111 年 國立成功大學經濟研究所《個體經濟學》

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第 1 題20 分

Consider a differentiated duopoly where each firm bears only a constant marginal cost of 50toproduceeachunitofitsownproducts.Supposefirmsareengagedinpricecompetition.Forthepairofprices50 to produce each unit of its own products. Suppose firms are engaged in price competition. For the pair of prices p_1, p_2$, the quantity demanded for each firm's product can be summarized by the following system:

{q1(p1,p2)=200−2p1+p2q2(p1,p2)=200−2p2+p1\begin{cases} q_1(p_1, p_2) = 200 - 2p_1 + p_2 \\ q_2(p_1, p_2) = 200 - 2p_2 + p_1 \end{cases}

a. (5%) Find the Nash equilibrium price of each firm.
b. (5%) Find the deadweight loss caused by the duopoly.
c. (5%) If the two firms merge into one, find again the prices that will be charged by this merged monopoly.
d. (5%) If the two firms merge into one, find the additional profit the merging can bring to the two firms.

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核心觀念

本題考查：

  • 差異產品寡占下的價格競爭（Bertrand competition）。
  • Nash 均衡：每家廠商在給定另一家價格下，使自身利潤最大化。
  • 社會最適產量與寡占造成的無謂損失（deadweight loss）。
  • 合併後多產品獨占廠商的聯合利潤極大化。
  • 邊際成本固定為 MC=50MC=50。

兩家廠商的利潤分別為

π1=(p1−50)q1,π2=(p2−50)q2.\pi_1=(p_1-50)q_1,\qquad \pi_2=(p_2-50)q_2.

解題方法

先利用利潤函數對自身價格微分，求出兩家廠商的最佳反應函數，再聯立求 Nash 均衡。

合併後，兩項產品由同一廠商決定價格，因此必須最大化總利潤：

Π=(p1−50)q1+(p2−50)q2.\Pi=(p_1-50)q_1+(p_2-50)q_2.

死重損失則以社會最適配置為基準。先將需求函數反解為逆需求，再比較社會最適總剩餘與寡占均衡總剩餘。

a. Nash 均衡價格

廠商 1 的利潤為

π1=(p1−50)(200−2p1+p2).\pi_1=(p_1-50)(200-2p_1+p_2).

對 p1p_1 微分：

∂π1∂p1=(200−2p1+p2)−2(p1−50).\frac{\partial \pi_1}{\partial p_1} = (200-2p_1+p_2)-2(p_1-50).

令一階條件等於零：

200−2p1+p2−2p1+100=0,200-2p_1+p_2-2p_1+100=0, 300+p2−4p1=0.300+p_2-4p_1=0.

因此廠商 1 的最佳反應函數為

p1=300+p24.p_1=\frac{300+p_2}{4}.

同理，廠商 2 的最佳反應函數為

p2=300+p14.p_2=\frac{300+p_1}{4}.

由於兩家廠商及需求條件對稱，均衡時有

p1=p2=p.p_1=p_2=p.

代入最佳反應函數：

p=300+p4,p=\frac{300+p}{4}, 4p=300+p,4p=300+p, p1∗=p2∗=100.\boxed{p_1^*=p_2^*=100}.

均衡數量為

q1=q2=200−2(100)+100=100.q_1=q_2=200-2(100)+100=100.

因此每家廠商的均衡利潤為

πi=(100−50)(100)=5,000.\pi_i=(100-50)(100)=5{,}000.

b. 寡占造成的死重損失

第一步：求逆需求函數

原需求為

q1=200−2p1+p2,q_1=200-2p_1+p_2, q2=200−2p2+p1.q_2=200-2p_2+p_1.

反解可得

p1=200−2q1+q23,p_1=200-\frac{2q_1+q_2}{3}, p2=200−q1+2q23.p_2=200-\frac{q_1+2q_2}{3}.

第二步：求社會最適產量

社會總剩餘為消費者總效益減去生產成本。社會最適條件為各產品的價格等於邊際成本：

p1=p2=MC=50.p_1=p_2=MC=50.

由對稱性令

q1=q2=q.q_1=q_2=q.

逆需求函數變為

p1=p2=200−q.p_1=p_2=200-q.

令價格等於邊際成本：

200−q=50,200-q=50, q=150.q=150.

因此社會最適產量為

q1S=q2S=150.q_1^{S}=q_2^{S}=150.

第三步：計算總剩餘

將逆需求函數積分，可得總效益函數：

B(q1,q2)=200(q1+q2)−q12+q22+q1q23.B(q_1,q_2) = 200(q_1+q_2) -\frac{q_1^2+q_2^2+q_1q_2}{3}.

在社會最適產量 (150,150)(150,150) 下：

BS=200(300)−1502+1502+15023=37,500.B^S = 200(300) -\frac{150^2+150^2+150^2}{3} =37{,}500.

總成本為

CS=50(150+150)=15,000.C^S=50(150+150)=15{,}000.

所以社會最適總剩餘為

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第 2 題20 分

A monopolist serves two consumers with their individual demands separately as q1(p)=200−3pq_1(p) = 200-3p and q2(p)=200−2pq_2(p) = 200-2p when asked a price of pp per unit. Suppose it produces with the constant marginal cost of 20withoutanyothercost.a.(520 without any other cost. a. (5%) If the monopoly sells with the same uniform price ptobothconsumers,finditsoptimalprice.b.(10to both consumers, find its optimal price. b. (10%) If the monopoly cannot distinguish the two consumers so that it offers them the same two-part tariff scheme,A + pq,where, where Aisanupfrontfixedfeeandis an upfront fixed fee andpistheperunitprice.Eachconsumerthendeterminesherquantitytobuy,is the per unit price. Each consumer then determines her quantity to buy,q_i,for, for i=1, 2.Findthemonopoly′soptimal. Find the monopoly's optimal Aandandp$.
c. (5%) Find the deadweight loss under the two-part tariff.

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核心觀念

本題考查：

  • 獨占廠商的利潤極大化：MR=MCMR=MC。
  • 個別需求與反需求函數。
  • 兩部制價格（two-part tariff）：
    Ti=A+pqiT_i=A+pq_i
    其中 AA 為固定費，pp 為單位價格。
  • 固定費最多只能收取消費者在單位價格 pp 下的消費者剩餘。
  • 無謂損失（deadweight loss）為總剩餘相對於效率配置的損失。

個別反需求函數為：

p1(q1)=200−q13,p2(q2)=200−q22p_1(q_1)=\frac{200-q_1}{3},\qquad p_2(q_2)=\frac{200-q_2}{2}

兩位消費者的最高願付價格分別為：

pˉ1=2003,pˉ2=100\bar p_1=\frac{200}{3},\qquad \bar p_2=100

a. 統一價格下的最適價格

當價格低於 2003\frac{200}{3} 時，兩位消費者都會購買，因此市場總需求為：

Q=q1+q2=(200−3p)+(200−2p)=400−5pQ=q_1+q_2=(200-3p)+(200-2p)=400-5p

反需求函數為：

p=80−Q5p=80-\frac{Q}{5}

總收益：

TR=pQ=(80−Q5)Q=80Q−Q25TR=pQ =\left(80-\frac{Q}{5}\right)Q =80Q-\frac{Q^2}{5}

邊際收益為：

MR=80−2Q5MR=80-\frac{2Q}{5}

令 MR=MC=20MR=MC=20：

80−2Q5=2080-\frac{2Q}{5}=20 2Q5=60⟹Q=150\frac{2Q}{5}=60 \quad\Longrightarrow\quad Q=150

代回反需求函數：

p=80−1505=50p=80-\frac{150}{5}=50

此時確實有 50<200350<\frac{200}{3}，兩位消費者均在市場內。

因此，統一價格下的最適價格為：

p=50\boxed{p=50}

相應數量為：

q1=200−3(50)=50,q2=200−2(50)=100q_1=200-3(50)=50,\qquad q_2=200-2(50)=100

b. 相同兩部制價格下的最適 AA 與 pp

第一步：計算消費者剩餘

在單位價格 pp 下，消費者 11 的消費者剩餘為：

CS1(p)=12(2003−p)(200−3p)=(200−3p)26CS_1(p) =\frac{1}{2}\left(\frac{200}{3}-p\right)(200-3p) =\frac{(200-3p)^2}{6}

消費者 22 的消費者剩餘為：

CS2(p)=12(100−p)(200−2p)=(100−p)2CS_2(p) =\frac{1}{2}(100-p)(200-2p) =(100-p)^2

在兩位消費者都具有正需求的範圍內，始終有：

CS1(p)<CS2(p)CS_1(p)<CS_2(p)

因此，若要讓兩人都參加，固定費最多只能設定為：

A=CS1(p)=(200−3p)26A=CS_1(p)=\frac{(200-3p)^2}{6}

第二步：考慮兩位消費者都參加

兩位消費者都參加時，廠商利潤為：

π=2A+(p−20)(q1+q2)\pi =2A+(p-20)(q_1+q_2)

代入 A=CS1(p)A=CS_1(p)、q1+q2=400−5pq_1+q_2=400-5p：

π(p)=2⋅(200−3p)26+(p−20)(400−5p)\pi(p) =2\cdot\frac{(200-3p)^2}{6} +(p-20)(400-5p)

整理為：

π(p)=(200−3p)23+(p−20)(400−5p)\pi(p) =\frac{(200-3p)^2}{3} +(p-20)(400-5p)

微分：

dπdp=−2(200−3p)+(400−5p)−5(p−20)\frac{d\pi}{dp} =-2(200-3p)+(400-5p)-5(p-20) dπdp=20−4p\frac{d\pi}{dp}=20-4p

令其等於 00：

20−4p=0⟹p=520-4p=0 \quad\Longrightarrow\quad p=5

此時：

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第 3 題20 分

Consider a competitive industry with the market demand QD(p)=1,000−4pQ_D(p) = 1,000-4p. Each firm produces with identical cost function C(q)=400+10q+q2C(q) = 400+ 10q + q^2. Originally the market is in long run (LR) equilibrium.
a. (5%) Find the LR equilibrium price in this industry.
b. (5%) If the government has imposed a specific tax of 12perunitonthesellers,findthepricepaidbytheconsumersattheafter−taxshortrun(SR)equilibriumofthemarket.c.(512 per unit on the sellers, find the price paid by the consumers at the after-tax short run (SR) equilibrium of the market. c. (5%) If the government has imposed a specific tax of 12 per unit on the sellers, find the price paid by the consumers at the after-tax LR equilibrium of the market.
d. (5%) Find the deadweight caused by the specific tax at the after-tax LR equilibrium of the market.

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核心觀念

本題考查完全競爭市場的短期與長期均衡、固定成本下的長期供給，以及單位稅與無謂損失。

成本函數為：

C(q)=400+10q+q2C(q)=400+10q+q^2

其中固定成本為 400400，變動成本為：

VC(q)=10q+q2VC(q)=10q+q^2

因此：

MC(q)=dCdq=10+2qMC(q)=\frac{dC}{dq}=10+2q

平均成本為：

AC(q)=C(q)q=400q+10+qAC(q)=\frac{C(q)}{q} =\frac{400}{q}+10+q

完全競爭下：

  • 短期均衡：既有廠商依據 P=MCP=MC 決定產量。

  • 長期均衡：自由進出市場，廠商經濟利潤為零，因此市場價格等於平均成本最低點：

    P=min⁡ACP=\min AC

單位稅由賣方負擔時，消費者支付價格 PcP_c，廠商實際收到的價格為：

Ps=Pc−12P_s=P_c-12

解題方法

先求單一廠商的長期最適產量與最低平均成本，得到原始長期均衡價格。接著：

  1. 短期：廠商家數固定，利用稅後廠商收到的價格求個別供給，再與市場需求相交。
  2. 長期：廠商可自由進出，稅後廠商收到的價格必須回到最低平均成本。
  3. 無謂損失：比較課稅前後的總剩餘，或使用需求曲線與長期供給線形成的三角形面積。

(a) 長期均衡價格

第一步：求平均成本最低點

AC(q)=400q+10+qAC(q)=\frac{400}{q}+10+q

對 qq 微分：

dACdq=−400q2+1\frac{dAC}{dq} =-\frac{400}{q^2}+1

令其等於零：

−400q2+1=0-\frac{400}{q^2}+1=0

因此：

q2=400⇒q=20q^2=400 \quad\Rightarrow\quad q=20

第二步：求最低平均成本

將 q=20q=20 代入平均成本：

AC(20)=40020+10+20=20+10+20=50AC(20)=\frac{400}{20}+10+20 =20+10+20=50

長期自由進出均衡下：

PLR=min⁡AC=50P_{LR}=\min AC=50

驗算：

MC(20)=10+2(20)=50MC(20)=10+2(20)=50

因此最低平均成本點同時滿足 P=MC=ACP=MC=AC。

(b) 稅後短期均衡的消費者價格

短期內廠商家數固定不變，先求原本的廠商數量。

第一步：課稅前市場總產量

原本長期均衡價格為 5050，市場需求為：

QD(50)=1000−4(50)=800Q_D(50)=1000-4(50)=800

每家廠商在 P=50P=50 下的產量為：

50=MC(q)=10+2q50=MC(q)=10+2q 2q=40⇒q=202q=40 \quad\Rightarrow\quad q=20

所以廠商數量為：

N=80020=40N=\frac{800}{20}=40

第二步：求稅後個別廠商供給

賣方每單位負擔稅額 1212。若消費者支付價格為 PcP_c，廠商實收價格為：

Ps=Pc−12P_s=P_c-12

廠商依據實收價格使：

Ps=MC(q)P_s=MC(q)

因此：

Pc−12=10+2qP_c-12=10+2q q=Pc−222q=\frac{P_c-22}{2}

短期有 4040 家廠商，因此市場供給為：

QS=40q=40(Pc−222)=20Pc−440Q_S=40q =40\left(\frac{P_c-22}{2}\right) =20P_c-440
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第 4 題20 分

Consider a two-individual (A and B) and two-good (1 and 2) economy. The utility functions are UA(xA1,xA2)=xA1αxA2βU_A(x_{A1}, x_{A2}) = x_{A1}^{\alpha} x_{A2}^{\beta} for individual A who has endowments (100,100)(100, 100) for the two goods and UB(xB1,xB2)=xB1xB2U_B(x_{B1}, x_{B2}) = x_{B1} x_{B2} for individual B who has endowment (100,100)(100, 100) where α,β>0\alpha, \beta > 0. Suppose the two markets are both competitive.
a. (10%) Find the condition for xA1xA1x_{A1} x_{A1} to hold at Pareto set where xAkx_{Ak} is A's allocation for commodity k = 1, 2.
b. (10%) Find the condition for the relative competitive equilibrium prices P1/P2P_1/P_2 to be greater than 1.

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核心觀念

本題考查：

  1. 帕累托效率與契約曲線：帕累托集合上的配置必須使兩人的邊際替代率相等。
  2. 競爭均衡需求函數：利用 Cobb-Douglas 偏好求兩人的商品需求，再由市場清算求相對價格。
  3. 邊際替代率公式：
MRS=MU1MU2MRS=\frac{MU_1}{MU_2}

題目 a 的式子應為 xA1=xA2x_{A1}=x_{A2}；以下依此解讀。

一、帕累托集合上的條件

1. 可行配置

兩種商品的總數量分別為：

xA1+xB1=200x_{A1}+x_{B1}=200 xA2+xB2=200x_{A2}+x_{B2}=200

因此：

xB1=200−xA1,xB2=200−xA2x_{B1}=200-x_{A1},\qquad x_{B2}=200-x_{A2}

2. 計算兩人的邊際替代率

個人 A 的效用函數為：

UA=xA1αxA2βU_A=x_{A1}^{\alpha}x_{A2}^{\beta}

其邊際效用為：

MUA1=αxA1α−1xA2βMU_{A1}=\alpha x_{A1}^{\alpha-1}x_{A2}^{\beta} MUA2=βxA1αxA2β−1MU_{A2}=\beta x_{A1}^{\alpha}x_{A2}^{\beta-1}

所以：

MRSA=MUA1MUA2=αβxA2xA1MRS_A=\frac{MU_{A1}}{MU_{A2}} =\frac{\alpha}{\beta}\frac{x_{A2}}{x_{A1}}

個人 B 的效用函數為：

UB=xB1xB2U_B=x_{B1}x_{B2}

因此：

MUB1=xB2,MUB2=xB1MU_{B1}=x_{B2},\qquad MU_{B2}=x_{B1} MRSB=xB2xB1=200−xA2200−xA1MRS_B=\frac{x_{B2}}{x_{B1}} =\frac{200-x_{A2}}{200-x_{A1}}

3. 契約曲線

帕累托集合的內部配置必須滿足：

MRSA=MRSBMRS_A=MRS_B

因此：

αβxA2xA1=200−xA2200−xA1\frac{\alpha}{\beta}\frac{x_{A2}}{x_{A1}} = \frac{200-x_{A2}}{200-x_{A1}}

整理得：

αxA2(200−xA1)=βxA1(200−xA2)\alpha x_{A2}(200-x_{A1}) = \beta x_{A1}(200-x_{A2})

也可寫成：

xA2=200βxA1200α+(β−α)xA1x_{A2} = \frac{200\beta x_{A1}} {200\alpha+(\beta-\alpha)x_{A1}}

這就是帕累托集合上的配置條件。

4. 令 xA1=xA2x_{A1}=x_{A2}

若要求：

xA1=xA2=xx_{A1}=x_{A2}=x

則個人 B 也有：

xB1=xB2=200−xx_{B1}=x_{B2}=200-x

此時：

MRSB=200−x200−x=1MRS_B=\frac{200-x}{200-x}=1

而：

MRSA=αβxx=αβMRS_A=\frac{\alpha}{\beta}\frac{x}{x} =\frac{\alpha}{\beta}

帕累托效率要求兩者相等，因此：

αβ=1\frac{\alpha}{\beta}=1

所以：

α=β\boxed{\alpha=\beta}

二、競爭均衡價格條件

1. 兩人的所得

兩人的初始禀賦皆為 (100,100)(100,100)，因此所得相同：

mA=mB=100P1+100P2=100(P1+P2)m_A=m_B=100P_1+100P_2 =100(P_1+P_2)

2. 個人 A 的需求

對 Cobb-Douglas 效用函數，A 將所得中比例 αα+β\frac{\alpha}{\alpha+\beta} 用於商品 1，比例 βα+β\frac{\beta}{\alpha+\beta} 用於商品 2：

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第 5 題20 分

Suppose Grace's utility function over food (F) and cloth (C) is U(F,C)=min⁡(F,C)U(F, C) = \min(F, C) and her income is Y=30Y = 30 while prices are pF=2p_F = 2 for food (F) and pC=2p_C = 2 for cloth (C) respectively. (Assume any commodity can be purchased in decimal units).
a. (10%) Suppose the government offers Grace a food stamp of 60 units of food which could NOT be resold in the market. How much additional money should the government also give to Grace along with the food stamp so that the total effect is equivalent to the food stamp of 60 units of food that could be resold in the market?
b. (5%) If the government only offers Grace money, how much money should the government offer to Grace so that its effect is equivalent to the 60 units of Food that could NOT be resold in the market?
c. (5%) If the government only offers Grace money, how much money should the government offer to Grace so that its effect is equivalent to a subsidy of $1 per unit on the food that Grace purchases?

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核心觀念

本題考查：

  1. 完全互補偏好：U(F,C)=min⁡(F,C)U(F,C)=\min(F,C)
    Grace 會追求 F=CF=C，因為多出的單一商品無法提高效用。

  2. 預算限制與效用最大化：
    若兩商品價格分別為 pF,pCp_F,p_C，且所得為 II，在 F=C=xF=C=x 下：
    pFx+pCx=Ip_Fx+p_Cx=I
    因此
    x=IpF+pCx=\frac{I}{p_F+p_C}

  3. 實物補貼與現金補貼的等效比較：
    「效果等價」以相同的最大效用衡量，不一定要求消費組合完全相同。

原本價格為 pF=pC=2p_F=p_C=2，所得為 Y=30Y=30。若沒有補貼：

2F+2C=302F+2C=30

由於 F=C=xF=C=x：

2x+2x=30⇒x=7.52x+2x=30\Rightarrow x=7.5

所以原本效用為 U=7.5U=7.5。

(a) 不可轉售的 60 單位食物券，另加多少現金，才等同於可轉售的 60 單位食物券？

第一步：求可轉售食物券的效果

可轉售的食物券可視為現金價值：

60×pF=60×2=12060\times p_F=60\times 2=120

因此 Grace 的總所得為：

30+120=15030+120=150

此時兩商品價格仍為 22，且 F=C=xF=C=x：

2x+2x=1502x+2x=150

4x=150⇒x=37.54x=150\Rightarrow x=37.5

所以可轉售食物券帶來的效用為：

U∗=37.5U^*=37.5

第二步：求不可轉售食物券加現金後的效果

設政府另外給予現金 MM。Grace 擁有最多 60 單位的免費食物，並可用原本所得與現金購買衣物。

因為目標消費量為 F=C=37.5F=C=37.5，所需食物少於 60 單位，因此 60 單位食物券足以提供全部食物。她只需購買 37.537.5 單位衣物，所需支出為：

2C=2(37.5)=752C=2(37.5)=75

原本所得加現金必須等於 7575：

30+M=7530+M=75

M=45M=45

因此，政府應另給 45 元現金。

(b) 僅給現金，多少金額才等同於不可轉售的 60 單位食物券？

第一步：求不可轉售食物券的效用

Grace 擁有 60 單位免費食物，原本所得 3030 全部可用於購買衣物。

可購買的衣物數量為：

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