112 年 國立中央大學環境工程研究所乙組《流體力學》

本題考驗牛頓黏滯定律在斜坡穩定流動上的應用，以及層流與紊流的判斷。

核心觀念：

1. 牛頓黏滯定律：剪應力 $\tau = \mu \frac{du}{dy}$
2. 斜坡穩定流動：作用於流體上的力平衡
3. 雷諾數判斷流況：$Re = \frac{\rho V D}{\mu}$

解題過程：

(1) 蜂蜜的動力黏滯係數

此題描述的是一個厚度為 $h = 2 \, \text{mm} = 0.002 \, \text{m}$ 的蜂蜜層在斜坡上穩定向下流動。斜坡的坡度是 $1:10$，這意味著水平距離每增加 $10$ 個單位，垂直高度就增加 $1$ 個單位。設斜坡與水平面的夾角為 $\theta$。
則 $\tan \theta = \frac{1}{10}$。
我們可以計算 $\sin \theta = \frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}} = \frac{1/10}{\sqrt{1 + (1/10)^2}} = \frac{1/10}{\sqrt{1 + 1/100}} = \frac{1/10}{\sqrt{101/100}} = \frac{1}{\sqrt{101}} \approx 0.0995$。
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1 + (1/10)^2}} = \frac{10}{\sqrt{101}} \approx 0.995$。

由於是穩定流動，流體受力平衡。考慮流體中的一個微小體積單元。在垂直於斜坡的方向上，壓力的作用和重力垂直於斜坡的分量平衡。在平行於斜坡的方向上，重力沿斜坡的分量與黏滯力平衡。

重力沿斜坡的分量為 $\rho g A L \sin \theta$，其中 $A$ 是流體截面積，$L$ 是流體長度（沿斜坡方向）。
流體受到的剪應力作用在底部表面，大小為 $\tau = \mu \frac{du}{dy}$。這裡的 $y$ 是垂直於底部的距離。
由於流動是穩定的，並且假設底部是固定的（或有一定速度，但題目未給，通常設為零），速度分佈是線性的，即 $u(y) = \frac{V}{h} y$，其中 $V$ 是平均流速。
那麼速度梯度 $\frac{du}{dy} = \frac{V}{h}$。
底部所受的剪應力為 $\tau_{bottom} = \mu \frac{V}{h}$。
這個剪應力作用在底部面積 $A$ 上，產生的黏滯力為 $F_{viscous} = \tau_{bottom} A = \mu \frac{V}{h} A$。

在平行於斜坡方向上，作用力平衡：
重力沿斜坡的分量 = 黏滯力
$\rho g A L \sin \theta = \mu \frac{V}{h} A$

注意：這裡的 $A$ 和 $L$ 是任意取的，可以消去。更嚴謹的說，可以考慮一個長度為 $L$、寬度為 $W$、厚度為 $h$ 的流體塊。
重力沿斜坡的分量 $F_g = (\rho L W h) g \sin \theta$。
黏滯力 $F_{viscous} = (\tau_{bottom} W L) = (\mu \frac{V}{h} W L)$。
平衡時：$F_g = F_{viscous}$
$(\rho L W h) g \sin \theta = \mu \frac{V}{h} W L$
$\rho g h \sin \theta = \mu \frac{V}{h}$
$\mu = \frac{\rho g h^2 \sin \theta}{V}$

核心觀念

本題考查「剛體旋轉流體」的壓力分布。流體隨圓桶以角速度 $\omega$ 旋轉後，流體內部沒有相對運動，但各流體微團受到：

• 徑向離心力：$\rho\omega^2 r$
• 垂直方向重力：$\rho g$

壓力梯度方程為

$$\frac{\partial p}{\partial r}=\rho\omega^2r, \qquad \frac{\partial p}{\partial z}=-\rho g.$$

因此自由液面呈拋物面，且圓桶壁面處的液面最高，壁面底部的壓力最大。

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解題方法

圓桶直徑為 $2.0\ \text{m}$，故半徑

$$R=1.0\ \text{m}.$$

設圓桶底面為 $z=0$，旋轉後自由液面為

$$z_s(r)=h_c+\frac{\omega^2r^2}{2g},$$

其中 $h_c$ 為旋轉軸中心線處的液深。

由體積守恆，旋轉前後平均液深仍為 $3.0\ \text{m}$。圓形截面中，自由液面由中心至壁面的高度差為

$$\Delta h=\frac{\omega^2R^2}{2g}.$$

拋物面的平均高度比中心高度多半個高度差，因此

$$3.0=h_c+\frac{\Delta h}{2} =h_c+\frac{\omega^2R^2}{4g}.$$

代入 $\omega=10\ \text{rad/s}$、$R=1.0\ \text{m}$、$g=9.81\ \text{m/s}^2$：

$$h_c=3.0-\frac{(10)^2(1.0)^2}{4(9.81)} =3.0-2.548 =0.452\ \text{m}.$$

圓桶壁面處的液面高度為

核心觀念

本題應用兩蓄水池自由液面間的能量方程式，並包含：

• 蓄水池水面高程差
• 幫浦有效揚程
• 沿程水頭損失（Darcy–Weisbach 公式）
• 次要水頭損失
• 雷諾數與摩擦因子的關係

兩座蓄水池水面流速可視為 $0$，且水面皆為大氣壓。

解題方法

由淨水廠蓄水池流向工業區蓄水池，能量方程式為

$$z_1+h_p=z_2+h_L$$

因此可供管路消耗的總水頭為

$$h_L=(140-100)+20=60\ \text{m}$$

管路總水頭損失為

$$h_L=\left(f\frac{L}{D}+\sum K\right)\frac{V^2}{2g}$$

代入

$$L=10000\ \text{m},\qquad D=0.10\ \text{m},\qquad \sum K=12$$

得

$$60=\left(f\frac{10000}{0.10}+12\right)\frac{V^2}{2g}$$

即

$$60=(100000f+12)\frac{V^2}{2g}$$

水的動黏度為

$$\nu=\frac{\mu}{\rho} =\frac{0.001}{1000} =1.0\times10^{-6}\ \text{m}^2/\text{s}$$

所以雷諾數為

$$Re=\frac{VD}{\nu} =\frac{V(0.10)}{1.0\times10^{-6}} =100000V$$

摩擦因子滿足

$$\frac{1}{\sqrt f} = 1.93\log_{10}\left(\frac{Re}{\sqrt f}\right)-0.537$$

將能量方程式與摩擦因子方程式聯立迭代計算，收斂結果為

$$f\approx 0.00782$$

核心觀念

泥砂顆粒受到重力、浮力與流體阻力。沉降至穩定速度時，顆粒的有效重力與阻力平衡：

$$(\rho_s-\rho)gV = \frac{1}{2}C_D\rho A w_s^2$$

其中：

• $\rho_s=2400\ \text{kg/m}^3$：泥砂密度
• $\rho=1000\ \text{kg/m}^3$：水密度
• $d=1.0\ \text{mm}=1.0\times10^{-3}\ \text{m}$
• $C_D=0.45$
• $w_s$：泥砂的垂直沉降速度

題目給定阻力係數，表示採用終端沉降速度計算。

解題方法

球形顆粒的體積與迎風面積分別為

$$V=\frac{\pi d^3}{6},\qquad A=\frac{\pi d^2}{4}$$

代入力平衡式：

$$(\rho_s-\rho)g\frac{\pi d^3}{6} = \frac{1}{2}C_D\rho\frac{\pi d^2}{4}w_s^2$$

整理得

$$w_s = \sqrt{ \frac{4(\rho_s-\rho)gd}{3C_D\rho} }$$

代入數值：