114 年 國立中央大學環境工程研究所甲組《工程數學》

核心觀念

此題考歐拉－柯西微分方程。方程中 $x^2y''$、$xy'$ 與 $y$ 的次方搭配，適合設 $y=x^m$，將微分方程化為關於 $m$ 的代數方程。

解題方法

設 $y=x^m$，則

$$y'=mx^{m-1},\qquad y''=m(m-1)x^{m-2}.$$

代入微分方程：

$$x^2m(m-1)x^{m-2}+2xmx^{m-1}-6x^m=0.$$

提出 $x^m$，得到特徵方程：

$$m(m-1)+2m-6=0$$ $$m^2+m-6=(m+3)(m-2)=0.$$

因此兩個相異根為 $m=2$、$m=-3$，通解為

$$y=C_1x^2+C_2x^{-3}.$$

再利用初始條件求出特定解。由 $y(1)=0.5$：

$$C_1+C_2=\frac12.$$

先對通解微分：

核心觀念

本題旨在考驗運用拉普拉斯變換（Laplace Transform）求解二階常係數非齊次線性微分方程式之初始值問題（Initial Value Problem, IVP）。核心定理與公式包含：

1. 導數的拉普拉斯變換：
   若 $\mathcal{L}\{y(t)\} = Y(s)$，則：
   • $\mathcal{L}\{y'(t)\} = s Y(s) - y(0)$
   • $\mathcal{L}\{y''(t)\} = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)$
2. 常見函數的拉普拉斯變換：
   • $\mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s - a}$
3. 常見函數的逆拉普拉斯變換：
   • $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s - a}\right\} = e^{at}$
   • $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{s^2 + \omega^2}\right\} = \cos(\omega t)$
   • $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{\omega}{s^2 + \omega^2}\right\} = \sin(\omega t)$
4. 部分分式展開法（Partial Fraction Expansion）：
   將相乘型分式拆解為簡單分式之和，以便進行逆變換。

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解題方法

步驟一：對微分方程式兩邊取拉普拉斯變換
由微分方程式 $y'' + 9y = 10e^{-t}$，兩端取拉普拉斯變換：
$\mathcal{L}\{y''\} + 9\mathcal{L}\{y\} = \mathcal{L}\{10e^{-t}\}$

代入導數公式與指數函數變換公式：
$[s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)] + 9 Y(s) = \frac{10}{s + 1}$

帶入初始條件 $y(0) = 0$ 與 $y'(0) = 0$：
$s^2 Y(s) + 9 Y(s) = \frac{10}{s + 1}$
$(s^2 + 9) Y(s) = \frac{10}{s + 1}$

解出 $Y(s)$：
$Y(s) = \frac{10}{(s + 1)(s^2 + 9)}$

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步驟二：進行部分分式展開
設分式展開形式為：
$\frac{10}{(s + 1)(s^2 + 9)} = \frac{A}{s + 1} + \frac{Bs + C}{s^2 + 9}$

兩邊同乘以 $(s + 1)(s^2 + 9)$：
$10 = A(s^2 + 9) + (Bs + C)(s + 1)$
$10 = (A + B)s^2 + (B + C)s + (9A + C)$

比較兩邊 $s$ 的各次項係數：

• $s^2$ 項係數：$A + B = 0 \implies B = -A$
• $s^1$ 項係數：$B + C = 0 \implies C = -B = A$
• 常數項：$9A + C = 10$

將 $C = A$ 代入常數項方程式：
$9A + A = 10 \implies 10A = 10 \implies A = 1$

核心觀念

• 向量場之散度（Divergence）：代表向量場在空間中某點單位體積內的淨發散量（淨流出率）。散度運算作用於向量場，其結果為一純量場（Scalar Field）。
• 直角座標系下的散度公式：
  若向量場為 $\vec{V}(x, y, z) = V_x \vec{i} + V_y \vec{j} + V_z \vec{k}$，則其散度（記作 $\operatorname{div}\vec{V}$ 或 $\nabla \cdot \vec{V}$）之定義公式為：
  $\nabla \cdot \vec{V} = \frac{\partial V_x}{\partial x} + \frac{\partial V_y}{\partial y} + \frac{\partial V_z}{\partial z}$
  其中 $\nabla = \vec{i}\frac{\partial}{\partial x} + \vec{j}\frac{\partial}{\partial y} + \vec{k}\frac{\partial}{\partial z}$ 為 Del 算符（梯度算符）。

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解題方法

1. 對應向量場之各直角座標分量：
   由題目給定之向量場 $\vec{V} = 2x\vec{i} - 8y\vec{j} + 4z\vec{k}$，可明確分離出三個方向的分量函數：

   • $x$ 方向分量：$V_x = 2x$
   • $y$ 方向分量：$V_y = -8y$
   • $z$ 方向分量：$V_z = 4z$

2. 分別計算各分量對應變數之偏微分：

   • $x$ 分量對 $x$ 求偏微分：
     $\frac{\partial V_x}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2x) = 2$

【觀念公式】
空間曲線 $\vec{r}(t)$ 之曲率公式為：
$\kappa = \frac{|\vec{r}'(t) \times \vec{r}''(t)|}{|\vec{r}'(t)|^3}$

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【詳細計算步驟】

Step 1：求曲線向量的一階與二階導數
由題意 $\vec{r}(t) = 4t\vec{i} + 4t^2\vec{j} + 4t^3\vec{k}$，微分得：
$\vec{r}'(t) = 4\vec{i} + 8t\vec{j} + 12t^2\vec{k} = 4(1\vec{i} + 2t\vec{j} + 3t^2\vec{k})$
$\vec{r}''(t) = 8\vec{j} + 24t\vec{k} = 8(0\vec{i} + 1\vec{j} + 3t\vec{k})$

Step 2：計算外積 $\vec{r}'(t) \times \vec{r}''(t)$