112 年 國立成功大學經濟研究所《總體經濟學》

貨幣的超中性（superneutrality of money）指的是貨幣供給量的變動，特別是其成長率的變動，對實體經濟（如實質產出、實質利率）沒有長期影響。

Solow 的成長會計（growth accounting）方法，是將總體產出的成長分解為多個要素的貢獻，最經典的分解方式是將總體產出（$Y$）的成長率視為資本（$K$）、勞動（$L$）的投入成長率以及總要素生產力（Total Factor Productivity, TFP）成長率的加總。其基本形式為：
$\frac{\Delta Y}{Y} = \alpha \frac{\Delta K}{K} + (1-\alpha) \frac{\Delta L}{L} + \frac{\Delta A}{A}$

理性預期（Rational Expectations）假說的核心觀點是，經濟主體（如消費者、廠商）在形成對未來經濟變數的預期時，會充分利用所有可用的資訊，並且不會系統性地犯錯。他們會運用現有的經濟模型和數據來預測，並且當預測與實際結果有偏差時，他們會從錯誤中學習並修正未來的預期。

政府在經濟穩定中的積極作用（active role）通常建立在以下幾個理由之上：

1. 市場失靈或效率低下：例如，價格和工資不完全彈性（sticky prices and wages），導致市場無法迅速自我調整到均衡狀態，產生產出和就業的波動。
2. 非理性預期：如果消費者和廠商的預期是系統性錯誤的，那麼市場可能無法有效自我修正，政府干預可以幫助校正這些錯誤。
3. 外部性與公共財：這些是傳統的政府干預理由，但在此題的選項中較少提及。
4. 總體經濟衝擊（Shocks）：當經濟面臨來自需求面或供給面的衝擊時，政府可以透過財政或貨幣政策來緩衝這些衝擊。

我們逐一分析選項：
A) Consumers are not rational and that not all wages and prices are flexible. 這是支持政府積極角色的兩個重要理由。消費者非理性意味著市場可能無法有效運作，而價格工資不彈性意味著市場調整緩慢，兩者都為政府干預提供了空間。
B) Not all wages and prices are flexible and that government must be able to react quickly enough. 價格和工資不彈性是支持政府干預的理由。然而，政府「必須」能快速反應，這是一個條件，而非直接理由。但如果政府能快速反應，則可以彌補市場的僵固性。

在一個兩期模型中，如果借款利率（borrowing rate, $r_b$）高於存款利率（lending rate, $r_l$），這意味著消費者在第一期借款以增加消費，其未來償還的成本會比較高；而當消費者在第一期儲蓄（成為貸款者）時，其未來獲得的利息收入相對較低。這種利率差異（spread）會對消費者的跨期預算限制式（intertemporal budget constraint）產生影響。

假設第一期和第二期的消費分別為 $C_1$ 和 $C_2$，第一期的所得為 $Y_1$，第二期的所得為 $Y_2$。
如果消費者是借款者（$C_1 > Y_1$），那麼他需要借款 $C_1 - Y_1$。這筆借款在第二期需要償還，考慮到借款利率 $r_b$，其預算限制式為：
$C_1 + \frac{C_2}{1+r_b} = Y_1 + \frac{Y_2}{1+r_b}$
或者寫成第二期視角的預算限制式：
$C_2 = (Y_1 - C_1)(1+r_b) + Y_2$

如果消費者是儲蓄者（$C_1 < Y_1$），那麼他儲蓄 $Y_1 - C_1$。這筆儲蓄在第二期將獲得利息，考慮到存款利率 $r_l$，其預算限制式為：

Diamond-Dybvig 模型是一個經典的關於銀行運行（bank runs）的理論模型。該模型解釋了在沒有存款保險的情況下，銀行為何會面臨擠兌的風險，以及為何銀行能夠存在。

模型的主要假設包括：

1. 流動性偏好：消費者偏好在第一期（短期）消費，但銀行需要將資金投資於長期、高收益但流動性差的資產。
2. 資訊不對稱：銀行管理者比儲戶更了解銀行的資產狀況。
3. 無法追蹤儲戶行為：儲戶無法得知其他儲戶的提款行為。

核心觀念

本題考的是「通貨膨脹預期」的形成方式，重點在區分：

• 適應性預期（adaptive expectations）：根據過去實際發生的經濟數據修正對未來的預期。
• 理性預期（rational expectations）：利用所有可取得的資訊，以及對經濟模型的理解，形成對未來的預期。

適應性預期常用下式表示：

其中：

• $\pi_t^e$：對本期通貨膨脹率的預期
• $\pi_{t-1}^e$：前期對通貨膨脹率的預期
• $\pi_{t-1}$：前期實際通貨膨脹率
• $\lambda$：預期調整速度，且 $0<\lambda\leq 1$

此公式表示：人們會根據過去預期與實際結果之間的誤差，逐步調整未來預期。

解題方法

題目指出，Addams 認為本年度通貨膨脹率約為 $9\%$，理由是上一年度通貨膨脹率也約為 $9\%$。

他的預期形成方式是：

1. 觀察上一年度的實際通貨膨脹率。
2. 將過去的通貨膨脹經驗直接作為本年度預測依據。
3. 沒有提及貨幣供給、財政政策、利率、產出缺口或其他相關資訊。

因此，這種「根據過去實際結果推估未來」的方式，符合適應性預期。

若以簡化形式表示，當上一年度通貨膨脹率為 $9\%$，且預期誤差不大時，Addams 會形成：

所以正確答案為 D。

選項分析

A) composite expectations

中央銀行（Central Bank）的貨幣政策決策面臨許多挑戰，其中「時間不一致性」（time inconsistency）是要求對其施加約束的最有力的論證之一。

時間不一致性問題（也稱為凱因斯時間不一致性問題）是指，在一個多期模型中，政府（或中央銀行）在第一期制定的最佳政策計劃，到了第二期，當需要執行時，政府可能會因為當時的誘因而偏離原來的計劃，即使這樣做對長期而言並非最佳。例如，政府可能承諾低通膨，但到了第二期，如果經濟面臨衰退，政府可能會有較大的誘因去採取擴張性貨幣政策以刺激短期就業，即使這會導致長期的通膨上升。這種隨時根據短期誘因改變長期承諾的行為，會損害政府的信譽，並導致經濟主體對政府的預期產生不確定性，從而影響經濟的長期表現。

為了克服時間不一致性，經濟學家提出了各種約束中央銀行權力的機制，例如：

• 規則（Rules）：如貨幣規則（monetary rule），要求央行嚴格按照某個規則增發貨幣。

在一個開放經濟體系下，採用彈性匯率制度，利率的變動會對經濟產生多方面的影響。我們逐一分析：

1. 利率與投資（Investment）：
   通常情況下，利率是企業進行投資決策的重要成本。較低的利率會降低企業的融資成本，從而鼓勵企業進行更多投資。因此，利率下降一般會導致投資增加，而不是減少。

2. 利率與匯率（Value of domestic currency）：
   在開放經濟體下，國內利率的變動會影響資本流動。如果國內利率下降，相對於外國利率，國內資產的吸引力就會減弱。這會導致資本從國內流出，或者外國資本流入減少。資本流出的壓力會導致對本國貨幣的需求下降，從而引起本國貨幣的貶值（價值下降）。因此，利率下降會導致本國貨幣價值下降。

這題探討預期中的貨幣擴張對收益曲線（yield curve）的影響。收益曲線描述了不同到期期限的債券的利率。通常，收益曲線是向上傾斜的，表示長期債券的利率高於短期債券，這是因為長期債券包含較高的預期不確定性、流動性溢價以及對未來短期利率上升的預期。

題目給了兩個重要資訊：

1. 預期未來貨幣擴張（monetary expansion）：貨幣擴張通常意味著央行將降低利率或增加貨幣供給。這會對未來的短期利率產生影響。
2. 初始收益曲線向上傾斜（initially upward sloping）：這表示當前短期利率低於長期利率。

當市場預期未來央行將實施貨幣擴張時，這意味著市場預期未來的短期利率將下降。

• 短期利率的預期：由於預期未來短期利率將下降，這會對當前的短期債券收益率產生影響。如果市場預期未來短期利率會顯著下降，那麼今天的短期利率（尤其是接近到期日的短期債券）也會受到影響，可能會下降。
• 長期利率的預期：長期的收益率受到未來短期利率預期的影響，但同時也包含對未來總體經濟狀況、通膨預期等因素的考量。如果預期未來貨幣擴張旨在刺激經濟，那麼長期利率的預期可能不會像短期利率那樣急劇下降，甚至可能因為對未來經濟成長或通膨的預期而略有上升。

收益曲線的變化：
收益曲線的形狀取決於短期利率和對未來短期利率的預期。

• 如果預期未來短期利率將顯著下降，那麼短期債券的收益率將下降。
• 如果長期債券的利率下降幅度小於短期債券，或者長期利率甚至因為其他因素（如對未來經濟成長的預期）而上升，那麼收益曲線的斜率將會減小，甚至可能反轉。

在這種情況下，預期未來貨幣擴張（導致未來短期利率下降）會使當前的短期利率下降（或至少預期其下降），而長期利率的下降幅度可能較小，或者由於預期經濟增長而相對保持穩定或略升。這將導致收益曲線變得更平坦（flatter）。

此題要求寫出一個為期兩期的小型開放經濟體的代表性家庭的週期性預算限制式以及其生命週期預算限制式。

週期性預算限制式 (Period-by-Period Budget Constraints)

家庭在每個時期（t=1, 2）的消費（$C_t$）不能超過其所得（$Y_t$）加上該時期結束時的債務（或減去債權）的變動。在第一期，家庭有外生所得 $Y_1$。家庭可以消費 $C_1$ 並進行儲蓄或借款。儲蓄的部分可以購買外國債券 $B_1$（在期末持有），借款則通過減少 $B_1$ 來實現。題目假設 $B_0 = 0$ (期初沒有外債) 且 $B_1$ 是期末持有的外國債券。世界利率為 $r$。

第一期預算限制式：
$C_1 + B_1 = Y_1$
這裡 $B_1$ 可以是正的（儲蓄購買外債）或負的（借款）。

在第二期，家庭有外生所得 $Y_2$。期初持有的外國債券 $B_1$ 會產生利息 $r B_1$。家庭可以消費 $C_2$ 並償還（或獲得）債務。期末債券持有量為 $B_2$。題目中並未明確給出 $B_2$ 的定義，但通常在兩期模型中，第二期期末的債務應為零，以便模型結束。如果 $B_2$ 是期末的債券持有量，那麼家庭的消費 $C_2$ 加上期末的債券持有量 $B_2$ 不能超過期初的資產（包括上一期債券的本金與利息）和本期所得。
假設 $B_2=0$ (代表在第二期結束時，家庭的淨資產為零，即所有債務已償還或所有資產已變現消費)。

核心觀念

Transversality condition（橫截條件，TVC）是最適化問題的終端條件，用來排除「在模型結束時仍持有沒有用途的資產」或「透過無限累積負債來虛增消費」的非最適路徑。

在標準兩期消費—儲蓄模型中，消費者於第 1 期與第 2 期消費，且第 2 期結束後模型終止。若期末資產不產生遺贈效用，則最適選擇必須滿足：

其中 $a_3$ 代表第 2 期結束後留下的資產。

解題方法

設兩期的資產累積式為：

其中：

• $c_t$：第 $t$ 期消費；
• $y_t$：第 $t$ 期所得；
• $a_{t+1}$：第 $t$ 期結束後持有的資產；
• $r$：利率。

消費者的效用函數為：

若 $a_3>0$，表示第 2 期結束時仍留下資產。由於模型沒有第 3 期，也沒有遺贈效用，這些資產不會增加消費者效用。消費者可以在第 2 期將其轉化為消費，因此 $a_3>0$ 不可能是最適解。

若 $a_3<0$，表示消費者在模型結束時仍負債。由於模型在此終止，且沒有後續償債安排，這會形成不受約束的借貸套利。因此標準模型要求：

將 $a_3=0$ 代入第 2 期預算限制：

經常帳戶餘額（Current Account, CA）衡量一個國家或經濟體在特定時期內，其商品、服務、所得和單邊移轉的淨流入。在一個兩期模型中，第一期的經常帳戶餘額（$CA_1$）通常等於該時期內的淨出口（NX）加上該時期內淨儲蓄的變動，或者更直接地，它等於該時期內「不包括金融帳戶」的收支差額。

在一個不生產的開放經濟體中，經常帳戶餘額通常等於儲蓄與投資的差額，或者更精確地說是所得與消費的差額。
對於一個代表性家庭，第一期的經常帳戶餘額 $CA_1$ 可以定義為：
$CA_1 = Y_1 - C_1$
這個定義是因為家庭的總所得 $Y_1$ 只有兩種用途：消費 $C_1$ 或儲蓄/投資（購買外國債券 $B_1$）。因此，$Y_1 - C_1 = B_1$。

在此模型中，$\beta$ 是折現因子（discount factor），代表家庭對未來的偏好，其中 $\beta \in (0, 1)$。$\beta$ 越大，表示家庭越看重未來，對未來的消費越有耐心（less impatient）。反之，$\beta$ 越小，表示家庭越急於消費，對未來越沒有耐心。

我們需要分析 $\beta$ 的變化如何影響第一期的經常帳戶餘額 $CA_1$。
$CA_1 = Y_1 - C_1$。因此，分析 $\beta$ 對 $CA_1$ 的影響，等同於分析 $\beta$ 對 $C_1$ 的影響。

家庭的優化問題是最大化其兩期效用 $U(C_1, C_2) = \frac{C_1^{1-\sigma}}{1-\sigma} + \beta \frac{C_2^{1-\sigma}}{1-\sigma}$，同時滿足生命週期預算限制式 $C_1 + \frac{C_2}{1+r} = Y_1 + \frac{Y_2}{1+r}$。

優化的一階條件是：
$\frac{U_{C_1}}{U_{C_2}} = 1+r$
其中 $U_{C_1} = C_1^{-\sigma}$ 且 $U_{C_2} = \beta C_2^{-\sigma}$。
所以：
$\frac{C_1^{-\sigma}}{\beta C_2^{-\sigma}} = 1+r$
$\left(\frac{C_1}{C_2}\right)^{-\sigma} = \beta(1+r)$
$\left(\frac{C_2}{C_1}\right)^{\sigma} = \beta(1+r)$
$\frac{C_2}{C_1} = (\beta(1+r))^{1/\sigma}$

在閉鎖經濟（autarky）下，經濟體系的利率是由該經濟體內部的儲蓄和投資決定的，不需要與世界市場進行資金交換。在這個模型中，經濟體系只有一個代表性家庭，沒有生產活動，且只考慮兩期。

在閉鎖經濟下，家庭的預算限制式變成了：
$C_1 = Y_1$
$C_2 = Y_2$
因為家庭無法進行跨期借貸，其消費必須等於其當期所得。

然而，題目要求計算「均衡利率」$r^a$。這意味著我們需要考慮一個場景，在這個場景下，儘管是閉鎖經濟，但家庭仍然可以進行跨期儲蓄和借貸，只是這個利率是內部決定的，而不是由世界市場決定的。這與題目中「小型開放經濟」的設定不同，在開放經濟下，利率由世界利率 $r$ 決定。在閉鎖經濟下，利率需要由內部市場供需決定。

在一個閉鎖經濟體系中，代表性家庭的目標是最大化效用 $U(C_1, C_2) = \frac{C_1^{1-\sigma}}{1-\sigma} + \beta \frac{C_2^{1-\sigma}}{1-\sigma}$，並滿足其「閉鎖經濟下的」跨期預算限制式。

閉鎖經濟下的跨期預算限制式是：
$C_1 + \frac{C_2}{1+r^a} = Y_1 + \frac{Y_2}{1+r^a}$
在這裡，$r^a$ 是由經濟體內部儲蓄和消費決定的均衡利率。

家庭的優化條件是：
$\frac{U_{C_1}}{U_{C_2}} = 1+r^a$
$\frac{C_1^{-\sigma}}{\beta C_2^{-\sigma}} = 1+r^a$
$\left(\frac{C_2}{C_1}\right)^{\sigma} = \beta(1+r^a)$

在閉鎖經濟下，家庭的消費選擇 $C_1$ 和 $C_2$ 取決於其所得 $Y_1, Y_2$ 和偏好參數 $\beta, \sigma$。
根據上一題的推導，消費函數為：
$C_1 = \frac{Y_1 + \frac{Y_2}{1+r^a}}{1 + \frac{(\beta(1+r^a))^{1/\sigma}}{1+r^a}}$
$C_2 = C_1 (\beta(1+r^a))^{1/\sigma}$

我們已經導出了閉鎖經濟下的均衡利率 $r^a$ 的公式：
$r^a = \frac{1}{\beta} \left(\frac{Y_2}{Y_1}\right)^{\sigma} - 1$
現在我們分析 $Y_2$ 的變化如何影響 $r^a$。

數學分析：
從公式中可以看出，$Y_2$ 出現在 $\left(\frac{Y_2}{Y_1}\right)^{\sigma}$ 這一項中。
由於 $\sigma > 0$ 且 $Y_2 > 0, Y_1 > 0$，所以 $\left(\frac{Y_2}{Y_1}\right)^{\sigma}$ 是一個關於 $Y_2$ 的增函數。
因此，當 $Y_2$ 增加時，$\left(\frac{Y_2}{Y_1}\right)^{\sigma}$ 會增加，進而 $r^a$ 會增加。
反之，當 $Y_2$ 減少時，$r^a$ 會減少。

經濟直覺解釋：
$r^a$ 代表了家庭在閉鎖經濟下的跨期交換利率。這個利率是由家庭的跨期偏好（$\beta, \sigma$）和其所得的跨期結構（$Y_1, Y_2$）決定的。

考慮一個家庭，其所得在兩期之間是固定的，例如 $Y_1$ 和 $Y_2$。
如果第二期的所得 $Y_2$ 增加，而第一期的所得 $Y_1$ 保持不變：

1. 總體現值所得增加：家庭現在擁有的總資源（以現值計算）增加了。
2. 所得結構變化：相對於第一期的所得，第二期的所得比例提高了。

由於家庭有平滑消費的偏好（由 $\sigma$ 和 $\beta$ 決定），他們會試圖將增加的第二期所得分攤到兩期消費中。
更重要的是，當第二期所得 $Y_2$ 相對於第一期所得 $Y_1$ 增加時，意味著家庭在未來（第二期）擁有的資源相對更充裕。

在閉鎖經濟下，利率 $r^a$ 的作用是協調兩期的消費和所得。

• 如果家庭在第一期消費大於其所得（借款），則需要支付利息，即 $C_1 > Y_1 \implies C_1 + \frac{C_2}{1+r^a} = Y_1 + \frac{Y_2}{1+r^a}$。
• 如果家庭在第一期消費小於其所得（儲蓄），則可以獲得利息，即 $C_1 < Y_1$。

當 $Y_2$ 增加時，家庭在第二期（未來）的資源更豐富。為了平滑消費，家庭會傾向於在第一期增加消費。

核心觀念

本題考查勞動搜尋模型（job search model）中，失業者面對工作機會時的最適決策。失業者每期可選擇：

• 接受工作，取得工資；
• 拒絕工作，繼續失業並等待未來的工作機會。

最適解由失業狀態的 Bellman 方程式刻畫。以下採用標準 McCall job-search model：

• 失業者每期獲得失業給付或失業效用 $b$；
• 每期以機率取得工作機會；
• 工作工資 $w$ 服從分配函數 $F(w)$；
• 折現因子為 $\beta\in(0,1)$；
• 工作一旦接受，持續提供每期工資 $w$；
• $U$ 表示失業的終身折現效用；
• $W(w)$ 表示接受工資為 $w$ 的工作後之終身折現效用。

解題方法：建立失業者的 Bellman 方程式

失業者在目前期間先取得失業效用 $b$。取得工資為 $w$ 的工作機會後，會比較：

• 接受工作：價值為 $W(w)$；
• 拒絕工作：價值為 $U$。

因此，面對工資 $w$ 時的最適選擇價值為

將未來價值折現後，失業者的 Bellman 方程式為

這就是刻畫失業者最適解的基本方程式。

若工作機會並非每期必然出現，而是以機率 $\lambda$ 出現，則 Bellman 方程式寫為

其中，$(1-\lambda)U$ 代表本期沒有取得工作機會，$\lambda\int \max\{W(w),U\}\,dF(w)$ 代表取得工作機會後作出接受或拒絕決策。

已接受工作的價值

若接受工資為 $w$ 的工作，且工作永久持續，則

解得

代入失業者的 Bellman 方程式，可得

這是以工資分配與失業價值表示的最適失業方程式。

保留工資與最適接受規則

定義保留工資（reservation wage）$w^*$，使得工人對接受與拒絕工作無差異：

利用

可得

因此

最適接受規則為：

因此，Bellman 方程式也可寫成

核心觀念

保留工資（reservation wage）是求職者願意接受工作的最低工資。求職者比較「接受工作」與「繼續失業、等待其他工資邀約」的價值；兩者相等時的工資，就是保留工資。

題目未說明 $w$ 代表單一工作邀約，還是整體工資邀約水準。以下採標準搜尋模型，假設 $w$ 上升代表整體工資邀約分布向上移動，且失業給付、折現率與邀約到達率不變。

解題方法

令 $U$ 為失業的價值，$b$ 為失業給付，$\rho$ 為折現率，$\lambda$ 為工資邀約到達率。求職者接受工資 $w$ 時，工作的價值為 $w/\rho$；因此保留工資 $w_R$ 滿足：

失業者會接受所有高於保留工資的邀約。失業價值的平衡條件可寫為：