115 年 國立中央大學環境工程研究所乙組《工程數學》

核心觀念

本題考查二階常係數齊次線性常微分方程（ODE）的**拉氏轉換法（Laplace Transform Method）**及其初始值問題（IVP）的求解步驟。解題過程中採用的關鍵公式與定理如下：

1. 導數的拉氏轉換公式（設 $\mathcal{L}\{y(t)\} = Y(s)$）：
   • 一階導數：$\mathcal{L}\{y'(t)\} = s Y(s) - y(0)$
   • 二階導數：$\mathcal{L}\{y''(t)\} = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)$
2. 拉氏反轉換基本公式：
   • $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s - a}\right\} = e^{at}$
3. 部分分式分解法（Partial Fraction Decomposition）：
   • 用於將複雜的頻域代數式拆解為可直接對應拉氏反轉換表的形式。

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解題方法

步驟一：對微分方程兩端取拉氏轉換

已知微分方程 $y'' + y' - 6y = 0$，初始條件為 $y(0) = 1$ 與 $y'(0) = 1$。
對方程等號兩端同時進行拉氏轉換：
$\mathcal{L}\{y''\} + \mathcal{L}\{y'\} - 6\mathcal{L}\{y\} = \mathcal{L}\{0\}$

將導數的拉氏轉換公式代入：
$[s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)] + [s Y(s) - y(0)] - 6 Y(s) = 0$

將初始條件 $y(0) = 1$ 及 $y'(0) = 1$ 代入上式：
$[s^2 Y(s) - s(1) - 1] + [s Y(s) - 1] - 6 Y(s) = 0$

步驟二：整理代數式並求出 $Y(s)$

合併含有 $Y(s)$ 的項，並將其餘項移至等號右端：
$(s^2 + s - 6) Y(s) - s - 2 = 0$
$(s^2 + s - 6) Y(s) = s + 2$

將特徵多項式 $s^2 + s - 6$ 進行因式分解，得 $(s + 3)(s - 2)$：
$(s + 3)(s - 2) Y(s) = s + 2$

解出頻域函數 $Y(s)$：
$Y(s) = \frac{s + 2}{(s + 3)(s - 2)}$

步驟三：進行部分分式分解

將 $Y(s)$ 拆解為兩項簡單分式的和：
$Y(s) = \frac{A}{s + 3} + \frac{B}{s - 2}$

通分後比較分子：
$s + 2 = A(s - 2) + B(s + 3)$

利用覆蓋法（Heaviside Cover-up Method）求解未知係數 $A$ 與 $B$：

1. 令 $s = 2$：
   $2 + 2 = B(2 + 3) \implies 4 = 5B \implies B = \frac{4}{5}$
2. 令 $s = -3$：

核心觀念

本題考查常係數一階線性微分方程組

$$\mathbf y'(t)=A\mathbf y(t), \qquad A= \begin{pmatrix} 2&-1\\ 3&-2 \end{pmatrix}.$$

若存在非零向量 $\mathbf v$ 滿足

$$A\mathbf v=\lambda\mathbf v,$$

則 $\lambda$ 稱為矩陣 $A$ 的特徵值，$\mathbf v$ 稱為對應的特徵向量。對每一組特徵值與特徵向量，皆可建立微分方程組的解：

$$\mathbf y(t)=e^{\lambda t}\mathbf v.$$

若矩陣具有兩個線性獨立的特徵向量，通解就是這兩個特徵解的線性組合。

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解題方法

設

$$\mathbf y(t)= \begin{pmatrix} y_1(t)\\ y_2(t) \end{pmatrix}, \qquad A= \begin{pmatrix} 2&-1\\ 3&-2 \end{pmatrix}.$$

先求矩陣 $A$ 的特徵值，再求各特徵值對應的特徵向量，最後組合成通解。

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(1) 求特徵值

特徵值由特徵方程

$$\det(A-\lambda I)=0$$

決定。其中

$$A-\lambda I = \begin{pmatrix} 2-\lambda&-1\\ 3&-2-\lambda \end{pmatrix}.$$

因此

$$\det(A-\lambda I) = (2-\lambda)(-2-\lambda)-(-1)(3).$$

整理得

$$\det(A-\lambda I) = (2-\lambda)(-2-\lambda)+3 = \lambda^2-1.$$

所以特徵方程為

$$\lambda^2-1=0,$$

因而得到兩個特徵值

$$\boxed{\lambda_1=1,\qquad \lambda_2=-1}.$$

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(2) 求特徵向量

對應 $\lambda_1=1$

代入

$$(A-I)\mathbf v_1=\mathbf 0.$$

有

$$A-I = \begin{pmatrix} 1&-1\\ 3&-3 \end{pmatrix}.$$

設

$$\mathbf v_1= \begin{pmatrix} v_{11}\\ v_{12} \end{pmatrix},$$

則

$$v_{11}-v_{12}=0.$$

因此 $v_{11}=v_{12}$，可取

$$\boxed{ \mathbf v_1= \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix} }.$$

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對應 $\lambda_2=-1$

代入

$$(A+I)\mathbf v_2=\mathbf 0.$$

有

$$A+I = \begin{pmatrix} 3&-1\\ 3&-1 \end{pmatrix}.$$

設

$$\mathbf v_2= \begin{pmatrix} v_{21}\\ v_{22} \end{pmatrix},$$

則

核心觀念

1. 三角矩陣（Triangular Matrix）與特徵值：
   若方陣 $A$ 為上三角矩陣、下三角矩陣或對角矩陣，其特徵多項式 $\det(A - \lambda I) = 0$ 之根即為主對角線（Main diagonal）上的元素。因此，三角矩陣的特徵值（Eigenvalues）恰好等於其主對角線上的各個元素。
2. 矩陣跡數（Trace）與特徵值的關係：
   對任意 $n \times n$ 方陣 $A$，其所有特徵值的總和恆等於矩陣的跡數 $\text{tr}(A)$（即主對角線元素之和）：
   $\sum_{i=1}^n \lambda_i = \text{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}$

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解題方法

本題求解矩陣 $B$ 的特徵值總和 $\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3$，提供以下兩種解答切入點：

解法一：利用上三角矩陣性質（標準推導）

1. 觀察矩陣 $B$：
   $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$
   主對角線下方元素皆為 $0$，故矩陣 $B$ 為上三角矩陣。
2. 求特徵多項式：
   $\det(B - \lambda I) = \begin{vmatrix} 3-\lambda & 1 & 0 \\ 0 & 3-\lambda & 4 \\ 0 & 0 & 4-\lambda \end{vmatrix} = (3-\lambda)(3-\lambda)(4-\lambda) = 0$
3. 解得矩陣 $B$ 的三個特徵值（含重複根）為：
   $\lambda_1 = 3,\quad \lambda_2 = 3,\quad \lambda_3 = 4$
4. 計算特徵值總和：

核心觀念

1. 矩陣可對角化定理（Diagonalizability Theorem）：
   $n \times n$ 方陣 $A$ 可對角化的充分必要條件為 $A$ 擁有 $n$ 個線性獨立（Linearly Independent）的特徵向量。
2. 代數重數與幾何重數：
   • 代數重數（Algebraic Multiplicity, $m_i$）：特徵方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$ 中，根 $\lambda_i$ 的重根數。
   • 幾何重數（Geometric Multiplicity, $g_i$）：對應特徵值 $\lambda_i$ 的特徵空間（Eigenspace）維度，即 $g_i = \text{nullity}(A - \lambda_i I) = n - \text{rank}(A - \lambda_i I)$。
3. 判斷準則：
   $n \times n$ 方陣 $A$ 可對角化 $\iff$ 對於 $A$ 的每一個特徵值 $\lambda_i$，其幾何重數均等於代數重數（即 $g_i = m_i$）。若存在某個特徵值滿足 $g_i < m_i$，則 $A$ 缺乏足夠的線性獨立特徵向量，稱為瑕矩陣（Defective Matrix），不可對角化。

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解題方法

步驟一：求方陣 $A$ 的特徵值（Eigenvalues）

計算特徵方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$：
$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 3-\lambda & 3 \\ 2 & 1 & 4-\lambda \end{pmatrix}$

沿第一列進行降階展開：
$\det(A - \lambda I) = (1-\lambda) \left[(3-\lambda)(4-\lambda) - 3\right] - 1 \cdot \left[1(4-\lambda) - 6\right] + 1 \cdot \left[1 - 2(3-\lambda)\right]$

展開並化簡：
$(1-\lambda)(\lambda^2 - 7\lambda + 9) - (-\lambda - 2) + (2\lambda - 5) = 0$
$(\lambda^2 - 7\lambda + 9 - \lambda^3 + 7\lambda^2 - 9\lambda) + 3\lambda - 3 = 0$
$-\lambda^3 + 8\lambda^2 - 13\lambda + 6 = 0$
$\lambda^3 - 8\lambda^2 + 13\lambda - 6 = 0$

利用因式定理可得 $\lambda = 1$ 為一根，進行因式分解：
$(\lambda - 1)(\lambda^2 - 7\lambda + 6) = 0$
$(\lambda - 1)^2(\lambda - 6) = 0$

解得特徵值：

• $\lambda_1 = 6$，代數重數 $m_1 = 1$
• $\lambda_2 = 1$，代數重數 $m_2 = 2$

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步驟二：檢驗重根特徵值 $\lambda = 1$ 的幾何重數（Geometric Multiplicity）

相異單根特徵值 $\lambda_1 = 6$ 之幾何重數必為 $1$（即 $g_1 = m_1 = 1$），故只需檢驗重根特徵值 $\lambda_2 = 1$ 的幾何重數 $g_2$。