109 年 國立清華大學核子工程與科學研究所甲組《核工原理》

本題主要在測試考生對核反應、截面、核分裂材料以及反應器基本參數的基礎知識。

A. Q-value of nuclear reaction (核反應的 Q 值)
核反應的 Q 值是指反應前後系統總質能的變化量。如果反應釋放出能量，則 Q 值為正；如果反應需要吸收能量才能進行，則 Q 值為負。
$Q = (\sum m_{reactants} - \sum m_{products})c^2$
其中 $m$ 為原子或粒子的質量，$c$ 為光速。Q 值是判斷反應是否為放能反應或吸能反應的重要指標，對於核反應爐的能量產生至關重要。

B. Microscopic and macroscopic cross sections (微觀截面與宏觀截面)
微觀截面 ($\sigma$) 代表單一原子核與入射粒子發生特定核反應的「有效面積」，單位通常是 barn ($1 \text{ barn} = 10^{-24} \text{ cm}^2$)。它與反應的類型（如散射、吸收、分裂）以及粒子的能量有關。
宏觀截面 ($\Sigma$) 代表單位體積內所有原子核與入射粒子發生特定核反應的總有效面積。它與微觀截面和原子數密度 ($N$) 有關：
$\Sigma = N \sigma$
單位通常是 $\text{cm}^{-1}$。宏觀截面是描述宏觀物質對粒子行為（如穿透、吸收）的直接指標。

C. Fissile and fissionable materials (可分裂材料與易分裂材料)
可分裂材料 (Fissile materials) 指的是能夠被低能熱中子（約 0.025 eV）引起核分裂的核種，例如 $^{235}\text{U}$、$^{239}\text{Pu}$、$^{233}\text{U}$。

核心觀念

本題為核工原理（Nuclear Reactor Theory）中最基礎且高頻出現的**核燃料物質組成與原子數密度（Atom Density / Number Density）**計算題，主要評量以下觀念：

1. 重量百分比（Weight Percent, $\text{wt}\%$）：
   同位素 $i$ 的分質量佔總質量之比率：
   $w_i = \frac{m_i}{m_{\text{total}}}$

2. 原子數密度（Atom Density, $N$）：
   單位體積內特定核種的原子數（單位通常為 $\text{atoms/cm}^3$ 或 $\text{atoms}/(\text{b}\cdot\text{cm})$，其中 $1\text{ barn} = 10^{-24}\text{ cm}^2$）。
   若已知混和物總質量密度 $\rho$（$\text{g/cm}^3$）及核種 $i$ 的重量百分比 $w_i$，則該核種的原子數密度公式為：
   $N_i = \frac{\rho_i N_A}{M_i} = \frac{w_i \rho N_A}{M_i}$
   其中：

   • $\rho_i = w_i \rho$：核種 $i$ 的分密度（Partial Density, $\text{g/cm}^3$）。
   • $N_A \approx 0.6022 \times 10^{24}\text{ atoms/mol}$（亞佛加厥常數）。
   • $M_i$：核種 $i$ 的莫耳質量（原子量，單位為 $\text{g/mol}$）。

解題方法

(a) 計算反應爐中 $^{235}\text{U}$ 的總質量

已知反應爐內裝載之總鈾量為 $m_{\text{total}} = 1500\text{ kg}$，且 $^{235}\text{U}$ 的濃縮度為 $20\text{ wt\%}$（即 $w_{235} = 0.20$）。

根據重量百分比定義：
$m_{235} = m_{\text{total}} \times w_{235}$

代入數值：
$m_{235} = 1500\text{ kg} \times 0.20 = 300\text{ kg}$

(b) 計算燃料棒中 $^{235}\text{U}$ 與 $^{238}\text{U}$ 的原子數密度

已知參數：

• 鈾金屬燃料總密度：$\rho = 19.1\text{ g/cm}^3$
• $^{235}\text{U}$ 重量百分比：$w_{235} = 0.20$
• $^{238}\text{U}$ 重量百分比：$w_{238} = 1.00 - 0.20 = 0.80$
• 亞佛加厥常數：$N_A = 0.6022 \times 10^{24}\text{ atoms/mol}$
• 原子量：$M_{235} \approx 235.04\text{ g/mol}$（或取近似值 $235\text{ g/mol}$）、$M_{238} \approx 238.05\text{ g/mol}$（或取近似值 $238\text{ g/mol}$）

1. $^{235}\text{U}$ 的原子數密度 $N_{235}$：
   $N_{235} = \frac{w_{235} \rho N_A}{M_{235}}$

本題考驗考生對反應器功率與中子通量、分裂截面之間關係的理解與計算能力。反應器功率是衡量反應器輸出的重要指標，與核分裂反應的速率直接相關。

核心觀念：反應器功率是單位時間內通過反應器芯部核分裂所釋放的總能量。它可以用單位時間內發生的分裂反應數乘以每次分裂釋放的平均能量來計算。

已知資訊：
反應器體積 $V = (40 \text{ cm})^3 = 64000 \text{ cm}^3$
反應器中分裂截面 $\Sigma_f = 0.1 \text{ cm}^{-1}$
平均中子通量 $\Phi = 10^{13} \text{ neutrons/cm}^2 \cdot \text{s}$
每次分裂釋放的平均能量 $E_{fission} \approx 200 \text{ MeV}$ (這是核分裂反應器功率計算的標準假設值，題目未給出，故需自行引入)

計算步驟：

1. 計算單位時間內發生的總分裂反應數 (Fission Rate)：
   單位體積內的分裂反應率為 $\Sigma_f \cdot \Phi$。
   $\text{Fission Rate per unit volume} = \Sigma_f \cdot \Phi$
   $\text{Fission Rate per unit volume} = (0.1 \text{ cm}^{-1}) \times (10^{13} \text{ neutrons/cm}^2 \cdot \text{s}) = 10^{12} \text{ fissions/cm}^3 \cdot \text{s}$
   反應器芯部的總分裂反應數率為：
   $\text{Total Fission Rate} = (\text{Fission Rate per unit volume}) \times V$
   $\text{Total Fission Rate} = (10^{12} \text{ fissions/cm}^3 \cdot \text{s}) \times (64000 \text{ cm}^3)$
   $\text{Total Fission Rate} = 6.4 \times 10^{16} \text{ fissions/s}$

本題主要考察考生對於反應器物理中「中子漏失」概念的理解，以及如何從擴散理論推導出臨界條件方程。

Part 1: Meaning of Buckling (B²)

Buckling ($B^2$) 是描述反應器中子漏失程度的參數。在擴散理論中，中子在反應器中的分佈可以用一個偏微分方程來描述。這個方程的解通常與空間相關。Buckling 的引入是為了簡化這個方程，將其與中子產生和吸收的項分離。

對於一個穩態的、無外加源的反應器，中子的擴散方程可以寫成：
$\nabla^2 \phi - \frac{\Sigma_a}{\mathcal{D}} \phi + \frac{\nu \Sigma_f}{ \mathcal{D}} \phi = 0$
其中 $\phi$ 是中子通量，$\nabla^2$ 是拉普拉斯算子，$\Sigma_a$ 是宏觀吸收截面，$\mathcal{D}$ 是擴散係數，$\nu \Sigma_f$ 是每個中子產生分裂的平均中子數乘以宏觀分裂截面。

對於一個臨界的、無限大的反應器 ($k_\infty > 1$)，中子通量是均勻的，沒有空間變化，因此 $\nabla^2 \phi = 0$。

然而，在有限大小的反應器中，中子會從表面漏失。為了簡化方程，我們將中子產生項與吸收項合併，並引入 $k_\infty$ 和 $k_{eff}$ 的概念。
$k_\infty = \frac{\nu \Sigma_f}{\Sigma_a}$ (無限大反應器中的增殖因子)
$k_{eff} = k_\infty e^{-B^2 L^2}$ (有限大小反應器中的有效增殖因子，其中 $L^2 = \mathcal{D}/\Sigma_a$ 是擴散長度平方)

Buckling ($B^2$) 可以看作是反應器幾何形狀的函數，它量化了中子從反應器邊界逃逸的速率。

• 大幾何尺寸或簡單幾何形狀 (如無限平板)：漏失較少，Buckling 較小。
• 小幾何尺寸或複雜幾何形狀：漏失較多，Buckling 較大。

從表格中可以看出，對於無限平板，Buckling 是 $\pi^2/a^2$；對於球體，Buckling 是 $\pi^2/R^2$。這表明 Buckling 與尺寸的平方成反比。
Buckling 的單位是 $\text{cm}^{-2}$。

Part 2: Derivation of the One-Group Critical Equation for a Bare Reactor

我們從單群擴散理論開始。在中子傳輸方程中，考慮到中子的產生、吸收和擴散。
對於一個穩態、無外加源的反應器，單群擴散方程為：
$\mathcal{D} \nabla^2 \phi - \Sigma_a \phi + S = 0$
其中 $S$ 是中子源項。在中子產生過程中，$S$ 通常與分裂截面和中子通量成正比：$S = \nu \Sigma_f \phi$。
$\mathcal{D} \nabla^2 \phi - \Sigma_a \phi + \nu \Sigma_f \phi = 0$
$\mathcal{D} \nabla^2 \phi + (\nu \Sigma_f - \Sigma_a) \phi = 0$
將 $\mathcal{D}$ 除過去：

核心觀念

質量衰減係數是線性衰減係數除以材料密度，表示單位質量材料對伽馬射線的衰減能力。圖中的 $\mu/\rho$ 在光子能量約 $1\sim2\ \mathrm{MeV}$ 時，各種元素或混合物的數值接近，主要是因為此能區的衰減以康普頓散射為主。

康普頓散射發生在光子與電子之間；在此能量範圍內，電子的束縛效應相對不重要，單一電子的散射截面主要由光子能量決定，對不同元素近似相同。

解題方法與推導

對原子序為 $Z$、原子量為 $A$ 的元素，若每個原子有 $Z$ 個電子，康普頓散射的原子截面可近似寫成

其中 $\sigma_{\mathrm{KN}}(E)$ 是單一電子的 Klein–Nishina 散射截面，主要取決於光子能量 $E$。

單位質量中的原子數為 $\rho N_A/A$，因此康普頓散射造成的質量衰減係數為