113 年 國立中央大學環境工程研究所乙組《流體力學》

核心觀念

平面閘門形狀中心的位置由幾何尺寸決定。橢圓的形狀中心位於長軸中點；圖中閘門的垂直高度為 $4\text{ m}$，鉸支設在閘門頂端，因此形狀中心在鉸支下方 $4/2=2\text{ m}$。

解題方法

以水面為深度基準，向下量為正。鉸支距離水面 $9\text{ m}$，故形狀中心距水面的深度為

$$\bar{y}=9+\frac{4}{2}=11\text{ m}$$

閘門的水平寬度 $2\text{ m}$ 不影響形狀中心的垂直位置。

選項分析

核心觀念

本題考查平面閘門所受的靜水壓合力。對於完全浸沒於靜止液體中的平面，合力大小為

$$F=\rho g A\bar{h}$$

其中：

• $\rho=1000\ \text{kg/m}^3$：水的密度
• $g=9.81\ \text{m/s}^2$：重力加速度
• $A$：閘門面積
• $\bar{h}$：閘門形心距離自由液面的垂直深度

題目問的是合力大小，因此不需要計算壓力中心位置或鉸支力矩。

解題方法

閘門為橢圓形，水平寬度為 $2\ \text{m}$，垂直高度為 $4\ \text{m}$，因此半長軸與半短軸分別為

$$a=2\ \text{m},\qquad b=1\ \text{m}$$

閘門面積為

$$A=\pi ab=\pi(2)(1)=2\pi\ \text{m}^2$$

鉸支位於閘門頂端，且鉸支距離自由液面 $9\ \text{m}$。閘門垂直高度為 $4\ \text{m}$，所以其形心位於鉸支下方 $2\ \text{m}$，形心深度為

$$\bar{h}=9+2=11\ \text{m}$$

代入靜水壓合力公式：

本題考查靜水壓力作用在平面閘門上的壓力中心位置計算。

壓力中心 $y_{cp}$ 與形心深度 $y_c$ 的關係為 $y_{cp} = y_c + \frac{I_{xc}}{y_c A}$，其中 $I_{xc}$ 是閘門形心處通過水平軸的截面二次矩，$A$ 是閘門的面積。

根據第二題的推論，我們假設閘門是橢圓形，寬度為2m (半寬 $a=1$m)，高度為4m (半高 $b=2$m)。
則閘門的面積 $A = \pi a b = \pi \times 1 \text{ m} \times 2 \text{ m} = 2\pi \text{ m}^2$。
形心深度 $y_c = 11$ m。

對於橢圓形，通過形心且與寬度方向平行的軸的截面二次矩 $I_{xc} = \frac{\pi a b^3}{4}$。
在這裡，我們需要注意的是，壓力是沿著垂直方向作用的，所以我們計算的截面二次矩應該是關於水平軸的。
對於一個橢圓，如果長軸是垂直的 (半長軸為 $b$)，短軸是水平的 (半短軸為 $a$)，則通過形心的水平軸的截面二次矩是 $I_{xc} = \frac{\pi a b^3}{4}$。
在此題中，閘門高度為4m (半高 $b=2$m)，寬度為2m (半寬 $a=1$m)。所以，
$I_{xc} = \frac{\pi (1 \text{ m}) (2 \text{ m})^3}{4} = \frac{\pi \times 1 \times 8}{4} \text{ m}^4 = 2\pi \text{ m}^4$。

現在我們可以計算壓力中心 $y_{cp}$：

核心觀念

本題考查：

• 平面閘門的靜水壓合力
• 壓力中心位置
• 以鉸支點取力矩平衡

閘門外側為大氣壓，因此使用表壓計算。

解題方法

設橢圓閘門的垂直高度為 $4\ \text{m}$、水平寬度為 $2\ \text{m}$，故半長軸與半短軸分別為

$$a=1\ \text{m},\qquad b=2\ \text{m}$$

閘門面積為

$$A=\pi ab=2\pi\ \text{m}^2$$

鉸支位於閘門頂端，距離自由液面 $9\ \text{m}$。閘門形心位於鉸支下方 $2\ \text{m}$，因此形心深度為

$$h_c=9+2=11\ \text{m}$$

1. 靜水壓合力

$$F_p=\rho gAh_c$$

代入 $\rho=1000\ \text{kg/m}^3$、$g=9.81\ \text{m/s}^2$：

$$F_p=(1000)(9.81)(2\pi)(11) \approx 678.0\ \text{kN}$$

2. 壓力中心位置

橢圓對形心水平軸的面積慣性矩為

$$I_G=\frac{\pi ab^3}{4} =\frac{\pi(1)(2^3)}{4} =2\pi\ \text{m}^4$$

壓力中心距自由液面的深度為

$$h_{cp}=h_c+\frac{I_G}{Ah_c}$$

因此

核心觀念

白金漢 $\pi$ 定理指出，若問題包含 $n$ 個物理變數，且這些變數涉及 $k$ 個基本量綱，則可組成的無因次參數數目為 $n-k$。

本題變數為兩球密度 $\rho_1,\rho_2$、水的密度 $\rho_{\text{water}}$、水的動力黏滯係數 $\mu_{\text{water}}$、球半徑 $R$、球心距離 $d$，以及相對速度 $V$，共 $n=7$ 個。基本量綱為質量 $M$、長度 $L$、時間 $T$，共 $k=3$ 個。

解題方法

由白金漢 $\pi$ 定理，無因次參數數目為

$$n-k=7-3=4$$

可選 $\rho_{\text{water}}$、$V$、$R$ 作為重複變數，形成下列四個無因次參數：

核心觀念

本題考察 Buckingham $\Pi$ 定理與無因次參數的判斷。相關物理量包括：

• 球體密度：$\rho_1$
• 水的密度：$\rho_{\text{water}}$
• 水的動力黏滯係數：$\mu_{\text{water}}$
• 相對速度：$V$
• 球心距離：$d$
• 球半徑：$R$

基本因次為：

$$[\rho]=ML^{-3},\qquad [\mu]=ML^{-1}T^{-1},\qquad [V]=LT^{-1},\qquad [d]=[R]=L$$

常見的無因次參數包括密度比、幾何比與雷諾數，例如：

$$\frac{\rho_1}{\rho_{\text{water}}},\qquad \frac{d}{R},\qquad \frac{\rho_1VR}{\mu_{\text{water}}}$$

---

解題方法

逐一檢查各選項的因次是否為 $1$。

(A) $\dfrac{\rho_1VR}{\mu_{\text{water}}}$

$$\left[\frac{\rho_1VR}{\mu_{\text{water}}}\right] = \frac{(ML^{-3})(LT^{-1})(L)} {ML^{-1}T^{-1}} =1$$

因此為無因次參數，正確。

(B) $\dfrac{\rho_1}{\rho_{\text{water}}}$

核心觀念

本題考無因次參數的物理意義。比較慣性力與黏性力時，可用下列尺度估算：

$$F_{\text{慣性}}\sim \rho V^2L^2, \qquad F_{\text{黏性}}\sim \mu VL$$

其中 $\rho$ 是所考慮物體或流體的密度，$V$ 是速度尺度，$L$ 是長度尺度。

解題方法

題目中的參數為

$$\frac{\rho_1VR}{\mu_{\text{water}}}$$

將它視為慣性力尺度除以水的黏性力尺度：

$$\frac{F_{\text{球1慣性}}}{F_{\text{水黏性}}} \sim \frac{\rho_1V^2R^2}{\mu_{\text{water}}VR} = \frac{\rho_1VR}{\mu_{\text{water}}}$$

本題考查連續方程式在流體系統中的應用。連續方程式是質量守恆在穩態流動下的體現。

連續方程式表示，進入系統的總質量流率等於離開系統的總質量流率。對於不可壓縮流體（如水），這可以表示為體積流量的守恆。
$\sum (\dot{m}_{in}) = \sum (\dot{m}_{out})$
$\sum (\rho Q_{in}) = \sum (\rho Q_{out})$
由於流體是水（密度 $\rho$ 相同且恆定），且系統水頭損失可忽略，我們可以假設流體是不可壓縮的。因此，體積流量守恆：
$\sum (Q_{in}) = \sum (Q_{out})$
$Q_{in} = Q_1 + Q_2$
其中 $Q_{in}$ 是接口處的體積流量，$Q_1$ 是出口1的體積流量，$Q_2$ 是出口2的體積流量。
體積流量 $Q$ 可以表示為 $Q = A \times V$，其中 $A$ 是斷面積，$V$ 是平均流速。

我們已知：

• 接口處的斷面積 $A_{in} = 0.16 \text{ m}^2$。
• 出口1的斷面積 $A_1 = 0.03 \text{ m}^2$，流速 $V_1 = 10 \text{ m/s}$。

核心觀念

入口處的錶壓力作用於入口截面，其壓力所產生的力為

$$F_p=p_{\mathrm{in,gage}}A_{\mathrm{in}}$$

由於入口截面法線方向為水平方向，壓力力方向沿水流方向。

解題方法

題目給定：

$$p_{\mathrm{in,gage}}=250\ \mathrm{kPa}$$ $$A_{\mathrm{in}}=0.16\ \mathrm{m^2}$$

因此入口壓力對噴嘴系統所施加的力為

$$F_p=(250\times10^3)(0.16)$$ $$F_p=40,000\ \mathrm{N}=40\ \mathrm{kN}$$

核心觀念

本題使用穩態線動量方程，求水流對噴嘴的作用力，再由牛頓第三運動定律判斷環形夾必須施加的反向力。取 $x$ 軸向右，出口 1、出口 2 的速度在 $x$ 方向分量皆向右。

解題方法

先由連續方程求入口平均流速：

$$Q_{\text{out}}=A_1V_1+A_2V_2 =(0.03+0.05)(10)=0.80\ \text{m}^3/\text{s}$$ $$V_{\text{in}}=\frac{Q_{\text{out}}}{A_{\text{in}}} =\frac{0.80}{0.16}=5\ \text{m/s}$$

對噴嘴內的水取控制體。入口錶壓力造成向右的壓力力：

$$p_{\text{in,gage}}A_{\text{in}} =(250\,000)(0.16)=40\,000\ \text{N}$$

兩出口皆排至大氣，故出口錶壓力為零。穩態 $x$ 方向動量方程為

$$p_{\text{in,gage}}A_{\text{in}}+F_{\text{壁對水},x} = \rho\left(A_1V_1^2\cos15^\circ +A_2V_2^2\cos45^\circ -A_{\text{in}}V_{\text{in}}^2\right)$$

代入 $\rho=1000\ \text{kg/m}^3$：

核心觀念

本題考查控制體動量方程式。取噴嘴內部流體為控制體，$y$ 軸向上，忽略重力與水頭損失。

出口 1 向上，出口 2 向下，因此出口速度的 $y$ 分量分別為

$$V_{1y}=10\sin15^\circ$$ $$V_{2y}=-10\sin45^\circ$$

入口流速沿水平方向，故 $V_{iny}=0$。入口錶壓力作用方向為水平方向，對 $y$ 方向沒有貢獻。

解題方法

對穩態控制體使用 $y$ 方向動量方程式：

$$\sum F_y = \sum_{\text{out}}\rho A V V_y - \sum_{\text{in}}\rho A V V_y$$

其中水的密度為 $\rho=1000\ \text{kg/m}^3$，且兩出口流速皆為 $10\ \text{m/s}$。

出口動量流率為

$$\sum_{\text{out}}\rho A V V_y = \rho A_1 V_1^2\sin15^\circ -\rho A_2 V_2^2\sin45^\circ$$

代入數值：

核心觀念

本題考查「雷諾數相似」。雷諾數定義為

$$Re=\frac{VL}{\nu}=\frac{\rho VL}{\mu}$$

其中 $V$ 為流速、$L$ 為特徵長度、$\nu$ 為運動黏滯度。

模型與原型的水溫相同，因此可視為水的 $\nu$ 相同。又因為要求雷諾數相同：

$$Re_m=Re_p$$

解題方法

模型流速與尺度分別為

$$V_m=15\ \text{m/s},\qquad L_m=L$$

原型尺寸為模型的三倍：

$$L_p=3L$$

由雷諾數相似條件：

$$\frac{V_mL_m}{\nu} = \frac{V_pL_p}{\nu}$$

因 $\nu$ 相同，可約去 $\nu$：

$$V_mL_m=V_pL_p$$

代入數值：

$$15L=V_p(3L)$$

因此

$$V_p=5\ \text{m/s}$$

原型水翼船的速度應為 $5\ \text{m/s}$。

核心觀念

本題考查模型律與動力相似。水翼升力可表示為

$$L=C_L\left(\frac{1}{2}\rho V^2 A\right)$$

在相同攻角、相同流體及動力相似條件下，升力係數 $C_L$ 相同。

由於模型與原型使用相同水溫，流體的運動黏度相同；動力相似須滿足雷諾數相等：

$$Re_m=Re_p$$ $$\frac{V_m L_m}{\nu}=\frac{V_p L_p}{\nu}$$

解題方法

已知原型尺寸為模型的 3 倍：

$$L_p=3L_m$$

因此

$$V_mL_m=V_pL_p$$ $$15L_m=V_p(3L_m)$$ $$V_p=5\ \text{m/s}$$

升力比為

$$\frac{L_p}{L_m} = \frac{\rho_p}{\rho_m} \left(\frac{V_p}{V_m}\right)^2 \left(\frac{A_p}{A_m}\right)$$

相同水溫表示 $\rho_p=\rho_m$，且幾何相似下投影面積與尺寸平方成正比：

$$\frac{A_p}{A_m}=3^2=9$$

所以

核心觀念

主要水頭損失由題目給定的關係式計算：

$$h_L=0.1\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}$$

圓管流動且管徑不變時，入口與管內平均流速相同；本題取 $V=V_A=2\ \mathrm{m/s}$。泵浦提供的水頭不影響這個主要水頭損失公式的計算。

解題方法

由圖 4 可讀出：管路水平固定於兩垂直牆壁間，直徑 $D=0.30\ \mathrm{m}$、長度 $L=15\ \mathrm{m}$；入口平均速度為 $V_A=2\ \mathrm{m/s}$，管中設有水泵。代入水頭損失公式：

$$h_L =0.1\frac{15}{0.30}\frac{(2)^2}{2(9.81)} =0.1(50)\frac{4}{19.62} \approx 1.02\ \mathrm{m}$$

因此主要水頭損失最接近 $1\ \mathrm{m}$。驗算時將 $h_L\approx1.02\ \mathrm{m}$ 代回公式，所得數值與 $L/D=50$、$V^2/(2g)=4/19.62$ 相符

核心觀念

本題考查含水泵與管路損失的延伸伯努力方程。水泵提供水頭，使流體能量增加；管路主要水頭損失則使流體能量減少。

解題方法

圖中水管水平，入口與出口直徑相同，入口平均速度為 $V_A=2\ \mathrm{m/s}$；管長 $L=15\ \mathrm{m}$、直徑 $D=0.30\ \mathrm{m}$，中間設有提供 $h_p=4\ \mathrm{m}$ 水頭的水泵。因管徑相同且水流穩定，$V_A=V_B$；又因水管水平，$z_A=z_B$。因此速度水頭與高程水頭在兩端相消。

由延伸伯努力方程：

$$\frac{p_A}{\rho g}+h_p = \frac{p_B}{\rho g}+h_L$$

先計算主要水頭損失：

$$h_L = 0.1\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g} = 0.1\frac{15}{0.30}\frac{2^2}{2(9.81)} \approx 1.02\ \mathrm{m}$$

整理壓力差：

$$p_B-p_A = \rho g(h_p-h_L)$$

代入入口表壓 $p_A=100\ \mathrm{kPa}$：

$$p_B = 100+ \frac{1000(9.81)(4-1.02)}{1000} \approx 129.2\ \mathrm{kPa}$$

核心觀念

本題用伯努力方程求出口壓力，再以穩態控制體的水平動量方程求兩牆提供的總水平支撐力。管徑不變，因此入口與出口速度相同，水平動量流率變化為零。

解題方法

圖中可讀到：水管水平置於兩垂直牆壁間，水由左側入口 $A$ 流向右側出口 $B$；管徑 $D=0.30\ \mathrm{m}$、長度 $L=15\ \mathrm{m}$，入口速度 $V_A=2\ \mathrm{m/s}$、入口表壓 $p_{A,\mathrm{gage}}=100\ \mathrm{kPa}$，中間設有水泵，提供 $h_p=4\ \mathrm{m}$ 水頭。

先計算主要水頭損失：

$$h_L=0.1\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g} =0.1\frac{15}{0.30}\frac{2^2}{2(9.81)} \approx 1.019\ \mathrm{m}$$

入口、出口等高且管徑相同，故 $V_A=V_B$。含水泵水頭與損失的伯努力方程為

$$\frac{p_A}{\rho g}+h_p = \frac{p_B}{\rho g}+h_L$$

所以入口、出口壓力差為

$$p_B-p_A =\rho g(h_p-h_L) =1000(9.81)(4-1.019) \approx 29.24\ \mathrm{kPa}$$

管截面積為

核心觀念

對「水管、水泵及管內水」整體使用垂直方向的力平衡。水管水平，水流沒有垂直速度分量，因此垂直方向沒有動量變化；兩牆的垂直支撐力總和須平衡管內水與水泵的總重量。題目忽略水管材料自重。

解題方法

圖中水管水平架在左右兩面垂直牆壁之間，長 $15\ \mathrm{m}$、直徑 $0.30\ \mathrm{m}$，中間設有重量為 $10\ \mathrm{kg}$ 的水泵；水流方向水平，兩端標示的支撐力垂直分量為 $F_{A,y}$ 與 $F_{B,y}$。

管內水的體積與重量為

$$V_{\text{水}}=\frac{\pi D^2}{4}L =\frac{\pi(0.30)^2}{4}(15) =1.0603\ \mathrm{m^3}$$ $$W_{\text{水}}=\rho gV_{\text{水}} =(1000)(9.81)(1.0603) \approx 10.40\ \mathrm{kN}$$

水泵重量為

$$W_{\text{泵}}=(10)(9.81)=98.1\ \mathrm{N} =0.0981\ \mathrm{kN}$$

核心觀念

本題考查二維速度場的渦度。題目已定義 $z$ 方向渦度為

$$\Omega_z=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}$$

其中 $u$ 是 $x$ 方向速度分量，$v$ 是 $y$ 方向速度分量。計算時須依照題目給定的微分順序與正負號。

解題方法

由速度場

$$u=5x^2y,\qquad v=\frac{20}{y}$$

分別求偏導數：

$$\frac{\partial v}{\partial x}=0$$

因為 $v=20/y$ 不含 $x$；另有

$$\frac{\partial u}{\partial y}=5x^2$$

代入渦度定義：

$$\Omega_z=0-5x^2=-5x^2$$

在 $(x,y)=(1,1)$ 處：

$$\Omega_z(1,1)=-5(1)^2=-5$$

因此渦度為 $-5$。

核心觀念

速度場的加速度採用物質導數：

$$\vec a=\frac{\partial \vec V}{\partial t} +u\frac{\partial \vec V}{\partial x} +v\frac{\partial \vec V}{\partial y}$$

因此，$x$ 方向加速度為

$$a_x=\frac{\partial u}{\partial t} +u\frac{\partial u}{\partial x} +v\frac{\partial u}{\partial y}$$

題目給定的速度場不含時間，因此視為定常流，$\partial u/\partial t=0$。

解題方法

由 $u=5x^2y$ 得

$$\frac{\partial u}{\partial x}=10xy, \qquad \frac{\partial u}{\partial y}=5x^2$$

在 $(x,y)=(1,1)$ 處，速度分量為

核心觀念

流體粒子的加速度由速度場的物質導數決定：

$$\vec{a} = \frac{\partial \vec{V}}{\partial t} + u\frac{\partial \vec{V}}{\partial x} + v\frac{\partial \vec{V}}{\partial y}$$

其中，$y$ 方向加速度為速度向量的 $y$ 分量：

$$a_y = \frac{\partial v}{\partial t} + u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y}$$

題目給定的速度場沒有時間變數，因此是定常速度場，$\partial v/\partial t=0$。

解題方法

由題目可得

$$u=5x^2y,\qquad v=\frac{20}{y}$$

計算 $v$ 對 $x$ 與 $y$ 的偏導數：

$$\frac{\partial v}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{20}{y^2}$$

因此