109 年 國立清華大學核子工程與科學研究所甲組《流體力學》

此題主要在檢驗考生對流體力學基本概念的理解，包含 Bernoulli 方程式的原理、假設、意義，以及流動發展的特性與能量損失的分類。

(a) What is the Bernoulli equation?
Bernoulli 方程式是描述流體在穩定、不可壓縮、無黏性流動條件下，沿著一條流線（streamline）的能量守恆關係式。它將流體質點的動能、位能以及壓力能之間的轉換關係量化。

(b) 應用 Bernoulli equation 的假設為何？
Bernoulli 方程式的應用必須建立在以下幾個關鍵假設之上：

1. 穩定流 (Steady flow): 流場中任一點的流體性質（速度、壓力、密度等）不隨時間改變。
2. 不可壓縮流 (Incompressible flow): 流體的密度 ($\rho$) 為常數，不隨壓力或位置改變。
3. 無黏性流 (Inviscid flow): 流體沒有內摩擦力（黏滯性），因此沒有能量耗散。
4. 沿著流線 (Along a streamline): 方程式適用於沿著同一條流線的點。
5. 無體力以外的功 (No work done by body forces other than gravity): 假設只有重力做功，且沒有額外的機械功（如泵）或熱能傳遞。
6. 非渦流 (Irrotational flow): 在某些推導中，為了簡化，會假設為非渦流；但若只考慮沿流線的能量轉換，則此假設非必需，但通常與前述假設一起提出。

(c) 以 pressure 的觀點解釋 Bernoulli equation 內每一項。
Bernoulli 方程式通常寫為：
$P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{constant}$
其中：

• $P$：靜壓力 (static pressure)，代表流體單位體積的壓力勢能。在流動中，較高的流速通常伴隨著較低的靜壓力。
• $\frac{1}{2}\rho v^2$：動壓力 (dynamic pressure)，代表流體單位體積的動能。它與流體速度的平方成正比。
• $\rho g h$：靜水壓力 (hydrostatic pressure) 或重力位能 (gravitational potential energy)，代表單位體積的重力位能。它與流體的高度成正比。

從壓力的觀點來看，Bernoulli 方程式指出，在一條流線上，總壓力（或稱總壓能，total pressure）是恆定的。這個總壓力由靜壓力、動壓力以及重力位能三部分組成。當流體速度增加時（動壓力增加），若其他條件不變，靜壓力或重力位能（或兩者）必須降低，以保持總和恆定。

(d) 以 head 的觀點解釋 Bernoulli equation 內每一項。
將 Bernoulli 方程式除以 $\rho g$ 後，可以得到以 "head" 表示的形式：
$\frac{P}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} + h = H = \text{constant}$
其中：

• $\frac{P}{\rho g}$：壓力頭 (pressure head)，代表由靜壓力所產生的等效流體高度。
• $\frac{v^2}{2g}$：速度頭 (velocity head) 或動能頭 (kinetic head)，代表由流體速度所產生的等效流體高度。
• $h$：位能頭 (elevation head) 或高度頭 (height head)，代表流體質心的實際高度。
• $H$：總水頭 (total head)，代表流體沿著流線的總能量，以等效流體高度表示。

從 "head" 的觀點來看，Bernoulli 方程式說明，在理想流動中，總水頭是恆定的。流體質點的能量可以在壓力頭、速度頭和高度頭之間相互轉換。

用圖形解釋 Developing flow, Entrance region 以及 Fully developed flow。

• Developing flow (發展中流動): 當流體進入一管道或通道時，其速度分佈會從入口處的某種分佈（可能接近均勻）逐漸改變，直到達到一個穩定的分佈。這個速度分佈隨軸向距離變化而變化的區域稱為發展中流動。
• Entrance region (入口區): 這是發展中流動發生的區域。在入口區，由於邊界層效應，流體速度會受到管壁的影響而減慢，並逐漸向中心區域發展。入口區的長度取決於流體的雷諾數 (Reynolds number) 和管道的幾何形狀。
• Fully developed flow (完全發展流動): 當流體的速度分佈不再隨軸向距離改變時，即達到完全發展流動。在完全發展的層流中，速度分佈通常呈拋物線形。在完全發展的紊流中，速度分佈則較為平坦，邊界層較厚。

此題主要在考察考生對管流阻力計算的熟悉程度，特別是 Moody chart 的構成與應用。

Moody chart 繪製與參數解釋

Moody chart 是一個以無因次參數繪製的圖表，用於計算在全管流（fully developed pipe flow）中的摩擦因子（friction factor），進而計算主要損失。它主要用於紊流區域，但也涵蓋了層流區域。

圖表結構：
Moody chart 通常是一個雙對數圖 (log-log plot)。

• 橫軸 (X-axis): 雷諾數 (Reynolds Number, $Re$)。通常是以對數尺度標示，範圍涵蓋從層流到高紊流的區域。

  • $Re = \frac{\rho v D}{\mu}$，其中 $\rho$ 是流體密度， $v$ 是平均流速， $D$ 是管道內徑， $\mu$ 是流體動力黏度。
  • 雷諾數是判斷流動是層流、過渡流還是紊流的重要無因次參數。

• 縱軸 (Y-axis): 摩擦因子 (Friction Factor, $f$)。通常也是以對數尺度標示。

  • 摩擦因子 $f$ 是 Darcy-Weisbach 方程式中用於計算主要損失的參數。
  • 在層流區域 ($Re < 2300$)，摩擦因子僅由雷諾數決定，且 $f = \frac{64}{Re}$。這部分在 Moody chart 上是一條斜率為 -1 的直線。

• 曲線族 (Family of Curves): 橫跨圖表的是一系列曲線，每一條曲線代表一個特定的相對粗糙度 ($\epsilon/D$)。

  • 相對粗糙度 ($\epsilon/D$): $\epsilon$ 是管道的絕對粗糙度（例如，單位是 mm 或 m），$D$ 是管道內徑。這個比值是無因次的。
  • 每一條曲線代表一種特定程度的管道表面粗糙度。
  • 在低雷諾數（層流）區域，所有曲線都匯聚到 $f = 64/Re$ 的直線上，表示此時表面粗糙度對摩擦因子的影響很小。
  • 隨著雷諾數的增加（進入紊流區），曲線開始分開，較粗糙的管道對應較高的摩擦因子。

核心觀念

本題考查 Buckingham $\Pi$ 定理與量綱分析。題目中的變數共有

$$F,\ V_1,\ \Delta P,\ \rho,\ \mu,\ A_1,\ A_2,\ L$$

共 $8$ 個變數，基本量綱為質量 $M$、長度 $L$、時間 $T$，共 $3$ 個，因此可建立

$$8-3=5$$

個無因次群。其中一個無因次群包含待求的力 $F$，其餘四個描述流動、黏性與幾何條件。

各變數量綱為

$$[F]=MLT^{-2},\quad [V_1]=LT^{-1}$$ $$[\Delta P]=ML^{-1}T^{-2},\quad [\rho]=ML^{-3}$$ $$[\mu]=ML^{-1}T^{-1},\quad [A_1]=[A_2]=L^2,\quad [L]=L$$

解題方法與推導

選取 $\rho$、$V_1$、$L$ 作為重複變數，因為三者合併後可涵蓋 $M$、$L$、$T$ 三種基本量綱。

對任一變數 $X$，設無因次群為

$$\Pi_X=X\rho^aV_1^bL^c$$

以 $X=F$ 為例：

$$[F\rho^aV_1^bL^c] =M^{1+a}L^{1-3a+b+c}T^{-2-b}$$

令三種基本量綱的指數皆為零：

$$1+a=0,\qquad -2-b=0,\qquad 1-3a+b+c=0$$

得到

$$a=-1,\qquad b=-2,\qquad c=-2$$

因此

$$\Pi_F=\frac{F}{\rho V_1^2L^2}$$

其餘無因次群為

$$\Pi_{\Delta P}=\frac{\Delta P}{\rho V_1^2}$$ $$\Pi_\mu=\frac{\mu}{\rho V_1L}$$ $$\Pi_{A_1}=\frac{A_1}{L^2},\qquad \Pi_{A_2}=\frac{A_2}{L^2}$$

依 Buckingham $\Pi$ 定理，五個無因次群之間的關係為

$$\boxed{ \frac{F}{\rho V_1^2L^2} = \Phi\left( \frac{\Delta P}{\rho V_1^2}, \frac{\mu}{\rho V_1L}, \frac{A_1}{L^2}, \frac{A_2}{L^2} \right) }$$

其中 $\Phi$ 為尚待由實驗或完整流場分析決定的無因次函數。

核心觀念

本題要求以微小控制體積套用牛頓第二定律：

$$\sum \mathbf{F} = \frac{D}{Dt}\int_{\mathrm{CV}}\rho \mathbf{v}\,dV$$

圓柱座標中的速度與位置分別為

$$\mathbf{v}=v_r\mathbf{e}_r+v_\theta\mathbf{e}_\theta+v_z\mathbf{e}_z$$

微小控制體積尺寸為

$$dr,\qquad r\,d\theta,\qquad dz$$

因此

$$dV=r\,dr\,d\theta\,dz$$

由於 $\mathbf{e}_r$ 與 $\mathbf{e}_\theta$ 隨角度改變，徑向與周向動量方程會出現曲率項：

$$-\frac{v_\theta^2}{r},\qquad \frac{v_rv_\theta}{r}$$

這是圓柱座標推導與直角座標推導的主要差異。

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解題方法：控制體積上的應力平衡

令 $\sigma_{rr},\sigma_{\theta\theta},\sigma_{zz}$ 為正應力，令 $\tau_{r\theta},\tau_{rz},\tau_{\theta z}$ 為剪應力。控制體積六個面上的應力合力，除以控制體積後取極限，可得應力造成的單位體積合力。

徑向方向：

$$(\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma})_r = \frac{\partial\sigma_{rr}}{\partial r} +\frac{1}{r}\frac{\partial\tau_{r\theta}}{\partial\theta} +\frac{\partial\tau_{rz}}{\partial z} +\frac{\sigma_{rr}-\sigma_{\theta\theta}}{r}$$

周向方向：

$$(\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma})_\theta = \frac{\partial\tau_{r\theta}}{\partial r} +\frac{1}{r}\frac{\partial\sigma_{\theta\theta}}{\partial\theta} +\frac{\partial\tau_{\theta z}}{\partial z} +\frac{2\tau_{r\theta}}{r}$$

軸向方向：

$$(\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma})_z = \frac{\partial\tau_{rz}}{\partial r} +\frac{1}{r}\frac{\partial\tau_{\theta z}}{\partial\theta} +\frac{\partial\sigma_{zz}}{\partial z}$$

其中徑向式的 $\left(\sigma_{rr}-\sigma_{\theta\theta}\right)/r$，以及周向式的 $2\tau_{r\theta}/r$，皆源自圓柱控制體積的幾何曲率與方向向量變化。

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速度的物質導數

圓柱座標下，加速度三個分量為

$$a_r= \frac{\partial v_r}{\partial t} +v_r\frac{\partial v_r}{\partial r} +\frac{v_\theta}{r}\frac{\partial v_r}{\partial\theta} +v_z\frac{\partial v_r}{\partial z} -\frac{v_\theta^2}{r}$$ $$a_\theta= \frac{\partial v_\theta}{\partial t} +v_r\frac{\partial v_\theta}{\partial r} +\frac{v_\theta}{r}\frac{\partial v_\theta}{\partial\theta} +v_z\frac{\partial v_\theta}{\partial z} +\frac{v_rv_\theta}{r}$$ $$a_z= \frac{\partial v_z}{\partial t} +v_r\frac{\partial v_z}{\partial r} +\frac{v_\theta}{r}\frac{\partial v_z}{\partial\theta} +v_z\frac{\partial v_z}{\partial z}$$

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一般應力形式的 Navier–Stokes 方程

加入單位質量體積力 $\mathbf{f}$，牛頓第二定律得到：

徑向動量方程：

$$\rho\left( \frac{\partial v_r}{\partial t} +v_r\frac{\partial v_r}{\partial r} +\frac{v_\theta}{r}\frac{\partial v_r}{\partial\theta} +v_z\frac{\partial v_r}{\partial z} -\frac{v_\theta^2}{r} \right)$$ $$= \frac{\partial\sigma_{rr}}{\partial r} +\frac{1}{r}\frac{\partial\tau_{r\theta}}{\partial\theta} +\frac{\partial\tau_{rz}}{\partial z} +\frac{\sigma_{rr}-\sigma_{\theta\theta}}{r} +\rho f_r$$

周向動量方程：

$$\rho\left( \frac{\partial v_\theta}{\partial t} +v_r\frac{\partial v_\theta}{\partial r} +\frac{v_\theta}{r}\frac{\partial v_\theta}{\partial\theta} +v_z\frac{\partial v_\theta}{\partial z} +\frac{v_rv_\theta}{r} \right)$$ $$= \frac{\partial\tau_{r\theta}}{\partial r} +\frac{1}{r}\frac{\partial\sigma_{\theta\theta}}{\partial\theta} +\frac{\partial\tau_{\theta z}}{\partial z} +\frac{2\tau_{r\theta}}{r} +\rho f_\theta$$

軸向動量方程：

$$\rho\left( \frac{\partial v_z}{\partial t} +v_r\frac{\partial v_z}{\partial r} +\frac{v_\theta}{r}\frac{\partial v_z}{\partial\theta} +v_z\frac{\partial v_z}{\partial z} \right)$$