109 年 國立清華大學核子工程與科學研究所甲組《輻射安全》

本題主要在測試學生對於物質與輻射交互作用中，平均激發能（Mean Excitation Energy, $I$）的概念理解，以及如何應用布拉格-基爾曼（Bragg-Gray）公式的近似來計算特定物質的平均激發能。

（一）平均激發能（Mean Excitation Energy, $I$）的定義：
平均激發能 $I$ 是指物質中，電子與入射粒子（如光子、帶電粒子）發生非彈性碰撞時，平均而言，每單位路徑長所導致的能量損失中，用於激發和游離原子的能量佔的平均值。這個參數在計算帶電粒子在物質中的能量損失（如 Bethe-Bloch 公式）以及光子與物質的交互作用（如阻止本領）時非常重要。它是一個與物質本身特性相關的參數，代表了物質對輻射的平均回應。

（二）計算水（H₂O）的平均激發能：
水（H₂O）的平均激發能可以透過對其組成元素的平均激發能進行加權平均來估算。
首先，需要知道水的化學式，即 H₂O，代表一個氧原子（O）和兩個氫原子（H）。
水的分子量為 $2 \times 1.008 + 15.999 \approx 18.015$ g/mol。
其中，氫（H）的原子序 $Z=1$，氧（O）的原子序 $Z=8$。

我們需要根據參考資料提供的公式來計算各元素的平均激發能 $I$：
對於氫（H），$Z=1$，使用公式 $I = 19.0 \text{ eV}$。
對於氧（O），$Z=8$，其 $Z$ 介於 2 與 13 之間，使用公式 $I = 11.2 + 11.7*Z$。
代入 $Z=8$，得到氧的平均激發能 $I_O = 11.2 + 11.7 \times 8 = 11.2 + 93.6 = 104.8 \text{ eV}$。

接下來，我們需要計算水的平均激發能 $I_{H_2O}$，這通常是透過對組成元素的原子數進行加權平均來計算。
水的分子式為 H₂O，表示有 2 個氫原子和 1 個氧原子。
因此，水的平均激發能可以表示為：
$I_{H_2O} = \frac{2 \times Z_H \times I_H + 1 \times Z_O \times I_O}{2 \times Z_H + 1 \times Z_O}$ (此為原子數加權)
或者，更常用的方法是基於原子百分比進行加權，即：
$I_{H_2O} = \frac{N_H \cdot I_H + N_O \cdot I_O}{N_H + N_O}$
其中 $N_H$ 和 $N_O$ 是原子數量。
在本例中，$N_H = 2$，$N_O = 1$。

本題旨在考察學生對輻射計量學中常用統計模型的理解，包括泊松分布、二項分布和高斯（常態）分布，以及如何將輻射計量中的計數過程與這些統計模型聯繫起來。

（一）常用於輻射度量的三種統計模型：

1. 泊松分布 (Poisson Distribution)

   • 定義： 泊松分布是一個離散機率分布，用於描述在固定時間間隔或空間區域內，發生某個隨機事件的次數。它尤其適用於描述「稀少事件」的發生。
   • 假設基礎：
     • 事件的發生是獨立的，即一個事件的發生不影響另一個事件的發生。
     • 在任何給定的時間/空間單位內，事件發生的平均速率（或機率）是恆定的。
     • 在極小的時間/空間單位內，同時發生兩個或以上事件的機率趨近於零。
     • 對於輻射計量，泊松分布描述了在一個給定的時間窗口內，偵測器接收到的輻射粒子（如光子、α粒子、β粒子）的計數次數。這是因為輻射事件（如放射性衰變）通常是隨機且獨立發生的。
   • 機率質量函數 (PMF)： $P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$，其中 $k$ 是事件發生的次數，$\lambda$ 是單位時間/空間內的平均事件發生次數。

2. 二項分布 (Binomial Distribution)

   • 定義： 二項分布是一個離散機率分布，用於描述在 $n$ 次獨立的、重複的伯努利試驗中，成功（或某種特定結果）的次數。
   • 假設基礎：
     • 試驗次數 $n$ 是固定的。
     • 每次試驗只有兩種可能結果：「成功」或「失敗」。
     • 每次試驗成功的機率 $p$ 是恆定的，且獨立於其他試驗。
     • 每次試驗是相互獨立的。
     • 對於輻射計量，二項分布可以描述在特定時間內，若每次粒子通過偵測器的機率是 $p$，則在 $n$ 個粒子通過時，有多少個粒子被偵測到。然而，在實際輻射計量中，泊松分布更常用，因為事件發生的總次數（即到達的粒子數）通常不是預先固定的，而是隨機的。二項分布更適用於描述「通過機率」或「偵測效率」等概念。
   • 機率質量函數 (PMF)： $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$，其中 $k$ 是成功的次數，$n$ 是試驗總次數，$p$ 是單次成功的機率。

3. 高斯分布（常態分布, Normal Distribution / Gaussian Distribution）

   • 定義： 高斯分布是一個連續機率分布，其機率密度函數呈鐘形曲線。

本題主要測試學生對於閃爍體能譜儀的組成、能量校正以及不同偵測事件（全能峰、逃逸峰、康普吞邊緣）的能量與頻道對應關係的理解。

首先，我們需要建立能量與頻道之間的線性關係。題目提到系統線性完美，但有第零頻道偏移 (offset)。這表示能量 $E$ 與頻道號 $C$ 的關係可以表示為：
$E = m \cdot C + b$
其中 $m$ 是能量對頻道的斜率 (MeV/channel)，$b$ 是零點偏移 (offset, MeV)。

我們已知 $^{60}$Co 的兩個主要 $\gamma$ 光子能量為 1.17 MeV 和 1.33 MeV。這兩個光子在碘化鈉晶體中完全沉積能量時，會產生全能峰 (photopeak)。題目給定的全能峰頻道是 2350 和 2668。假設 2350 頻道對應較低的能量 1.17 MeV，而 2668 頻道對應較高的能量 1.33 MeV。

1.17 MeV = $m \cdot 2350 + b$ (式1)
1.33 MeV = $m \cdot 2668 + b$ (式2)

用式2減去式1：
(1.33 - 1.17) MeV = $m \cdot (2668 - 2350)$ channels
0.16 MeV = $m \cdot 318$ channels
$m = \frac{0.16 \text{ MeV}}{318 \text{ channels}} \approx 0.00050314 \text{ MeV/channel}$

將 $m$ 代入式1：
1.17 MeV = $0.00050314 \text{ MeV/channel} \cdot 2350 \text{ channels} + b$
1.17 MeV = $1.1828 \text{ MeV} + b$
$b = 1.17 - 1.1828 = -0.0128 \text{ MeV}$

所以，能量與頻道數的關係為：
$E (\text{MeV}) = 0.00050314 \cdot C (\text{channel}) - 0.0128$

（一）整體測量系統須包含哪些元件？（10%）
一個典型的閃爍體能譜儀系統通常包含以下幾個主要元件：

1. 閃爍體 (Scintillator)： 例如碘化鈉晶體 (NaI(Tl))。當輻射粒子進入閃爍體時，會激發閃爍體材料，使其發出光子（通常是可見光或紫外線）。
2. 光電倍增管 (Photomultiplier Tube, PMT)： 負責將閃爍體發出的微弱光信號轉換為電信號，並將其放大。PMT 包含光電陰極、倍增級聯（dynodes）和陽極。
3. 高壓電源 (High Voltage Power Supply)： 為 PMT 提供工作所需的負高壓，以確保電子倍增過程正常進行。
4. 前置放大器 (Preamplifier)： 緊鄰 PMT，用於將 PMT 輸出的微弱脈衝信號進行初步放大和整形，以減少雜訊並驅動後續的傳輸電纜。
5. 主放大器 (Main Amplifier)： 對前置放大器輸出的信號進行進一步放大和整形。通常具有能量-比例（energy-proportional）的放大特性，即脈衝的高度與入射粒子在閃爍體中沉積的能量成正比。
6. 單通道分析器 (Single Channel Analyzer, SCA) 或 多通道分析器 (Multi-Channel Analyzer, MCA)：
   • SCA： 用於選擇特定能量範圍內的脈衝。
   • MCA： 這是現代能譜儀的核心。它將來自主放大器的脈衝信號轉換為數字信號，並根據脈衝的高度（代表能量）將其分配到不同的「頻道」（bins）。每個頻道記錄在該能量範圍內接收到的脈衝數量。最終形成能量譜。
7. 顯示與記錄設備 (Display and Recording Device)： 通常是電腦或專門的數據採集系統，用於顯示能譜（頻道 vs 計數率）、儲存數據、進行分析等。
8. 外殼與屏蔽 (Housing and Shielding)： 保護偵測器和電子元件，並可能提供輻射屏蔽，以減少背景輻射的影響。

【答案】閃爍體、光電倍增管 (PMT)、高壓電源、前置放大器、主放大器、多通道分析器 (MCA)、顯示與記錄設備。

（二）請問若此系統用於量測 $^{137}$Cs（能量為 0.662 MeV）則其全能峰應落於那一個頻道？（10%）
我們使用前面計算出的能量-頻道關係式：
$E (\text{MeV}) = 0.00050314 \cdot C (\text{channel}) - 0.0128$
將 $^{137}$Cs 的能量 $E = 0.662 \text{ MeV}$ 代入，求解頻道 $C$：
$0.662 = 0.00050314 \cdot C - 0.0128$
$0.662 + 0.0128 = 0.00050314 \cdot C$
$0.6748 = 0.00050314 \cdot C$
$C = \frac{0.6748}{0.00050314} \approx 1341.2$ channels

由於頻道數通常是整數，我們取最接近的整數。
【答案】約 1341 頻道。

（三）當用此系統量測為 2 MeV 之 $\gamma$射線時，請問能譜上可能會出現的單逃逸峰 (single escape peak)、雙逃逸峰 (double escape peak) 及康普吞邊緣 (Compton edge) 會分別落在哪些頻道？（15%）

對於高能 $\gamma$ 射線與碘化鈉晶體作用，主要機制是光電效應、康普吞散射和電子對產生 (pair production)。

• 光電效應 (Photoelectric Effect)： $\gamma$ 光子將其全部能量轉移給晶體中的一個電子，該電子隨後在晶體中沉積能量。這會產生全能峰 (photopeak)。
• 康普吞散射 (Compton Scattering)： $\gamma$ 光子與晶體中的電子發生散射，損失一部分能量，然後以較低能量的光子離開晶體。

本題旨在考察學生對充氣式偵檢器（Gas-filled Detectors）的種類、工作原理、操作特性以及應用範圍的掌握。充氣式偵檢器是利用氣體在電離輻射作用下產生電離的現象來偵測輻射。

（一）列舉所有的充氣式偵檢器，說明其操作電壓的選用範圍之特徵、訊號輸出是電流模式或脈衝模式。

充氣式偵檢器主要根據其操作電壓範圍和訊號輸出特性，可以分為以下幾類：

1. 離子腔 (Ionization Chamber)

   • 構造： 通常由一個充滿氣體的腔室（如空氣、氮氣、氬氣等）和兩片平行板電極組成，電極之間施加直流電壓。
   • 操作電壓選用範圍及特徵： 處於「飽和區」(Saturation Region)。電壓相對較低，足以收集由輻射產生的初級電子-離子對，但不足以引起氣體倍增（雪崩效應）。收集到的總電荷與入射輻射的總電離量成正比。
   • 訊號輸出： 電流模式 (Current Mode)。由於電壓較低，且氣體倍增效應很小，收集到的訊號是連續的微弱電流，代表單位時間內輻射的平均劑量率。
   • 特徵： 輸出訊號不受輻射粒子個數的影響，而是與總電離能量成正比，因此非常適合測量高劑量率。

2. 比例計數器 (Proportional Counter)

   • 構造： 通常為圓柱形，中心有一根細長的陽極絲，外殼為陰極。氣體中施加的電壓高於離子腔。
   • 操作電壓選用範圍及特徵： 處於「比例區」(Proportional Region)。電壓足夠高，使得在陽極絲附近產生的初級電子在電場作用下加速，並與氣體分子碰撞產生二次電離，引發「氣體倍增」(Gas Multiplication) 或「雪崩效應」(Avalanche Effect)。每個初級電子對都能產生大量電子，形成一個電子雪崩。該倍增因子（通常為 $10^3 \sim 10^5$）是恆定的，且與初級電離的數量成正比。因此，輸出的脈衝高度（或總電荷）與入射粒子產生的初級電離數量成正比，進而與入射粒子的能量成正比。
   • 訊號輸出： 脈衝模式 (Pulse Mode)。每次輻射粒子進入偵測器並引發一次氣體倍增，都會產生一個獨立的電脈衝。脈衝的高度與入射粒子的能量（或產生的初級離子對數）成正比。也可以工作在電流模式，但通常脈衝模式更能提供能量信息。
   • 特徵： 能夠区分不同能量的粒子（能量分辨能力），適合能譜分析。

3. 蓋革-繆勒計數器 (Geiger-Müller Counter, GM Counter)

   • 構造： 與比例計數器類似，通常為圓柱形，中心為陽極絲，外殼為陰極，充滿特定氣體（常含鹵素或有機氣體作為猝滅劑）。
   • 操作電壓選用範圍及特徵： 處於「蓋革區」(Geiger Region)。電壓比比例區更高。在此區域，氣體倍增效應極大（倍增因子可達 $10^8 \sim 10^{10}$），一次初級電離就能引發遍及整個偵測器體積的「全範圍雪崩」(Full-scale Avalanche)。這導致每個脈衝的幅度幾乎相同，與入射粒子的能量無關。
   • 訊號輸出： 脈衝模式 (Pulse Mode)。每次輻射粒子進入，都會產生一個幅度相同的脈衝。計數器只能告訴你「有多少個」粒子通過，而無法提供能量信息。
   • 特徵： 靈敏度高，對低能量輻射也很敏感，易於使用，但能量分辨能力差。通常會有一個「死時間」(Dead Time)，即在一個脈衝產生後，偵測器需要一段時間才能恢復正常工作，在此期間無法偵測到新的粒子。

4. 蓋革-繆勒區域的特殊情況：

   • 有限公司比例區 (Limited Proportionality Region)： 介於比例區和蓋革區之間。氣體倍增開始增強，但仍有一定程度的能量相關性。
   • 蓋革-米歇爾區 (Geiger-Michel Region)： 即蓋革區。