115 年 國立中央大學環境工程研究所乙組《流體力學》

核心觀念

本題考查：

1. 圓錐體體積與重量計算。
2. 靜水壓力公式：
   $p=\rho_w g h$
3. 平面所受靜水壓力合力：
   $F=p_cA=\rho_w g h_cA$
4. 比重定義：
   $S=\frac{\rho_{\text{木}}}{\rho_w}$
5. 以浮力與重量比較，判斷木塊是否會浮起。

由圖可知，木塊的圓形底面位於水箱底部，圓錐尖端塞入直徑 $0.10\ \text{m}$ 的洞口；水主要作用於木塊上方直徑 $0.20\ \text{m}$ 的圓形面。

解題方法

1. 木塊體積

圓錐底半徑為

$$R=\frac{D}{2}=\frac{0.20}{2}=0.10\ \text{m}$$

圓錐體積：

$$V=\frac{1}{3}\pi R^2H$$

代入數值：

$$V=\frac{1}{3}\pi(0.10)^2(0.40) =0.0041888\ \text{m}^3$$

2. 木塊總重量

木塊比重為 $0.90$，因此木材密度為

$$\rho_{\text{木}}=0.90\rho_w =0.90(1000) =900\ \text{kg/m}^3$$

木塊質量：

$$m=\rho_{\text{木}}V =900(0.0041888) =3.7699\ \text{kg}$$

木塊重量：

$$W=mg =3.7699(9.81) \approx 36.98\ \text{N}$$

3. 木塊所受浮力

木塊上方水深為 $1.8\ \text{m}$，因此木塊上表面中心的深度為

$$h_c=1.8\ \text{m}$$

圓形受壓面積：

$$A=\frac{\pi D^2}{4} =\frac{\pi(0.20)^2}{4} =0.031416\ \text{m}^2$$

本題考驗對白努利定律 (Bernoulli's Equation) 在流體靜力學與動力學混合情況下的應用，特別是與壓力相關的計算。

核心觀念：

1. 白努利定律： 在穩定流動的不可壓縮、無黏性流體中，沿著流線的總壓位能（包含靜壓、動壓、位能）守恆。
   $P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h = \text{constant}$
   其中 $P$ 為靜壓力，$\rho$ 為流體密度，$v$ 為流速，$g$ 為重力加速度，$h$ 為參考高度。
2. 流體靜力學壓力 (Hydrostatic Pressure): 在靜止流體中，同一水平面上的壓力相等。深度增加，壓力增加。壓力差 $\Delta P = \rho g \Delta h$。
3. 壓力單位換算： $1 \, \text{kPa} = 1000 \, \text{Pa}$。

解題步驟：

已知條件：

• 身高 $H_{total} = 1.8 \, \text{m}$
• 頭部高於心臟 $\Delta h_{head-heart} = 0.4 \, \text{m}$
• 血液流速 $v = 0.30 \, \text{m/s}$
• 血液密度 $\rho = 1055 \, \text{kg/m}^3$
• 心臟血壓 $P_{heart} = 13.0 \, \text{kPa, gage} = 13000 \, \text{Pa, gage}$
• 取 $g = 9.81 \, \text{m/s}^2$ (若題目未指定，通常採用此值或 $9.8 \, \text{m/s}^2$)。

第一部分：站立時腦內血壓

我們將心臟的位置設為參考點，高度 $h_{heart} = 0$。
則頭部（腦部）的高度為 $h_{brain} = \Delta h_{head-heart} = 0.4 \, \text{m}$。

應用白努利定律於心臟到腦部的血液流動。假設血液在心臟出口的壓力為 $P_{heart}$，速度為 $v$，高度為 $0$。在腦部（假設為腦部某一點，如腦部平均壓力點）的壓力為 $P_{brain}$，速度也為 $v$ (題目給定血液流速為 $0.30 \, \text{m/s}$，且未提及速度在兩點間有顯著變化，故假設速度相同)，高度為 $h_{brain}$。

$P_{heart} + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h_{heart} = P_{brain} + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h_{brain}$

由於 $\frac{1}{2} \rho v^2$ 兩側相同，且 $h_{heart} = 0$，我們得到：

$P_{heart} = P_{brain} + \rho g h_{brain}$

我們要求的是腦內血壓 $P_{brain}$。

$P_{brain} = P_{heart} - \rho g h_{brain}$

代入數值：
$P_{heart} = 13000 \, \text{Pa}$
$\rho = 1055 \, \text{kg/m}^3$
$g = 9.81 \, \text{m/s}^2$
$h_{brain} = 0.4 \, \text{m}$

$P_{brain} = 13000 \, \text{Pa} - (1055 \, \text{kg/m}^3) \cdot (9.81 \, \text{m/s}^2) \cdot (0.4 \, \text{m})$
$P_{brain} = 13000 \, \text{Pa} - 4139.82 \, \text{Pa}$
$P_{brain} = 8860.18 \, \text{Pa}$

將結果換算為 $\text{kPa, gage}$：
$P_{brain} = \frac{8860.18}{1000} \, \text{kPa} \approx 8.86 \, \text{kPa, gage}$。

注意： 題目問的是「腦內血壓」，通常是指相對壓力 (gage pressure)。由於心臟血壓是 $\text{gage}$，我們計算出的腦內血壓也應為 $\text{gage}$。

核心觀念

電梯向下加速時，水箱內的水相對於電梯仍可視為靜止，但有效重力加速度變為

$$g_{\text{eff}}=g-a$$

因此，水箱內的靜水壓力梯度為

$$\frac{dp}{dz}=-\rho g_{\text{eff}}$$

在水深與水箱形狀不變的情況下，底部表壓與有效重力成正比。

解題方法

電梯靜止時，水箱底部壓力計讀值為

$$p_{g,0}=\rho g h=4.90\ \text{kPa}$$

電梯向下加速 $a=2.0\ \text{m/s}^2$ 時，有效重力為

$$g_{\text{eff}}=g-a=9.81-2.0=7.81\ \text{m/s}^2$$

相同水深下，新的底部表壓為

核心觀念

本題應用兩點間的伯努力方程式，考慮：

• 蓄水槽自由液面與放流管末端的高程差
• 放流管末端受海水造成的外部壓力
• 放流管內的沿程摩擦損失
• 管末端流速所具有的速度水頭

假設蓄水槽自由液面及海面皆受大氣壓，且忽略入口、彎頭及出口等局部損失。

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解題方法

取蓄水槽自由液面為點 $1$，放流管末端為點 $2$。以海面為基準面，設蓄水槽水位高於海面 $H$，則

$$z_1=H,\qquad z_2=-15\ \text{m}$$

蓄水槽面積很大，因此

$$v_1\approx 0,\qquad p_1=0$$

其中壓力採表壓表示。

管末端排入海水中，深度為 $15\ \text{m}$，其表壓為海水靜水壓：

$$p_2=\rho_{\text{seawater}}g(15)$$

因伯努力方程式中的壓力水頭須除以管內廢水密度，因此

$$\frac{p_2}{\rho_{\text{wastewater}}g} = \frac{\rho_{\text{seawater}}}{\rho_{\text{wastewater}}}(15) = \frac{1025}{1000}(15) = 15.375\ \text{m}$$

沿程摩擦損失由 Darcy–Weisbach 公式給出：

$$h_f=f\frac{L}{D}\frac{v^2}{2g}$$

代入數值：

$$h_f = 0.022\left(\frac{6000}{1.0}\right) \frac{(1.0)^2}{2(9.81)}$$