108 年 國立中央大學環境工程研究所乙組《流體力學》

核心觀念

半球體以底面貼在河床上，水深 $1.0\text{ m}$ 是自由液面到河床的距離。水對半球曲面的壓力處處垂直於表面。

半球具有繞垂直軸的旋轉對稱性，因此各方向的水平壓力分量彼此抵消，合力的水平分量為零。垂直分量則可用「曲面上方的假想水體重量」求得；對向上凸出的半球，水對半球的垂直合力方向向下。

解題方法

令半球半徑 $R=0.2\text{ m}$，以河床為高度基準，向上為正。自由液面高度 $H=1.0\text{ m}$，高度 $z$ 處的表壓為

取半球上一條高度為 $z$、厚度為 $dz$ 的環帶，其面積為 $dA=2\pi R\,dz$。曲面法線的垂直方向分量為 $z/R$，所以水壓垂直分量的大小為

核心觀念

本題考查油罐車煞車時液體的相對靜止與自由液面傾斜。採車體為參考系時，汽油受到重力與水平慣性力作用，等效重力方向傾斜，故自由液面滿足

其中 $a=2.45\ \text{m/s}^2$，$g=9.8\ \text{m/s}^2$。

煞車時汽油液面上升於車頭側；依圖車頭位於右側，因此右側為前壁，左側為後壁。

自由液面高度

液面沿儲油箱長度 $L=8.0\ \text{m}$ 的高度差為

汽油體積不變，因此兩端液面高度平均仍為原本的液深 $1.0\ \text{m}$：

又因為

解得

因此煞車後，汽油液面恰好由後壁底部升至前壁頂部。

壁面受力計算

在前壁上，距離自由液面深度為 $y$ 處的壓力為

此題考查牛頓黏滯定律在穩態、一維流動中的應用，特別是平板從黏滯流體中抽出時的流動現象。

核心觀念：

1. 牛頓黏滯定律：剪應力 $\tau = \mu \frac{du}{dy}$，其中 $\mu$ 是動力黏滯係數。
2. 穩態流：流場的物理量不隨時間變化。
3. 一維流動：速度和壓力只沿一個方向變化。
4. 平均速度：單位時間內流體通過某截面的體積流量除以截面積。

解題步驟：
已知條件：
流體密度 $\rho = 1400 \text{ kg/m}^3$。
動力黏滯係數 $\mu = 0.01 \text{ Pa} \cdot \text{s}$ (題目誤寫為 $\text{m}^2/\text{sec}$，應為 $\text{Pa} \cdot \text{s}$ 或 $\text{kg/(m} \cdot \text{s)}$。黏滯係數單位為 $\text{Pa} \cdot \text{s}$ 或 $\text{kg/(m} \cdot \text{s)}$，運動黏滯係數單位才是 $\text{m}^2/\text{s}$。此處應為動力黏滯係數)。
平板向上運動速度 $V_{plate} = 4 \text{ cm/s} = 0.04 \text{ m/s}$。
穩態流。
流體厚度 $h = 0.5 \text{ cm} = 0.005 \text{ m}$。

我們建立一個座標系統。設平板向上運動為正 $y$ 方向。
平板位於 $y=0$ 處，向上以 $V_{plate}$ 運動。
流體厚度為 $h = 0.005 \text{ m}$。
流體與平板之間的接觸面是 $y=0$。
流體與空氣（或另一介質）的介面是 $y=h=0.005 \text{ m}$。

由於平板以 $V_{plate}$ 向上運動，它會帶動接觸的流體向上運動。
在穩態流下，流體的速度分佈是線性的（類似於 Couette flow，但這裡的頂部介面速度未知）。
流體速度 $u(y)$。
在平板表面 $(y=0)$，速度為 $u(0) = V_{plate} = 0.04 \text{ m/s}$。
在流體頂部介面 $(y=h)$，速度為 $u(h)$。

牛頓黏滯定律： $\tau = \mu \frac{du}{dy}$。
在穩態、一維流動中，作用在流體上的剪應力是常數（如果忽略重力效應，因為流動是垂直的，剪應力只在水平方向，且與重力垂直）。
如果流體只是被平板帶動向上運動，且流體頂部介面是自由表面，則剪應力在整個流體層中是恆定的。
剪應力 $\tau$ 作用在水平面上。
考慮流體層中的一個微小體積，其上下表面為水平面。
受力分析：
上方介面受到的剪應力（來自上層流體或空氣）。
下方介面受到的剪應力（來自平板）。
如果流體頂部是自由表面，且壓力為大氣壓力，且該表面不受外力作用，則剪應力由平板傳遞。
在穩態下，流體層內的速度分佈是線性的。
$\frac{du}{dy} = \text{constant}$。
$u(y) = u(0) + \frac{du}{dy} y = V_{plate} + \frac{\tau}{\mu} y$。
我們需要確定頂部介面的速度 $u(h)$。
題目問「流體流動的平均速度」。
平均速度 $u_{avg} = \frac{1}{h} \int_0^h u(y) dy$。
由於 $u(y)$ 是線性的，平均速度等於中間點的速度：
$u_{avg} = u(h/2) = \frac{u(0) + u(h)}{2} = \frac{V_{plate} + u(h)}{2}$。

如何確定 $u(h)$？
題目提到「流體厚度 $0.5 \text{ cm}$」。這表示流體被限制在一個高度。
這暗示著流體頂部是一個自由表面。
在穩態流下，如果沒有外力作用在頂部介面上（例如，頂部介面是自由表面，受大氣壓力），則頂部介面的速度 $u(h)$ 應該是 $0$ (相對於地面)。
這是因為，如果頂部介面有速度，它會帶動上層流體，而上層流體又會帶動下層流體，這會產生一個速度梯度。
如果頂部介面是自由的，且沒有外力（如風），那麼頂部介面的速度應該是 $0$。
但是，題目中提到「平板以等速 $4 \text{ cm/s}$ 垂直向上抽出」。
這意味著平板以 $0.04 \text{ m/s}$ 的速度向上移動。
流體會被平板帶動向上。
如果頂部介面的速度是 $0$，那麼速度分佈是從 $u(0)=0.04 \text{ m/s}$ 到 $u(h)=0 \text{ m/s}$。
這是一個速度遞減的線性分佈。
$u(y) = u(0) + \frac{u(h)-u(0)}{h} y = 0.04 + \frac{0 - 0.04}{0.005} y = 0.04 - 8 y$。
驗證：
$u(0) = 0.04 \text{ m/s}$。
$u(0.005) = 0.04 - 8 \times 0.005 = 0.04 - 0.04 = 0 \text{ m/s}$。
這個速度分佈是合理的，表示流體被平板帶動向上，但頂部介面保持不動（相對於地面）。

此題考查白努利方程式在考慮能量損失與水輪機功率輸出時的應用。

核心觀念：

1. 白努利方程式 (總能量守恆)：在穩態、不可壓縮、無黏滯流體中，沿流線的總壓頭、動壓頭與位能頭之和為常數。在實際情況中，需加入能量損失項和外加能量（如水輪機）項。
2. 能量損失：包含主要損失（摩擦損失）和次要損失（局部損失）。
3. 水輪機功率：由水輪機從流體中提取的能量轉換而來，與流量、水頭差及效率有關。
4. 摩擦因子 (Darcy-Weisbach equation)：$h_f = f \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g}$，其中 $f$ 為摩擦因子。
5. 雷諾數 (Reynolds number)：$\text{Re} = \frac{\rho V D}{\mu}$。

解題步驟：
第一部分：計算水輪機發電的功率 (直徑 $D_1 = 2.5 \text{ m}$)

已知條件：
管線長度 $L = 5.0 \text{ km} = 5000 \text{ m}$。
初始管徑 $D_1 = 2.5 \text{ m}$。
流量 $Q = 9.0 \text{ m}^3/\text{s}$。
水庫水位高程 $z_1 = 164 \text{ m}$。
淨水廠水位高程 $z_2 = 140 \text{ m}$。
次要損失係數總和 $\sum K = 5.0$。
水輪機效率 $\eta = 75\% = 0.75$。
摩擦因子 $f = \frac{0.317}{\text{Re}^{1/4}}$。
水的密度 $\rho = 1000 \text{ kg/m}^3$。
水的動力黏滯係數 $\mu$ (需查表或假設，通常為 $1.0 \times 10^{-6} \text{ m}^2/\text{s}$ 或 $1.0 \times 10^{-3} \text{ Pa} \cdot \text{s}$)。
重力加速度 $g = 9.81 \text{ m/s}^2$。

1. 計算流體速度 $V_1$：
$A_1 = \frac{\pi D_1^2}{4} = \frac{\pi (2.5 \text{ m})^2}{4} = \frac{6.25\pi}{4} \approx 4.909 \text{ m}^2$。
$V_1 = \frac{Q}{A_1} = \frac{9.0 \text{ m}^3/\text{s}}{4.909 \text{ m}^2} \approx 1.833 \text{ m/s}$。

2. 計算雷諾數 Re：
需要黏滯係數。題目給的摩擦因子公式 $f = \frac{0.317}{\text{Re}^{1/4}}$ 是適用於湍流區（通常 Re > 4000）。
假設水的運動黏滯係數 $\nu = 1.0 \times 10^{-6} \text{ m}^2/\text{s}$ (這是較常見的數值)。
$\text{Re}_1 = \frac{V_1 D_1}{\nu} = \frac{1.833 \text{ m/s} \times 2.5 \text{ m}}{1.0 \times 10^{-6} \text{ m}^2/\text{s}} = 4.58 \times 10^6$。
Re 很大，處於湍流區。

3. 計算摩擦因子 $f_1$：
$f_1 = \frac{0.317}{\text{Re}_1^{1/4}} = \frac{0.317}{(4.58 \times 10^6)^{1/4}}$。
$(4.58 \times 10^6)^{1/4} \approx (4580000)^{1/4} \approx 46.38$。
$f_1 = \frac{0.317}{46.38} \approx 0.00683$.

4. 計算主要損失水頭 $h_{f1}$：
$h_{f1} = f_1 \frac{L}{D_1} \frac{V_1^2}{2g} = 0.00683 \times \frac{5000 \text{ m}}{2.5 \text{ m}} \times \frac{(1.833 \text{ m/s})^2}{2 \times 9.81 \text{ m/s}^2}$
$h_{f1} = 0.00683 \times 2000 \times \frac{3.36}{19.62} \approx 13.66 \times 0.171 \approx 2.336 \text{ m}$。

5. 計算次要損失水頭 $h_{m1}$：
次要損失係數總和 $\sum K = 5.0$。
$h_{m1} = \sum K \frac{V_1^2}{2g} = 5.0 \times \frac{(1.833 \text{ m/s})^2}{2 \times 9.81 \text{ m/s}^2} = 5.0 \times 0.171 \approx 0.855 \text{ m}$。

6. 應用白努利方程式：
選取水庫表面 (1) 和淨水廠出水口 (2) 為基準點。
$\frac{p_1}{\rho g} + \frac{V_1^2}{2g} + z_1 = \frac{p_2}{\rho g} + \frac{V_2^2}{2g} + z_2 + h_{loss} + h_{turbine}$
假設兩點壓力均為大氣壓力，故 $\frac{p_1}{\rho g} = \frac{p_2}{\rho g} = 0$。
速度 $V_1 \approx 1.833 \text{ m/s}$， $V_2$ (淨水廠出口速度) 假設較小，或可視為 $V_1$。
若忽略 $V_1^2/(2g)$ 相對於 $z$ 的差異，則：
$z_1 = z_2 + h_{loss} + h_{turbine}$
$h_{loss} = h_{f1} + h_{m1} = 2.336 \text{ m} + 0.855 \text{ m} = 3.191 \text{ m}$。
$h_{turbine}$ 是水輪機提供的淨水頭。
$164 \text{ m} = 140 \text{ m} + 3.191 \text{ m} + h_{turbine}$
$h_{turbine} = 164 - 140 - 3.191 = 24 - 3.191 = 20.809 \text{ m}$。
這是水輪機從水中獲得的淨水頭。

7. 計算水輪機發電功率 $P_{turbine}$：
$P_{turbine} = \eta \times \rho \times g \times Q \times h_{turbine}$
$P_{turbine} = 0.75 \times 1000 \text{ kg/m}^3 \times 9.81 \text{ m/s}^2 \times 9.0 \text{ m}^3/\text{s} \times 20.809 \text{ m}$
$P_{turbine} = 0.75 \times 9810 \times 9.0 \times 20.809 \approx 1.37 \times 10^6 \text{ W} = 1.37 \text{ MW}$。

第二部分：比較直徑 $D_2 = 3.0 \text{ m}$ 時的發電功率

已知條件：
$L = 5000 \text{ m}$ (不變)。
$D_2 = 3.0 \text{ m}$。
$Q = 9.0 \text{ m}^3/\text{s}$ (流量相同)。
$z_1 = 164 \text{ m}$。
$z_2 = 140 \text{ m}$。
$\sum K = 5.0$ (次要損失係數總和，通常假定與流量無關，除非有特殊說明)。
$\eta = 0.75$。
$f = \frac{0.317}{\text{Re}^{1/4}}$。

1. 計算流體速度 $V_2$：
$A_2 = \frac{\pi D_2^2}{4} = \frac{\pi (3.0 \text{ m})^2}{4} = \frac{9\pi}{4} \approx 7.069 \text{ m}^2$。
$V_2 = \frac{Q}{A_2} = \frac{9.0 \text{ m}^3/\text{s}}{7.069 \text{ m}^2} \approx 1.273 \text{ m/s}$。

2. 計算雷諾數 Re：
$\text{Re}_2 = \frac{V_2 D_2}{\nu} = \frac{1.273 \text{ m/s} \times 3.0 \text{ m}}{1.0 \times 10^{-6} \text{ m}^2/\text{s}} = 3.82 \times 10^6$。

3. 計算摩擦因子 $f_2$：
$f_2 = \frac{0.317}{\text{Re}_2^{1/4}} = \frac{0.317}{(3.82 \times 10^6)^{1/4}}$。
$(3.82 \times 10^6)^{1/4} \approx (3820000)^{1/4} \approx 44.32$。
$f_2 = \frac{0.317}{44.32} \approx 0.00715$。

4. 計算主要損失水頭 $h_{f2}$：
$h_{f2} = f_2 \frac{L}{D_2} \frac{V_2^2}{2g} = 0.00715 \times \frac{5000 \text{ m}}{3.0 \text{ m}} \times \frac{(1.273 \text{ m/s})^2}{2 \times 9.81 \text{ m/s}^2}$