108 年 國立清華大學動力機械工程學系碩士班丙組《工程力學（含靜力學、動力學、材料力學）》

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第 1 題25 分

A timber frame or truss as shown in Fig. 1(a) supports a load PP of 50 kN. Please find normal internal forces at the mid-point of all members. You may want to start analysing the system using the system-level free-body diagram as shown in figure (b) for reaction loads AxA_x, AyA_y, and CyC_y and force balance scheme as shown in figure (c). As indicated in figure (b), the frame is free to move in horizontal direction.

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Fig. 1(a)：木構架幾何尺寸（P=50 kNP = 50\ \text{kN}，30°30° 斜角，各段尺寸 0.17 m0.17\ \text{m}、0.25 m0.25\ \text{m}、0.25 m0.25\ \text{m}、0.15 m0.15\ \text{m}、0.1 m0.1\ \text{m}）。

Fig. 1(b)：系統自由體圖（含 AxA_x、AyA_y、CyC_y 反力）。

Fig. 1(c)：節點 C 的力平衡圖（含 FCBF_{CB}、FCAF_{CA}、CyC_y）。

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核心觀念

依圖 (b)、(c) 的受力方式，將構架理想化為鉸接桁架：各桿件只承受軸力，拉力取正、壓力取負。沒有桿件中途的外力時，桿件中點的軸力與端點軸力相同。

解題方法

先取整體自由體圖求支承反力，再於節點 C 列水平與垂直力平衡，求出桿件 BCBC、CACA 的軸力；最後在節點 A 求 ABAB 的軸力。

圖中兩側斜桿與水平桿的夾角皆為 30∘30^\circ，且幾何對稱，因此荷重 PP 的作用線位於支承 AA、CC 的中點上方。

對整體取 AA 點力矩：

∑MA=0:CyL−50(L2)=0\sum M_A=0:\qquad C_yL-50\left(\frac{L}{2}\right)=0

因此

Cy=25 kNC_y=25\ \text{kN}

再由整體力平衡：

∑Fy=0:Ay+Cy−50=0\sum F_y=0:\qquad A_y+C_y-50=0 Ay=25 kNA_y=25\ \text{kN}

水平方向沒有外力，所以

∑Fx=0:Ax=0\sum F_x=0:\qquad A_x=0

節點 C

令 NBCN_{BC}、NCAN_{CA} 以拉力為正。在節點 C，假設兩桿件均受拉，則 NBCN_{BC} 的方向沿桿件指向左上，NCAN_{CA} 的方向水平向左。

垂直方向平衡：

∑Fy=0:25+NBCsin⁡30∘=0\sum F_y=0:\qquad 25+N_{BC}\sin30^\circ=0
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第 2 題25 分

As shown in Fig. 2, the coefficients of static and kinetic friction between the drum and brake bar are μs=0.4\mu_s = 0.4 and μk=0.3\mu_k = 0.3, respectively. If M=50 N⋅mM = 50\ \text{N·m} and P=85 NP = 85\ \text{N}, determine the horizontal and vertical components of reaction at the pin O. Neglect the weight and thickness of the brake. The drum has a mass of 25 kg.

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Fig. 2：制動鼓與制動桿系統示意圖（制動桿長 300 mm+700 mm300\ \text{mm} + 700\ \text{mm}，鼓半徑 125 mm125\ \text{mm}，垂直臂高 500 mm500\ \text{mm}，力 PP 向下施於制動桿左端，銷 AA 位於底部）。

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核心觀念

本題考查帶摩擦接觸的剛體平衡。先對制動桿取銷 AA 的力矩，求鼓與桿之間的正向力；再用動摩擦定律求摩擦力。最後對制動鼓列平移平衡，求銷 OO 的反力。

依圖示，力偶 MM 使鼓順時針轉動，因此鼓面在接觸處相對制動桿向右滑動；作用在制動鼓上的動摩擦力向左，作用在制動桿上的摩擦力則向右。

解題方法

令 NN 為制動桿對鼓的正向力大小，FF 為接觸摩擦力大小。制動桿接觸點距銷 AA 水平 0.7 m0.7\ \text{m}、垂直 0.5 m0.5\ \text{m}；力 PP 的作用線距銷 AA 水平 1.0 m1.0\ \text{m}。

先確認接觸為滑動。若鼓能維持靜摩擦平衡，力偶所需摩擦力須滿足

F需=Mr=500.125=400 N.F_{\mathrm{需}}=\frac{M}{r} =\frac{50}{0.125} =400\ \text{N}.

對制動桿以 AA 點取力矩，取逆時針為正：

85(1.0)−0.7N−0.5F=0.85(1.0)-0.7N-0.5F=0.

靜摩擦上限為 F=μsNF=\mu_sN，故臨界靜摩擦狀態下

85−(0.7+0.5×0.4)N=0,85-(0.7+0.5\times 0.4)N=0, N=94.44 N,Fmax⁡=0.4N=37.78 N.N=94.44\ \text{N},\qquad F_{\max}=0.4N=37.78\ \text{N}.
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第 3 題25 分

The bag A, having a mass of 10 kg, is released from rest at the position θ=0°\theta = 0°, as shown in Fig. 3. After falling to θ=90°\theta = 90°, it strikes a 15-kg box B. If the coefficient of restitution between the bag and box is e=0.4e = 0.4, determine the velocities of the bag and box just after impact and the loss of energy during collision.

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Fig. 3：袋子 A 以長 2 m2\ \text{m} 的繩懸掛，從 θ=0°\theta = 0° 自由釋放，擺落至 θ=90°\theta = 90° 時沿 line of impact 方向撞擊靜置在地面的箱子 B。

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核心觀念

本題分成擺錘下落與一維碰撞兩階段：

  • 擺錘由靜止下落，以機械能守恆求碰撞前速度。
  • 碰撞時，沿「碰撞線」使用動量守恆與恢復係數求碰撞後速度。
  • 碰撞損失的能量等於碰撞前後系統動能之差。

解題方法

取袋子 AA 擺至最低點時的運動方向為正方向。由圖示，繩長為 2 m2\ \text{m}，袋子從繩索水平位置下落至最低點，垂直下降高度為 2 m2\ \text{m}。最低點的速度沿水平方向，依圖示碰撞線作一維碰撞分析。

先對袋子使用機械能守恆：

mAg(2)=12mAuA2m_A g(2)=\frac12 m_A u_A^2

因此碰撞前速度為

uA=2g(2)=39.24=6.26 m/su_A=\sqrt{2g(2)} =\sqrt{39.24} =6.26\ \text{m/s}

箱子 BB 碰撞前靜止，故 uB=0u_B=0。令碰撞後袋子與箱子的速度分別為 vAv_A、vBv_B。

沿碰撞線的動量守恆：

10(6.26)=10vA+15vB10(6.26)=10v_A+15v_B

恢復係數定義為分離相對速度與接近相對速度之比：

e=vB−vAuA−uBe=\frac{v_B-v_A}{u_A-u_B}

代入 e=0.4e=0.4、uB=0u_B=0：

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第 4 題25 分

The spool in Fig. 4 has a mass of 10 kg and a radius of gyration of kG=1.5 mk_G = 1.5\ \text{m}. If cords of negligible mass are wrapped around its inner hub and outer rim as shown, determine the spool's angular acceleration.

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Fig. 4：線軸示意圖，外緣半徑 2 m2\ \text{m}，內轂半徑 1 m1\ \text{m}，外緣頂部受 100 N100\ \text{N} 向上拉力，內轂處繩索另一端固定於天花板，質心為 GG，外緣右側點為 AA。

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核心觀念

本題使用平面剛體動力學、回轉半徑與平行軸定理。外緣繩索固定且與線軸不滑動，因此接觸點 AA 瞬間靜止，可配合運動學關係，將力矩方程寫成以 AA 為基準的形式。

解題方法

圖中線軸質量為 10 kg10\ \text{kg}，回轉半徑 kG=1.5 mk_G=1.5\ \text{m}；外緣半徑為 2 m2\ \text{m}，內轂半徑為 1 m1\ \text{m}。100 N100\ \text{N} 向上作用於內轂左側，外緣右側的點 AA 則以垂直繩索連至天花板。

取順時針為正。由外緣繩索固定且不滑動，質心加速度向上，大小為 aG=2αa_G=2\alpha。以 AA 為基準的轉動方程可寫為 ∑MA=IAα\sum M_A=I_A\alpha；其中

IG=mkG2=10(1.5)2=22.5 kg⋅m2I_G=mk_G^2=10(1.5)^2=22.5\ \text{kg}\cdot\text{m}^2 IA=IG+m(2)2=22.5+10(4)=62.5 kg⋅m2I_A=I_G+m(2)^2=22.5+10(4)=62.5\ \text{kg}\cdot\text{m}^2

100 N100\ \text{N} 的力臂是 AA 到其作用線的水平距離 2+1=3 m2+1=3\ \text{m}，使線軸順時針轉動。

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The motor A as shown in Fig. 5 develops a power of 300 W and turns its connected pulley at 90 rev/min. The power is transmitted to 150 mm radius pulley through belt and small 60 mm radius pulley.

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Fig. 5：馬達 A 連接半徑 60 mm 的小皮帶輪，以 90 rev/min 運轉，透過皮帶將動力傳至半徑 150 mm 的大皮帶輪。

第 5-(1) 題5 分

What is the equivalent radian per second for 90 rev/min?

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核心觀念

角速度的單位換算使用 11 轉等於 2π2\pi 弧度、11 分鐘等於 6060 秒。

解題方法

將每分鐘的轉數換成每秒轉數，再乘上每轉的弧度：

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第 5-(2) 題10 分

Determine the required diameters of the steel shafts on the pulleys at A if the allowable shear stress is τallow=100 MPa\tau_{\text{allow}} = 100\ \text{MPa}.

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核心觀念

由功率與角速度求出馬達 A 軸上的扭矩，再以圓軸扭轉公式計算所需軸徑。圖中未指定中空軸，以下按實心圓軸設計。

解題方法

馬達 A 的角速度為

ωA=90revmin(2π rad1 rev)(1 min60 s)=3π rad/s\omega_A=90\frac{\text{rev}}{\text{min}}\left(\frac{2\pi\ \text{rad}}{1\ \text{rev}}\right)\left(\frac{1\ \text{min}}{60\ \text{s}}\right) =3\pi\ \text{rad/s}

由功率關係 P=TωP=T\omega，軸上扭矩為

TA=PωA=3003π=31.83 N⋅m=31 831 N⋅mmT_A=\frac{P}{\omega_A} =\frac{300}{3\pi} =31.83\ \text{N}\cdot\text{m} =31\,831\ \text{N}\cdot\text{mm}

實心圓軸承受扭矩時，最大剪應力為

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第 5-(3) 題10 分

Determine the required diameters of the steel shafts on the pulleys at B if the allowable shear stress is τallow=100 MPa\tau_{\text{allow}} = 100\ \text{MPa}.

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核心觀念

皮帶不打滑時，大小皮帶輪的輪緣線速度相同，因此角速度與半徑成反比。傳遞功率不變，故可先求大皮帶輪 BB 的角速度與扭矩，再用實心圓軸的扭轉剪應力公式求軸徑：

v=ωArA=ωBrB,P=TBωBv=\omega_A r_A=\omega_B r_B,\qquad P=T_B\omega_B τmax⁡=TcJ=16Tπd3\tau_{\max}=\frac{Tc}{J}=\frac{16T}{\pi d^3}

解題方法

小皮帶輪半徑 rA=60 mmr_A=60\ \text{mm}，轉速為 90 rev/min90\ \text{rev/min}；大皮帶輪半徑 rB=150 mmr_B=150\ \text{mm}。由皮帶輪緣線速度相同：

ωB=ωArArB=9060150=36 rev/min\omega_B=\omega_A\frac{r_A}{r_B} =90\frac{60}{150} =36\ \text{rev/min}

將大皮帶輪轉速換成角速度：

ωB=36(2π60)=1.2π rad/s\omega_B=36\left(\frac{2\pi}{60}\right) =1.2\pi\ \text{rad/s}
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第 6 題25 分

As shown in Fig. 6, the thin-walled pipe has an inner diameter of 0.5 in. and a thickness of 0.025 in. If it is subjected to an internal pressure of 500 psi and the axial tension and torsional loadings shown, determine the principal stresses and the absolute maximum shear stress at a point on the surface of the pipe.

NOTE: MOHR'S CIRCLE MUST BE USED TO SOLVE THE PROBLEM.

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Fig. 6：薄壁管示意圖，兩端各受軸向拉力 200 lb200\ \text{lb} 及扭矩 20 lb⋅ft20\ \text{lb·ft}，管之內徑 0.5 in.0.5\ \text{in.}，壁厚 0.025 in.0.025\ \text{in.}，承受內壓 500 psi500\ \text{psi}。

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核心觀念

本題將封閉薄壁管上的內壓、軸向拉力與扭矩，合併成管壁表面的平面應力狀態，再用 Mohr 圓求主應力。薄壁圓管受內壓會產生環向應力與縱向應力；軸向拉力另外產生直接應力；扭矩則產生剪應力。求絕對最大剪應力時，還要一併考慮第三主應力。

解題方法

圖中管子的內徑為 0.5 in.0.5\ \text{in.}、壁厚為 0.025 in.0.025\ \text{in.}，內壓為 500 psi500\ \text{psi}；兩端各受 200 lb200\ \text{lb} 軸向拉力，並各標示 20 lb⋅ft20\ \text{lb·ft} 的平衡扭矩，因此管內扭矩大小為 20 lb⋅ft20\ \text{lb·ft}。

令內、外半徑分別為 rir_i、ror_o：

ri=0.25 in.,ro=ri+t=0.275 in.r_i=0.25\ \text{in.},\qquad r_o=r_i+t=0.275\ \text{in.}

先求內壓造成的環向應力與縱向應力。封閉薄壁圓管的公式為：

σθ=prit=500(0.25)0.025=5,000 psi=5.000 ksi\sigma_\theta=\frac{p r_i}{t} =\frac{500(0.25)}{0.025} =5{,}000\ \text{psi}=5.000\ \text{ksi} σz,p=pri2t=500(0.25)2(0.025)=2,500 psi=2.500 ksi\sigma_{z,p}=\frac{p r_i}{2t} =\frac{500(0.25)}{2(0.025)} =2{,}500\ \text{psi}=2.500\ \text{ksi}

軸向拉力作用在管壁的環形截面上，截面積為：

A=π(ro2−ri2)=π(0.2752−0.252)=0.04123 in.2A=\pi(r_o^2-r_i^2) =\pi(0.275^2-0.25^2) =0.04123\ \text{in.}^2

因此軸向拉力產生的正應力為 P/A=200/0.04123=4.850 ksiP/A=200/0.04123=4.850\ \text{ksi}，與內壓造成的縱向應力相加：

σz=σz,p+PA=2.500+4.850=7.350 ksi\sigma_z=\sigma_{z,p}+\frac{P}{A} =2.500+4.850 =7.350\ \text{ksi}

扭矩換算為 T=20(12)=240 lb⋅in.T=20(12)=240\ \text{lb·in.}。管壁的極慣性矩為：

J=π2(ro4−ri4)=π2(0.2754−0.254)=0.002848 in.4J=\frac{\pi}{2}(r_o^4-r_i^4) =\frac{\pi}{2}(0.275^4-0.25^4) =0.002848\ \text{in.}^4

管外表面的扭轉剪應力為：

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