111 年 國立中央大學環境工程研究所乙組《流體力學》

核心觀念

本題考查水平圓管內穩態、完全發展層流的壓力損失，需使用：

• 圓管截面平均流速定義
• 給定速度剖面積分求平均流速
• 雷諾數定義

$$\operatorname{Re}=\frac{\rho \overline{U}D}{\mu} =\frac{\overline{U}D}{\nu}$$

其中 $\overline{U}$ 為截面平均流速，$\rho$ 為密度，$\mu$ 為動力黏滯係數，$\nu=\mu/\rho$ 為運動黏滯係數。

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解題方法

先由速度剖面求平均流速，再利用雷諾數將平均流速消去，即可得到壓降與雷諾數的關係。

題目給定：

$$U(r)=\frac{1}{16\mu}\frac{dP}{dx}(D^2-4r^2)$$

由於

$$D=2R$$

可將速度剖面改寫為：

$$U(r)=\frac{1}{16\mu}\frac{dP}{dx}\left(4R^2-4r^2\right)$$

因此：

$$U(r)=\frac{1}{4\mu}\frac{dP}{dx}(R^2-r^2)$$

對於流動方向，壓力隨 $x$ 增加而下降，因此實際上 $dP/dx<0$。以下以壓降大小 $\Delta P=P_{\text{入口}}-P_{\text{出口}}>0$ 表示結果。

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一、求截面平均流速

平均流速定義為：

$$\overline{U} =\frac{1}{A}\int_A U\,dA$$

圓管截面面積為：

$$A=\pi R^2$$

又因為環狀面積元素為：

$$dA=2\pi r\,dr$$

故：

$$\overline{U} =\frac{1}{\pi R^2}\int_0^R U(r)\,2\pi r\,dr$$

代入速度剖面：

$$\overline{U} =\frac{1}{\pi R^2} \int_0^R \frac{1}{4\mu}\frac{dP}{dx}(R^2-r^2)\,2\pi r\,dr$$

整理得：

$$\overline{U} =\frac{1}{2\mu R^2}\frac{dP}{dx} \int_0^R (R^2r-r^3)\,dr$$

計算積分：

$$\int_0^R (R^2r-r^3)\,dr = \left[ \frac{R^2r^2}{2}-\frac{r^4}{4} \right]_0^R$$ $$= \frac{R^4}{2}-\frac{R^4}{4} = \frac{R^4}{4}$$

所以：

$$\overline{U} = \frac{R^2}{8\mu}\frac{dP}{dx}$$

以壓降大小表示時：

$$\overline{U} = \frac{R^2}{8\mu}\frac{\Delta P}{L}$$

因為 $R=D/2$，因此：

$$\overline{U} = \frac{D^2}{32\mu}\frac{\Delta P}{L}$$

整理可得圓管層流的壓降公式：

$$\Delta P = \frac{32\mu L\overline{U}}{D^2}$$

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二、利用雷諾數消去平均流速

雷諾數定義為：

$$\operatorname{Re} = \frac{\rho\overline{U}D}{\mu}$$

因此：

核心觀念

本題考查明渠均勻流的曼寧公式，以及以水力深度定義之福祿數。

三角形渠道兩側坡度由圖得：

$$z=\frac{\text{水平距離}}{\text{垂直距離}}=\frac{4}{3}$$

水深設為 $y$，渠道底寬為零，則：

$$A=zy^2=\frac{4}{3}y^2$$ $$T=2zy=\frac{8}{3}y$$

其中 $A$ 為流通斷面積，$T$ 為水面寬。

兩側斜邊長各為：

$$y\sqrt{1+z^2} =y\sqrt{1+\left(\frac{4}{3}\right)^2} =\frac{5}{3}y$$

因此濕周為：

$$P=2\left(\frac{5}{3}y\right)=\frac{10}{3}y$$

水力半徑：

$$R=\frac{A}{P} =\frac{\frac{4}{3}y^2}{\frac{10}{3}y} =\frac{2}{5}y=0.4y$$

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解題方法

均勻流採用曼寧公式：

$$Q=\frac{1}{n}AR^{2/3}S^{1/2}$$

代入題目資料 $Q=0.06\ \text{m}^3/\text{s}$、$n=0.020$、$S=0.005$：

$$0.06 =\frac{1}{0.020} \left(\frac{4}{3}y^2\right) (0.4y)^{2/3} (0.005)^{1/2}$$

整理得：

$$0.06\approx 2.56y^{8/3}$$

因此：

$$y=\left(\frac{0.06}{2.56}\right)^{3/8} \approx 0.245\ \text{m}$$

所以：

$$\boxed{y\approx 0.245\ \text{m}}$$

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(1) 水深

$$\boxed{y\approx 0.245\ \text{m}}$$

此時流通面積為：

核心觀念

本題考查圓桶內液體作剛體旋轉時的自由液面形狀，以及小孔出流的伯努力方程式。

需要用到：

1. 旋轉液體的自由液面為拋物面：
   $z=z_c+\frac{\omega^2r^2}{2g}$

2. 液體體積守恆，利用旋轉前後平均水深相同。

3. 小孔出流可用托里拆利定律：
   $v=\sqrt{2gh_c}$

其中 $h_c$ 為旋轉穩定後，桶底中心到自由液面的高度。

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解題方法

圓桶半徑為

$$R=\frac{40}{2}\text{ cm}=0.20\text{ m}$$

旋轉速度為每秒 $2$ 圈，因此角速度為

$$\omega=2\pi n=2\pi(2)=4\pi\text{ rad/s}$$

設旋轉後桶底中心處的水深為 $h_c$。

由旋轉液體的自由液面方程式，在半徑 $R$ 的桶壁處，水深為

$$h_R=h_c+\frac{\omega^2R^2}{2g}$$

自由液面的平均高度為中心水深與桶壁水深的平均加權結果。對圓形截面積分可得，平均水深為

$$\bar h=h_c+\frac{\omega^2R^2}{4g}$$

旋轉前水深為 $0.30\text{ m}$，液體體積不變，因此

$$0.30=h_c+\frac{\omega^2R^2}{4g}$$

解得

$$h_c=0.30-\frac{\omega^2R^2}{4g}$$

代入 $\omega=4\pi$、$R=0.20\text{ m}$、$g=9.81\text{ m/s}^2$：

$$h_c =0.30-\frac{(4\pi)^2(0.20)^2}{4(9.81)}$$

核心觀念

本題結合：

1. 連續方程式：不可壓縮水流滿足質量守恆。
   $Q=A_1v_1=A_2v_2$

2. 水平拋射運動：水由針頭水平射出，初始垂直速度為零。

假設忽略流動損失、針頭出口與空氣阻力，且針筒內水面與針頭均受大氣壓作用。

解題方法

針筒管內直徑為 $D_1=1.0\ \text{cm}$，針頭直徑為 $D_2=0.10\ \text{cm}$。活塞速度即為針筒內水流速度：

$$v_1=2\ \text{cm/s}$$

由連續方程式：

$$A_1v_1=A_2v_2$$

圓形截面積與直徑平方成正比，因此：

$$v_2=v_1\frac{A_1}{A_2} =v_1\left(\frac{D_1}{D_2}\right)^2$$ $$v_2=2\left(\frac{1.0}{0.10}\right)^2 =2(100) =200\ \text{cm/s}$$

所以水由針頭射出的水平速度為：

$$v_x=200\ \text{cm/s}=2.00\ \text{m/s}$$