114 年 國立成功大學經濟研究所《統計學》

這題主要在考驗對機率與比例的計算能力，以及如何從數據中得出初步的統計推論。

(a) 計算各組別的成功率：
成功率的定義為成功人數佔該組別總人數的比例。

對於肥胖 (Obese) 的族群：

• Diet 方法的成功率：$\frac{10}{10 + 30} = \frac{10}{40} = 0.25$
• Exercise 方法的成功率：$\frac{22}{22 + 58} = \frac{22}{80} = 0.275$

對於嚴重肥胖 (Severely obese) 的族群：

• Diet 方法的成功率：$\frac{60}{60 + 20} = \frac{60}{80} = 0.75$
• Exercise 方法的成功率：$\frac{35}{35 + 5} = \frac{35}{40} = 0.875$

結論：

• 對於肥胖族群，Exercise 方法的成功率 (0.275) 略高於 Diet 方法 (0.25)。
• 對於嚴重肥胖族群，Exercise 方法的成功率 (0.875) 明顯高於 Diet 方法 (0.75)。
  綜合來看，Exercise 方法在兩個族群中都表現出較高的成功率，特別是在嚴重肥胖族群中差異更為顯著。

【答案】

• 肥胖族群：Diet 成功率 0.25，Exercise 成功率 0.275。
• 嚴重肥胖族群：Diet 成功率 0.75，Exercise 成功率 0.875。
• 結論：Exercise 方法在兩個族群中均表現較佳，尤其在嚴重肥胖族群中效果更為顯著。

(b) 計算總成功率並比較：
總成功率是指所有參與實驗的總成功人數佔總參與人數的比例。

• Diet 方法的總成功率：
  總人數 = (10 + 30) + (60 + 20) = 40 + 80 = 120
  總成功人數 = 10 + 60 = 70
  Diet 方法的總成功率 = $\frac{70}{120} \approx 0.5833$

這題主要考驗對機率分佈的理解，特別是利用中央極限定理來估計樣本平均值的機率。

首先，我們需要從長條圖中提取每日銷售量的機率分佈：

• 銷售量 80：機率 (Fraction) = 0.15
• 銷售量 95：機率 (Fraction) = 0.30
• 銷售量 105：機率 (Fraction) = 0.25
• 銷售量 120：機率 (Fraction) = 0.30

接下來，我們計算每日銷售量的期望值 (期望值) 和變異數 (variance)：
期望值 $E(X) = \sum x_i P(x_i)$
$E(X) = (80 \times 0.15) + (95 \times 0.30) + (105 \times 0.25) + (120 \times 0.30)$
$E(X) = 12 + 28.5 + 26.25 + 36 = 102.75$

變異數 $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$E(X^2) = (80^2 \times 0.15) + (95^2 \times 0.30) + (105^2 \times 0.25) + (120^2 \times 0.30)$
$E(X^2) = (6400 \times 0.15) + (9025 \times 0.30) + (11025 \times 0.25) + (14400 \times 0.30)$
$E(X^2) = 960 + 2707.5 + 2756.25 + 4320 = 10743.75$
$Var(X) = 10743.75 - (102.75)^2 = 10743.75 - 10557.5625 = 186.1875$

這題主要考驗對隨機變數線性組合的期望值、變異數以及相關係數的計算。

核心觀念：

1. 期望值的性質：$E(cX) = cE(X)$, $E(X+Y) = E(X)+E(Y)$
2. 變異數的性質：若 X, Y 獨立, $Var(cX) = c^2 Var(X)$, $Var(X+Y) = Var(X)+Var(Y)$
3. 相關係數的定義：$\rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$
4. 共變異數的性質：$Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]$
   若 X, Y 獨立，則 $Cov(X,Y) = 0$。
   $Cov(cX, Y) = c Cov(X,Y)$
   $Cov(X+Y, Z) = Cov(X,Z) + Cov(Y,Z)$

(a) 求 y 的期望值與變異數：
已知 $y = ax + b\varepsilon$。
x 和 $\varepsilon$ 是獨立的隨機變數，且 $E(x) = 0$, $Var(x) = 1$, $E(\varepsilon) = 0$, $Var(\varepsilon) = 1$。
由於 x 和 $\varepsilon$ 獨立，所以 $Cov(x, \varepsilon) = 0$。

期望值：
$E(y) = E(ax + b\varepsilon)$
根據期望值的線性性質：
$E(y) = E(ax) + E(b\varepsilon)$
$E(y) = aE(x) + bE(\varepsilon)$
由於 $E(x) = 0$ 且 $E(\varepsilon) = 0$，
$E(y) = a(0) + b(0) = 0$。

變異數：
$Var(y) = Var(ax + b\varepsilon)$
由於 x 和 $\varepsilon$ 是獨立的，ax 和 b$\varepsilon$ 也是獨立的。
根據變異數的性質：
$Var(y) = Var(ax) + Var(b\varepsilon)$
$Var(y) = a^2 Var(x) + b^2 Var(\varepsilon)$
由於 $Var(x) = 1$ 且 $Var(\varepsilon) = 1$，
$Var(y) = a^2(1) + b^2(1) = a^2 + b^2$。

【答案】

• 期望值：$E(y) = 0$
• 變異數：$Var(y) = a^2 + b^2$

(b) 選擇 a 和 b 的值，使 $Var(y) = 2$ 且 $\rho_{xy} = 0.5$。

根據 (a) 小題的結果，我們有：

1. $Var(y) = a^2 + b^2 = 2$
2. $\rho_{xy} = \frac{Cov(x,y)}{\sigma_x \sigma_y} = 0.5$

這題主要考驗對估計量 (estimator) 的性質，包括偏差 (bias) 和均方誤差 (mean squared error, MSE) 的計算。

核心觀念：

1. 期望值與變異數的性質：$E(cX) = cE(X)$, $E(X+Y) = E(X)+E(Y)$, $Var(cX) = c^2 Var(X)$
2. iid 隨機變數的性質：若 $X_1, \ldots, X_n$ 是 iid 且 $E(X_i) = \theta$, $Var(X_i) = \sigma^2$，則 $\sum_{i=1}^n X_i$ 的期望值為 $n\theta$，變異數為 $n\sigma^2$。
3. 偏差 (Bias) 的定義：$Bias(\hat{\theta}) = E(\hat{\theta}) - \theta$。一個一致的估計量 (consistent estimator) 的偏差會趨近於 0。
4. 均方誤差 (MSE) 的定義：$MSE(\hat{\theta}) = E[(\hat{\theta} - \theta)^2] = Var(\hat{\theta}) + [Bias(\hat{\theta})]^2$。

(a) 求估計量 $\hat{\theta}$ 的偏差：
給定的估計量為 $\hat{\theta} = \frac{X_1 + \cdots + X_n}{n+1}$。
首先計算 $\hat{\theta}$ 的期望值：
$E(\hat{\theta}) = E\left(\frac{X_1 + \cdots + X_n}{n+1}\right)$
由於 $\frac{1}{n+1}$ 是常數，可以提出期望值運算符：
$E(\hat{\theta}) = \frac{1}{n+1} E(X_1 + \cdots + X_n)$
由於 $X_i$ 是 iid 且 $E(X_i) = \theta$，所以 $E(X_1 + \cdots + X_n) = E(X_1) + \cdots + E(X_n) = n\theta$。
$E(\hat{\theta}) = \frac{1}{n+1} (n\theta) = \frac{n\theta}{n+1}$。

偏差的定義為 $Bias(\hat{\theta}) = E(\hat{\theta}) - \theta$：
$Bias(\hat{\theta}) = \frac{n\theta}{n+1} - \theta$
$Bias(\hat{\theta}) = \theta \left(\frac{n}{n+1} - 1\right)$
$Bias(\hat{\theta}) = \theta \left(\frac{n - (n+1)}{n+1}\right)$
$Bias(\hat{\theta}) = \theta \left(\frac{-1}{n+1}\right) = -\frac{\theta}{n+1}$。