109 年 國立成功大學經濟研究所《總體經濟學》

這題考驗對匯率變動與貨幣相對強弱的理解。匯率的表示方式是「外幣單位/本國貨幣單位」或「本國貨幣單位/外幣單位」。題目中給的匯率是「日圓/美元」和「美元/英鎊」，我們要判斷美元相對日圓和英鎊的強弱變化。

首先分析日圓與美元的匯率：
1980年：240 日圓/美元
2000年：102 日圓/美元
這表示，在2000年，只需要 102 日圓就可以換到 1 美元，而在1980年則需要 240 日圓。也就是說，美元可以換到比以前更多的日圓。因此，美元相對日圓是「升值」（Appreciated）。

接著分析美元與英鎊的匯率：
1980年：2.22 美元/英鎊
2000年：1.62 美元/英鎊
這表示，在2000年，只需要 1.62 美元就可以換到 1 英鎊，而在1980年則需要 2.22 美元。也就是說，美元可以換到比以前更少的英鎊。因此，美元相對英鎊是「貶值」（Depreciated）。

綜合以上兩點：美元相對日圓升值，相對英鎊貶值。

這題考查國民所得帳（National Income Accounts）中關於商品分類的知識，特別是中間財與最終財的區別。

中間財（Intermediate goods）是指在當期生產過程中，被用於進一步生產其他商品或服務的財貨。它們的價值會被包含在最終產品的價值中。
最終財（Final goods）是指在當期生產出來，但不是用於再生產，而是直接供消費、投資或政府購買的財貨。

在此案例中：
Intel 生產 CPU，這是電腦的「零組件」。
DELL 購買這些 CPU，然後將其組裝成電腦。
電腦是最終產品（供消費者或企業購買），而 CPU 在電腦生產過程中是被使用的投入品。因此，CPU 對於 DELL 來說，是構成其最終產品（電腦）的「中間財」。

這題考查古典經濟學（Classical Economics）對於一次性稅收（lump-sum tax）變動的看法，尤其與李嘉圖等價（Ricardian Equivalence）相關。

古典經濟學，特別是新古典學派（Neoclassical School），主張經濟體系具有自我調整能力，市場會有效率地運作，且預期會影響經濟行為。李嘉圖等價是一個重要的概念，由李嘉圖提出，後由 Robert Barro 等人發揚光大。

李嘉圖等價的核心論點是：政府增加支出，如果透過發行公債融資（而不是立即增稅），對總體經濟的影響，與透過立即一次性增稅來融資是相同的。這是因為，當政府發行公債時，今天的稅負（或政府支出）並未改變，但未來的稅負預期會增加，以償還公債。理性且有遠見的消費者會預期到未來的稅負增加，因此他們會減少當期的消費，增加儲蓄，以準備支付未來的稅款。這種預期性的儲蓄行為會抵銷政府增加支出的擴張性影響。

對於「一次性稅收改變」（lump-sum tax changes），如果假設消費者是李嘉圖等價的，那麼即使立即大幅改變稅收，只要其對政府總體財政狀況的影響（包括未來債務）被消費者充分預期並

這題考查國際貿易、生產與就業市場的連動關係，以及總體經濟變數的預期影響。情境是 Wakanda 的棉花出口預期將大幅下降，這會影響其國內的經濟活動。

核心概念：

1. 出口下降的影響：出口是總體需求（Aggregate Demand, AD）的一部分。出口下降會導致總體需求下降。
2. 總體需求下降的影響：總體需求下降會導致產出（GDP）下降，進而影響就業和所得。
3. 預期效應：廠商預期未來需求下降，可能會影響當前的投資決策。
4. 生產要素市場：產出下降通常會影響勞動市場，導致實質工資和就業的變化。

情境分析：
Wakanda 的棉花出口預期下降，這意味著國際市場對 Wakanda 棉花的需求減少。
由於 Wakanda 專門生產棉花，出口下降將直接衝擊其棉花產業，並可能連帶影響其他相關產業。

選項分析：
(A) Investment expenditure in Wakanda will rise. (投資支出在 Wakanda 將會上升。)
* 當企業預期未來需求下降，且其產品（棉花）的出口將減少時，它們對擴大生產的意願會降低。因此，投資支出（用於擴充產能或更新設備）不太可能上升，反而可能下降。

這題考查經濟成長的性質以及它如何解釋各國 GDP per capita 的差異。

經濟成長的模式，特別是長期成長，通常被描述為指數型（exponential）成長。指數型成長意味著 GDP per capita 的成長率是恆定的（或相對恆定），這會導致 GDP per capita 隨著時間的推移以越來越快的速度增加。

例如，如果一個國家的 GDP per capita 年增長率為 2%，那麼經過一段時間後，其 GDP per capita 會翻倍。如果另一個國家年增長率為 0.5%，那麼其 GDP per capita 的增長會慢得多。長期的微小增長率差異，經過數十年甚至上百年累積下來，會造成極其巨大的差距。

考慮幾個成長模式：

• 線性成長 (Linear growth)：GDP per capita 每年增加一個固定的量。這意味著成長率是下降的（相對於 GDP per capita 的比例而言）。
• 指數型成長 (Exponential growth)：GDP per capita 每年以一個固定的百分比增長。

這題考查貨幣數量論（Quantity Theory of Money）或更廣泛的貨幣供給與通貨膨脹之間的關係。題目給定的橫軸是「年貨幣供給增長率減去年實質 GDP 增長率」，這正是貨幣數量論中，假設貨幣流通速度不變時，用於解釋通貨膨脹的主要變數。

貨幣數量論的基本形式是 $MV = PY$，其中：
$M$ = 貨幣供給量
$V$ = 貨幣流通速度
$P$ = 物價水準
$Y$ = 實質產出（實質 GDP）

將此式改寫成成長率形式：
$\%\Delta M + \%\Delta V = \%\Delta P + \%\Delta Y$

題目中，將「年貨幣供給增長率」($\%\Delta M$) 減去「年實質 GDP 增長率」($\%\Delta Y$) 作為橫軸變數。
我們假設貨幣流通速度 $V$ 是恆定的，因此 $\%\Delta V = 0$。
題目中的縱軸是「通貨膨脹率」，也就是物價水準的成長率，即 $\%\Delta P$。

因此，我們有：
$\%\Delta M + 0 = \%\Delta P + \%\Delta Y$
$\%\Delta P = \%\Delta M - \%\Delta Y$

這題考查經典單邊求職模型（classic one-sided job search model）中的保留工資（reservation wage）概念。

在求職模型中，失業勞動者會不斷收到工作機會，每個機會都有一個特定的工資。勞動者需要決定是否接受這個工作機會。保留工資是勞動者決定是否接受工作機會的臨界點。

選項分析：
(A) is the wage paid to the reserve army of the unemployed. (是給予失業後備軍的工資。) - 「失業後備軍」（reserve army of the unemployed）是馬克思主義經濟學的概念，指因資本主義生產方式而產生的失業人口。保留工資不是指支付給這個群體的工資，而是個人決定的門檻。
(B) is the wage at which an unemployed worker is just indifferent to accepting a job and turning it down. (是失業勞動者在接受工作和拒絕工作之間無差別的工資。) - 這正是保留工資的定義。

這題考查真實景氣循環理論（Real Business Cycle, RBC Theory）的核心觀點。RBC 理論試圖解釋經濟體中的景氣循環（business cycles），即總體經濟產出（GDP）的波動。

RBC 理論的主要特徵是：

1. 技術衝擊 (Technology Shocks)：RBC 理論認為，景氣循環主要是由外生的、不可預測的技術衝擊（technology shocks）所驅動。這些技術衝擊會影響生產力，進而影響勞動和資本的配置，導致產出波動。例如，正面的技術衝擊會提高生產力，導致產出增加、就業增加、實質工資上升；負面的技術衝擊則反之。
2. 理性預期 (Rational Expectations)：經濟個體（家庭和廠商）具有理性預期，他們會充分利用所有可獲得的資訊來形成對未來的預期。
3. 市場出清 (Market Clearing)：勞動市場和商品市場是完全競爭且能快速出清的，不存在摩擦或非預期的失業。因此，經濟體總是在其潛在產出水平附近波動。
4. 貨幣中性 (Monetary Neutrality)：RBC 理論通常假設貨幣是中性的，即貨幣供給的變動不會對實質經濟變數（如產出、就業、實質利率）產生長期或實質性的影響。景氣循環的波動是由實質因素（如技術）而非貨幣因素驅動的。

核心觀念

本題考查名目利率與實質利率的關係。

• 名目利率 $i_t$：以貨幣計算的報酬率。
• 實質利率 $r_t$：以商品購買力計算的報酬率。
• 預期通貨膨脹率：

$$1+\pi_{t+1}^e=\frac{P_{t+1}^e}{P_t}$$

因此，費雪方程式為：

$$1+r_t=\frac{1+i_t}{1+\pi_{t+1}^e}$$

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解題方法

個人今日借入「一單位綜合商品」的等值貨幣。由於該商品今日價格為 $P_t$，今日借入金額為 $P_t$。

一年後須以貨幣償還：

$$(1+i_t)P_t$$

一年後預期每單位綜合商品價格為 $P_{t+1}^e$，因此一年後的預期償還商品數量為：

$$\frac{(1+i_t)P_t}{P_{t+1}^e}$$

這是實質償還的「毛成本」，所以實質利率為毛成本減去本金一單位：

$$r_t=\frac{(1+i_t)P_t}{P_{t+1}^e}-1$$

故選項（A）正確。

又因為：

$$P_{t+1}^e=P_t(1+\pi_{t+1}^e)$$

代入上式：

$$r_t =\frac{(1+i_t)P_t}{P_t(1+\pi_{t+1}^e)}-1 =\frac{1+i_t}{1+\pi_{t+1}^e}-1$$

故選項（C）也正確。

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選項分析

• （A）正確

$$\frac{(1+i_t)P_t}{P_{t+1}^e}-1$$

這題考查總體經濟學中關於景氣指標（economic indicators）的分類。這些指標用來描述經濟變數相對於整體經濟週期（例如實質 GDP 的變動）的領先、同步或落後關係。

• 領先指標 (Leading Indicators)：這些變數的變動通常發生在整體經濟活動變動之前。因此，它們可以用來預測未來的經濟走向。例如，新訂單、建築許可、股市指數等。
• 同步指標 (Coincident Indicators)：這些變數的變動大致與整體經濟活動同時發生。它們用於確認當前的經濟狀況。例如，工業生產指數、非農業就業人口、個人所得。
• 落後指標 (Lagging Indicators)：這些變數的變動發生在整體經濟活動變動之後。

核心觀念

本題考查 Solow 成長模型中的「趨勢移除」（detrending）。由於技術進步 $A_t$ 會隨時間成長，直接觀察 $K_t$ 與 $Y_t$ 會受到技術趨勢影響；因此將變數除以有效勞動力 $A_tL$，改用每單位有效勞動力的資本與產出：

$$k_t \equiv \frac{K_t}{A_tL}, \qquad y_t \equiv \frac{Y_t}{A_tL}.$$

又因為

$$A_{t+1}=(1+g)A_t,$$

所以有效勞動力滿足

$$A_{t+1}L=(1+g)A_tL.$$

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解題方法與推導

一、轉換生產函數

原生產函數為

$$Y_t=K_t^\alpha(A_tL)^{1-\alpha}.$$

兩邊同除以 $A_tL$：

$$\frac{Y_t}{A_tL} = \frac{K_t^\alpha(A_tL)^{1-\alpha}}{A_tL}.$$

將右側整理為

$$\frac{K_t^\alpha(A_tL)^{1-\alpha}}{(A_tL)^1} = \left(\frac{K_t}{A_tL}\right)^\alpha.$$

因此

$$\boxed{y_t=k_t^\alpha}.$$

這表示在每單位有效勞動力下，生產函數不再含有時間趨勢 $A_t$。

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二、轉換資本累積方程式

原資本累積方程式為

$$K_{t+1}-(1-\delta)K_t=sY_t.$$

先將 $K_{t+1}$ 移至左側：

$$K_{t+1}=(1-\delta)K_t+sY_t.$$

為得到 $k_{t+1}$，兩邊同除以下一期的有效勞動力 $A_{t+1}L$：

$$\frac{K_{t+1}}{A_{t+1}L} = (1-\delta)\frac{K_t}{A_{t+1}L} + s\frac{Y_t}{A_{t+1}L}.$$

由於

$$A_{t+1}L=(1+g)A_tL,$$

可得

$$\frac{K_t}{A_{t+1}L} = \frac{1}{1+g}\frac{K_t}{A_tL} = \frac{k_t}{1+g},$$

以及

核心觀念

本題考查競爭性廠商在生產函數下的要素定價原則。若廠商以利潤最大化為目標，且勞動與資本市場皆為完全競爭，則：

• 工資率等於勞動的邊際產量：

  $w_t=F_L(K_t,L_t)$

• 資本租金率等於資本的邊際產量：

  $r_t=F_K(K_t,L_t)$

其中，$F_L$ 表示生產函數對勞動的偏微分，$F_K$ 表示生產函數對資本的偏微分。

解題方法

假設經濟體的生產函數為：

$Y_t=F(K_t,L_t)$

廠商利潤為：

$\pi_t=F(K_t,L_t)-w_tL_t-r_tK_t$

分別對 $L_t$ 與 $K_t$ 求偏微分，並令一階條件等於零。

對勞動求導：

$$\frac{\partial \pi_t}{\partial L_t} =F_L(K_t,L_t)-w_t=0$$

因此：

$w_t=F_L(K_t,L_t)$

對資本求導：

$$\frac{\partial \pi_t}{\partial K_t} =F_K(K_t,L_t)-r_t=0$$

因此：

$r_t=F_K(K_t,L_t)$

若題目前文給定的是 Cobb–Douglas 生產函數：

$Y_t=A_tK_t^\alpha L_t^{1-\alpha}$

則：

$$F_L(K_t,L_t) =(1-\alpha)A_tK_t^\alpha L_t^{-\alpha}$$

所以工資率為：

$\boxed{w_t=(1-\alpha)A_tK_t^\alpha L_t^{-\alpha}}$

同理：

本題要求計算轉換後模型的穩定狀態（steady-state）下，效率單位資本存量 $k^*$。
在穩定狀態下，效率單位資本存量 $k_t$ 不隨時間變動，即 $k_{t+1} = k_t = k^*$。

我們使用上題推導出的資本累積方程：
$k_{t+1} = \frac{s k_t^\alpha}{1+g} + \frac{1-\delta}{1+g} k_t$

將 $k_{t+1} = k_t = k^*$ 代入：
$k^* = \frac{s (k^*)^\alpha}{1+g} + \frac{1-\delta}{1+g} k^*$

為了求解 $k^*$，我們可以將方程改寫，將含有 $k^*$ 的項移到一邊：
$k^* - \frac{1-\delta}{1+g} k^* = \frac{s (k^*)^\alpha}{1+g}$

提出 $k^*$：
$k^* \left( 1 - \frac{1-\delta}{1+g} \right) = \frac{s (k^*)^\alpha}{1+g}$

化簡括號內的項：
$1 - \frac{1-\delta}{1+g} = \frac{1+g - (1-\delta)}{1+g} = \frac{1+g-1+\delta}{1+g} = \frac{g+\delta}{1+g}$

所以，方程變為：
$k^* \left( \frac{g+\delta}{1+g} \right) = \frac{s (k^*)^\alpha}{1+g}$

核心觀念

本題考查 Solow 成長模型中「每一效率單位資本」的動態。定義為

$$k_t=\frac{K_t}{A_tL_t},$$

其中 $K_t$ 為資本存量、$A_t$ 為勞動效率、$L_t$ 為勞動人口。若生產函數具有規模報酬不變性，則每一效率單位的生產為

$$y_t=f(k_t).$$

在標準 Solow 模型中，資本的投資為 $sf(k_t)$，資本因折舊、人口成長與技術進步而被稀釋。因此，$k_t$ 的變動取決於：

• 實際投資是否足以抵銷資本折舊；
• 新增勞工所造成的資本稀釋；
• 技術進步所造成的效率單位增加。

令 $k^*$ 為穩定狀態資本存量，即 $k_{t+1}=k_t=k^*$。

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解題方法

以離散時間的標準 Solow 模型為例，人口成長率為 $n$、技術進步率為 $g$、折舊率為 $\delta$，則每一效率單位資本的動態方程為

$$k_{t+1} = \frac{s f(k_t)+(1-\delta)k_t}{(1+n)(1+g)}.$$

因此，

$$k_{t+1}-k_t = \frac{s f(k_t)-\left[\delta+n+g+ng\right]k_t} {(1+n)(1+g)}.$$

定義有效折舊率

$$\delta_{\mathrm{eff}} = \delta+n+g+ng.$$

則可將動態方程改寫為

$$k_{t+1}-k_t = \frac{s f(k_t)-\delta_{\mathrm{eff}}k_t} {(1+n)(1+g)}.$$

由於分母 $(1+n)(1+g)>0$，$k_{t+1}-k_t$ 的正負完全取決於

$$s f(k_t)-\delta_{\mathrm{eff}}k_t.$$

在穩定狀態 $k^*$ 下，

$$k_{t+1}=k_t=k^*,$$

所以

$$s f(k^*)=\delta_{\mathrm{eff}}k^*.$$

亦即

$$\frac{s f(k^*)}{k^*}=\delta_{\mathrm{eff}}.$$

由生產函數具規模報酬不變性及邊際報酬遞減，可知平均產出，即 $f(k)/k$，會隨 $k$ 增加而下降。因此，當

$$0<k_t<k^*$$

時，有

$$\frac{f(k_t)}{k_t} > \frac{f(k^*)}{k^*}.$$

乘上 $s k_t>0$，得到

$$s f(k_t) > \delta_{\mathrm{eff}}k_t.$$

故

本題探討當經濟體處於穩態時，勞動力數量突然增加 $\partial L$（由於移民）對總體產出、工資率和資本租金率的「即時影響」（on impact）。

首先，我們需要理解「穩態」的含義，以及「即時影響」與「長期影響」的區別。
穩態是指在移民發生前，經濟體已經達到一個穩定的狀態，即 $k_t$ 和 $y_t$ 保持不變。
「即時影響」是指在移民發生那一刻，以及緊隨其後的極短時間內，經濟變數的變化，而資本存量 $K_t$ 尚未來得及調整。

原生產函數：$Y_t = K_t^\alpha (A_t L)^{1-\alpha}$
穩態時，資本存量 $K_t$ 是固定的（因為 $k_t$ 是固定的，且 $A_t$ 和 $L$ 在移民發生前也是固定的）。
移民發生後，勞動力 $L$ 變為 $L + \partial L$。
資本存量 $K_t$ 在即時影響時，由於移民是突然發生的，資本的調整需要時間，因此 $K_t$ 暫時保持不變。
技術水平 $A_t$ 也是外生的，暫時不變。

1. 總體產出 (Aggregate Output, $Y_t$) 的即時影響

移民發生後，勞動力 $L$ 增加，資本 $K_t$ 和技術 $A_t$ 暫時不變。
原來的總體產出是 $Y_{t, \text{pre}} = K_t^\alpha (A_t L)^{1-\alpha}$。
移民後的總體產出是 $Y_{t, \text{post}} = K_t^\alpha (A_t (L+\partial L))^{1-\alpha}$。

由於 $L+\partial L > L$ 且 $1-\alpha > 0$,
$Y_{t, \text{post}} = K_t^\alpha A_t^{1-\alpha} (L+\partial L)^{1-\alpha}$
$Y_{t, \text{pre}} = K_t^\alpha A_t^{1-\alpha} L^{1-\alpha}$

比較 $Y_{t, \text{post}}$ 和 $Y_{t, \text{pre}}$：
$Y_{t, \text{post}} = Y_{t, \text{pre}} \left( \frac{L+\partial L}{L} \right)^{1-\alpha} = Y_{t, \text{pre}} \left( 1 + \frac{\partial L}{L} \right)^{1-\alpha}$
由於 $\frac{\partial L}{L} > 0$ 且 $1-\alpha > 0$,
所以 $\left( 1 + \frac{\partial L}{L} \right)^{1-\alpha} > 1$。
因此，$Y_{t, \text{post}} > Y_{t, \text{pre}}$。

總體產出會立即增加。

2. 工資率 ($w_t$) 的即時影響

工資率是勞動的邊際生產力（MPL）。
$MPL_t = \frac{\partial Y_t}{\partial L}$。
在未轉換的模型中，$Y_t = K_t^\alpha (A_t L)^{1-\alpha}$。
$MPL_t = (1-\alpha) K_t^\alpha (A_t L)^{-\alpha} A_t = (1-\alpha) A_t \left(\frac{K_t}{A_t L}\right)^\alpha$。
為了計算即時影響，我們需要知道 $K_t$ 和 $L$ 在移民發生前的數值。
在穩態下，$K_t$ 是固定的，記為 $K^*$。
移民前的 MPL 是：$MPL_{t, \text{pre}} = (1-\alpha) A_t \left(\frac{K^*}{A_t L}\right)^\alpha$。
移民後的 MPL 是：$MPL_{t, \text{post}} = (1-\alpha) A_t \left(\frac{K^*}{A_t (L+\partial L)}\right)^\alpha$。

比較 $MPL_{t, \text{post}}$ 和 $MPL_{t, \text{pre}}$：
由於 $L+\partial L > L$, $\frac{K^*}{A_t (L+\partial L)} < \frac{K^*}{A_t L}$。

核心觀念

本題考查兩期消費—儲蓄模型的跨期最適選擇。家庭可將期初所得 $Y_t$ 分配為：

• 當期消費 $c_t$；
• 金融儲蓄 $s_t$，報酬率為 $1+r_t$；
• 實體資本 $k_{t+1}$，下一期產出為 $f(k_{t+1})$。

Euler equation 的核心意義是：家庭在最適狀態下，當期少消費一單位所放棄的效用，應等於將該單位投入儲蓄後，下一期增加消費所帶來的折現效用。

解題方法

利用第一期預算限制消去 $s_t$：

$$s_t=Y_t-c_t-k_{t+1}.$$

代入第二期消費限制：

$$\begin{aligned} c_{t+1} &=(1+r_t)s_t+f(k_{t+1})\\ &=(1+r_t)(Y_t-c_t-k_{t+1})+f(k_{t+1}). \end{aligned}$$

因此，家庭的目標函數可寫為：

$$\max_{c_t,k_{t+1}} \log c_t+\beta\log\left[(1+r_t)(Y_t-c_t-k_{t+1})+f(k_{t+1})\right].$$

一階條件與 Euler equation

對當期消費 $c_t$ 微分

由於

$$\frac{\partial c_{t+1}}{\partial c_t}=-(1+r_t),$$

故一階條件為：

$$\frac{1}{c_t} +\beta\frac{1}{c_{t+1}}\left[-(1+r_t)\right]=0.$$

整理得：

$$\frac{1}{c_t} = \beta\frac{1+r_t}{c_{t+1}}.$$

因此：

$$\boxed{c_{t+1}=\beta(1+r_t)c_t}.$$

這就是本題的 Euler equation。

也可寫成邊際效用形式：

$$\boxed{u'(c_t)=\beta(1+r_t)u'(c_{t+1})}.$$

在 $u(c)=\log c$ 下，因為

本題要求繪製圖形來展示最佳資本水平 ($k_{t+1}$) 的決定。這涉及到消費者如何同時決定當期消費 $c_t$ 和下一期資本投資 $k_{t+1}$，以最大化其兩期總效用。

我們已經推導出兩個一階條件：

1. Euler 方程 (關於消費分配)：$\frac{c_{t+1}}{c_t} = \beta (1+r_t)$
2. 投資決策方程 (關於資本分配)：$f'(k_{t+1}) = 1+r_t$

最佳資本水平 $k_{t+1}$ 的決定取決於第二個方程：$f'(k_{t+1}) = 1+r_t$。
這表示，消費者會選擇一個 $k_{t+1}$，使得下一期資本的邊際產出 $f'(k_{t+1})$ 等於資本的實際回報率（這裡的 $1+r_t$ 是名目回報率，假設沒有通貨膨脹，所以也等於實質回報率）。

圖形繪製：
我們需要在一個圖形中同時展示消費和資本的決定。通常，這可以通過一個「兩變數優化」的圖形來展示，或者分別展示。
這裡，最佳資本水平的決定相對獨立於消費的決定，它只依賴於利率 $r_t$ 和生產函數 $f$。

圖形 1：資本決定的圖形

• 橫軸：下一期資本投資 $k_{t+1}$。
• 縱軸：資本的回報率（或邊際產出）。
• 繪製函數 $f'(k_{t+1})$。由於 $f$ 是凹函數，所以 $f'$ 是遞減函數。
• 繪製一條水平線 $1+r_t$。
• 兩條線的交點決定了最佳的 $k_{t+1}^*$。

圖形 2：消費與資本的聯合決定
這個圖形通常會展示消費 $c_t$ 和資本 $k_{t+1}$ 如何在預算約束下進行權衡。
預算約束是：$c_t + s_t + k_{t+1} = Y_t$ 且 $c_{t+1} = (1+r_t)s_t + f(k_{t+1})$。
合併約束後，我們可以得到一個關於 $c_t$ 和 $k_{t+1}$ 的「跨期」預算約束。
從 $s_t = Y_t - c_t - k_{t+1}$ 代入 $c_{t+1}$ 的表達式：
$c_{t+1} = (1+r_t)(Y_t - c_t - k_{t+1}) + f(k_{t+1})$。
這個約束關係了 $c_t, c_{t+1}, k_{t+1}$。

為了繪製圖形，我們通常假設 $f(k_{t+1})$ 是一個標準的凹函數，例如 $f(k_{t+1}) = A (k_{t+1})^\alpha$。
我們也可以考慮無差異曲線（indifference curves），它們代表了消費者對不同 $c_t$ 和 $c_{t+1}$ 組合的偏好。
但是，由於 $k_{t+1}$ 也是一個決策變數，單純的 $c_t$ vs $c_{t+1}$ 圖形無法完全展示。

一個更常見的圖形表示方法是：

• 橫軸：當期消費 $c_t$。
• 縱軸：下一期消費 $c_{t+1}$。
• 繪製無差異曲線，它們是向右下方傾斜的。
• 繪製「預算線」（budget line）。這條線的斜率取決於利率 $r_t$ 和 $k_{t+1}$ 的決策。

本題要求分析利率 $r_t$ 的變動對最佳資本水平 $k_{t+1}$ 的影響，並判斷這個影響是正向還是負向。

我們已經知道決定最佳資本水平的條件是：
$f'(k_{t+1}) = 1+r_t$

這個方程隱含地定義了 $k_{t+1}$ 作為 $r_t$ 的函數，即 $k_{t+1} = k^*(r_t)$。
我們需要計算 $\frac{dk_{t+1}}{dr_t}$，這是一個隱含函數微分（implicit differentiation）的問題。

對方程 $f'(k_{t+1}) = 1+r_t$ 兩邊關於 $r_t$ 求導：
$\frac{d}{dr_t} [f'(k_{t+1})] = \frac{d}{dr_t} [1+r_t]$

左邊：
$\frac{d}{dr_t} [f'(k_{t+1})] = \frac{df'(k_{t+1})}{dk_{t+1}} \frac{dk_{t+1}}{dr_t}$
由於 $f$ 是凹函數，所以 $f'$ 是遞減函數。這意味著 $\frac{df'(k_{t+1})}{dk_{t+1}} < 0$。
我們將 $\frac{df'(k_{t+1})}{dk_{t+1}}$ 寫成 $f''(k_{t+1})$，其中 $f''(k_{t+1}) < 0$。
所以，左邊是 $f''(k_{t+1}) \frac{dk_{t+1}}{dr_t}$。

右邊：
$\frac{d}{dr_t} [1+r_t] = 1$

將兩邊相等：
$f''(k_{t+1}) \frac{dk_{t+1}}{dr_t} = 1$

現在，我們求解 $\frac{dk_{t+1}}{dr_t}$：
$\frac{dk_{t+1}}{dr_t} = \frac{1}{f''(k_{t+1})}$

我們知道 $f''(k_{t+1}) < 0$ (因為 $f$ 是凹函數)。
因此，$\frac{1}{f''(k_{t+1})}$ 是一個負數。

核心觀念

本題考查跨期資本選擇的邊際條件。若增加一單位下一期資本的當期成本為 $1$，則最適資本水準 $k_{t+1}^*$ 滿足：

$$\beta f'(k_{t+1}^*)=1$$

其中，$f'(k_{t+1})$ 是資本的邊際產出，$\beta$ 是折現因子。

題目給定：

$$f(k_{t+1})=Ak_{t+1}^{\alpha}$$

且：

$$\beta(1+r_t)=1$$

解題方法與推導

先求生產函數的邊際產出：

$$f'(k_{t+1}) =\alpha A k_{t+1}^{\alpha-1}$$

代入最適條件 $\beta f'(k_{t+1}^*)=1$：

$$\beta \alpha A (k_{t+1}^*)^{\alpha-1}=1$$

由 $\beta(1+r_t)=1$ 可得：

$$\beta=\frac{1}{1+r_t}$$

因此：

$$\frac{\alpha A}{1+r_t}(k_{t+1}^*)^{\alpha-1}=1$$

整理得：

$$(k_{t+1}^*)^{\alpha-1} =\frac{1+r_t}{\alpha A}$$

由於 $\alpha-1=-(1-\alpha)$，可將其改寫為：

核心觀念

本題考查跨期消費選擇。消費者在當期消費 $c_t$ 與下一期消費 $c_{t+1}$ 之間配置所得，實質利率 $r_t$ 決定跨期替代價格。

由於題目僅提供「求最適消費作為 $r_t$ 的函數」，未提供效用函數與所得條件，以下採用總體經濟學最常見的兩期消費模型：

$$U=\ln c_t+\beta\ln c_{t+1},\qquad 0<\beta<1,$$

其中 $\beta$ 為折現因子；當期所得為 $y_t$，下一期所得為 $y_{t+1}$。

解題方法

將下一期所得折算為當期價值，跨期預算限制式為

$$c_t+\frac{c_{t+1}}{1+r_t} = y_t+\frac{y_{t+1}}{1+r_t}.$$

右側即消費者的終身財富：

$$W_t(r_t)=y_t+\frac{y_{t+1}}{1+r_t}.$$

消費者的最適化問題為

$$\max_{c_t,c_{t+1}} \left\{ \ln c_t+\beta\ln c_{t+1} \right\}.$$

建立拉格朗日函數：

$$\mathcal{L} = \ln c_t+\beta\ln c_{t+1} +\lambda \left( y_t+\frac{y_{t+1}}{1+r_t} -c_t-\frac{c_{t+1}}{1+r_t} \right).$$

一階條件為

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial c_t} = \frac{1}{c_t}-\lambda=0,$$ $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial c_{t+1}} = \frac{\beta}{c_{t+1}} -\frac{\lambda}{1+r_t}=0.$$

由兩式消去 $\lambda$：

$$\frac{1}{c_t} = \frac{\beta(1+r_t)}{c_{t+1}}.$$

因此跨期消費的 Euler 方程式為

$$c_{t+1} = \beta(1+r_t)c_t.$$

將此關係代入預算限制式：

$$c_t+\frac{\beta(1+r_t)c_t}{1+r_t} = y_t+\frac{y_{t+1}}{1+r_t}.$$

整理得

$$(1+\beta)c_t = y_t+\frac{y_{t+1}}{1+r_t}.$$

故當期最適消費為

這題考驗對匯率變動與貨幣相對強弱的理解。匯率的表示方式是「外幣單位/本國貨幣單位」或「本國貨幣單位/外幣單位」。題目中給的匯率是「日圓/美元」和「美元/英鎊」，我們要判斷美元相對日圓和英鎊的強弱變化。

首先分析日圓與美元的匯率：
1980年：240 日圓/美元
2000年：102 日圓/美元
這表示，在2000年，只需要 102 日圓就可以換到 1 美元，而在1980年則需要 240 日圓。也就是說，美元可以換到比以前更多的日圓。因此，美元相對日圓是「升值」（Appreciated）。

接著分析美元與英鎊的匯率：
1980年：2.22 美元/英鎊
2000年：1.62 美元/英鎊
這表示，在2000年，只需要 1.62 美元就可以換到 1 英鎊，而在1980年則需要 2.22 美元。也就是說，美元可以換到比以前更少的英鎊。因此，美元相對英鎊是「貶值」（Depreciated）。

綜合以上兩點：美元相對日圓升值，相對英鎊貶值。

這題考查國民所得帳（National Income Accounts）中關於商品分類的知識，特別是中間財與最終財的區別。

中間財（Intermediate goods）是指在當期生產過程中，被用於進一步生產其他商品或服務的財貨。它們的價值會被包含在最終產品的價值中。
最終財（Final goods）是指在當期生產出來，但不是用於再生產，而是直接供消費、投資或政府購買的財貨。

在此案例中：
Intel 生產 CPU，這是電腦的「零組件」。
DELL 購買這些 CPU，然後將其組裝成電腦。
電腦是最終產品（供消費者或企業購買），而 CPU 在電腦生產過程中是被使用的投入品。因此，CPU 對於 DELL 來說，是構成其最終產品（電腦）的「中間財」。

這題考查古典經濟學（Classical Economics）對於一次性稅收（lump-sum tax）變動的看法，尤其與李嘉圖等價（Ricardian Equivalence）相關。

古典經濟學，特別是新古典學派（Neoclassical School），主張經濟體系具有自我調整能力，市場會有效率地運作，且預期會影響經濟行為。李嘉圖等價是一個重要的概念，由李嘉圖提出，後由 Robert Barro 等人發揚光大。

李嘉圖等價的核心論點是：政府增加支出，如果透過發行公債融資（而不是立即增稅），對總體經濟的影響，與透過立即一次性增稅來融資是相同的。這是因為，當政府發行公債時，今天的稅負（或政府支出）並未改變，但未來的稅負預期會增加，以償還公債。理性且有遠見的消費者會預期到未來的稅負增加，因此他們會減少當期的消費，增加儲蓄，以準備支付未來的稅款。這種預期性的儲蓄行為會抵銷政府增加支出的擴張性影響。

對於「一次性稅收改變」（lump-sum tax changes），如果假設消費者是李嘉圖等價的，那麼即使立即大幅改變稅收，只要其對政府總體財政狀況的影響（包括未來債務）被消費者充分預期並

這題考查國際貿易、生產與就業市場的連動關係，以及總體經濟變數的預期影響。情境是 Wakanda 的棉花出口預期將大幅下降，這會影響其國內的經濟活動。

核心概念：

1. 出口下降的影響：出口是總體需求（Aggregate Demand, AD）的一部分。出口下降會導致總體需求下降。
2. 總體需求下降的影響：總體需求下降會導致產出（GDP）下降，進而影響就業和所得。
3. 預期效應：廠商預期未來需求下降，可能會影響當前的投資決策。
4. 生產要素市場：產出下降通常會影響勞動市場，導致實質工資和就業的變化。

情境分析：
Wakanda 的棉花出口預期下降，這意味著國際市場對 Wakanda 棉花的需求減少。
由於 Wakanda 專門生產棉花，出口下降將直接衝擊其棉花產業，並可能連帶影響其他相關產業。

選項分析：
(A) Investment expenditure in Wakanda will rise. (投資支出在 Wakanda 將會上升。)
* 當企業預期未來需求下降，且其產品（棉花）的出口將減少時，它們對擴大生產的意願會降低。因此，投資支出（用於擴充產能或更新設備）不太可能上升，反而可能下降。

這題考查經濟成長的性質以及它如何解釋各國 GDP per capita 的差異。

經濟成長的模式，特別是長期成長，通常被描述為指數型（exponential）成長。指數型成長意味著 GDP per capita 的成長率是恆定的（或相對恆定），這會導致 GDP per capita 隨著時間的推移以越來越快的速度增加。

考慮幾個成長模式：

• 線性成長 (Linear growth)：GDP per capita 每年增加一個固定的量。這意味著成長率是下降的（相對於 GDP per capita 的比例而言）。
• 指數型成長 (Exponential growth)：GDP per capita 每年以一個固定的百分比增長。這是長期經濟成長的典型假設，例如在索洛模型（Solow model）中，穩態時人均資本和人均產出的成長率就是由技術進步率決定的，這是一種指數型成長。

這題考查貨幣數量論（Quantity Theory of Money）或更廣泛的貨幣供給與通貨膨脹之間的關係。題目給定的橫軸是「年貨幣供給增長率減去年實質 GDP 增長率」，這正是貨幣數量論中，假設貨幣流通速度不變時，用於解釋通貨膨脹的主要變數。

貨幣數量論的基本形式是 $MV = PY$，其中：
$M$ = 貨幣供給量
$V$ = 貨幣流通速度
$P$ = 物價水準
$Y$ = 實質產出（實質 GDP）

將此式改寫成成長率形式：
$\%\Delta M + \%\Delta V = \%\Delta P + \%\Delta Y$

題目中，將「年貨幣供給增長率」($\%\Delta M$) 減去「年實質 GDP 增長率」($\%\Delta Y$) 作為橫軸變數。
我們假設貨幣流通速度 $V$ 是恆定的，因此 $\%\Delta V = 0$。
題目中的縱軸是「通貨膨脹率」，也就是物價水準的成長率，即 $\%\Delta P$。

因此，我們有：
$\%\Delta M + 0 = \%\Delta P + \%\Delta Y$
$\%\Delta P = \%\Delta M - \%\Delta Y$

這題考查經典單邊求職模型（classic one-sided job search model）中的保留工資（reservation wage）概念。

在求職模型中，失業勞動者會不斷收到工作機會，每個機會都有一個特定的工資。勞動者需要決定是否接受這個工作機會。保留工資是勞動者決定是否接受工作機會的臨界點。

選項分析：
(A) is the wage paid to the reserve army of the unemployed. (是給予失業後備軍的工資。) - 「失業後備軍」（reserve army of the unemployed）是馬克思主義經濟學的概念，指因資本主義生產方式而產生的失業人口。保留工資不是指支付給這個群體的工資，而是個人決定的門檻。
(B) is the wage at which an unemployed worker is just indifferent to accepting a job and turning it down. (是失業勞動者在接受工作和拒絕工作之間無差別的工資。) - 這正是保留工資的定義。

這題考查真實景氣循環理論（Real Business Cycle, RBC Theory）的核心觀點。RBC 理論試圖解釋經濟體中的景氣循環（business cycles），即總體經濟產出（GDP）的波動。

RBC 理論的主要特徵是：

1. 技術衝擊 (Technology Shocks)：RBC 理論認為，景氣循環主要是由外生的、不可預測的技術衝擊（technology shocks）所驅動。這些技術衝擊會影響生產力，進而影響勞動和資本的配置，導致產出波動。例如，正面的技術衝擊會提高生產力，導致產出增加、就業增加、實質工資上升；負面的技術衝擊則反之。
2. 理性預期 (Rational Expectations)：經濟個體（家庭和廠商）具有理性預期，他們會充分利用所有可獲得的資訊來形成對未來的預期。
3. 市場出清 (Market Clearing)：勞動市場和商品市場是完全競爭且能快速出清的，不存在摩擦或非預期的失業。因此，經濟體總是在其潛在產出水平附近波動。
4. 貨幣中性 (Monetary Neutrality)：RBC 理論通常假設貨幣是中性的，即貨幣供給的變動不會對實質經濟變數（如產出、就業、實質利率）產生長期或實質性的影響。景氣循環的波動是由實質因素（如技術）而非貨幣因素驅動的。

核心觀念

本題考查名目利率與實質利率的關係。

• 名目利率 $i_t$：以貨幣計算的報酬率。
• 實質利率 $r_t$：以商品購買力計算的報酬率。
• 預期通貨膨脹率：

$$1+\pi_{t+1}^e=\frac{P_{t+1}^e}{P_t}$$

因此，費雪方程式為：

$$1+r_t=\frac{1+i_t}{1+\pi_{t+1}^e}$$

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解題方法

個人今日借入「一單位綜合商品」的等值貨幣。由於該商品今日價格為 $P_t$，今日借入金額為 $P_t$。

一年後須以貨幣償還：

$$(1+i_t)P_t$$

一年後預期每單位綜合商品價格為 $P_{t+1}^e$，因此一年後的預期償還商品數量為：

$$\frac{(1+i_t)P_t}{P_{t+1}^e}$$

這是實質償還的「毛成本」，所以實質利率為毛成本減去本金一單位：

$$r_t=\frac{(1+i_t)P_t}{P_{t+1}^e}-1$$

故選項（A）正確。

又因為：

$$P_{t+1}^e=P_t(1+\pi_{t+1}^e)$$

代入上式：

$$r_t =\frac{(1+i_t)P_t}{P_t(1+\pi_{t+1}^e)}-1 =\frac{1+i_t}{1+\pi_{t+1}^e}-1$$

故選項（C）也正確。

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選項分析

• （A）正確

$$\frac{(1+i_t)P_t}{P_{t+1}^e}-1$$