109 年 國立臺灣大學物理系天文物理所與應用物理所(三所聯招)《普通物理學》

核心觀念

本題考查剛體繞固定軸轉動，使用：

1. 平行軸定理：
   $I_P=I_{\text{cm}}+MR^2$
2. 機械能守恆：
   $\Delta U=\Delta K_{\text{轉動}}$
3. 剛體轉動各點速度：
   $v=\omega r$

其中 $P$ 為輪緣上的固定支點。

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(a) 質心速度

圓盤由初始位置轉至虛線位置時，質心下降距離 $R$，因此重力位能減少：

$\Delta U=MgR$

圓盤對支點 $P$ 的轉動慣量為

$$I_P=\frac{1}{2}MR^2+MR^2 =\frac{3}{2}MR^2$$

由機械能守恆：

$$MgR=\frac{1}{2}I_P\omega^2$$

代入 $I_P$：

$$MgR=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}MR^2\right)\omega^2$$

解得

$$\omega^2=\frac{4g}{3R}$$

質心到支點的距離為 $R$，所以質心速度為

$$v_{\text{cm}}=\omega R =R\sqrt{\frac{4g}{3R}} =\sqrt{\frac{4gR}{3}}$$

代入 $g=9.8\ \text{m/s}^2$、$R=0.10\ \text{m}$：

$$v_{\text{cm}} =\sqrt{\frac{4(9.8)(0.10)}{3}} \approx 1.14\ \text{m/s}$$

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(b) 虛線位置最低點 $A$ 的速度

本題考查空氣阻力模型、功率與速度的關係、以及牛頓第二運動定律在有阻力運動中的應用。

核心觀念：

1. 功與動能定理：外力對物體所做的功等於物體動能的變化。
2. 功率：功率是能量轉換或傳遞的速率，功率等於力與速度的乘積（當力與速度同向時）。
3. 牛頓第二運動定律：物體所受淨外力等於物體的質量乘以加速度 ($\Sigma F = ma$)。
4. 終端速度（Terminal Velocity）：當物體受到的淨力為零時，其速度達到穩定值，稱為終端速度。

解題步驟：

(a) 推導空氣阻力公式

題目假設汽車是一個截面積為 A 的圓柱體，以速度 v 移動。在時間 $\Delta t$ 內，汽車推開了質量為 $\Delta m$ 的空氣柱，這段空氣柱的長度為 $v\Delta t$。這段空氣被推開的同時，獲得了動能 $\frac{1}{2}(\Delta m)v^2$。

假設空氣的密度為 $\rho$。那麼，這段被推開的空氣柱的質量 $\Delta m$ 可以表示為：
$\Delta m = \rho \times (\text{體積}) = \rho \times (A \times v\Delta t)$

這段空氣被推開並獲得動能，這代表汽車對這段空氣做了功。根據功與動能定理，汽車對空氣做的功 $W$ 等於空氣獲得的動能：
$W = \frac{1}{2}(\Delta m)v^2$

這個功是汽車通過空氣移動時，空氣施加在汽車上的阻力做負功，或是汽車克服空氣阻力所做的正功。因此，汽車克服空氣阻力所做的功等於空氣獲得的動能。
$W = \frac{1}{2}(\rho A v \Delta t) v^2 = \frac{1}{2}\rho A v^3 \Delta t$

功率是單位時間內做功的量。汽車克服空氣阻力所做的功率 $P_{drag}$ 是：
$P_{drag} = \frac{W}{\Delta t} = \frac{1}{2}\rho A v^3$

空氣阻力 $F_{drag}$ 是汽車施加在空氣上的力（或空氣施加在汽車上的阻力），與汽車移動速度 v 同向（汽車推空氣，空氣反作用力是阻力）。
功率 $P = F \cdot v$。因此，汽車克服空氣阻力所做的功率也可以表示為 $F_{drag} \cdot v$。
$P_{drag} = F_{drag} \cdot v$

所以，
$F_{drag} \cdot v = \frac{1}{2}\rho A v^3$

解出空氣阻力 $F_{drag}$：
$F_{drag} = \frac{1}{2}\rho A v^2$

這就是常見的空氣阻力公式形式。

【答案】(a) 根據上述推導，空氣阻力 $F_{drag} = \frac{1}{2}\rho Av^2$。

(b) 尋找終端速度

當汽車以最大功率 P 行駛時，它會加速直到達到終端速度。終端速度是指汽車所受的淨力為零時的速度。
在終端速度 $v_T$ 時，汽車受到兩個主要作用力：

1. 向前的駕駛力 $F_{drive}$，由引擎提供。
2. 向後的空氣阻力 $F_{drag} = \frac{1}{2}\rho Av_T^2$。
   （題目假設其他阻力可忽略）

在終端速度時，淨力為零，所以：
$F_{drive} - F_{drag} = 0$
$F_{drive} = F_{drag} = \frac{1}{2}\rho Av_T^2$

汽車的駕駛功率 P 是由駕駛力 $F_{drive}$ 和速度 $v$ 提供的：
$P = F_{drive} \cdot v$

當汽車達到終端速度 $v_T$ 時，其功率為最大功率 P。所以：
$P = F_{drive} \cdot v_T$

核心觀念

本題考查小角度振動、轉動慣量與恢復力矩。將擺視為長度 $L$、質量 $M$ 的單擺質點，彈簧連接點距離懸點

$$a=0.7L.$$

假設擺在鉛直平衡位置時，彈簧沒有預伸長或預壓縮。

解題方法

取擺偏離鉛直方向的角度為 $\theta$，且 $\theta\ll 1$。

擺球的轉動慣量為

$$I=ML^2.$$

重力對懸點產生的恢復力矩為

$$\tau_g=-MgL\sin\theta \approx -MgL\theta.$$

當擺轉動小角度 $\theta$ 時，彈簧連接點的水平位移為

$$x=a\sin\theta\approx a\theta.$$

因此彈簧力大小為

$$F_s=kx\approx ka\theta.$$

此力對懸點的恢復力矩近似為

$$\tau_s=-F_s a \approx -ka^2\theta.$$

由轉動方程

$$I\ddot{\theta}=\tau_g+\tau_s,$$

得到

核心觀念

均勻繩子的線密度為 $\mu=m/L$。在張力為 $T$ 的繩段上，橫波的局部波速為

$$v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}.$$

繩子靜止懸掛時，距離下端 $y$ 處的張力，等於該處以下繩段的重量。因此張力會隨位置改變，波速也會是位置 $y$ 的函數。

解題方法

取繩上距離下端 $y$ 的位置。該位置以下的繩長為 $y$，質量為 $\mu y$，所以繩子的張力為

$$T(y)=(\mu y)g.$$

代入橫波波速公式：

$$v(y)=\sqrt{\frac{T(y)}{\mu}} =\sqrt{\frac{\mu gy}{\mu}} =\sqrt{gy}.$$

因此，波速隨距離下端的高度增加而增加；在下端 $y=0$ 處，局部波速為零。

傳播時間

波前通過一小段繩長 $dy$ 所需的時間為

核心觀念

本題考查理想氣體在可逆絕熱過程中的狀態關係，以及熱機效率的定義。效率可寫成

$$\eta=\frac{W_{\text{net}}}{Q_{\text{in}}} =1-\frac{Q_{\text{out}}}{Q_{\text{in}}}.$$

循環中，絕熱過程沒有熱量交換；定容過程的熱量則由內能變化決定，$\Delta Q=nC_V\Delta T$。

解題方法

圖中狀態 $1$ 位於 $(V_1,p_1)$，狀態 $2$ 位於 $(V_1,3p_1)$；狀態 $3、4$ 位於體積 $V_3=4V_1$ 的直線上。$1\to2$ 與 $3\to4$ 是定容過程，$2\to3$ 與 $4\to1$ 是可逆絕熱過程。

(a) 求 $T_2/T_1$

狀態 $1、2$ 體積相同，由理想氣體定律 $pV=nRT$ 可知定容時 $T\propto p$。因此

$$\frac{T_2}{T_1}=\frac{p_2}{p_1} =\frac{3p_1}{p_1} =\boxed{3}.$$

(b) 推導可逆絕熱過程的 $pV^\gamma$ 關係

由熱力學第一定律，取氣體對外作功為正，絕熱過程滿足

$$dU=\delta Q-p\,dV=-p\,dV.$$

理想氣體的內能變化為 $dU=nC_V\,dT$，故

$$nC_V\,dT=-p\,dV.$$

另一方面，理想氣體定律微分後為

$$nR\,dT=p\,dV+V\,dp.$$

利用 $\gamma=C_P/C_V$ 及 $C_P-C_V=R$，可得 $C_V/R=1/(\gamma-1)$。代入並整理：

$$\frac{p\,dV+V\,dp}{\gamma-1}=-p\,dV,$$ $$V\,dp+\gamma p\,dV=0.$$

兩邊除以 $pV$：

$$\frac{dp}{p}+\gamma\frac{dV}{V}=0.$$

積分可得

$$\ln p+\gamma\ln V=\text{常數}, \qquad \boxed{pV^\gamma=\text{常數}}.$$

(c) 求熱機效率

核心觀念

使用高斯定律計算地球表面的總電荷：

$$\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{內}}}{\epsilon_0}$$

將地球近似為半徑 $R$ 的球體，並假設地表平均電場具有球對稱性，則球面上電場大小相同，且垂直於球面。因此，電通量大小為 $E(4\pi R^2)$。

解題方法

取向外為正方向。地表電場指向下方，也就是朝向地球內部，與球面外向面積向量方向相反，因此電通量為負：

$$\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=-E(4\pi R^2)$$

代入高斯定律：

$$Q_{\text{地球}}=\epsilon_0\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} =-4\pi\epsilon_0R^2E$$

核心觀念

迴旋加速器中，帶電粒子受磁力作用而做圓周運動。非相對論近似下，迴旋角頻率與頻率分別為

$$\omega=\frac{qB}{m}, \qquad f=\frac{qB}{2\pi m}.$$

粒子在 Dee 邊緣的軌道半徑為 $R$。磁力提供向心力，因此

$$qvB=\frac{mv^2}{R}, \qquad p=mv=qBR.$$

非相對論動能可寫成

$$K_{\max}=\frac{p^2}{2m} =\frac{q^2B^2R^2}{2m}.$$

解題方法

質子電荷量為 $q=e$。先由振盪頻率與迴旋頻率共振，求磁場：

$$B=\frac{2\pi m_pf}{e} =\frac{2\pi(1.67\times10^{-27})(100\times10^6)} {1.6\times10^{-19}} \approx 6.56\ \mathrm{T}.$$

因此，共振所需的磁場大小為 $6.56\ \mathrm{T}$。

再利用 Dee 半徑 $R=2.5\ \mathrm{m}$ 求邊緣動能：

核心觀念

此題考平行交流電路中各支路的電流，以及基爾霍夫電流定律。並聯的電阻、電感與電容兩端電壓相同，皆為 $v(t)=V_0\cos(\omega t)$。各支路電流可由元件關係式求得，電源電流則是三支路電流的總和。

解題方法

圖中電阻 $R$、電感 $L$、電容 $C$ 並聯於交流電源兩端；各支路電流 $I_R$、$I_L$、$I_C$ 的參考方向皆向下，電源電流 $I_S$ 沿上方導線流向支路。依此方向，節點電流定律為 $i_S=i_R+i_L+i_C$。

電阻支路依歐姆定律：

$$i_R(t)=\frac{v(t)}{R} =\frac{V_0}{R}\cos(\omega t)$$

電感支路使用 $v_L=L\,di_L/dt$。在穩態交流下，取電感電流的直流分量為零：

$$i_L(t)=\frac{1}{L}\int v(t)\,dt =\frac{V_0}{\omega L}\sin(\omega t)$$

電容支路依 $i_C=C\,dv_C/dt$：

$$i_C(t)=C\frac{d}{dt}\bigl[V_0\cos(\omega t)\bigr] =-\omega C V_0\sin(\omega t)$$

將三個支路電流相加，得到電源電流：

核心觀念

雙狹縫的總電場是兩狹縫電場的疊加，因此總強度包含兩束光的干涉項。若兩狹縫的電場振幅分別為 $E_1$、$E_2$，兩束光的相位差為 $\delta$，則強度正比於

$$I(\theta)\propto E_1^2+E_2^2+2E_1E_2\cos\delta$$

觀察方向與中央軸夾角為 $\theta$ 時，兩狹縫的光程差為 $d\sin\theta$，所以

$$\delta=\frac{2\pi d\sin\theta}{\lambda}$$

題目給出 $E_1=3E_2$，代表兩狹縫的電場振幅比為 $3:1$，相應的單獨強度比為 $9:1$。

解題方法

令 $E_2=E$，則 $E_1=3E$。代入干涉強度公式：

$$I(\theta)\propto (3E)^2+E^2+2(3E)(E)\cos\delta$$ $$I(\theta)\propto E^2\left(10+6\cos\delta\right)$$

在 $\theta=0$ 時，光程差為零，故 $\delta=0$、$\cos\delta=1$。題目指定此處強度為最大值 $I_0$，因此

$$I_0\propto E^2(10+6)=16E^2$$

核心觀念

本題考查電磁學的四個基本方程：它們描述電場與磁場如何由電荷、電流產生，以及兩種場如何隨時間變化而互相誘發。以下採用 SI 制，寫出微分形式與積分形式；微分形式描述空間中某一點附近的局部關係，積分形式描述一個曲面或閉合路徑上的整體關係。

符號定義如下：$\rho$ 為電荷體積密度，$\mathbf J$ 為電流密度，$\varepsilon_0$ 為真空介電常數，$\mu_0$ 為真空磁導率，$\mathbf E$ 為電場，$\mathbf B$ 為磁場。積分式中的 $d\mathbf A$ 指向曲面的外法線方向；閉合路徑與曲面方向依右手定則配對。

解題方法與四個方程

1. 電場的高斯定律

微分形式：

$$\nabla\cdot\mathbf E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$

積分形式：

$$\oint_{\partial V}\mathbf E\cdot d\mathbf A =\frac{Q_{\mathrm{內}}}{\varepsilon_0}$$

電場的散度由電荷密度決定。積分形式表示，穿出任意封閉曲面的電通量，等於曲面包住的總電荷除以 $\varepsilon_0$。正電荷是電場線的源，負電荷是電場線的匯；曲面外的電荷不改變封閉曲面的淨電通量。

2. 磁場的高斯定律

微分形式：

$$\nabla\cdot\mathbf B=0$$

積分形式：

$$\oint_{\partial V}\mathbf B\cdot d\mathbf A=0$$

磁場沒有已知的孤立磁單極，因此任一封閉曲面的淨磁通量為零。磁力線不從某一點開始或終止，而是形成閉合曲線。

3. 法拉第電磁感應定律

微分形式：

$$\nabla\times\mathbf E=-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}$$

積分形式：

$$\oint_{\partial S}\mathbf E\cdot d\mathbf l =-\frac{d}{dt}\int_S\mathbf B\cdot d\mathbf A$$