113 年 國立中央大學環境工程研究所乙組《工程數學》

核心觀念

本題考查**二階齊次柯西－歐拉方程式（Cauchy-Euler Equation）的解法與初值問題（Initial Value Problem, IVP）**的常數確定。

1. 柯西－歐拉方程式的形式與特性：
   標準二階齊次柯西－歐拉方程式形式為：
   $x^2 y''(x) + a x y'(x) + b y(x) = 0 \quad (x > 0)$
   其特徵在於微分項前的係數次方與微分階數相同。

2. 輔助方程式（Auxiliary Equation）：
   假設解的形式為 $y = x^r$，代入 ODE 後可導出特徵方程式（輔助方程式）：
   $r(r-1) + a r + b = 0 \implies r^2 + (a-1)r + b = 0$

3. 相異實根之通解結構：
   若特徵方程式具有兩相異實根 $r_1 \neq r_2$，則其線性獨立解為 $y_1(x) = x^{r_1}$ 與 $y_2(x) = x^{r_2}$，齊次通解為：
   $y(x) = c_1 x^{r_1} + c_2 x^{r_2}$
   其中 $c_1, c_2$ 為任意實常數。

4. 初始條件與初值問題特解：
   利用給定的初始條件 $y(x_0) = y_0$ 與 $y'(x_0) = y_0'$ 聯立求解常數 $c_1, c_2$，進而求得滿足特定初始狀態的特解。

---

解題方法

步驟一：求微分方程式之齊次通解
已知二階齊次柯西－歐拉方程式：
$x^2 y''(x) - 4x y'(x) + 4y(x) = 0$

設 $y(x) = x^r$，對 $x$ 微分得：
$y'(x) = r x^{r-1}$
$y''(x) = r(r-1) x^{r-2}$

代回原微分方程式：
$x^2 \left[ r(r-1) x^{r-2} \right] - 4x \left[ r x^{r-1} \right] + 4 \left[ x^r \right] = 0$
$r(r-1) x^r - 4r x^r + 4 x^r = 0$
由於 $x^r \neq 0$，同除以 $x^r$ 得特徵方程式：
$r(r-1) - 4r + 4 = 0$
$r^2 - 5r + 4 = 0$

進行因式分解：
$(r - 1)(r - 4) = 0$
解得特徵根為 $r_1 = 1$ 及 $r_2 = 4$。

故該微分方程式之齊次通解（General Solution）為：
$y(x) = c_1 x + c_2 x^4 \quad (x > 0)$
其中 $c_1, c_2$ 為任意常數。

步驟二：利用初始條件求解任意常數
將通解 $y(x)$ 對 $x$ 微分求一階導數：
$y'(x) = c_1 + 4c_2 x^3$

代入第一個初始條件 $y(1) = 4$：
$y(1) = c_1(1) + c_2(1)^4 = c_1 + c_2 = 4 \quad \text{--- (式 1)}$

核心觀念

本題為二階常係數非齊次線性微分方程式（Second-Order Linear Non-homogeneous ODE with Constant Coefficients）的通解求解問題。

求解非齊次微分方程式 $y''(x) - y(x) = 4e^x$ 的核心理論架構為：通解 $y(x)$ 由齊次解（Homogeneous Solution）$y_h(x)$ 與特解（Particular Solution）$y_p(x)$ 相加而成，即：
$y(x) = y_h(x) + y_p(x)$

主要運用以下定理與觀念：

1. 特徵方程式（Characteristic Equation）：求解齊次微分方程式 $y''(x) - y(x) = 0$ 的特徵根，確定基礎解集（Fundamental Set of Solutions）以寫出齊次解 $y_h(x)$。
2. 未定係數法（Method of Undetermined Coefficients）：根據非齊次項 $g(x) = 4e^x$ 的形式假設特解 $y_p(x)$。由於非齊次項中的 $e^x$ 已出現在齊次解中（對應特徵根 $r = 1$），依據修正規則（Correction Rule），特解必須乘上自變數 $x$，即假設 $y_p(x) = A x e^x$。

---

解題方法

步驟一：求齊次解 $y_h(x)$

考慮對應的齊次微分方程式：
$y''(x) - y(x) = 0$

寫出其特徵方程式：
$r^2 - 1 = 0 \implies (r-1)(r+1) = 0$

解得特徵根：
$r_1 = 1, \quad r_2 = -1$

因此，齊次解為：
$y_h(x) = c_1 e^x + c_2 e^{-x}$
（其中 $c_1, c_2$ 為任意實數常數）

步驟二：求特解 $y_p(x)$

原非齊次項為 $g(x) = 4e^x$。
由於 $e^x$ 為特徵根 $r = 1$ 所對應的齊次解成分，若直接假設 $y_p(x) = A e^x$，代入原微分方程式左側會退化為 $0$，無法求得係數 $A$。

根據未定係數法之修正原則（Multiply-by-$x$ Rule），將特解型態修正為：
$y_p(x) = A x e^x$

計算 $y_p(x)$ 的一階與二階導數：
$y_p'(x) = A e^x + A x e^x = A(1 + x) e^x$
$y_p''(x) = A e^x + A(1 + x) e^x = A(2 + x) e^x$

將 $y_p(x)$ 與 $y_p''(x)$ 代入原非齊次微分方程式 $y''(x) - y(x) = 4e^x$：
$A(2 + x) e^x - A x e^x = 4e^x$
$2A e^x = 4e^x$

核心觀念

1. 反矩陣行列式定理：若 $n \times n$ 可逆矩陣 $A$ 之行列式值 $|A| \neq 0$，則其反矩陣 $A^{-1}$ 的行列式值與原矩陣 $A$ 的行列式值互為倒數：
   $|A^{-1}| = \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{|A|}$
2. 三階行列式降階展開（Laplace Expansion）：對行列式中包含較多零元素的列或行進行沿列／沿行展開，可將三階行列式化簡為二階行列式計算：
   $\det(A) = \sum_{j=1}^{3} a_{ij} C_{ij} = \sum_{j=1}^{3} a_{ij} (-1)^{i+j} M_{ij}$
   其中 $a_{ij}$ 為矩陣元素，$C_{ij}$ 為餘因子，$M_{ij}$ 為餘子式。

---

解題方法

本題要求解反矩陣的行列式值 $|A^{-1}|$。直接計算反矩陣 $A^{-1}$ 再求行列式值極為繁瑣，因此切入點為利用定理 $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$，先求出原矩陣 $A$ 的行列式值 $|A|$，再取倒數。

步驟一：計算矩陣 $A$ 的行列式值 $|A|$

矩陣 $A$ 為：
$A = \begin{bmatrix} 4 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & 0 \\ -2 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

選擇第三列（含有零元素 $a_{32} = 0$）進行降階展開：

核心觀念

本題考查多元函數微積分中的梯度（Gradient）與方向導數（Directional Derivative）。

1. 梯度向量定義：
   純量場 $f(x, y, z)$ 的梯度向量定義為：
   $\nabla f = \left[ \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right]$

2. 方向導數公式：
   若 $\vec{u}$ 為給定方向 $\vec{d}$ 的單位向量（即 $|\vec{u}| = 1$），則 $f$ 在點 $P$ 沿著方向 $\vec{u}$ 的方向導數 $D_{\vec{u}} f(P)$ 定義為梯度向量與單位方向向量的內積：
   $D_{\vec{u}} f(P) = \nabla f(P) \cdot \vec{u} = \nabla f(P) \cdot \frac{\vec{d}}{|\vec{d}|}$

---

解題方法

步驟一：求純量場 $f(x, y, z)$ 的偏導數與梯度向量

已知純量場為：
$f(x, y, z) = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = (x^2+y^2+z^2)^{-\frac{1}{2}}$

分別對 $x, y, z$ 求一階偏微分：
$\frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{3}{2}} \cdot (2x) = -\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}$
$\frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{3}{2}} \cdot (2y) = -\frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}$
$\frac{\partial f}{\partial z} = -\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{3}{2}} \cdot (2z) = -\frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}$

因此梯度向量為：
$\nabla f = \left[ -\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}, -\frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}, -\frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} \right]$

步驟二：計算點 $P(1, 0, 2)$ 處的梯度向量

將點 $P(1, 0, 2)$ 代入 $x^2+y^2+z^2$：
$x^2+y^2+z^2 = 1^2 + 0^2 + 2^2 = 5$
$(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}} = 5^{\frac{3}{2}} = 5\sqrt{5}$

代入梯度向量可得：
$\nabla f(1, 0, 2) = \left[ -\frac{1}{5\sqrt{5}}, 0, -\frac{2}{5\sqrt{5}} \right]$

步驟三：求方向向量 $\vec{d}$ 的單位向量 $\vec{u}$

給定方向向量 $\vec{d} = [2, 0, 1]$，其長度（模長）為：
$|\vec{d}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{5}$