109 年 國立成功大學經濟研究所《個體經濟學》

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第 1 題30 分

Consider a monopoly that serves two distinct markets with their demand functions as Q1(p)=a−pQ_1(p) = a - p and Q2(p)=ka−pQ_2(p) = ka - p separately. In words, market 2 is kk times the size of market 1 where 1>k>01 > k > 0. Suppose the total cost borne by the monopolist is c(Q)=Q2/2c(Q) = Q^2/2 when QQ units are produced.

a. (10%) If the monopolist has to charge the same price in the two markets, derive the condition under which it is the monopolist's best interest to serve both markets instead of just market 1.
b. (10%) Suppose the monopolist is capable of exercising price discrimination. Show that the demand in market 2 is more elastic than that in market 1 at equilibrium.
c. (5%) Show that the monopolist is better off by exercising price discrimination over the two markets.
d. (5%) Suppose market 2 is accessible to the monopolist only after some additional advertising expenditures bb. Specifically, k=b0.5k = b^{0.5} whenever bb is spent. Find the optimal advertising spending for the monopolist when it has to charge the same price in the two markets.

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核心觀念

本題考察：

  • 垄斷者的利潤最大化：π=TR−TC\pi=TR-TC。
  • 單一價格下的市場整合。
  • 價格歧視下，各市場分別訂價，並以共同邊際成本決定產量。
  • 需求價格彈性：
    εi=∣dQidpipiQi∣.\varepsilon_i=\left|\frac{dQ_i}{dp_i}\frac{p_i}{Q_i}\right|.
  • 廣告支出對市場規模的影響。

令市場總產量為 Q=Q1+Q2Q=Q_1+Q_2，總成本為

C(Q)=Q22,C(Q)=\frac{Q^2}{2},

因此邊際成本為

MC(Q)=Q.MC(Q)=Q.

（a）相同價格下，何時服務兩個市場較有利？

只服務市場 1

若只服務市場 1，需求為

Q1=a−p,Q_1=a-p,

反需求函數為

p=a−Q.p=a-Q.

利潤為

π1=(a−Q)Q−Q22=aQ−32Q2.\pi_1=(a-Q)Q-\frac{Q^2}{2} =aQ-\frac{3}{2}Q^2.

一階條件：

dπ1dQ=a−3Q=0,\frac{d\pi_1}{dQ}=a-3Q=0,

所以

Q1∗=a3,p1∗=2a3.Q_1^*=\frac a3,\qquad p_1^*=\frac{2a}{3}.

最大利潤為

π1∗=a26.\pi_1^*=\frac{a^2}{6}.

同時服務兩個市場

相同價格為 pp 時，

Q=(a−p)+(ka−p)=(1+k)a−2p.Q=(a-p)+(ka-p)=(1+k)a-2p.

因此反需求函數為

p=(1+k)a−Q2.p=\frac{(1+k)a-Q}{2}.

利潤為

πB=pQ−Q22=(1+k)aQ−Q22−Q22=(1+k)a2Q−Q2.\pi_B =pQ-\frac{Q^2}{2} =\frac{(1+k)aQ-Q^2}{2}-\frac{Q^2}{2} =\frac{(1+k)a}{2}Q-Q^2.

一階條件：

dπBdQ=(1+k)a2−2Q=0,\frac{d\pi_B}{dQ} =\frac{(1+k)a}{2}-2Q=0,

得到

QB∗=(1+k)a4.Q_B^*=\frac{(1+k)a}{4}.

相應價格為

pB∗=(1+k)a−QB∗2=3(1+k)a8.p_B^* =\frac{(1+k)a-Q_B^*}{2} =\frac{3(1+k)a}{8}.

此價格必須使市場 2 有正需求，即

pB∗<ka.p_B^*<ka.

代入得

3(1+k)a8<ka⟺3+3k<8k⟺k>35.\frac{3(1+k)a}{8}<ka \quad\Longleftrightarrow\quad 3+3k<8k \quad\Longleftrightarrow\quad k>\frac35.

在此情況下，同時服務兩市場的最大利潤為

πB∗=(1+k)2a216.\pi_B^* =\frac{(1+k)^2a^2}{16}.

但還必須與只服務市場 1 的利潤比較：

(1+k)2a216>a26.\frac{(1+k)^2a^2}{16}>\frac{a^2}{6}.

約去 a2a^2：

(1+k)2>83.(1+k)^2>\frac83.

由於 1+k>01+k>0，因此

k>83−1.k>\sqrt{\frac83}-1.

注意：

83−1≈0.633>35,\sqrt{\frac83}-1\approx 0.633>\frac35,

所以真正決定是否服務兩個市場的條件，是利潤比較所得到的條件。

【答案】

k>83−1\boxed{k>\sqrt{\frac83}-1}

在等號成立時，垄斷者對兩種策略無差異；若要求「嚴格較有利」，必須取嚴格大於。

（b）證明市場 2 在均衡時的需求較有彈性

價格歧視下，兩市場分別訂價。兩市場的反需求函數為

p1=a−Q1,p2=ka−Q2.p_1=a-Q_1,\qquad p_2=ka-Q_2.

利潤為

π=(a−Q1)Q1+(ka−Q2)Q2−(Q1+Q2)22.\pi=(a-Q_1)Q_1+(ka-Q_2)Q_2-\frac{(Q_1+Q_2)^2}{2}.

令總產量 Q=Q1+Q2Q=Q_1+Q_2。對各市場產量分別微分：

∂π∂Q1=a−2Q1−Q=0,\frac{\partial \pi}{\partial Q_1} =a-2Q_1-Q=0, ∂π∂Q2=ka−2Q2−Q=0.\frac{\partial \pi}{\partial Q_2} =ka-2Q_2-Q=0.

整理為

3Q1+Q2=a,3Q_1+Q_2=a, Q1+3Q2=ka.Q_1+3Q_2=ka.

解得

Q1∗=(3−k)a8,Q2∗=(3k−1)a8.Q_1^*=\frac{(3-k)a}{8}, \qquad Q_2^*=\frac{(3k-1)a}{8}.

市場 2 要有正需求，必須滿足

k>13.k>\frac13.

均衡價格為

p1∗=a−Q1∗=(5+k)a8,p_1^*=a-Q_1^* =\frac{(5+k)a}{8}, p2∗=ka−Q2∗=(5k+1)a8.p_2^*=ka-Q_2^* =\frac{(5k+1)a}{8}.

由於兩市場需求函數的斜率皆為 −1-1，各市場的價格彈性絕對值為

∣εi∣=piQi.|\varepsilon_i|=\frac{p_i}{Q_i}.

因此

∣ε1∣=5+k3−k,|\varepsilon_1| =\frac{5+k}{3-k},
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第 2 題30 分

Jack has the utility function u(x,y)=xaybu(x,y) = x^a y^b over good x and y where a>0a > 0 and b>0b > 0. Suppose the price of good x is pp while the price of good y is normalized as 11. Jack is endowed with income MM.

a. (10%) Derive Jack's Marshallian demand function of the two goods.
b. (10%) Derive Jack's Hicksian demand function of the two goods.
c. (10%) Verify if the Slutsky equation in terms of elasticity holds for Jack's Marshallian demand function of good y facing the change in the price of good x. That is, ϵp,yx=ϵp′yx+ϵw,ybx\epsilon_{p,yx} = \epsilon_{p'yx} + \epsilon_{w,y} b_x, where ϵp,yx\epsilon_{p,yx} is the (uncompensated) price elasticity of good y given the change in price of good x, ϵp′yx\epsilon_{p'yx} is the compensated price elasticity, ϵw,y\epsilon_{w,y} the income elasticity of good y, and bxb_x the budget share of good x.

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核心觀念

本題考查 Cobb–Douglas 效用函數下的：

  • Marshallian demand：給定所得與市場價格，最大化效用。
  • Hicksian demand：給定效用水準與市場價格，最小化支出。
  • Slutsky equation：分解價格變動所造成的替代效果與所得效果。

效用函數為

u(x,y)=xayb,a>0, b>0u(x,y)=x^a y^b,\qquad a>0,\ b>0

價格為 px=pp_x=p、py=1p_y=1，所得為 MM。

解題方法

一、Marshallian demand

消費者面臨預算限制

px+y=Mpx+y=M

效用最大化問題為

max⁡x,yxayb\max_{x,y} x^a y^b

取對數後，最大化等價於

max⁡x,yaln⁡x+bln⁡y\max_{x,y} a\ln x+b\ln y

其一階條件為

ax=λp\frac{a}{x}=\lambda p by=λ\frac{b}{y}=\lambda

兩式相除可得

a/xb/y=p\frac{a/x}{b/y}=p

因此

yx=bpa\frac{y}{x}=\frac{bp}{a}

代入預算限制：

px+bpax=Mpx+\frac{bp}{a}x=M px(1+ba)=Mpx\left(1+\frac{b}{a}\right)=M xM(p,M)=aa+bMpx^M(p,M)=\frac{a}{a+b}\frac{M}{p}

再由預算限制或比例關係得到

yM(p,M)=ba+bMy^M(p,M)=\frac{b}{a+b}M

因此，所得在兩種商品間的分配比例固定為：

pxM=aa+b,yM=ba+b\frac{px}{M}=\frac{a}{a+b},\qquad \frac{y}{M}=\frac{b}{a+b}

二、Hicksian demand

Hicksian demand 是在效用水準固定為 uˉ\bar u 下，尋找達成該效用所需的最低支出：

min⁡x,ypx+y\min_{x,y} px+y

限制條件為

xayb=uˉx^a y^b=\bar u

成本最小化的一階條件為

ax=μp\frac{a}{x}=\mu p by=μ\frac{b}{y}=\mu

相除後得到相同的最適消費比例：

yx=bpa\frac{y}{x}=\frac{bp}{a}

因此，最低支出時仍有

x=aa+be(p,uˉ)px=\frac{a}{a+b}\frac{e(p,\bar u)}{p} y=ba+be(p,uˉ)y=\frac{b}{a+b}e(p,\bar u)

其中 e(p,uˉ)e(p,\bar u) 是達成效用 uˉ\bar u 的最小支出函數。

將上述消費量代入效用限制：

uˉ=(aa+bep)a(ba+be)b\bar u = \left(\frac{a}{a+b}\frac{e}{p}\right)^a \left(\frac{b}{a+b}e\right)^b

整理可得

e(p,uˉ)=a+baa/(a+b)bb/(a+b)pa/(a+b)uˉ1/(a+b)e(p,\bar u) = \frac{a+b}{a^{a/(a+b)}b^{b/(a+b)}} p^{a/(a+b)} \bar u^{1/(a+b)}

因此，Hicksian demand 為

hx(p,uˉ)=aa+be(p,uˉ)ph_x(p,\bar u) = \frac{a}{a+b}\frac{e(p,\bar u)}{p}

整理後：

hx(p,uˉ)=(ab)b/(a+b)p−b/(a+b)uˉ1/(a+b)h_x(p,\bar u) = \left(\frac{a}{b}\right)^{b/(a+b)} p^{-b/(a+b)} \bar u^{1/(a+b)}

同理，

hy(p,uˉ)=ba+be(p,uˉ)h_y(p,\bar u) = \frac{b}{a+b}e(p,\bar u)

整理後：

hy(p,uˉ)=(ba)a/(a+b)pa/(a+b)uˉ1/(a+b)h_y(p,\bar u) = \left(\frac{b}{a}\right)^{a/(a+b)} p^{a/(a+b)} \bar u^{1/(a+b)}

所以 Hicksian demand 為

hx(p,uˉ)=(ab)b/(a+b)p−b/(a+b)uˉ1/(a+b)\boxed{ h_x(p,\bar u) = \left(\frac{a}{b}\right)^{b/(a+b)} p^{-b/(a+b)} \bar u^{1/(a+b)} } hy(p,uˉ)=(ba)a/(a+b)pa/(a+b)uˉ1/(a+b)\boxed{ h_y(p,\bar u) = \left(\frac{b}{a}\right)^{a/(a+b)} p^{a/(a+b)} \bar u^{1/(a+b)} }

三、以彈性驗證 Slutsky equation

1. Marshallian demand 中，商品 yy 對 pp 的價格彈性

由

yM(p,M)=ba+bMy^M(p,M)=\frac{b}{a+b}M

可知 yMy^M 與 pp 無關，因此

∂yM∂p=0\frac{\partial y^M}{\partial p}=0

未補償價格彈性為

ϵp,yx=∂yM∂ppyM=0\epsilon_{p,yx} = \frac{\partial y^M}{\partial p} \frac{p}{y^M} =0

2. Hicksian demand 中，商品 yy 對 pp 的補償價格彈性

由

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第 3 題25 分

Suppose the market demand in a perfectly competitive market is Q=500−10PQ = 500 - 10P. There are currently 20 identical firms operating in this market and each has the same cost function as c(q)=100+q2c(q) = 100 + q^2 when it produces qq units of the products.

a. (10%) How much is the consumer surplus at the short-run equilibrium of this market?
b. (10%) How much deadweight loss will be caused by a specific tax of $10 on the products of this market?
c. (5%) Find the number of firms that will survive the long run equilibrium of the market if there's not any specific tax imposed.

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核心觀念

本題考查完全競爭市場的短期均衡、消費者剩餘、從量稅造成的無謂損失，以及長期自由進出市場的均衡。

重要公式如下：

  • 逆需求函數：由市場需求函數求出 P(Q)P(Q)。
  • 完全競爭廠商：P=MCP=MC。
  • 市場供給量：各廠商供給量加總。
  • 消費者剩餘：
CS=12×底×高CS=\frac{1}{2}\times\text{底} \times \text{高}
  • 長期均衡：自由進出下，廠商在平均總成本最低點生產，且
P=min⁡ATC=MCP=\min ATC=MC

解題方法

1. 個別廠商的成本與供給函數

單一廠商成本函數為

c(q)=100+q2c(q)=100+q^2

其中固定成本為 100100，變動成本為 q2q^2。

邊際成本為

MC(q)=dc(q)dq=2qMC(q)=\frac{dc(q)}{dq}=2q

平均變動成本為

AVC(q)=q2q=qAVC(q)=\frac{q^2}{q}=q

短期完全競爭下，只要市場價格為正，廠商的供給條件為 P=MCP=MC，因此

P=2qP=2q

得到個別廠商供給函數：

q=P2q=\frac{P}{2}

市場上目前有 2020 家相同廠商，因此市場供給為

QS=20(P2)=10PQ_S=20\left(\frac{P}{2}\right)=10P

市場需求函數為

QD=500−10PQ_D=500-10P

其逆需求函數為

P=50−0.1QP=50-0.1Q

(a) 短期均衡的消費者剩餘

短期均衡條件為市場需求量等於市場供給量：

500−10P=10P500-10P=10P 20P=50020P=500 P=25P=25

將均衡價格代回需求函數：

Q=500−10(25)=250Q=500-10(25)=250

需求曲線的價格截距為 5050，因此消費者剩餘為需求曲線、均衡價格線與縱軸所形成的三角形面積：

CS=12(50−25)(250)CS=\frac{1}{2}(50-25)(250) CS=3125CS=3125

【答案】消費者剩餘為 \textbf{3,125}。

(b) 從量稅造成的無謂損失

每單位課徵 1010 的特種稅後，消費者支付價格與廠商實收價格相差 1010。

設：

  • PcP_c：消費者支付價格
  • PpP_p：廠商實收價格

則有

Pc=Pp+10P_c=P_p+10

廠商依據實收價格決定產量。由於

Pp=MC=2qP_p=MC=2q

所以單一廠商產量為

q=Pp2q=\frac{P_p}{2}

目前有 2020 家廠商，市場供給為

QS=20(Pp2)=10PpQ_S=20\left(\frac{P_p}{2}\right)=10P_p

由 Pp=Pc−10P_p=P_c-10，可寫成消費者價格下的市場供給：

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第 4 題15 分

Consider an industry of 3 firms. Suppose the market demand is Q=200−PQ = 200 - P and each firm produces with cost function c(q)=600+40qc(q) = 600 + 40q when its output level is qq.

a. (10%) Find the profit level of each firm at the Nash equilibrium when they engage in quantity competition.
b. (5%) Find the deadweight loss caused by the oligopoly when firms compete in quantity.

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核心觀念

本題考查三家廠商進行數量競爭的 Cournot 寡占模型，以及寡占造成的無謂損失。

市場需求為：

Q=200−PQ=200-P

因此反需求函數為：

P=200−QP=200-Q

每家廠商的成本函數為：

c(qi)=600+40qic(q_i)=600+40q_i

其中 600600 是固定成本，40qi40q_i 是變動成本，因此邊際成本為：

MC=40MC=40

在 Cournot 模型中，每家廠商將其他廠商的產量視為既定，並選擇使自身利潤最大的產量。

解題方法

設三家廠商產量分別為 q1,q2,q3q_1,q_2,q_3，市場總產量為：

Q=q1+q2+q3Q=q_1+q_2+q_3

廠商 ii 的利潤為：

πi=Pqi−c(qi)\pi_i=Pq_i-c(q_i)

代入反需求函數與成本函數：

πi=(200−Q)qi−600−40qi\pi_i=(200-Q)q_i-600-40q_i

整理得：

πi=(160−qi−qj−qk)qi−600\pi_i=(160-q_i-q_j-q_k)q_i-600

其中 qj,qkq_j,q_k 為其他兩家廠商的產量。

固定成本 600600 不隨產量變動，因此不影響一階條件。對 qiq_i 微分：

∂πi∂qi=160−2qi−qj−qk\frac{\partial \pi_i}{\partial q_i} =160-2q_i-q_j-q_k

利潤最大化的一階條件為：

160−2qi−qj−qk=0160-2q_i-q_j-q_k=0

因此廠商 ii 的反應函數為：

qi=160−qj−qk2q_i=\frac{160-q_j-q_k}{2}

由於三家廠商成本與市場地位完全相同，Nash 均衡具有對稱性：

q1=q2=q3=qq_1=q_2=q_3=q

代入一階條件：

160−2q−q−q=0160-2q-q-q=0 160−4q=0160-4q=0 q=40q=40

所以每家廠商的均衡產量為 4040，市場總產量為：

Q∗=3(40)=120Q^*=3(40)=120

均衡價格為：

P∗=200−120=80P^*=200-120=80

（a）Nash 均衡下每家廠商的利潤

每家廠商的收益為：

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