制體積內產生的淨熱量（熱源項）。

3. 分析各項：

   • 儲能項 $\frac{dE_{CV}}{dt}$：
     控制體積內的總能量可以看作是其內能 (Internal energy)。單位體積的內能為 $\rho u$，其中 $\rho$ 是密度， $u$ 是單位質量內能。
     則控制體積的總內能為 $E_{CV} = (\rho u) dV$。
     單位時間內的能量變化率為：
     $\frac{dE_{CV}}{dt} = \frac{\partial (\rho u)}{\partial t} dV$
     內能與溫度之間的關係為 $du = c_v dT$，其中 $c_v$ 是單位質量定容比熱。
     所以，
     $\frac{dE_{CV}}{dt} = \frac{\partial (\rho c_v T)}{\partial t} dV$
     假設 $\rho$ 和 $c_v$ 為常數（或考慮其變化，但通常在推導時先假設為常數），則：
     $\frac{dE_{CV}}{dt} = \rho c_v \frac{\partial T}{\partial t} dV$

   • 熱傳導流入/流出項 $\dot{E}_{in} - \dot{E}_{out}$：
     熱量透過熱傳導在控制體積的六個表面進出。我們考慮沿 $x$ 方向的熱傳導。

     • 熱流率從左側（$x$）進入的速率（假設熱流率為 $q''_x$）：$q''_x d y dz$。
     • 熱流率從右側（$x+dx$）流出的速率：$q''_{x+dx} d y dz$。
       其中 $q''_x$ 是熱流密度 (Heat flux)，單位 W/m²。根據傅立葉定律，$q''_x = -k \frac{\partial T}{\partial x}$。
       沿 $x$ 方向的淨熱流率為：
       $(q''_x d y dz) - (q''_{x+dx} d y dz) = (q''_x - q''_{x+dx}) d y dz$
       使用泰勒級數展開 $q''_{x+dx}$：$q''_{x+dx} \approx q''_x + \frac{\partial q''_x}{\partial x} dx$。
       所以，沿 $x$ 方向的淨熱流率為 $(q''_x - (q''_x + \frac{\partial q''_x}{\partial x} dx)) d y dz = - \frac{\partial q''_x}{\partial x} dx dy dz = - \frac{\partial q''_x}{\partial x} dV$。
       將傅立葉定律代入：
       $- \frac{\partial}{\partial x} \left( -k \frac{\partial T}{\partial x} \right) dV = \frac{\partial}{\partial x} \left( k \frac{\partial T}{\partial x} \right) dV$
       同理，沿 $y$ 和 $z$ 方向的淨熱流率分別為：
       $\frac{\partial}{\partial y} \left( k \frac{\partial T}{\partial y} \right) dV$
       $\frac{\partial}{\partial z} \left( k \frac{\partial T}{\partial z} \right) dV$
       因此，總的熱傳導淨流入率為：

核心觀念

本題考查一維穩態複合壁導熱，並包含材料 B 的均勻體積熱產生。

• 無熱產生材料：溫度分布為線性。
• 有均勻熱產生材料：溫度分布為拋物線。
• 左側絕熱，因此材料 B 產生的熱量全部向右傳遞。
• 右側以對流散熱，使用邊界條件
  $q''=h_{\mathrm{avg}}(T_4-T_\infty)$

依圖中標示，$T_1$ 位於材料 A 左側絕熱面，$T_2$ 為 A、B 界面溫度，$T_3$ 為 B、C 界面溫度，$T_4$ 為材料 C 右側表面溫度。

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解題方法

取 $x=0$ 為材料 A 左側，則

$$L_A=0.020\ \mathrm{m},\qquad L_B=0.060\ \mathrm{m},\qquad L_C=0.030\ \mathrm{m}$$

已知

$$q'''=3\times10^6\ \mathrm{W/m^3},\quad k_B=110\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\quad k_C=220\ \mathrm{W/(m\cdot K)}$$

1. B 材料產生的總熱通量

左側絕熱，故材料 B 產生的熱量全部由右側排出：

$$q''=q'''L_B$$ $$q''=(3\times10^6)(0.060) =1.80\times10^5\ \mathrm{W/m^2}$$

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2. 求右側表面溫度 $T_4$

右側對流邊界條件為

$$q''=h_{\mathrm{avg}}(T_4-T_\infty)$$

因此

$$T_4=T_\infty+\frac{q''}{h_{\mathrm{avg}}}$$ $$T_4=20+\frac{1.80\times10^5}{1000} =200^\circ\mathrm{C}$$

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3. 穿過材料 C 的溫降

材料 C 沒有熱產生，且熱通量為常數，因此

$$T_3-T_4=\frac{q''L_C}{k_C}$$

代入數值：

$$T_3-T_4 =\frac{(1.80\times10^5)(0.030)}{220} =24.545^\circ\mathrm{C}$$

所以

$$T_3=200+24.545 =224.545^\circ\mathrm{C}$$

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4. 材料 B 的溫度分布

令材料 B 左側為局部座標 $\xi=0$，右側為 $\xi=L_B$。

均勻熱產生下的熱傳導方程式為

$$\frac{d^2T_B}{d\xi^2}+\frac{q'''}{k_B}=0$$

左側絕熱，所以在 $\xi=0$ 處

$$\left.\frac{dT_B}{d\xi}\right|_{\xi=0}=0$$

積分可得

$$\frac{dT_B}{d\xi} =-\frac{q'''}{k_B}\xi$$

再積分：

$$T_B(\xi)=T_2-\frac{q'''}{2k_B}\xi^2$$

在 $\xi=L_B$ 處，$T_B=T_3$，因此

$$T_3=T_2-\frac{q'''L_B^2}{2k_B}$$

故

$$T_2=T_3+\frac{q'''L_B^2}{2k_B}$$ $$T_2 =224.545+ \frac{(3\times10^6)(0.060)^2}{2(110)}$$ $$T_2=224.545+49.091 =273.636^\circ\mathrm{C}$$

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5. 求 $T_1$

材料 A 沒有熱產生，且左側絕熱。材料 A 內的熱通量為零：

$$q_x=-k_A\frac{dT_A}{dx}=0$$

因此

（a）LMTD 定義與流向比較

核心觀念

對數平均溫差定義為

$$\Delta T_{\mathrm{lm}} = \frac{\Delta T_1-\Delta T_2} {\ln\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}$$

其中兩端溫差須依熱流體與冷流體的流向決定。

平行流

平行流中，熱流體與冷流體由同一端流入，因此

$$\Delta T_1=T_{h,i}-T_{c,i}$$ $$\Delta T_2=T_{h,o}-T_{c,o}$$

故

$$\boxed{ \Delta T_{\mathrm{lm,p}} = \frac{(T_{h,i}-T_{c,i})-(T_{h,o}-T_{c,o})} {\ln\left[ \dfrac{T_{h,i}-T_{c,i}} {T_{h,o}-T_{c,o}} \right]} }$$

逆流

逆流中，熱流體與冷流體由相反兩端流入，因此

$$\Delta T_1=T_{h,i}-T_{c,o}$$ $$\Delta T_2=T_{h,o}-T_{c,i}$$

故

$$\boxed{ \Delta T_{\mathrm{lm,c}} = \frac{(T_{h,i}-T_{c,o})-(T_{h,o}-T_{c,i})} {\ln\left[ \dfrac{T_{h,i}-T_{c,o}} {T_{h,o}-T_{c,i}} \right]} }$$

在兩種熱交換器具有相同的熱流體、冷流體入口與出口溫度時，逆流式的兩端溫差分布較平均，因此

$$\boxed{\Delta T_{\mathrm{lm,c}}>\Delta T_{\mathrm{lm,p}}}$$

所以逆流式在相同熱負荷下所需的熱傳面積較小。

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（b）同心管式逆流熱交換器

核心觀念

本題使用下列關係：

1. 無熱損失時，熱流體放出的熱量等於冷流體吸收的熱量：

$$Q=\dot m_h c_{p,h}(T_{h,i}-T_{h,o}) =\dot m_c c_{p,c}(T_{c,o}-T_{c,i})$$

2. 逆流式對數平均溫差：

$$\Delta T_{\mathrm{lm}} = \frac{\Delta T_1-\Delta T_2} {\ln(\Delta T_1/\Delta T_2)}$$

3. 總傳熱方程：

$$Q=U A\Delta T_{\mathrm{lm}}$$

4. 熱交換器有效度：

$$\varepsilon=\frac{Q}{Q_{\max}}$$

題目未列流體密度，因此採用標準近似值 $\rho_o=850\ \mathrm{kg/m^3}$、$\rho_w=997\ \mathrm{kg/m^3}$。另依水的 $Pr=4.85$ 與 $k=0.625\ \mathrm{W/(m\cdot K)}$ 判斷，水的黏度採 $\mu_w=7.25\times10^{-4}\ \mathrm{N\cdot s/m^2}$。

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（i）水的出口溫度

油流失去的熱量為

$$Q=\dot m_o c_{p,o}(T_{o,i}-T_{o,o})$$ $$Q=(0.2)(2131)(95-55)$$ $$\boxed{Q=17048\ \mathrm{W}}$$

水的出口溫度由能量平衡求得：

$$Q=\dot m_w c_{p,w}(T_{w,o}-T_{w,i})$$ $$T_{w,o} = 30+\frac{17048}{(0.4)(4178)}$$ $$\boxed{T_{w,o}=40.2^\circ\mathrm{C}}$$

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（ii）對數平均溫差

逆流兩端的溫差為

$$\Delta T_1=T_{o,i}-T_{w,o} =95-40.2=54.8^\circ\mathrm{C}$$ $$\Delta T_2=T_{o,o}-T_{w,i} =55-30=25.0^\circ\mathrm{C}$$

因此

$$\Delta T_{\mathrm{lm}} = \frac{54.8-25.0} {\ln(54.8/25.0)}$$ $$\boxed{\Delta T_{\mathrm{lm}}=38.2\ \mathrm{K}}$$

溫差使用攝氏溫標或絕對溫標，其溫差數值相同。

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（iii）總傳熱係數

1. 水側熱傳係數

內管截面積為

$$A_w=\frac{\pi D_i^2}{4} =\frac{\pi(0.025)^2}{4} =4.909\times10^{-4}\ \mathrm{m^2}$$

水的平均速度：

$$V_w=\frac{\dot m_w}{\rho_w A_w} = \frac{0.4}{(997)(4.909\times10^{-4})} =0.818\ \mathrm{m/s}$$

雷諾數：

$$Re_w=\frac{\rho_w V_wD_i}{\mu_w}$$ $$Re_w = \frac{(997)(0.818)(0.025)} {7.25\times10^{-4}} \approx2.81\times10^4$$

水側為紊流，可使用 Dittus–Boelter 關係式：

核心觀念

本題涉及三個部分：

1. 管內排氣的強制對流熱傳係數 $h_i$。
2. 管外橫向風流的強制對流熱傳係數 $h_o$。
3. 薄壁管的總熱傳係數 $U$，以及管內氣體沿程冷卻的能量平衡。

由於管壁很薄，且題目未提供管壁材料與厚度，忽略管壁熱阻；同時忽略熱輻射。因此熱阻主要來自管內、管外對流：

$$\frac{1}{U}=\frac{1}{h_i}+\frac{1}{h_o}$$

管內氣體溫度會沿管長逐漸下降，將外界空氣溫度視為固定的 $15^\circ\mathrm{C}$。

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已知條件

$$D=6\ \mathrm{mm}=0.006\ \mathrm{m}$$ $$L=20\ \mathrm{m}$$ $$\dot m=0.003\ \mathrm{kg/s}$$ $$T_{i}=200^\circ\mathrm{C}$$ $$T_{\infty,o}=15^\circ\mathrm{C}$$ $$V_o=5\ \mathrm{m/s}$$

空氣物性取管內氣體約 $100^\circ\mathrm{C}$ 的代表值，以及管外空氣 $15^\circ\mathrm{C}$ 的物性：

• 管內：$\rho_i\approx0.946\ \mathrm{kg/m^3}$、$\mu_i\approx2.18\times10^{-5}\ \mathrm{Pa\cdot s}$、$k_i\approx0.0300\ \mathrm{W/(m\cdot K)}$、$Pr_i\approx0.707$
• 管外：$\rho_o\approx1.225\ \mathrm{kg/m^3}$、$\mu_o\approx1.81\times10^{-5}\ \mathrm{Pa\cdot s}$、$k_o\approx0.0257\ \mathrm{W/(m\cdot K)}$、$Pr_o\approx0.71$

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(a) 管內平均熱傳係數

流動狀態判斷

管內流速為

$$A_c=\frac{\pi D^2}{4} =\frac{\pi(0.006)^2}{4} =2.827\times10^{-5}\ \mathrm{m^2}$$ $$V_i=\frac{\dot m}{\rho_i A_c} =\frac{0.003}{(0.946)(2.827\times10^{-5})} \approx112\ \mathrm{m/s}$$

雷諾數可直接用質量流率表示：

$$Re_D=\frac{\rho_i V_iD}{\mu_i} =\frac{4\dot m}{\pi D\mu_i}$$ $$Re_D =\frac{4(0.003)} {\pi(0.006)(2.18\times10^{-5})} \approx2.93\times10^4$$

因為 $Re_D>10^4$，管內流動屬於紊流。

使用 Dittus–Boelter 關係式

氣體被冷卻，因此取

$$Nu_D=0.023Re_D^{0.8}Pr^{0.3}$$

代入：

$$Nu_D =0.023(2.93\times10^4)^{0.8}(0.707)^{0.3} \approx75$$

平均熱傳係數為

$$h_i=\frac{Nu_D k_i}{D}$$ $$h_i =\frac{(75)(0.0300)}{0.006} \approx3.75\times10^2\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}$$

因此，

$$\boxed{h_i\approx380\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}}$$

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(b) 管外橫向風流熱傳係數

雷諾數

外部風流以管徑為特徵長度：

$$Re_D=\frac{\rho_oV_oD}{\mu_o}$$ $$Re_D =\frac{(1.225)(5)(0.006)} {1.81\times10^{-5}} \approx2.03\times10^3$$

此雷諾數適用於圓柱橫向流動的外部強制對流關係式。

使用 Churchill–Bernstein 關係式