112 年 國立中央大學環境工程研究所甲組《工程數學》

核心觀念

本題的核心考點為矩陣求逆（Inverse Matrix）與上三角矩陣（Upper Triangular Matrix）的運算性質。

1. 反矩陣的定義與存在性：
   對於 $n \times n$ 方陣 $A$，若存在方陣 $B$ 使得 $AB = BA = I$（$I$ 為單位矩陣），則稱 $B$ 為 $A$ 之反矩陣，記作 $A^{-1}$。反矩陣存在的充要條件為行列式值不為零（即 $\det(A) \neq 0$）。
2. 三角矩陣的行列式值：
   對角矩陣或三角矩陣（上三角或下三角）的行列式值，等於其主對角線元素的乘積：
   $\det(A) = a_{11} \times a_{22} \times \dots \times a_{nn}$
3. 上三角矩陣求逆的保形性：
   非奇異（Non-singular）上三角矩陣的反矩陣必亦為上三角矩陣，其主對角線元素剛好為原矩陣對角線元素的倒數。

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解題方法

求矩陣之反矩陣最標準且效率最高的切入點為高斯—喬登消去法（Gauss-Jordan Elimination）。利用增廣矩陣 $[A \mid I]$ 進行初等列運算（Elementary Row Operations），將左側轉化為單位矩陣 $I$ 時，右側即為 $A^{-1}$。

步驟一：檢查反矩陣是否存在

觀察矩陣 $A$：

$$A = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$$

由於 $A$ 為上三角矩陣，其行列式值為對角線元素相乘：

$$\det(A) = 3 \times (-1) \times 2 = -6 \neq 0$$

行列式值不為零，故 $A^{-1}$ 存在。

步驟二：建立增廣矩陣 $[A \mid I]$

$$\left[\begin{array}{ccc|ccc} 3 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$$

步驟三：由下而上消去（將左側化為標準對角形狀）

1. 將第三列乘以 $\frac{1}{2}$（符號記為 $R_3 \leftarrow \frac{1}{2} R_3$）：

   $$\left[\begin{array}{ccc|ccc} 3 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{array}\right]$$

2. 消去第三行上方元素：

   • $R_2 \leftarrow R_2 - 4 R_3$
   • $R_1 \leftarrow R_1 - R_3$

   得增廣矩陣：

   $$\left[\begin{array}{ccc|ccc} 3 & 2 & 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{2} \\[6pt] 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & -2 \\[6pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{array}\right]$$

3. 將第二列乘以 $-1$（符號記為 $R_2 \leftarrow -1 \cdot R_2$）：

核心觀念

本題旨在考驗向量解析（Vector Analysis）中**向量場散度（Divergence of a Vector Field）**的基本定義與微分運算能力。

1. 散度（Divergence）之數學定義：
   設一三維向量場為 $\vec{V}(x, y, z) = V_x \hat{i} + V_y \hat{j} + V_z \hat{k}$，其中 $V_x, V_y, V_z$ 皆為連續可微之純量函數。則該向量場 $\vec{V}$ 的散度記作 $\text{div}\,\vec{V}$ 或 $\nabla \cdot \vec{V}$，定義為 Del 算符 $\nabla = \hat{i}\frac{\partial}{\partial x} + \hat{j}\frac{\partial}{\partial y} + \hat{k}\frac{\partial}{\partial z}$ 與向量場 $\vec{V}$ 的點積（純量積）：
   $\text{div}\,\vec{V} = \nabla \cdot \vec{V} = \frac{\partial V_x}{\partial x} + \frac{\partial V_y}{\partial y} + \frac{\partial V_z}{\partial z}$

2. 物理意義：
   散度為一純量（Scalar），用以描述流體或場在空間中某點向外發散（Source，散度大於 $0$）或向內匯聚（Sink，散度小於 $0$）的強度。若 $\nabla \cdot \vec{V} = 0$，則稱該向量場為無散場（Solenoidal Vector Field），代表場在空間中無源頭亦無匯點，通量維持守恆。

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解題方法

Step 1：對照向量場之各個分量
將題目給定之向量場 $\vec{V} = 4x\hat{i} - 8y\hat{j} + 4z\hat{k}$ 與標準式 $\vec{V} = V_x \hat{i} + V_y \hat{j} + V_z \hat{k}$ 對照，可得：

• $x$ 方向分量純量函數：$V_x = 4x$
• $y$ 方向分量純量函數：$V_y = -8y$
• $z$ 方向分量純量函數：$V_z = 4z$

核心觀念

本題考驗向量向量函數（Vector Valued Function）與空間曲線幾何性質，主要涉及三維空間曲線的曲率（Curvature）定義與計算。

對於由參數式 $\vec{r}(t) = x(t)\hat{i} + y(t)\hat{j} + z(t)\hat{k}$ 所定義的空間曲線，其曲率 $k$（或常記為 $\kappa$）公式為：

$k(t) = \frac{\|\vec{r}'(t) \times \vec{r}''(t)\|}{\|\vec{r}'(t)\|^3}$

其中：

• $\vec{r}'(t)$ 為速度向量（一階導數）
• $\vec{r}''(t)$ 為加速度向量（二階導數）
• $\times$ 表示向量外積（Cross Product）
• $\|\cdot\|$ 表示向量的歐幾里得範數（模長／長度）

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解題方法

步驟一：求一階與二階導數

已知曲線位置向量為：
$\vec{r}(t) = 2t\hat{i} + 2t^2\hat{j} + 2t^3\hat{k}$

對 $t$ 求一階導數（速度向量 $\vec{r}'(t)$）：
$\vec{r}'(t) = 2\hat{i} + 4t\hat{j} + 6t^2\hat{k}$

對 $t$ 求二階導數（加速度向量 $\vec{r}''(t)$）：
$\vec{r}''(t) = 0\hat{i} + 4\hat{j} + 12t\hat{k}$

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步驟二：計算外積 $\vec{r}'(t) \times \vec{r}''(t)$

利用行列式展開求外積：

$$\vec{r}'(t) \times \vec{r}''(t) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 4t & 6t^2 \\ 0 & 4 & 12t \end{vmatrix}$$

按第一列進行降階展開：
$\vec{r}'(t) \times \vec{r}''(t) = \left[(4t)(12t) - (6t^2)(4)\right]\hat{i} - \left[(2)(12t) - (6t^2)(0)\right]\hat{j} + \left[(2)(4) - (4t)(0)\right]\hat{k}$
$= (48t^2 - 24t^2)\hat{i} - (24t)\hat{j} + 8\hat{k}$
$= 24t^2\hat{i} - 24t\hat{j} + 8\hat{k}$

提出公因數 $8$：
$\vec{r}'(t) \times \vec{r}''(t) = 8(3t^2\hat{i} - 3t\hat{j} + 1\hat{k})$

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步驟三：計算向量模長

核心觀念

本題考驗線性代數中矩陣特徵值（Eigenvalue）與特徵向量（Eigenvector）的基本定義，以及矩陣多項式之特徵性質（譜對映定理, Spectral Mapping Theorem）。

1. 特徵值與特徵向量之定義：
   若 $n \times n$ 方陣 $A$ 滿足 $A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$（其中非零向量 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$），則稱 $\lambda$ 為 $A$ 的特徵值，$\mathbf{x}$ 為對應於 $\lambda$ 的特徵向量。其特徵方程式為：

   $$\det(A - \lambda I) = 0$$

2. 矩陣多項式的特徵性質：
   若 $\lambda$ 為矩陣 $A$ 的特徵值，且 $\mathbf{x}$ 為其對應的特徵向量，則對於任意多項式 $f(t)$，矩陣多項式 $f(A)$ 的特徵值必為 $f(\lambda)$，且對應的特徵向量保持不變仍為 $\mathbf{x}$。
   推導如下：

   $$A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} \implies A^2\mathbf{x} = A(A\mathbf{x}) = A(\lambda \mathbf{x}) = \lambda (A\mathbf{x}) = \lambda^2 \mathbf{x}$$

   同理：

   $$(A^2 + 2A)\mathbf{x} = A^2\mathbf{x} + 2A\mathbf{x} = \lambda^2 \mathbf{x} + 2\lambda \mathbf{x} = (\lambda^2 + 2\lambda)\mathbf{x}$$

   因此求解 $(A^2 + 2A)$ 的特徵值與特徵向量，只需先求出原矩陣 $A$ 的特徵值 $\lambda$ 與特徵向量 $\mathbf{x}$，再將 $\lambda$ 代入 $f(\lambda) = \lambda^2 + 2\lambda$ 即可。

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解題方法

第一步：求矩陣 $A$ 的特徵值 $\lambda$

由特徵方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$：

$$\begin{vmatrix} 5-\lambda & 7 & -5 \\ 0 & 4-\lambda & -1 \\ 2 & 8 & -3-\lambda \end{vmatrix} = 0$$

沿第二列展開行列式：

$$\det(A - \lambda I) = (4-\lambda) \begin{vmatrix} 5-\lambda & -5 \\ 2 & -3-\lambda \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 5-\lambda & 7 \\ 2 & 8 \end{vmatrix}$$

計算各二階行列式：

$$\begin{vmatrix} 5-\lambda & -5 \\ 2 & -3-\lambda \end{vmatrix} = (5-\lambda)(-3-\lambda) - (-10) = \lambda^2 - 2\lambda - 5$$ $$\begin{vmatrix} 5-\lambda & 7 \\ 2 & 8 \end{vmatrix} = 8(5-\lambda) - 14 = 26 - 8\lambda$$

代回展開式：

$$(4-\lambda)(\lambda^2 - 2\lambda - 5) + (26 - 8\lambda) = 0$$ $$(-\lambda^3 + 6\lambda^2 - 3\lambda - 20) + (26 - 8\lambda) = 0$$ $$-\lambda^3 + 6\lambda^2 - 11\lambda + 6 = 0$$

整理得：

$$\lambda^3 - 6\lambda^2 + 11\lambda - 6 = 0$$

因式分解得：

$$(\lambda - 1)(\lambda - 2)(\lambda - 3) = 0$$

故矩陣 $A$ 的特徵值為：

$$\lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = 2, \quad \lambda_3 = 3$$

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第二步：求解矩陣 $A$ 各特徵值對應之特徵向量 $\mathbf{x}$

求解齊次線性聯立方程組 $(A - \lambda I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$：

1. 當 $\lambda_1 = 1$ 時：

   $$\begin{bmatrix} 4 & 7 & -5 \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 8 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

   由第二列得 $3x_2 - x_3 = 0 \implies x_3 = 3x_2$。
   代入第一列：$4x_1 + 7x_2 - 5(3x_2) = 0 \implies 4x_1 - 8x_2 = 0 \implies x_1 = 2x_2$。
   取自由變數 $x_2 = 1$，得特徵向量：

   $$\mathbf{x}_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$$

2. 當 $\lambda_2 = 2$ 時：

   $$\begin{bmatrix} 3 & 7 & -5 \\ 0 & 2 & -1 \\ 2 & 8 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

   由第二列得 $2x_2 - x_3 = 0 \implies x_3 = 2x_2$。