108 年 國立中央大學環境工程研究所乙組《工程數學》

核心觀念

本題考查**拉普拉斯轉換（Laplace Transform）的基本定義以及導數的拉普拉斯轉換定理（Transform of Derivatives）**之嚴謹推導。

1. 拉普拉斯轉換定義：
   設 $f(t)$ 為定義於 $t \ge 0$ 的函數，其拉普拉斯轉換 $L(f(t)) = F(s)$ 定義為瑕積分：
   $L(f(t)) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt$
2. 分部積分法（Integration by Parts）：
   $\int u \, dv = uv - \int v \, du$
3. 函數之指數階（Exponential Order）性質：
   若 $f(t)$ 為指數階函數（即存在常數 $M > 0, \gamma$ 使得 $|f(t)| \le M e^{\gamma t}$），當 $s > \gamma$ 時，上限極限滿足：
   $\lim_{t \to \infty} e^{-st} f(t) = 0$

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解題方法

(i) 推導 $L\left(\frac{df}{dt}\right) = sF(s) - f(0)$

依據拉普拉斯轉換之定義：
$L\left(\frac{df}{dt}\right) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} \frac{df}{dt} \, dt$

採用分部積分法切入，設定：

• $u = e^{-st} \implies du = -s e^{-st} \, dt$
• $dv = \frac{df}{dt} \, dt \implies v = f(t)$

代入分部積分公式：
$L\left(\frac{df}{dt}\right) = \left[ e^{-st} f(t) \right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} f(t) \left( -s e^{-st} \right) \, dt$

將邊界上下限展開並整理積分項：
$L\left(\frac{df}{dt}\right) = \lim_{t \to \infty} \left( e^{-st} f(t) \right) - e^{0} f(0) + s \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt$

因 $f(t)$ 為指數階函數，當 $s$ 足夠大時，極限項 $\lim_{t \to \infty} e^{-st} f(t) = 0$。再根據拉氏轉換定義 $\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt = F(s)$，代入整理得：
$L\left(\frac{df}{dt}\right) = 0 - f(0) + sF(s) = sF(s) - f(0)$

得證 (i)。

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(ii) 推導 $L\left(\frac{d^2f}{dt^2}\right) = s^2F(s) - sf(0) - \frac{df}{dt}(0)$

利用 (i) 所推導出的一階導數拉氏轉換公式 $L(g'(t)) = s L(g(t)) - g(0)$ 進行遞迴代入。

令 $g(t) = \frac{df}{dt} = f'(t)$，則 $g'(t) = \frac{d^2f}{dt^2} = f''(t)$。

核心觀念

本題考查半幅展開（Half-Range Expansion）中的傅立葉餘弦級數（Fourier Cosine Series）。

1. 偶延伸（Even Extension）概念：
   在區間 $[0, L]$（本題 $L = \pi$）定義的函數 $f(x)$，欲展開為僅含餘弦項的傅立葉級數，概念上是將 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 作「偶延伸」，使其成為週期為 $T = 2\pi$ 的偶函數。

2. 傅立葉餘弦級數定義：
   若 $f(x)$ 於 $[0, \pi]$ 展開為餘弦級數，其展式為：
   $f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx)$
   其中係數定義為：

   • 常數項：$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} f(x) \, dx$
   • 餘弦項係數：$a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$
   • 正弦項係數：$b_n = 0 \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$

3. 關鍵數學工具：

   • 三角函數積化和差公式：$\sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) + \sin(A-B)]$
   • 特殊角餘弦值：$\cos(n\pi) = (-1)^n$

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解題方法

求解步驟分為計算常數項 $a_0$、單獨討論 $n=1$ 的餘弦係數 $a_1$、計算一般項 $a_n \, (n \ge 2)$，最後組合出完整級數。

步驟一：計算常數項係數 $a_0$

將 $f(x) = \sin x$ 代入 $a_0$ 公式：
$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} \sin x \, dx = \frac{1}{\pi} \left[ -\cos x \right]_0^{\pi} = \frac{1}{\pi} \left( -\cos\pi - (-\cos 0) \right)$
因為 $\cos\pi = -1$ 且 $\cos 0 = 1$：
$a_0 = \frac{1}{\pi} (1 + 1) = \frac{2}{\pi}$

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步驟二：計算餘弦項係數 $a_n$

根據定義：
$a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} \sin x \cos(nx) \, dx$

利用積化和差公式 $\sin x \cos(nx) = \frac{1}{2} [\sin((n+1)x) - \sin((n-1)x)]$，可得：
$a_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} \left[ \sin((n+1)x) - \sin((n-1)x) \right] dx$

1. 當 $n = 1$ 時（分母包含 $n-1$，需單獨討論）

$a_1 = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} \sin x \cos x \, dx = \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} \sin(2x) \, dx = \frac{1}{\pi} \left[ -\frac{\cos(2x)}{2} \right]_0^{\pi} = \frac{1}{\pi} \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) = 0$

2. 當 $n \ge 2$ 時

對被積函數進行積分：
$a_n = \frac{1}{\pi} \left[ -\frac{\cos((n+1)x)}{n+1} + \frac{\cos((n-1)x)}{n-1} \right]_0^{\pi}$

代入上限 $x = \pi$ 與下限 $x = 0$：

• 上限 $x = \pi$：
  $-\frac{\cos((n+1)\pi)}{n+1} + \frac{\cos((n-1)\pi)}{n-1} = -\frac{(-1)^{n+1}}{n+1} + \frac{(-1)^{n-1}}{n-1}$
  注意到 $(-1)^{n+1} = (-1)^{n-1} = -(-1)^n$，故可化簡為：
  $\frac{(-1)^n}{n+1} - \frac{(-1)^n}{n-1} = (-1)^n \left( \frac{(n-1) - (n+1)}{(n+1)(n-1)} \right) = \frac{-2(-1)^n}{n^2 - 1}$

• 下限 $x = 0$：
  $-\frac{\cos 0}{n+1} + \frac{\cos 0}{n-1} = -\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n-1} = \frac{-(n-1) + (n+1)}{n^2 - 1} = \frac{2}{n^2 - 1}$

上下限相減後乘以 $\frac{1}{\pi}$：
$a_n = \frac{1}{\pi} \left( \frac{-2(-1)^n}{n^2 - 1} - \frac{2}{n^2 - 1} \right) = -\frac{2}{\pi(n^2 - 1)} \left( 1 + (-1)^n \right)$

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核心觀念

本題為向量微積分（Vector Calculus）的經典綜合考題，主要測試純量場的梯度、方向導數、切平面方程式，以及場論中的散度與旋度運算。涉及的核心公式與定理如下：

1. 梯度（Gradient）：純量函數 $f(x, y, z)$ 的梯度向量定義為：
   $\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)$
   梯度向量在幾何上代表函數值增加最快的方向，且必垂直於過該點的等值面（Level Surface）。

2. 方向導數（Directional Derivative）：純量函數 $f$ 在點 $P_0$ 沿著單位向量 $\mathbf{u}$ 方向的方向導數定義為：
   $D_{\mathbf{u}}f(P_0) = \nabla f(P_0) \cdot \mathbf{u}$
   關鍵注意：方向向量必須先單位化（即 $\|\mathbf{u}\| = 1$）。

3. 等值面的切平面方程式（Tangent Plane Equation）：對於等值曲面 $f(x, y, z) = C$，過點 $(x_0, y_0, z_0)$ 的切平面法向量即為該點之梯度向量 $\mathbf{n} = \nabla f(x_0, y_0, z_0)$。切平面方程式為：
   $f_x(x_0, y_0, z_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0, z_0)(y - y_0) + f_z(x_0, y_0, z_0)(z - z_0) = 0$

4. 梯度的散度／拉普拉斯運算子（Divergence of Gradient）：向量場的散度為 $\text{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F}$。純量場梯度的散度即為拉普拉斯運算子（Laplacian）：
   $\text{div}(\nabla f) = \nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$

5. 梯度的旋度（Curl of Gradient）：依據向量分析基本恆等式（Vector Identity），對任意二階連續可微的純量場 $f$，其梯度的旋度恆等於零向量：
   $\text{curl}(\nabla f) = \nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}$

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解題方法與推導步驟

已知純量函數為 $f(x, y, z) = x^2 + y^3 + z^4 - 3$。

(i) 計算 $f$ 在 $(1, 1, 1)$ 沿方向 $(1, 2, -3)$ 的方向導數

1. 求方向向量 $\mathbf{v} = (1, 2, -3)$ 的長度：
   $\|\mathbf{v}\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$
2. 將方向向量單位化，得到單位向量 $\mathbf{u}$：
   $\mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} = \frac{1}{\sqrt{14}}(1, 2, -3)$
3. 結合第 (ii) 小題求得之梯度 $\nabla f(1, 1, 1) = (2, 3, 4)$，計算梯度與單位向量之內積：
   $D_{\mathbf{u}}f(1, 1, 1) = \nabla f(1, 1, 1) \cdot \mathbf{u} = (2, 3, 4) \cdot \frac{1}{\sqrt{14}}(1, 2, -3) = \frac{2(1) + 3(2) + 4(-3)}{\sqrt{14}} = \frac{2 + 6 - 12}{\sqrt{14}} = -\frac{4}{\sqrt{14}} = -\frac{2\sqrt{14}}{7}$

(ii) 計算在點 $(1, 1, 1)$ 的梯度 $\nabla f$

1. 對 $f(x, y, z)$ 求各變數的一階偏微分：
   $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^3 + z^4 - 3) = 2x$
   $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^3 + z^4 - 3) = 3y^2$
   $\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(x^2 + y^3 + z^4 - 3) = 4z^3$
2. 寫出一般梯度向量函數：
   $\nabla f(x, y, z) = (2x, 3y^2, 4z^3)$
3. 將點 $(1, 1, 1)$ 代入：
   $\nabla f(1, 1, 1) = (2(1), 3(1)^2, 4(1)^3) = (2, 3, 4)$

核心觀念

本題考驗**一階常微分方程（First-Order ODE）**的求解技巧，涉及以下核心定義與定理：

1. 微分方程的正合性（Exactness Test）：
   對於標準形式的一階微分方程 $M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$，若滿足正合條件：
   $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$
   則該方程為正合微分方程（Exact ODE），存在位勢函數 $F(x, y) = C$ 使得 $dF = M dx + N dy = 0$。

2. 特殊型態積分因子（Integrating Factor）：
   當微分方程非正合時，若存在變數 $z = g(x, y)$ 使得：
   $\frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N \frac{\partial z}{\partial x} - M \frac{\partial z}{\partial y}} = p(z)$
   僅為 $z$ 的單一變數函數，則可求得積分因子 $\mu(z) = \exp\left(\int p(z) dz\right)$。
   特別地，當 $z = x + y$ 時，若 $\frac{M_y - N_x}{N - M} = p(x + y)$，則積分因子為 $\mu(x + y) = \exp\left(\int p(z) dz\right)$。

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解題方法

步驟一：檢驗原微分方程之正合性

原式可表示為 $M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$，其中：
$M(x, y) = y^2 + xy + 1$
$N(x, y) = x^2 + xy + 1$

分別對 $y$ 與 $x$ 偏微分：
$\frac{\partial M}{\partial y} = 2y + x$
$\frac{\partial N}{\partial x} = 2x + y$

由於 $\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}$，故原微分方程非正合。

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步驟二：尋找積分因子 $\mu$

計算偏微分之差：
$\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x} = (2y + x) - (2x + y) = y - x$

計算分母項 $N - M$：
$N - M = (x^2 + xy + 1) - (y^2 + xy + 1) = x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

觀察兩者之比值：
$\frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N - M} = \frac{y - x}{(x - y)(x + y)} = \frac{-(x - y)}{(x - y)(x + y)} = -\frac{1}{x + y}$

此比值僅為 $z = x + y$ 之單一變數函數 $p(z) = -\frac{1}{z}$。
因此，積分因子 $\mu(x + y)$ 為：
$\mu(x + y) = \exp\left(\int -\frac{1}{z} dz\right) = \exp(-\ln|z|) = \frac{1}{z} = \frac{1}{x + y}$

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(i) 推導 Streeter-Phelps DO 垂降方程式 (DO Sag Equation)

觀念與步驟：

1. BOD 反應動力學：
   生化需氧量 $L$ 隨時間呈一階反應衰減：
   $L(t) = L_0 e^{-k_a t}$
   其中 $L_0$ 為初始極限生化需氧量（$t=0$ 時之 $L$）。

2. 建立一階線性微分方程：
   將 $L(t)$ 代入原微分方程 $\frac{dD}{dt} = k_a L - k_r D$，整理成標準式：
   $\frac{dD}{dt} + k_r D = k_a L_0 e^{-k_a t}$

3. 積分因子法求解：
   積分因子為 $I(t) = e^{\int k_r dt} = e^{k_r t}$。方程兩端同乘以 $e^{k_r t}$：
   $\frac{d}{dt}\left( D e^{k_r t} \right) = k_a L_0 e^{(k_r - k_a) t}$
   對 $t$ 在 $[0, t]$ 區間進行積分（利用初始條件 $t=0, D=D_a$）：
   $D e^{k_r t} - D_a = \frac{k_a L_0}{k_r - k_a} \left( e^{(k_r - k_a) t} - 1 \right)$
   同除以 $e^{k_r t}$，得到 Streeter-Phelps 溶氧虧缺方程式：
   $D(t) = \frac{k_a L_0}{k_r - k_a} \left( e^{-k_a t} - e^{-k_r t} \right) + D_a e^{-k_r t}$

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(ii) 求解臨界時間 ($t_c$)

觀念與步驟：

1. 臨界點條件：
   溶氧垂降曲線最低點即為溶氧虧缺 $D$ 的最大值處，此時極值條件為一階導數為零，即 $\frac{dD}{dt}\Big|_{t=t_c} = 0$：
   $\frac{dD}{dt} = k_a L(t_c) - k_r D(t_c) = 0 \implies k_r D(t_c) = k_a L_0 e^{-k_a t_c}$