114 年 國立成功大學經濟研究所《個體經濟學》

核心觀念

本題測驗廠商在**短期（Short Run）**下的生產與成本理論，以及完全競爭市場下個別廠商的短期供給函數推導。涉及的核心概念包含：

1. 短期生產函數（Short-Run Production Function）：資本固定時，產量僅為勞動投入的函數。
2. 短期成本結構（Short-Run Cost Structure）：
   • 總成本：$STC(q) = r\bar{K} + wL(q) = SFC + SVC(q)$
   • 平均成本：$SAC(q) = \dfrac{STC(q)}{q}$
   • 平均變動成本：$SAVC(q) = \dfrac{SVC(q)}{q}$
   • 邊際成本：$SMC(q) = \dfrac{dSTC(q)}{dq}$
3. 短期個別廠商供給函數（Short-Run Firm Supply Function）：
   • 完全競爭廠商遵循利潤極大化條件：$P = SMC(q)$，且必須滿足停業條件（$P \ge \min SAVC$）。

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解題方法與步驟推導

步驟一：求短期勞動需求函數 $L(q)$

短期內資本固定於 $\bar{K} = 1$，代入生產函數：

$$q = 1^{\alpha} \cdot L^{1/4} = L^{1/4}$$

將上式兩邊取 4 次方，可得產量 $q$ 所需的短期勞動僱用量：

$$L(q) = q^4$$

步驟二：推導短期成本函數

已知要素價格為 $r = 1$、$w = 2$，短期資本固定為 $\bar{K} = 1$：

1. 固定成本（SFC）：

$$SFC = r\bar{K} = 1 \times 1 = 1$$

2. 變動成本（SVC）：

$$SVC(q) = w \cdot L(q) = 2q^4$$

3. 短期總成本（STC）：

$$STC(q) = SFC + SVC(q) = 1 + 2q^4$$

4. 短期平均成本（SAC）：

$$SAC(q) = \frac{STC(q)}{q} = \frac{1 + 2q^4}{q}$$

5. 短期平均變動成本（SAVC）：

$$SAVC(q) = \frac{SVC(q)}{q} = \frac{2q^4}{q} = 2q^3$$

6. 短期邊際成本（SMC）：

$$SMC(q) = \frac{d STC(q)}{dq} = \frac{d(1 + 2q^4)}{dq} = 8q^3$$

步驟三：推導個別廠商的短期供給函數

在完全競爭市場中，廠商面對既定市場價格 $P$：

1. 廠商利潤極大之一階條件（FOC）為：

$$P = SMC(q) \implies P = 8q^3$$

解出 $q$ 作為價格 $P$ 的函數：

核心觀念

本題接續前題（Q1），探討柯布—道格拉斯（Cobb-Douglas）生產函數下的長期成本極小化問題、長期總成本函數（$LTC$）、長期平均成本（$LAC$）與長期邊際成本（$LMC$）。

1. 生產函數與要素價格設定：
   承接典型 Cobb-Douglas 生產技術題型： $$q = f(L, K) = L^\alpha K^{1-\alpha}$$ 當 $\alpha = \frac{3}{4}$ 時，為固定規模報酬（Constant Returns to Scale, CRS）生產函數： $$q = L^{3/4} K^{1/4}$$ 要素價格分別為工資 $w$ 與資本租率 $r$。在題組標準設定下（依選項中常數 $8 \cdot 6^{-3/4}$ 反推），要素價格為 $w = 2$、$r = 6$（或對稱之成本結構）。
2. 規模報酬與成本結構：
   若生產函數具備固定規模報酬（CRS），則成本函數對產量 $q$ 為一次齊次（線性關係）：
   • 長期總成本 $LTC(q) = c \cdot q$（$c$ 為僅與要素價格及技術參數有關的常數）。
   • 長期平均成本 $LAC(q) = \frac{LTC(q)}{q} = c$（為一水平常數）。
   • 長期邊際成本 $LMC(q) = \frac{dLTC(q)}{dq} = c$（亦為同一個水平常數）。
   • 必然滿足 $LAC(q) = LMC(q) = c$。

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解題方法

步驟一：求解條件要素需求函數與長期成本函數

廠商的長期成本極小化問題為：

$$\min_{L, K} \; wL + rK \quad \text{s.t.} \quad q = L^{3/4} K^{1/4}$$

由成本極小化的內部解條件，邊際技術替代率（$MRTS$）等於要素相對價格比：

$$MRTS_{LK} = \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{\frac{3}{4} \frac{q}{L}}{\frac{1}{4} \frac{q}{K}} = \frac{3K}{L} = \frac{w}{r}$$

整理得最適要素比例：

$$L = \frac{3r}{w} K$$

將 $L$ 代入生產函數：

$$q = \left(\frac{3r}{w} K\right)^{3/4} K^{1/4} = \left(\frac{3r}{w}\right)^{3/4} K$$

解出條件要素需求：

$$K^*(q) = \left(\frac{w}{3r}\right)^{3/4} q$$ $$L^*(q) = \frac{3r}{w} K^*(q) = 3 \left(\frac{w}{3r}\right)^{1/4} q$$

代入要素價格 $w = 2$、$r = 6$：

$$\frac{w}{3r} = \frac{2}{3 \times 6} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9} = 6^{-1} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)$$

或直接計算長期總成本函數：

$$LTC(q) = w L^* + r K^* = q \cdot \left[ \left(\frac{1}{3/4}\right)^{3/4} \left(\frac{1}{1/4}\right)^{1/4} \right] w^{3/4} r^{1/4} = q \cdot \frac{w^{3/4} r^{1/4}}{\left(\frac{3}{4}\right)^{3/4} \left(\frac{1}{4}\right)^{1/4}}$$ $$LTC(q) = q \cdot \frac{4 \cdot w^{3/4} r^{1/4}}{3^{3/4}} = 4 q \cdot \left(\frac{w}{3}\right)^{3/4} r^{1/4}$$

代入 $w = 2$、$r = 6$：

$$LTC(q) = 4q \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{3/4} 6^{1/4} = 4q \cdot \frac{2^{3/4}}{3^{3/4}} \cdot 2^{1/4} \cdot 3^{1/4} = 4q \cdot \frac{2^1}{3^{1/2}} = \frac{8}{\sqrt{3}} q = 8q \cdot 3^{-1/2}$$

核心觀念

本題旨在測驗完全競爭市場下的市場均衡分析、福利分析（消費者剩餘與生產者剩餘）以及從量稅（Per-unit Tax）政策效果：

1. 市場均衡：市場需求量等於市場供給量（$q_d = q_s$），由此決定均衡價格與交易量。需注意供給函數的分段定義域（價格下限條件）。
2. 消費者剩餘（CS）與生產者剩餘（PS）：
   • 消費者剩餘：需求曲線以下、均衡價格以上的三角形面積，$\text{CS} = \frac{1}{2} \times (P_{\max} - P^*) \times Q^*$。
   • 生產者剩餘：均衡價格以下、供給曲線以上的三角形面積，$\text{PS} = \frac{1}{2} \times (P^* - P_{\min}) \times Q^*$。
3. 從量稅對供給函數的影響：
   • 對生產者課徵每單位從量稅 $t$ 時，消費者支付價格為 $P$，生產者實收價格為 $P_s = P - t$。
   • 包含定義域限制在內，供給函數中的價格變數須以 $P - t$ 替代。

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解題方法

步驟一：未課稅時的市場均衡與福利

1. 未課稅市場均衡：
   聯立需求與供給函數（假設 $P \ge 1$）：

   $$100 - P = 10P - 10$$ $$11P = 110 \implies P^* = 10$$

   因 $P^* = 10 \ge 1$，符合供給函數有效區間。代入需求函數可得均衡數量：

   $$Q^* = 100 - 10 = 90$$

2. 未課稅福利計算：

   • 需求曲線在數量為 $0$ 時的最高願付價格：令 $q_d = 0 \implies P_{\max} = 100$。
   • 供給曲線在數量為 $0$ 時的最低願受價格：令 $q_s = 0 \implies 10P - 10 = 0 \implies P_{\min} = 1$。
   • 消費者剩餘： $$\text{CS} = \frac{1}{2} \times (100 - 10) \times 90 = \frac{1}{2} \times 90 \times 90 = 4050$$
   • 生產者剩餘： $$\text{PS} = \frac{1}{2} \times (10 - 1) \times 90 = \frac{1}{2} \times 9 \times 90 = 405$$

步驟二：對生產者課徵從量稅 $t = 10$ 後的供給函數、市場均衡與生產者剩餘

1. 課稅後的供給函數：
   政府對生產者課徵每單位 $10 的稅，若消費者支付價格為 $P$，生產者實際保留價格為 $P_s = P - 10$。
   將 $P_s = P - 10$ 代入原供給函數：

   • 當 $P_s \ge 1$ 時，即 $P - 10 \ge 1 \iff P \ge 11$： $$q_s = 10(P - 10) - 10 = 10P - 110$$
   • 當 $P_s < 1$ 時，即 $P < 11$： $$q_s = 0$$

   因此課稅後的供給函數應為：

   $$\begin{cases} q_s = 10P - 110 & \text{if } P \ge 11 \\ q_s = 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

2. 課稅後的市場均衡：
   在 $P \ge 11$ 下聯立市場需求與新供給函數：

   $$100 - P = 10P - 110$$ $$11P = 210 \implies P_t = \frac{210}{11}$$

   檢驗 $P_t = \frac{210}{11} \approx 19.09 \ge 11$，條件滿足。
   均衡交易量：

核心觀念

本題的核心為消費者理論中的偏好性質與效用極大化問題（UMP），涉及以下重要觀念：

1. 無異曲線的凸性（Convexity of Indifference Curves）：邊際替代率遞減（$MRS_{xy}$ 隨 $x$ 增加而遞減），或無異曲線斜率 $\left.\frac{dy}{dx}\right|_u < 0$ 且 $\left.\frac{d^2y}{dx^2}\right|_u > 0$。
2. 嚴格單調性（Strict Monotonicity）：消費者的偏好滿足「多多益善」（more is better），即所有商品的邊際效用皆嚴格大於零（$MU_x > 0$ 且 $MU_y > 0$）。
3. 史東—蓋瑞效用函數（Stone-Geary Utility Function）與馬歇爾需求函數（Marshallian Demand Function）：透過拉格朗日乘數法（Lagrangian Multiplier Method）或邊際替代率等於價格比（$MRS_{xy} = \frac{p_x}{p_y}$）求解內生最適消費量。

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解題方法與完整推導

給定效用函數為：

$$u(x, y) = xy - 5y = (x - 5)y$$

消費者的預算限制式為：

$$p_x x + p_y y = M$$

1. 邊際效用與邊際替代率（MRS）

• 對 $x$ 的邊際效用：

$$MU_x = \frac{\partial u}{\partial x} = y$$

• 對 $y$ 的邊際效用：

$$MU_y = \frac{\partial u}{\partial y} = x - 5$$

• 主觀邊際替代率（MRS）：

$$MRS_{xy} = \frac{MU_x}{MU_y} = \frac{y}{x - 5}$$

2. 無異曲線的幾何特徵

固定效用水準為 $\bar{u} > 0$（此時需 $x > 5$ 且 $y > 0$），無異曲線之方程式可表為：

$$y = \frac{\bar{u}}{x - 5}$$

其一階與二階導數分別為：

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{\bar{u}}{(x - 5)^2} = -\frac{y}{x - 5} < 0$$ $$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2\bar{u}}{(x - 5)^3} = \frac{2y}{(x - 5)^2} > 0$$

因此，當且僅當 $x > 5$ 時，無異曲線斜率為負且凸向原點（strictly convex to the origin）。若 $x < 5$，則 $MU_y < 0$，無異曲線斜率為正，商品 $y$ 成為「厭惡品」（economic bad）。

3. 求解馬歇爾需求函數（Marshallian Demand Functions）

在內生解（$x > 5, y > 0$）條件下，最適消費組合滿足切點條件：

$$MRS_{xy} = \frac{p_x}{p_y} \implies \frac{y}{x - 5} = \frac{p_x}{p_y} \implies p_y y = p_x(x - 5)$$

將 $p_y y = p_x x - 5p_x$ 代入預算限制式 $p_x x + p_y y = M$：

$$p_x x + (p_x x - 5p_x) = M$$ $$2p_x x - 5p_x = M \implies 2p_x x = M + 5p_x$$

核心觀念

本題考查史東—季里效用函數（Stone-Geary Utility Function）（亦稱移位柯布—道格拉斯效用函數，Displaced Cobb-Douglas Utility Function）的數學結構與個體經濟意涵：

1. 財貨性質與邊際效用（Marginal Utility）：
   • 喜好品（Economic Goods）：邊際效用大於零（$MU > 0$）。
   • 厭惡品／污染物（Economic Bads / Pollutants）：邊際效用小於零（$MU < 0$）。
2. 消費集合（Consumption Set, $X$）的嚴格定義：
   消費集合是消費者在生理或技術上所有可能進行消費的組合集合。當效用函數含有生存門檻參數 $\gamma_i$ 時，消費集合的邊界受限於函數的實數定義域，不能隨意等同於標準第一象限 $\mathbb{R}_{++}^2$。
3. 門檻參數 $\gamma_i$ 的正負意涵：
   在線性支出體系（Linear Expenditure System, LES）中：
   • $\gamma_i > 0$：代表維持生存所必需的「最低生存消費量」（Subsistence / Committed Level）。
   • $\gamma_i < 0$：代表該財貨為非必需品（Discretionary / Luxury Goods），或是消費者自備初始稟賦，即使消費量為零亦能維持正效用。

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解題方法

給定雙財貨之史東—季里效用函數：

$$u(x_1, x_2) = (x_1 - \gamma_1)^{\alpha}(x_2 - \gamma_2)^{\beta}$$

為使效用函數在實數域上有良好定義（Well-defined）且呈現標準的單調性與凸偏好，各項基底必須嚴格大於零，即 $x_1 - \gamma_1 > 0$ 且 $x_2 - \gamma_2 > 0$。

1. 邊際效用與指數正負號

計算兩財貨的邊際效用：

$$MU_1 = \frac{\partial u}{\partial x_1} = \alpha (x_1 - \gamma_1)^{\alpha - 1}(x_2 - \gamma_2)^{\beta}$$ $$MU_2 = \frac{\partial u}{\partial x_2} = \beta (x_1 - \gamma_1)^{\alpha}(x_2 - \gamma_2)^{\beta - 1}$$

在有效定義域內，$(x_1 - \gamma_1) > 0$ 且 $(x_2 - \gamma_2) > 0$：

• 若財貨為喜好品（非污染物），必須滿足多益性（More is better），即 $MU > 0$，故對應之指數必為正。
• 若財貨為污染物（厭惡品），消費增加將帶來負效用，即 $MU < 0$，此時對應之指數為負。

2. 消費集合的界定

若 $\gamma_1 > 0$ 且 $\gamma_2 > 0$，函數要求 $x_1 > \gamma_1$ 且 $x_2 > \gamma_2$。因此消費集合為：

$$X = \left\{ (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 \mid x_1 > \gamma_1, \; x_2 > \gamma_2 \right\}$$

此集合嚴格子於 $\{ (x_1, x_2) \mid x_1 > 0, \; x_2 > 0 \}$。任何滿足 $0 < x_1 \le \gamma_1$ 或 $0 < x_2 \le \gamma_2$ 的組合均不在消費集合內。

3. 負門檻參數 $\gamma_i < 0$ 的理性檢定

若 $\gamma_1 < 0$ 且 $\gamma_2 < 0$，則 $-\gamma_i > 0$。

核心觀念

本題考查史東－格力效用函數（Stone-Geary Utility Function）／**線性支出體系（Linear Expenditure System, LES）**下的消費者理論核心對偶架構：

1. 支出極小化問題（EMP）與受補償需求函數（Hicksian Demand Function）：
   史東－格力效用函數形式為： $$u(x_1, x_2) = (x_1 - \gamma_1)^{\alpha}(x_2 - \gamma_2)^{\beta}$$ 其中 $\gamma_1, \gamma_2$ 為維持生存的「基本維生消費量」（subsistence levels）。當設定 $\alpha + \beta = 1$ 時，此函數為標準 Cobb-Douglas 效用函數經平移後的型態。
2. 支出函數（Expenditure Function）的性質：
   $e(p_1, p_2, u)$ 對價格向量 $(p_1, p_2)$ 具備價格的一階齊次性（Homogeneous of degree 1 in prices）。
3. 效用極大化問題（UMP）與間接效用函數（Indirect Utility Function）：
   由消費者在預算限制下求得的馬歇爾需求函數（Marshallian Demand），代回原效用函數推導出的 $V(p_1, p_2, M)$。

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解題方法與完整推導

1. 史東－格力效用函數的數學設定

依題幹延續 Q5 之標準設定，消費者的效用函數為：

$$u(x_1, x_2) = (x_1 - \gamma_1)^{\alpha}(x_2 - \gamma_2)^{\beta}, \quad \text{其中 } \alpha + \beta = 1$$

令超額消費量（超過維生水準之淨消費）為：

$$z_1 = x_1 - \gamma_1, \quad z_2 = x_2 - \gamma_2$$

則效用函數可改寫為標準型態：

$$u = z_1^{\alpha} z_2^{\beta} = z_1^{\alpha} z_2^{1-\alpha}$$

2. 求解受補償需求（Hicksian Demand）與支出函數（Expenditure Function）

支出極小化問題（EMP）：

$$\min_{x_1, x_2} p_1 x_1 + p_2 x_2 \quad \text{s.t.} \quad (x_1 - \gamma_1)^{\alpha}(x_2 - \gamma_2)^{\beta} = u$$

將目標函數改寫為超額變數：

$$p_1 x_1 + p_2 x_2 = p_1 z_1 + p_2 z_2 + (p_1 \gamma_1 + p_2 \gamma_2)$$

由於 $p_1 \gamma_1 + p_2 \gamma_2$ 為常數，此問題等價於求解標準 Cobb-Douglas 需求：

$$\min_{z_1, z_2} p_1 z_1 + p_2 z_2 \quad \text{s.t.} \quad z_1^{\alpha} z_2^{\beta} = u$$

由邊際替代率等於價格比（$MRS = \frac{p_1}{p_2}$）：

$$MRS = \frac{MU_1}{MU_2} = \frac{\alpha z_1^{\alpha-1} z_2^{\beta}}{\beta z_1^{\alpha} z_2^{\beta-1}} = \frac{\alpha z_2}{\beta z_1} = \frac{p_1}{p_2} \implies z_2 = \frac{\beta}{\alpha}\frac{p_1}{p_2} z_1$$

將 $z_2$ 代入效用限制式 $u = z_1^{\alpha} z_2^{\beta}$：

$$u = z_1^{\alpha} \left(\frac{\beta}{\alpha}\frac{p_1}{p_2} z_1\right)^{\beta} = z_1^{\alpha+\beta} \left(\frac{\beta}{\alpha}\frac{p_1}{p_2}\right)^{\beta} = z_1 \left(\frac{\beta}{\alpha}\frac{p_1}{p_2}\right)^{\beta}$$

解出 $z_1$：

$$z_1 = u \left(\frac{\alpha}{\beta}\frac{p_2}{p_1}\right)^{\beta} = u \left(\frac{\alpha}{\beta}\frac{p_2}{p_1}\right)^{1-\alpha}$$

同理，將 $z_1 = \frac{\alpha}{\beta}\frac{p_2}{p_1} z_2$ 代入效用限制式可解出 $z_2$：

$$z_2 = u \left(\frac{\beta}{\alpha}\frac{p_1}{p_2}\right)^{\alpha}$$

還原為商品需求量 $x_i = z_i + \gamma_i$，即得受補償需求函數：

$$h_1(p_1, p_2, u) = u\left(\frac{\alpha}{\beta}\frac{p_2}{p_1}\right)^{\beta} + \gamma_1$$ $$h_2(p_1, p_2, u) = u\left(\frac{\beta}{\alpha}\frac{p_1}{p_2}\right)^{\alpha} + \gamma_2$$

核心觀念

本題屬於賽局理論（Game Theory）中的經典賽局模型——性別之戰（Battle of the Sexes, BoS），核心測驗重點為：

1. 純粹策略納許均衡（Pure Strategy Nash Equilibrium, PSNE）：在給定對手策略下，雙方皆採取最佳反應（Best Response），不存在單方面偏離（unilateral deviation）的誘因。
2. 混合策略納許均衡（Mixed Strategy Nash Equilibrium, MSNE）：雙方以機率分配隨機選擇純策略，其機率分配必須使對手在各純策略間達到「無異（indifferent）」。
3. 有限賽局之納許定理（Nash's Theorem）與奇數定理（Oddness Theorem）：任何有限人、有限純策略的常態賽局必存在至少一個納許均衡；在非退化的常規有限賽局中，納許均衡的總數（包含純策略與完全混合策略）通常為奇數個。

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解題方法

步驟一：劃線法尋找純粹策略納許均衡（PSNE）

給定雙方的報酬矩陣：

• 當 $P_2$ 選擇 O 時：$P_1$ 選擇 O 報酬為 3，選擇 F 報酬為 0，故 $P_1$ 的最佳反應為 O。
• 當 $P_2$ 選擇 F 時：$P_1$ 選擇 O 報酬為 0，選擇 F 報酬為 1，故 $P_1$ 的最佳反應為 F。
• 當 $P_1$ 選擇 O 時：$P_2$ 選擇 O 報酬為 1，選擇 F 報酬為 0，故 $P_2$ 的最佳反應為 O。
• 當 $P_1$ 選擇 F 時：$P_2$ 選擇 O 報酬為 0，選擇 F 報酬為 3，故 $P_2$ 的最佳反應為 F。

雙方最佳反應重合的單元格即為純粹策略納許均衡：

1. $(O, O)$，報酬為 $(3, 1)$。
2. $(F, F)$，報酬為 $(1, 3)$。

步驟二：求解混合策略納許均衡（MSNE）

設 $P_1$ 選擇 O 的機率為 $p \in (0, 1)$，選擇 F 的機率為 $1 - p$；
設 $P_2$ 選擇 O 的機率為 $q \in (0, 1)$，選擇 F 的機率為 $1 - q$。

1. 求 $P_2$ 的混合機率 $q$：
   $P_1$ 願意進行完全混合策略的充分必要條件是選擇 O 與 F 的期望報酬相等：

   $$E_1(O) = 3q + 0(1 - q) = 3q$$ $$E_1(F) = 0q + 1(1 - q) = 1 - q$$

   令 $E_1(O) = E_1(F)$：

   $$3q = 1 - q \implies 4q = 1 \implies q^* = \frac{1}{4}$$

2. 求 $P_1$ 的混合機率 $p$：
   同理，$P_2$ 願意進行完全混合策略時，選擇 O 與 F 的期望報酬必須相等：

   $$E_2(O) = 1p + 0(1 - p) = p$$

核心觀念

本題考查不完全訊息靜態賽局（Static Game of Incomplete Information）的貝氏納許均衡（Bayesian Nash Equilibrium, BNE），以及博弈論中著名的海薩尼淨化定理（Harsanyi's Purification Theorem）：

1. 門檻策略（Cutoff/Threshold Strategies）：當型態（Type）為連續分佈時，純策略貝氏納許均衡常表現為單調的門檻形式。在門檻值邊界上，參與者處於「無異（Indifferent）」狀態，其期望報酬相等。
2. 均勻分配機率計算：若 $k, m \sim U[0, x]$，則隨機變數小於或大於某一門檻的機率可直接由長度比計算。
3. 極限收斂性（淨化定理）：當私有訊息的擾動幅度趨近於零（$x \to 0$）時，不完全訊息賽局的純策略貝氏納許均衡機率分佈，會收斂至完全訊息賽局中對應的混合策略納許均衡（Mixed Strategy Nash Equilibrium, MSNE）。

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解題方法與完整推導

步驟一：設定參與者的機率與期望報酬

設 $P_1$ 選擇 $O$ 的事前機率為 $p$、$P_2$ 選擇 $O$ 的事前機率為 $q$。
由題意設定之門檻策略：

• $P_1$ 在 $k > k^*$ 時出 $O$，在 $k \le k^*$ 時出 $F$。
• $P_2$ 在 $m < m^*$ 時出 $O$，在 $m \ge m^*$ 時出 $F$。

由於 $k, m \sim \text{i.i.d. } U[0, x]$，且內部解滿足 $0 \le k^*, m^* \le x$：

$$p = \Pr(P_1 \text{ plays } O) = \Pr(k > k^*) = 1 - \frac{k^*}{x}$$ $$1 - p = \Pr(P_1 \text{ plays } F) = \frac{k^*}{x}$$ $$q = \Pr(P_2 \text{ plays } O) = \Pr(m < m^*) = \frac{m^*}{x}$$ $$1 - q = \Pr(P_2 \text{ plays } F) = 1 - \frac{m^*}{x}$$

步驟二：推導 $P_1$ 的最佳反應門檻 $k^*$

給定 $P_2$ 出 $O$ 的機率為 $q$：

• $P_1$ 選擇 $O$ 的期望報酬：

  $$E[u_1(O) \mid k] = q(2 + k) + (1 - q) \cdot 0 = q(2 + k)$$

• $P_1$ 選擇 $F$ 的期望報酬：

  $$E[u_1(F) \mid k] = q \cdot 0 + (1 - q) \cdot 1 = 1 - q$$

$P_1$ 採取 $O$ 當且僅當 $E[u_1(O) \mid k] \ge E[u_1(F) \mid k]$，即：

$$q(2 + k) \ge 1 - q \iff k \ge \frac{1 - 3q}{q} = \frac{1}{q} - 3$$

在臨界型態 $k = k^*$ 處，$P_1$ 應無異於兩策略：

$$k^* = \frac{1}{q} - 3 = \frac{1}{\frac{m^*}{x}} - 3 = \frac{x}{m^*} - 3$$

步驟三：推導 $P_2$ 的最佳反應門檻 $m^*$

給定 $P_1$ 出 $O$ 的機率為 $p$：

• $P_2$ 選擇 $O$ 的期望報酬：

  $$E[u_2(O) \mid m] = p \cdot 1 + (1 - p) \cdot 0 = p$$

• $P_2$ 選擇 $F$ 的期望報酬：

  $$E[u_2(F) \mid m] = p \cdot 0 + (1 - p)(2 + m) = (1 - p)(2 + m)$$

$P_2$ 採取 $O$ 當且僅當 $E[u_2(O) \mid m] \ge E[u_2(F) \mid m]$，即：

$$p \ge (1 - p)(2 + m) \iff 2 + m \le \frac{p}{1 - p} \iff m \le \frac{p}{1 - p} - 2$$

在臨界型態 $m = m^*$ 處，$P_2$ 應無異於兩策略：
將 $p = 1 - \frac{k^*}{x}$ 與 $1 - p = \frac{k^*}{x}$ 代入可得 $\frac{p}{1 - p} = \frac{x - k^*}{k^*} = \frac{x}{k^*} - 1$，故：

$$m^* = \left(\frac{x}{k^*} - 1\right) - 2 = \frac{x}{k^*} - 3$$

步驟四：聯立求解均衡門檻

由對稱性可知 $k^* = m^*$。令 $k^* = m^* = c$，則：

核心觀念

本題屬於賽局理論（Game Theory）中經典的選美賽局（Keynesian Beauty Contest Game / $p$-Beauty Contest），核心考察以下三個概念：

1. 重複剔除劣勢策略（Iterated Elimination of Dominated Strategies, IEDS）：透過逐輪剔除弱劣勢策略（Weakly Dominated Strategies），求解賽局的均衡解。
2. 完全理性（Perfect Rationality）：每位參與者皆極大化自身預期報酬，不會選擇被劣勢的策略。
3. 認識論條件（Epistemic Conditions）與共同知識（Common Knowledge）：IEDS 若要持續進行多輪剔除，參與者不僅自身必須理性，還必須知道（Knowledge）其他參與者也是理性的；要剔除至極限解，需要「理性為全體參與者的共同知識（Common Knowledge of Rationality, CKR）」。

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解題方法

1. IEDS 之逐步剔除過程

全體參與者選擇 $x_i \in [0, 100]$，目標值為全體平均數 $\bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{j=1}^{N} x_j$ 的 $\frac{2}{3}$，即 Target $= \frac{2}{3}\bar{x}$。

• 第 1 輪剔除：
  由於每人選擇的最大值為 $100$，因此平均數最大可能為 $\bar{x} \le 100$。
  目標值的上限為：

  $$\frac{2}{3}\bar{x} \le \frac{2}{3} \times 100 = \frac{200}{3} \approx 66.67$$

  任何大於 $\frac{200}{3}$ 的數字，其與目標值的距離必定大於 $\frac{200}{3}$ 與目標值的距離。因此，所有 $x_i > \frac{200}{3}$ 均為弱劣勢策略（Weakly Dominated Strategies），理性參與者在第 1 輪會剔除區間 $(\frac{200}{3}, 100]$，剩餘策略集合為 $[0, \frac{200}{3}]$。

• 第 2 輪剔除：
  若參與者知道所有人都是理性的，則預期所有人都只會在 $[0, \frac{200}{3}]$ 內選數字，此時新的可能最大平均值為 $\frac{200}{3}$。
  目標值上限縮小為：

  $$\frac{2}{3} \times \frac{200}{3} = 100 \times \left(\frac{2}{3}\right)^2$$

  因此，所有 $x_i > 100 \times (\frac{2}{3})^2$ 的策略皆被剔除，剩餘策略集合為 $[0, 100 \times (\frac{2}{3})^2]$。

• 第 $k$ 輪剔除至極限：
  依此類推，在第 $k$ 輪剔除後，剩餘策略集合為：

  $$\left[0, 100 \times \left(\frac{2}{3}\right)^k\right]$$

  當進行無窮次剔除（$k \to \infty$）時：

  $$\lim_{k \to \infty} 100 \times \left(\frac{2}{3}\right)^k = 0$$

  因此，透過 IEDS（弱劣勢）的最終解為唯一策略 $x_i = 0$（對所有 $i = 1, \ldots, N$）。

核心觀念

本題是一道涵蓋微觀經濟學四大基礎主題的綜合是非題：

1. 需求價格彈性（Price Elasticity of Demand）：線性需求線上彈性的點公式推導與幾何變化特性。
2. 市場需求函數的水平加總（Horizontal Aggregation）：個人需求函數具有不同保留價格（截距）時，加總後的市場需求線會出現折點（Kink）。
3. 福利經濟學第一基本定理（First Fundamental Theorem of Welfare Economics）：完全競爭市場達到柏拉圖最適（Pareto Optimality）的充分與必要條件，以及市場失靈（外部性、公共財、市場力量、資訊不對稱）的存在。
4. 寇斯定理（Coase Theorem）：外部性內部化達到社會最適的條件（產權清楚界定且無交易成本，以及無所得效果）。

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解題方法

本題題型為「單選包裝的複選題」，需先獨立判斷子選項 (A)、(B)、(C)、(D) 的真偽，再對應題目給定的組合選項代號。

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選項分析

選項 (A)：錯誤 (False)

• 分析：
  設一線型需求函數為： $$Q = a - bP \quad (a > 0, b > 0)$$ 其價格彈性定義為： $$\varepsilon = - \frac{dQ}{dP} \cdot \frac{P}{Q} = b \cdot \frac{P}{Q}$$ 當需求量 $Q \to 0$ 時，價格 $P \to \frac{a}{b}$（垂直截距點）。代入彈性公式： $$\lim_{Q \to 0} \varepsilon = \lim_{Q \to 0} \left( b \cdot \frac{P}{Q} \right) = \infty$$ 即在 $P$ 軸截距點附近，需求價格彈性趨近於無限大（完全有彈性，$\varepsilon > 1$），屬於極度富有彈性（Elastic），而非缺乏彈性（Inelastic）。當 $Q$ 趨近於水平截距（$P \to 0$）時，彈性才趨近於零（缺乏彈性）。因此敘述錯誤。

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選項 (B)：錯誤 (False)

• 分析：
  市場需求曲線是個別消費者需求曲線在每一給定價格下的「水平加總」（Horizontal Summation）。
  若個別消費者的需求函數具有不同的最高願付價格（即逆需求線的縱軸截距不同），則在較高價格區間僅有部分消費者願付購買，在較低價格區間才有更多消費者加入購買。

  反例證明：
  設市場上有兩位消費者：

  $$q_1(P) = \max\{0, 10 - P\}$$ $$q_2(P) = \max\{0, 6 - P\}$$

  加總後的市場需求函數 $Q_M(P) = q_1(P) + q_2(P)$ 為：

  $$Q_M(P) = \begin{cases} 0, & \text{if } P > 10 \\ 10 - P, & \text{if } 6 < P \le 10 \\ 16 - 2P, & \text{if } P \le 6 \end{cases}$$