114 年 國立中央大學環境工程研究所乙組《流體力學》

本題主要考驗應用白努利方程式、達西-威斯巴赫公式計算管路水頭損失，以及計算抽水機所需功率的觀念。

首先，將流量單位換算為國際單位制：
$Q = 0.30 \, \text{m}^3/\text{min} = \frac{0.30}{60} \, \text{m}^3/\text{s} = 0.005 \, \text{m}^3/\text{s}$

接著，計算管路中的流體平均速度 $V$：
$V = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{\frac{\pi d^2}{4}}$
$V = \frac{0.005 \, \text{m}^3/\text{s}}{\frac{\pi (0.04 \, \text{m})^2}{4}} = \frac{0.005}{\pi \times (0.02)^2} = \frac{0.005}{0.0012566} \approx 3.979 \, \text{m/s}$

然後，計算管路主要水頭損失 $h_f$。由於題目未提供雷諾數，但給予摩擦因子 $f$，我們直接使用達西-威斯巴赫公式：
$h_f = f \frac{L}{d} \frac{V^2}{2g}$
其中 $g$ 為重力加速度，約為 $9.81 \, \text{m/s}^2$。
$h_f = 0.022 \times \frac{10 \, \text{m}}{0.04 \, \text{m}} \times \frac{(3.979 \, \text{m/s})^2}{2 \times 9.81 \, \text{m/s}^2}$
$h_f = 0.022 \times 250 \times \frac{15.832}{19.62} \approx 5.5 \times 0.807 \approx 4.44 \, \text{m}$

接下來，應用白努利方程式來計算抽水機提供的揚程 $H_{pump}$。假設抽水機的吸水口與排水口在同一水平面上 (即 $z_1 = z_2$)，且出口壓力為大氣壓力 ($P_1 = P_2 = P_{atm}$)。排水點 (2) 是地面上的排水口，其水面高度為 $3 \, \text{m}$。吸水口 (1) 是地下停車場的水面，其水面高度為 $-2 \, \text{m}$ (相對於地面)。

核心觀念

本題考查浮台在水流中的平衡，需同時考慮：

• 浮力：$F_B=\rho g V_{\text{排水}}$
• 浮台重量：$W=SG\cdot \rho g V$
• 水流阻力：$F_D=\dfrac{1}{2}\rho C_D A V^2$
• 水平與鉛直方向的力平衡

取水流方向為水平向右，繫繩對浮台的作用力則具有向左、向下的分量。

解題方法

1. 浮台重量

浮台體積為

$$V=LWH=(2.0)(2.0)(1.0)=4.0\ \text{m}^3$$

水的密度為 $\rho=1000\ \text{kg/m}^3$，因此浮台重量為

$$W=SG\cdot \rho gV$$ $$W=(0.70)(1000)(9.81)(4.0) =27468\ \text{N}$$

2. 浮力

浮台浸入水中的深度為 $h=0.90\ \text{m}$，排水體積為

$$V_{\text{排水}}=LWh=(2.0)(2.0)(0.90)=3.60\ \text{m}^3$$

所以浮力為

$$F_B=\rho gV_{\text{排水}} =(1000)(9.81)(3.60) =35316\ \text{N}$$

浮力大於重量，其差值必須由繫繩的向下分量平衡：

$$T_y=F_B-W$$ $$T_y=35316-27468=7848\ \text{N}$$

3. 水流阻力

水流方向為沿浮台長度方向，因此迎水投影面積為浸沒寬度乘以浸沒深度：

本題考驗應用托里切利定律 (Torricelli's Law) 並考慮流量係數來計算孔口排水流量。

根據托里切利定律，理想情況下，從容器底部孔口流出的液體速度 $v$ 與孔口到液面之間的垂直高度 $H$ 的平方根成正比：
$v_{ideal} = \sqrt{2 g H}$
其中 $g$ 為重力加速度 ($9.81 \, \text{m/s}^2$)，$H$ 為液面到孔口圓心的距離 ($2.0 \, \text{m}$)。

計算理想流速：
$v_{ideal} = \sqrt{2 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 2.0 \, \text{m}} = \sqrt{39.24} \approx 6.264 \, \text{m/s}$

實際的流速 $v_{actual}$ 會因為孔口的形狀、邊緣的銳利度等因素而小於理想流速。這由流量係數 $C_d$ 來考慮。
$v_{actual} = C_d \times v_{ideal}$
$v_{actual} = 0.65 \times 6.264 \, \text{m/s} \approx 4.072 \, \text{m/s}$

接著，計算出水口的面積 $A_{orifice}$。
出水口直徑 $d = 0.10 \, \text{m}$。

本題考驗使用曼寧公式計算明渠流量的能力。

首先，需要計算渠道的斷面積 $A$ 和潤滑周長 $P$。
渠道底部寬度 $b = 1.0 \, \text{m}$。
水深 $h = 0.50 \, \text{m}$。
一側坡度為 $60^\circ$，另一側為 $90^\circ$。
渠道斷面是一個梯形，其中一側是垂直的，另一側是傾斜的。

對於 $90^\circ$ 的一側，其頂部寬度增加量為 $0$。
對於 $60^\circ$ 的一側，其頂部寬度增加量為 $h / \tan(60^\circ)$。
$h / \tan(60^\circ) = 0.50 \, \text{m} / \sqrt{3} \approx 0.50 \, \text{m} / 1.732 \approx 0.2887 \, \text{m}$。

渠道頂部寬度 $b_{top} = b + h / \tan(60^\circ) = 1.0 \, \text{m} + 0.2887 \, \text{m} = 1.2887 \, \text{m}$。

斷面積 $A$ 為梯形面積：
$A = \frac{b + b_{top}}{2} \times h = \frac{1.0 \, \text{m} + 1.2887 \, \text{m}}{2} \times 0.50 \, \text{m}$
$A = \frac{2.2887}{2} \times 0.50 = 1.14435 \times 0.50 = 0.572175 \, \text{m}^2$

潤滑周長 $P$ 為底部寬度加上兩側的濕周長。
濕周長 $P_{wet}$ 為底部寬度 $b$ 加上兩側傾斜邊長的總和。
一側為垂直邊，長度為 $h = 0.50 \, \text{m}$。
另一側為傾斜邊，長度為 $L_{side} = h / \sin(60^\circ) = 0.50 \, \text{m} / (\sqrt{3}/2) = 0.50 \, \text{m} / 0.866 \approx 0.57735 \, \text{m}$。

所以，潤滑周長 $P = b + h + L_{side}$