109 年 國立清華大學動力機械工程學系碩士班丙組《工程力學（含靜力學、動力學、材料力學）》

核心觀念

本題結合帶傳動的歐拉帶摩擦公式與滑輪受力平衡。帶子在無摩擦惰輪 B 上通過時，張力不變；在 pulley A、C 上則須符合不滑動條件：

$$\frac{T_{\text{緊}}}{T_{\text{鬆}}}\le e^{\mu_s\theta}$$

其中 $\mu_s$ 為靜摩擦係數，$\theta$ 為帶子與滑輪的包角，須以弧度代入。

解題方法

由液壓泵所需扭矩求出 pulley C 兩側的張力差：

$$T_{\text{緊}}-T_{\text{鬆}} =\frac{M_C}{r_C} =\frac{200}{0.080} =2500\text{ N}$$

令惰輪 B 兩側的帶張力為 $T$。因 B 無摩擦，兩側張力相同；與 C 相連的另一段帶張力為 $T+2500$。依圖示旋轉方向，這是 A、C 上的緊邊張力。

分別檢查 A、C 的不滑動條件。對 A：

$$\theta_A=155^\circ\left(\frac{\pi}{180^\circ}\right) =2.705\text{ rad}$$ $$\frac{T+2500}{T}\le e^{(0.4)(2.705)} =2.951$$

因此：

核心觀念

此題考複合槓桿的靜力平衡。每根槓桿都分別對支點取力矩，並利用連桿傳遞力的大小。槓桿平衡關係為：

$$\sum M_{\text{支點}}=0$$

解題方法

先由圖判讀各力臂：下方槓桿上，負載 $L$ 距支點 $A$ 為 $150\ \text{mm}$，$B$ 距 $A$ 為 $150+350=500\ \text{mm}$。上方槓桿以 $H$ 為支點，$E$、$G$ 分別距 $H$ 為 $250\ \text{mm}$、$150\ \text{mm}$。中間槓桿以 $C$ 為支點，$D$ 距 $C$ 為 $100\ \text{mm}$。

設負載重量為 $W_L$，依序求出各連桿的作用力。

1. 下方槓桿，以 $A$ 為支點

令 $B$ 處連桿力大小為 $F_B$：

$$F_B(500)=W_L(150)$$ $$F_B=0.3W_L$$

2. 上方槓桿，以 $H$ 為支點

由連桿傳力，$G$ 處力的大小為 $F_B$。令 $E$ 處連桿力大小為 $F_E$：

核心觀念

彈性繩的張力沿繩方向，對固定端 $O$ 的力矩為零，因此圓心 $O$ 的角動量守恆。又因水平面光滑，系統的機械能守恆。到達伸長量 $0.25\ \text{m}$ 時，可先用角動量求速度的切向分量，再由能量求速度大小與繩長變化率。

解題方法

初始繩長為 $r_1=0.4\ \text{m}$，初速度垂直於繩，因此初始速度全為切向分量。當繩伸長 $0.25\ \text{m}$ 時，繩長為

$$r_2=0.4+0.25=0.65\ \text{m}$$

由角動量守恆：

$$m r_1 v_{\theta 1}=m r_2 v_{\theta 2}$$ $$v_{\theta 2}=\frac{r_1v_{\theta 1}}{r_2} =\frac{(0.4)(2)}{0.65} =1.231\ \text{m/s}$$

初始時彈性繩未伸長，故初始彈性位能為零。由機械能守恆：

$$\frac12 m v_1^2 = \frac12 m v_2^2+\frac12 k_c(0.25)^2$$

核心觀念

本題使用機械能守恆與剛體運動學。桿端 $A$ 是圓盤中心，圓盤沿水平面無滑動；桿端 $B$ 在垂直導槽內滑動。利用桿長固定的幾何關係，可求出桿到達水平位置時圓盤中心的瞬時速度，再以重力位能的減少量求桿的角速度。

解題方法

設桿長 $L=0.8\ \text{m}$、桿質量 $m_r=10\ \text{kg}$，圓盤質量為 $20\ \text{kg}$，半徑為 $0.15\ \text{m}$。

由 $B$ 沿固定垂直線移動且 $AB=L$，圓盤中心 $A$ 的水平位置與桿角度滿足

$$x_A=x_B-L\cos\theta$$

微分可得

$$v_A=L\sin\theta\,\dot{\theta}$$

當 $\theta=0^\circ$ 時，$v_A=0$。圓盤無滑動，因此其角速度也為零。此瞬間桿可視為繞靜止點 $A$ 轉動，故桿的動能為

$$T_f=\frac12 I_A\omega^2$$

其中桿對端點 $A$ 的轉動慣量為

核心觀念

剪力圖與彎矩圖由軸的橫向荷重及支承反力決定。取 $x$ 軸由 A 指向 B，並約定截面左側向上的剪力為正、正彎矩為下凹（正彎曲）。

圖中的 $200\ \text{N·m}$ 是繞軸的扭矩，$5\ \text{kN}$ 是軸向力；兩者不造成此題所求的橫向剪力或彎矩。垂直荷重則可分別將 C 處兩個 $300\ \text{N}$ 合併為 $600\ \text{N}$，D 處兩個 $600\ \text{N}$ 合併為 $1200\ \text{N}$。

解題方法

令 A、B 的垂直反力為 $A_y$、$B_y$。由垂直力平衡及對 A 點取矩：

$$A_y+B_y-600-1200=0$$ $$B_y(2.5)-600(0.5)-1200(1.3)=0$$

因此

$$B_y=744\ \text{N},\qquad A_y=1056\ \text{N}$$

位置由 A 起算：C 在 $x=0.5\ \text{m}$，D 在 $x=1.3\ \text{m}$，B 在 $x=2.5\ \text{m}$。

以各集中荷重處的剪力跳躍量繪製剪力圖：

• A 至 C：$V=+1056\ \text{N}$
• 經過 C 向下跳 $600\ \text{N}$：$V=+456\ \text{N}$
• 經過 D 向下跳 $1200\ \text{N}$：$V=-744\ \text{N}$

核心觀念

本題屬於材料力學中「梁受橫向載重之剪力與彎矩分析」（Transverse Shear and Bending Moment Diagrams）。解題核心概念如下：

1. 靜力平衡方程式（Equilibrium Equations）：
   軸受軸承支承，可簡化為外顯的簡支梁模型（Simply Supported Beam）。利用平面靜力平衡條件求解支承反力：

   $$\sum F_y = 0, \quad \sum M_A = 0$$

2. 剪力與彎矩之微分與積分關係：

   • 剪力為分布載重之積分，集中載重處剪力產生階躍（Jump discontinuity）： $$\Delta V = -P$$
   • 彎矩與剪力之關係式為： $$\frac{dM}{dx} = V(x) \implies \Delta M = \int V(x) \, dx$$
   • 剪力通過零點或變號處，彎矩出現局部極值（Local Extremum）。

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解題方法

1. 幾何座標與外力整理

建立座標軸，以軸承 A 為原點 $x = 0$（向右為正 $x$）：

• 軸承 A 位置：$x = 0\ \text{m}$
• 皮帶輪 C 位置：$x = 0.5\ \text{m}$
• 皮帶輪 D 位置：$x = 0.5 + 0.8 = 1.3\ \text{m}$
• 軸承 B 位置：$x = 1.3 + 1.2 = 2.5\ \text{m}$

各位置受到的垂直向下淨外力：

• 皮帶輪 C：$P_C = 300\ \text{N} + 300\ \text{N} = 600\ \text{N}$（向下）
• 皮帶輪 D：$P_D = 600\ \text{N} + 600\ \text{N} = 1200\ \text{N}$（向下）

2. 計算支承垂直反力

設軸承 A、B 處的垂直反力分別為 $R_A$ 與 $R_B$（方向皆先假設向上）：

由對 A 點之力矩平衡 $\sum M_A = 0$（逆時針為正）：

$$R_B \times 2.5 - P_C \times 0.5 - P_D \times 1.3 = 0$$ $$R_B \times 2.5 = 600 \times 0.5 + 1200 \times 1.3 = 300 + 1560 = 1860\ \text{N}\cdot\text{m}$$ $$R_B = \frac{1860}{2.5} = 744\ \text{N} \ (\uparrow)$$

由垂直方向靜力平衡 $\sum F_y = 0$：

$$R_A + R_B - P_C - P_D = 0$$ $$R_A + 744 - 600 - 1200 = 0 \implies R_A = 1056\ \text{N} \ (\uparrow)$$

3. 內剪力分佈 $V(x)$ 與絕對最大剪力

採用標準梁符號慣例（左上右下為正剪力）：

• 區間 AC（$0 < x < 0.5\ \text{m}$）： $$V(x) = R_A = +1056\ \text{N}$$
• 區間 CD（$0.5\ \text{m} < x < 1.3\ \text{m}$）： $$V(x) = R_A - P_C = 1056 - 600 = +456\ \text{N}$$
• 區間 DB（$1.3\ \text{m} < x < 2.5\ \text{m}$）： $$V(x) = R_A - P_C - P_D = 1056 - 600 - 1200 = -744\ \text{N}$$

核心觀念

本題屬於材料力學中「梁與傳動軸之彎曲應力分析與截面設計」（Bending Stress and Shaft Design）的核心題型，考查重點包含：

1. 靜力平衡與支承反力：將傳動軸簡化為簡支梁（Pinned-Roller boundary condition），利用靜態平衡方程式求解支承 A 與 B 的垂直反力。
2. 剪力與彎矩分佈：繪製或分析軸的剪力圖（SFD）與彎矩圖（BMD），找出整根軸上的最大彎矩值 $M_{\max}$ 及其發生截面位置。
3. 撓曲公式（Flexure Formula）：實心圓截面傳動軸的截面二次矩（慣性矩）為 $I = \frac{\pi d^4}{64}$，極大外緣距離為 $c = \frac{d}{2}$，其截面係數（Section Modulus）為 $S = \frac{I}{c} = \frac{\pi d^3}{32}$。
4. 設計準則：由容許彎曲應力限制（$\sigma_{\max} \le \sigma_{\text{allow}}$）反求傳動軸所需的最小理論直徑。

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解題方法

1. 系統外力與支承反力計算

傳動軸全長 $L = 500 + 800 + 1200 = 2500\ \text{mm} = 2.5\ \text{m}$。
各作用點之垂直向下外力合力為：

• 皮帶輪 C 處（$x = 0.5\ \text{m}$）：
  $F_C = 300 + 300 = 600\ \text{N}$
• 皮帶輪 D 處（$x = 0.5 + 0.8 = 1.3\ \text{m}$）：
  $F_D = 600 + 600 = 1200\ \text{N}$

設支承 A 與 B 的垂直向上反力分別為 $R_A$ 與 $R_B$。
對 A 點取力矩平衡（$\sum M_A = 0$，以逆時針為正）：
$F_C \times 0.5 + F_D \times 1.3 - R_B \times 2.5 = 0$

代入數值：
$600 \times 0.5 + 1200 \times 1.3 - 2.5 R_B = 0$

$300 + 1560 - 2.5 R_B = 0 \implies R_B = \frac{1860}{2.5} = 744\ \text{N}\ (\uparrow)$

垂直合力平衡（$\sum F_y = 0$）：
$R_A + R_B - F_C - F_D = 0$

$R_A = 600 + 1200 - 744 = 1056\ \text{N}\ (\uparrow)$

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2. 各關鍵斷面彎矩與最大彎矩 $M_{\max}$

在簡支梁中，集中載重作用點為剪力圖變號或跳躍之處，極值彎矩必發生於集中力作用截面（C 點或 D 點）：

• C 點截面彎矩（$x = 0.5\ \text{m}$）：
  $M_C = R_A \times 0.5 = 1056 \times 0.5 = 528\ \text{N}\cdot\text{m}$
• D 點截面彎矩（$x = 1.3\ \text{m}$，自右側 B 點取自由體計算）：
  $M_D = R_B \times (2.5 - 1.3) = 744 \times 1.2 = 892.8\ \text{N}\cdot\text{m}$

比較兩者可知，全軸之最大彎矩發生於 D 點截面：
$M_{\max} = M_D = 892.8\ \text{N}\cdot\text{m} = 892.8 \times 10^3\ \text{N}\cdot\text{mm}$

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3. 依容許彎曲應力求軸徑 $d$

對於直徑為 $d$ 的實心圓軸，外緣產生的最大彎曲應力為：
$\sigma_{\max} = \frac{M_{\max} c}{I} = \frac{M_{\max}}{\frac{\pi d^3}{32}} = \frac{32 M_{\max}}{\pi d^3}$

依設計要求，最大彎曲應力不得超過容許彎曲應力 $\sigma_{\text{allow}} = 160\ \text{MPa} = 160\ \text{N/mm}^2$：

核心觀念

本題考查組合負載軸件在特定斷面（輪 D）處的三種基本位移量計算，涉及材料力學的三大基本變形模式：

1. 軸向位移（Axial Displacement, $\delta_{\text{axial}}$）：
   根據虎克定律，長度 $L$、斷面積 $A$、彈性模數 $E$ 且承受軸向內力 $N(x)$ 的構件，其軸向伸長量或縮短量為： $$\delta = \int \frac{N(x)}{E A} \, dx = \frac{N L}{E A} \quad (\text{定斷面與定軸力時})$$
2. 扭轉角位移（Torsional Displacement / Angle of Twist, $\phi$）：
   圓截面軸承受定扭矩 $T$、剪切模數 $G$、極慣性矩 $J$ 時，長度 $L$ 區間的扭轉角為： $$\phi = \frac{T L}{G J}$$
3. 彎曲撓度（Bending Displacement / Deflection, $v$）：
   簡支梁受橫向集中負載作用時，可利用奇異函數法（Singularity Functions / Macauley's Method）、**重疊原理（Superposition Method）或共軛梁法（Conjugate Beam Method）**求得任意截面之垂直位移。受集中載重 $P$ 作用於距離左端 $a$ 處之簡支梁（跨距 $L$），在 $x > a$ 處之撓度公式為： $$v(x) = -\frac{P a (L - x)}{6 E I L} \left[ L^2 - a^2 - (L - x)^2 \right]$$ 其中垂直向下定為負值。

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解題方法

1. 幾何與負載條件彙整

• 支承條件：
  • A 端（$x = 0$）：可承受垂直反力 $R_A$ 與軸向反力 $R_{Ax}$。
  • B 端（$x = L = 2.5\ \text{m} = 2500\ \text{mm}$）：僅能承受垂直反力 $R_B$。
• 位置座標：
  • A：$x = 0\ \text{mm}$
  • C：$x = 500\ \text{mm} = 0.5\ \text{m}$
  • D：$x = 1300\ \text{mm} = 1.3\ \text{m}$（$500 + 800 = 1300\ \text{mm}$）
  • B：$x = 2500\ \text{mm} = 2.5\ \text{m}$
• 作用外載重：
  • C 處垂直向下集中力：$P_C = 300 + 300 = 600\ \text{N} = 0.6\ \text{kN}$
  • C 處扭矩：$T_C = 200\ \text{N}\cdot\text{m}$
  • D 處垂直向下集中力：$P_D = 600 + 600 = 1200\ \text{N} = 1.2\ \text{kN}$
  • B 處軸向力：$F_{\text{axial}} = 5\ \text{kN} = 5000\ \text{N}$
• 截面幾何性質：
  設 (c) 小題設計求得之軸直徑為 $d$（以符號 $d$ 表述，若代入特定設計值即可得數值解）：
  • 截面積：$A = \frac{\pi d^2}{4}$
  • 截面二次矩：$I = \frac{\pi d^4}{64}$
  • 極慣性矩：$J = \frac{\pi d^4}{32} = 2I$
  • 材料性質設彈性模數為 $E$、剪切模數為 $G$。

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2. D 點的軸向位移（Axial Displacement, $\delta_D$）

• 軸向平衡：
  軸向載重 $5\ \text{kN}$ 施加於 B 端，A 端為唯一能承受軸向力的固定支承。
  故全軸（自 A 至 B）皆承受均勻軸向力 $N = 5\ \text{kN} = 5000\ \text{N}$。
• 若軸向力為拉力（自 A 指向 B）： $$\delta_D = \frac{N \cdot L_{AD}}{E A} = \frac{5000 \times 1300}{E \left( \frac{\pi d^2}{4} \right)} = \frac{2.6 \times 10^7}{\pi E d^2}$$
• 若軸向力為壓力：則位移量量值相同，方向朝向 A 端（壓縮）。 $$\delta_D = \frac{2.6 \times 10^7}{\pi E d^2}\ \text{mm} = \frac{2.6 \times 10^4}{\pi E d^2}\ \text{m} \quad (\text{長度單位依代入之 } E, d \text{ 為準})$$

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3. D 點的扭轉角位移（Torsion Displacement / Angle of Twist, $\phi_D$）

• 扭矩傳遞分析：
  外加扭矩施加於輪 C（$T_C = 200\ \text{N}\cdot\text{m}$）。
  在一般的皮帶輪傳動系統中，動力由 C 端輸入並由另一主動/被動端平衡。依題幹邊界條件設定，A 與 B 均為「理想軸承（ideal bearings）」，理想軸承無法抵抗或提供繞軸線的扭轉反力偶（$T_A = 0,\ T_B = 0$）。若動力是於 C 與 D 之間傳遞（即輪 D 與輪 C 達成扭矩平衡，傳遞扭矩 $T = 200\ \text{N}\cdot\text{m}$），則在段 CD 內有扭矩傳遞：
  • 由於 A 軸承無扭矩約束（自由端），扭轉位移以系統基準面定義。若以 C 點為基準，D 點相對於 C 點的扭轉角為： $$\phi_{D/C} = \frac{T L_{CD}}{G J} = \frac{200 \times 0.8}{G \left( \frac{\pi d^4}{32} \right)} = \frac{160 \times 32}{\pi G d^4} = \frac{5120}{\pi G d^4}\ \text{rad}$$
  • 若題意之 A 端軸承視為固定無轉角（$\phi_A = 0$），且扭矩在 AC 段傳遞，則段 CD 無內扭矩（$T_{CD} = 0$），此時 D 點轉角等於 C 點轉角：

核心觀念

本題要同時檢核梁的彎曲正應力與橫向剪應力。可容許分布載重必須同時符合

$$\sigma_{\max}=\frac{M_{\max}c}{I}\le 15\ \text{MPa}, \qquad \tau_{\max}=\frac{V_{\max}Q}{It}\le 1.5\ \text{MPa}.$$

依原圖，均布載重只作用在梁左側 $1\ \text{m}$，梁跨距為 $2\ \text{m}$。以下依此受載範圍計算。

解題方法

先由平衡方程式求支承反力及最大剪力、彎矩，再計算 T 形截面的形心與慣性矩，分別求出正應力與剪應力限制的 $w$，取較小值。

令 $w$ 的單位為 $\text{N/m}$。載重合力為 $w(1\ \text{m})$，作用於距 A 點 $0.5\ \text{m}$ 處。由力與力矩平衡：

$$R_A+R_B=w, \qquad 2R_B=0.5w$$

因此

$$R_A=\frac{3w}{4}, \qquad R_B=\frac{w}{4}.$$

在受載區內，剪力為 $V(x)=\frac{3w}{4}-wx$，故最大絕對剪力出現在 A 點右側：

$$V_{\max}=\frac{3w}{4}.$$

彎矩在剪力為零處達最大值，位置為 $x=\frac{3}{4}\ \text{m}$。因此

$$M_{\max} =R_Ax-\frac{wx^2}{2} =\frac{9w}{32}\ \text{N}\cdot\text{m}.$$

接著求截面性質。以截面底部為基準，腹板高度為 $150\ \text{mm}$，上方翼板厚 $25\ \text{mm}$。翼板與腹板面積皆為 $3750\ \text{mm}^2$，形心位置為

$$\bar y =\frac{3750(162.5)+3750(75)}{7500} =118.75\ \text{mm}.$$

由平行軸定理，對形心水平軸的慣性矩為

$$I =2\left[ \frac{150(25)^3}{12} +3750(43.75)^2 \right] =21.582\times10^6\ \text{mm}^4.$$

形心至底部與頂部的距離分別為 $118.75\ \text{mm}$ 與 $56.25\ \text{mm}$。底部較遠，故底部控制彎曲正應力：