111 年 國立中央大學環境工程研究所甲組《工程數學》

核心觀念

1. 矩陣可逆性（Invertibility）：對於 $3 \times 3$ 方陣 $A$，若其行列式值 $\det(A) \neq 0$，則矩陣 $A$ 為非奇異（Non-singular），其反矩陣 $A^{-1}$ 存在且唯一。
2. 伴隨矩陣法（Adjugate Matrix Method）：
   $n \times n$ 矩陣之反矩陣公式為：
   $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) = \frac{1}{\det(A)} C^T$
   其中 $C = [C_{ij}]$ 為餘因子矩陣（Cofactor Matrix），餘因子定義為 $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$（$M_{ij}$ 為劃去第 $i$ 列與第 $j$ 行後剩餘之子行列式 Minor）。

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解題方法

採用伴隨矩陣法進行計算，步驟明確且不易發生列運算之符號錯誤。

步驟一：計算行列式值 $\det(A)$

對矩陣 $A$ 之第一列進行降階展開：
$\det(A) = 12 \cdot \begin{vmatrix} 20 & 20 \\ 15 & 14 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 10 & 20 \\ 10 & 14 \end{vmatrix} + 5 \cdot \begin{vmatrix} 10 & 20 \\ 10 & 15 \end{vmatrix}$

分別計算 $2 \times 2$ 子行列式：
$\begin{vmatrix} 20 & 20 \\ 15 & 14 \end{vmatrix} = 20 \times 14 - 20 \times 15 = 280 - 300 = -20$
$\begin{vmatrix} 10 & 20 \\ 10 & 14 \end{vmatrix} = 10 \times 14 - 20 \times 10 = 140 - 200 = -60$
$\begin{vmatrix} 10 & 20 \\ 10 & 15 \end{vmatrix} = 10 \times 15 - 20 \times 10 = 150 - 200 = -50$

代回得：
$\det(A) = 12(-20) - 2(-60) + 5(-50) = -240 + 120 - 250 = -370$
由於 $\det(A) = -370 \neq 0$，確定反矩陣 $A^{-1}$ 存在。

步驟二：求餘因子矩陣 $C$

計算 9 個元素對應之餘因子 $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$：

• $C_{11} = +(20 \times 14 - 20 \times 15) = -20$
• $C_{12} = -(10 \times 14 - 20 \times 10) = -(-60) = 60$
• $C_{13} = +(10 \times 15 - 20 \times 10) = -50$
• $C_{21} = -(2 \times 14 - 5 \times 15) = -(28 - 75) = 47$
• $C_{22} = +(12 \times 14 - 5 \times 10) = 168 - 50 = 118$
• $C_{23} = -(12 \times 15 - 2 \times 10) = -(180 - 20) = -160$
• $C_{31} = +(2 \times 20 - 5 \times 20) = 40 - 100 = -60$
• $C_{32} = -(12 \times 20 - 5 \times 10) = -(240 - 50) = -190$
• $C_{33} = +(12 \times 20 - 2 \times 10) = 240 - 20 = 220$

餘因子矩陣為：
$C = \begin{bmatrix} -20 & 60 & -50 \\ 47 & 118 & -160 \\ -60 & -190 & 220 \end{bmatrix}$

核心觀念

本題考查線性代數中反矩陣（Inverse Matrix）的定義與基本性質、矩陣乘法的結合律（Associative Property）以及矩陣積的反矩陣公式。

1. 反矩陣之定義與唯一性：
   設 $A$ 為 $n \times n$ 的階方陣。若存在一 $n \times n$ 方陣 $B$ 滿足：
   $A B = B A = I$
   （其中 $I$ 為 $n$ 階單位矩陣），則稱 $A$ 為可逆矩陣（Invertible Matrix / Non-singular Matrix），並記 $B = A^{-1}$。反矩陣若存在，必為唯一。
2. 矩陣乘法結合律：
   對於任意維度相容的矩陣 $A, B, C$，恆滿足：
   $(A B) C = A (B C)$
3. 矩陣積之反矩陣定理：
   若 $A$ 與 $B$ 皆為同階可逆矩陣，則其積 $A B$ 亦可逆，且：
   $(A B)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$

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解題方法

本題可透過以下兩種標準方法進行嚴謹證明：

法一：利用反矩陣定義直接驗證（建議採用）

切入點：要證明矩陣 $A^2$ 的反矩陣為 $(A^{-1})^2$，根據定義，只需證明 $(A^2) \cdot (A^{-1})^2 = I$ 且 $(A^{-1})^2 \cdot (A^2) = I$ 即可。

推導步驟：
假設 $A$ 為可逆矩陣，即 $A A^{-1} = A^{-1} A = I$。

1. 左乘驗證：
   計算 $A^2$ 與 $(A^{-1})^2$ 的乘積：
   $(A^2)(A^{-1})^2 = (A \cdot A)(A^{-1} \cdot A^{-1})$
   依據矩陣乘法結合律，重新組合括號：
   $= A \cdot (A \cdot A^{-1}) \cdot A^{-1}$
   代入反矩陣定義 $A A^{-1} = I$：
   $= A \cdot I \cdot A^{-1}$
   因為任何矩陣乘以單位矩陣皆保持不變（$A \cdot I = A$）：
   $= A \cdot A^{-1} = I$

2. 右乘驗證：
   同理，計算 $(A^{-1})^2$ 與 $A^2$ 的乘積：
   $(A^{-1})^2(A^2) = (A^{-1} \cdot A^{-1})(A \cdot A)$
   依據矩陣乘法結合律：
   $= A^{-1} \cdot (A^{-1} \cdot A) \cdot A$
   代入反矩陣定義 $A^{-1} A = I$：

核心觀念

本題考查空間曲線幾何學（Differential Geometry of Curves）中**曲線撓率（Torsion, $\tau$）**的計算。

在三維空間中，曲線 $\vec{r}(t)$ 的幾何特徵由曲率（Curvature, $\kappa$）與撓率（Torsion, $\tau$）完整描述：

1. 曲率 $\kappa$：描述曲線偏離直線的程度。
2. 撓率 $\tau$：描述曲線偏離平面（即扭轉出密切平面 Osculating Plane）的程度。

對於一般參數式曲線 $\vec{r}(t) = [x(t), y(t), z(t)]$（未必定以弧長 $s$ 為參數），撓率 $\tau(t)$ 的計算公式為：
$\tau(t) = \frac{(\vec{r}'(t) \times \vec{r}''(t)) \cdot \vec{r}'''(t)}{\|\vec{r}'(t) \times \vec{r}''(t)\|^2}$

其中：

• $\vec{r}'(t)$ 為一階導數向量（速度向量）。
• $\vec{r}''(t)$ 為二階導數向量（加速度向量）。
• $\vec{r}'''(t)$ 為三階導數向量（加急度向量）。
• 分子 $(\vec{r}'(t) \times \vec{r}''(t)) \cdot \vec{r}'''(t)$ 為三向量之純量三重積（Scalar Triple Product），亦可用 $3 \times 3$ 行列式表示。
• 分母 $\|\vec{r}'(t) \times \vec{r}''(t)\|^2$ 為一階與二階導數向量外積之模長平方。

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解題方法

給定空間曲線位置向量為：
$\vec{r}(t) = [t, t^2, t^3]$

步驟一：求一階、二階與三階導數向量
對 $t$ 逐項求導：
$\vec{r}'(t) = [1, 2t, 3t^2]$
$\vec{r}''(t) = [0, 2, 6t]$
$\vec{r}'''(t) = [0, 0, 6]$

步驟二：計算外積向量 $\vec{r}'(t) \times \vec{r}''(t)$
利用 $3 \times 3$ 行列式展開外積：
$\vec{r}'(t) \times \vec{r}''(t) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2t & 3t^2 \\ 0 & 2 & 6t \end{vmatrix}$
$= \hat{i} \big((2t)(6t) - (3t^2)(2)\big) - \hat{j} \big((1)(6t) - (3t^2)(0)\big) + \hat{k} \big((1)(2) - (2t)(0)\big)$
$= \hat{i} (12t^2 - 6t^2) - \hat{j} (6t) + \hat{k} (2)$
$= [6t^2, -6t, 2]$

步驟三：計算外積向量長度的平方 $\|\vec{r}'(t) \times \vec{r}''(t)\|^2$

核心觀念
本題考查向量解析（Vector Calculus）中的**旋度（Curl）**定義與三維直角座標系（Cartesian Coordinates）下的微分運算。
旋度是一個向量運算子，用以描述向量場在空間中某點附近的旋轉趨勢與強度。設三維向量場為 $\vec{v} = [v_x, v_y, v_z]$，其旋度定義為外積形式：
$\text{curl }\vec{v} = \nabla \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix}$
經由行列式展開後可得：
$\nabla \times \vec{v} = \left( \frac{\partial v_z}{\partial y} - \frac{\partial v_y}{\partial z} \right)\hat{i} + \left( \frac{\partial v_x}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial x} \right)\hat{j} + \left( \frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y} \right)\hat{k}$

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解題方法
已知向量場各分量如下：
$v_x = 4y^2, \quad v_y = 3x^2, \quad v_z = 0$

將其帶入三維旋度定義公式中，分段計算三個分量：

1. $x$ 分量（$\hat{i}$ 方向）：
   $\frac{\partial v_z}{\partial y} - \frac{\partial v_y}{\partial z} = \frac{\partial (0)}{\partial y} - \frac{\partial (3x^2)}{\partial z} = 0 - 0 = 0$

2. $y$ 分量（$\hat{j}$ 方向）：