本題為改良式 Solow 模型，加入了外生性的消費增加項 $mK$，考驗學生對 Solow 模型基本架構的掌握，以及分析外生衝擊對穩態的影響。

核心觀念：Solow 成長模型、穩態分析、資本深化、外生性消費。

a) Solow Diagram

首先，我們將模型轉換為人均形式。生產函數 $Y = K L^{1-\alpha}$ 除以 $L$ 可得人均產出 $y = Y/L = (K/L)^{1-\alpha} = k^{1-\alpha}$。
人均資本的變動率 $\dot{k}$ 由儲蓄減去維持現有資本所需投資（包含折舊與人口成長）決定。
人均儲蓄為 $s y = s k^{1-\alpha}$。
維持現有人均資本所需投資為 $(\delta + n)k$。
此模型額外加入一項外生消費 $mK$，因此人均消費為 $c = C/L = (1-s)Y/L + mK/L = (1-s)y + mk$。
人均儲蓄為 $s y = s k^{1-\alpha}$。
所以，人均資本的變動率為：
$\dot{k} = sy - (\delta + n)k$
$\dot{k} = s k^{1-\alpha} - (\delta + n)k$
Solow Diagram 的橫軸為人均資本 $k$，縱軸為人均產出或流量。
圖中會繪製兩條曲線：

1. 儲蓄曲線 ($s k^{1-\alpha}$)：這是一條遞減的曲線，代表儲蓄與人均資本的關係。
2. 資本維持線 ($(\delta + n)k$)：這是一條從原點出發的直線，斜率為 $(\delta + n)$。

穩態 $k^*$ 發生於儲蓄曲線與資本維持線的交點，即 $\dot{k} = 0$。
在原標準 Solow 模型中，消費 $c = sy$，因此穩態消費即為穩態時的儲蓄 $sy^*$。

然而，此模型中的消費函數為 $C = (1-s)Y + mK$。
人均消費為 $c = (1-s)y + mk$。
人均儲蓄為 $s y = s k^{1-\alpha}$。
人均資本變動率為 $\dot{k} = sy - (\delta + n)k = s k^{1-\alpha} - (\delta + n)k$。
穩態條件 $\dot{k}=0$ 仍是 $s k^{1-\alpha} = (\delta + n)k$。

改良點：
此模型額外考慮了 $mK$ 這項資本相關的外生消費。這意味著，即使在穩態時，總儲蓄 $sY$ 需要支付的折舊與人口成長 $(\delta+n)K$ 之外，還有這筆額外的消費 $mK$ 需要被滿足。
然而，在人均形式的 $\dot{k}$ 方程式中，儲蓄 $sy$ 必須支付 $(\delta+n)k$ 。而消費 $c = (1-s)y + mk$ 已經內含了這部分。
我們需要重新思考人均儲蓄和人均消費的定義。
人均總產出 $y$ 可以分配給人均消費 $c$ 和人均儲蓄 $s y$。
$y = c + \text{investment}$
$y = c + (\delta+n)k$
其中，人均儲蓄 $s y$ 構成投資。
$s y = (\delta+n)k$
在此模型中，消費函數是 $C = (1-s)Y + mK$。
人均消費 $c = C/L = (1-s)Y/L + mK/L = (1-s)y + mk$。
人均儲蓄 $sy$ 則用於投資。
所以，模型的人均資本變動率 $\dot{k}$ 依然是：
$\dot{k} = sy - (\delta+n)k = s k^{1-\alpha} - (\delta+n)k$
穩態 $k^*$ 的決定不變，仍是 $s (k^*)^{1-\alpha} = (\delta+n)k^*$。

Solow Diagram 繪製：
橫軸：人均資本 $k$
縱軸：人均產出/流量
圖中畫出：

1. $y = k^{1-\alpha}$ (生產函數，凹向原點)
2. $sy = s k^{1-\alpha}$ (儲蓄曲線，凹向原點，斜率遞減)
3. $(\delta + n)k$ (資本維持線，直線，斜率為 $\delta+n$)

穩態 $k^*$ 是 $s k^{1-\alpha}$ 和 $(\delta+n)k$ 的交點。
在穩態 $k^*$ 時，人均產出為 $y^* = (k^*)^{1-\alpha}$。
人均消費為 $c^* = (1-s)y^* + mk^*$。
人均儲蓄為 $sy^* = (\delta+n)k^*$。
注意：在穩態時，$sy^* = (\delta+n)k^*$ 成立，但 $y^* = c^* + (\delta+n)k^*$ 則變為 $y^* = (1-s)y^* + mk^* + (\delta+n)k^* = (1-s)y^* + mk^* + sy^* = y^* + mk^*$。這表示在穩態時，必須有 $mk^*=0$ 才能滿足 $y^* = c^* + (\delta+n)k^*$。
然而，題目設定 $m>0$ 且 $k^*>0$ (除非 $s=0$ 或 $\delta+n$ 趨近無窮大)。
這顯示此模型在穩態時，消費函數 $C = (1-s)Y + mK$ 可能與標準的 $Y = C + I$ 恆等式在人均形式下產生問題，或者說，穩態的定義需要更仔細的推敲。

重新檢視模型設定：
標準 Solow 模型：$Y=f(K,L)$，人均 $y=f(k,1)$。
儲蓄 $S = sY$。
投資 $I = S = sY$。
資本累積：$\dot{K} = S - \delta K = sY - \delta K$。
人均資本累積：$\dot{k} = sy - (\delta+n)k$。
穩態：$sy^* = (\delta+n)k^*$。
人均消費：$c = y - sy = y - (\delta+n)k$。

本題模型：$Y=K L^{1-\alpha}$，人均 $y=k^{1-\alpha}$。
儲蓄 $S = sY$。
消費 $C = (1-s)Y + mK$。
投資 $I = Y - C = Y - [(1-s)Y + mK] = sY - mK$。
資本累積：$\dot{K} = I - \delta K = (sY - mK) - \delta K = sY - (\delta+m)K$。

核心觀念

本題考查搜尋模型中的勞動市場緊度、職缺填補率與失業率之間的關係。

定義如下：

• 勞動市場緊度：
  $k=\frac{\text{職缺數}}{\text{勞工數}}$
• 勞工找到工作的比例：
  $p=p(k),\qquad p'(k)>0$
• 職缺被填補的比例：
  $q=q(k),\qquad q'(k)<0$

當職缺與勞工數量增加時，職缺相對於勞工越多，$k$ 越高，因此勞工較容易找到工作；但對單一企業而言，可供選擇的勞工相對減少，所以職缺填補率 $q$ 下降。

一份成功媒合的工作創造總剩餘：

$y-b$

其中勞工取得比例 $\beta$，因此企業取得的剩餘為：

$(1-\beta)(y-b)$

解題方法

企業張貼一個職缺時，不論最後是否成功填補，都必須支付固定成本 $\theta$。因此，企業張貼職缺的期望報酬為：

$\text{期望報酬}=q(k)\times (1-\beta)(y-b)-\theta$

均衡時，企業張貼職缺的期望報酬等於零，因此：

$q(k)(1-\beta)(y-b)-\theta=0$

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(a) 勞動市場緊度 $k$ 的隱函數

整理均衡條件：

$q(k)(1-\beta)(y-b)=\theta$

因此，$k$ 所滿足的隱函數為：

$\boxed{q(k)=\frac{\theta}{(1-\beta)(y-b)}}$

也可寫成：

$\boxed{q(k)(1-\beta)(y-b)-\theta=0}$

這就是以 $y$、$b$、$\theta$ 與 $\beta$ 表示的勞動市場緊度均衡條件。由於題目未指定 $q(k)$ 的具體函數形式，無法進一步將 $k$ 寫成顯函數。

(b) $\theta$ 增加對失業率 $u$ 的影響

由均衡條件：

$q(k)=\frac{\theta}{(1-\beta)(y-b)}$

在 $y$、$b$ 與 $\beta$ 不變下，當固定成本 $\theta$ 增加時，企業必須透過較高的職缺填補率來抵銷成本：

$\theta\uparrow \quad\Rightarrow\quad q(k)\uparrow$

但因為 $q'(k)<0$，職缺填補率是 $k$ 的遞減函數，所以：

核心觀念

本題考查小型開放經濟體的：

• 跨期預算限制與國際借貸
• 經常帳與外國債券的關係
• 生命週期消費平滑
• 交換條件惡化的所得效果
• 關稅作為消費稅時的跨期配置效果
• 關稅收入以定額移轉返還家庭時，對消費與經常帳的影響

以下以小麥的國際價格作為計價基準，定義

$$\theta_t=\frac{P_t^X}{P_t^M}$$

並令

$$q=1+r.$$

題目在第 k、l 小題將關稅率寫成 $\tau_1$，但前文已將 $T_t$ 定義為關稅率、$\tau_t$ 定義為移轉支付。以下依前文記號，將關稅率寫成 $T_t$。

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a) 無關稅下的逐期預算限制

家庭出口原油取得收入 $\theta_tY_t$，並以小麥支付消費。令 $B_t$ 為第 $t$ 期期末持有的外國債券，則：

第 1 期

$$C_1+B_1=\theta_1Y_1+qB_0.$$

由於 $B_0=0$，因此

$$C_1+B_1=\theta_1Y_1.$$

第 2 期

$$C_2+B_2=\theta_2Y_2+qB_1.$$

兩期模型沒有第 3 期，因此期末不得留下未償債務，故 $B_2=0$，第 2 期預算限制為

$$C_2=\theta_2Y_2+qB_1.$$

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b) Transversality condition

在有限期的兩期模型中，最後一期結束時不能留下債務，因此終端條件為

$$B_2=0.$$

這就是本題的 Transversality condition。

若寫成一般無限期模型的形式，則為

$$\lim_{T\to\infty}\frac{B_T}{(1+r)^T}=0.$$

在本題中因只有兩期，直接表現為 $B_2=0$。

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c) 生命週期預算限制

第 1 期預算限制為

$$C_1+B_1=\theta_1Y_1.$$

第 2 期預算限制為

$$C_2=\theta_2Y_2+qB_1.$$

由第 2 式得

$$B_1=\frac{C_2-\theta_2Y_2}{q}.$$

代回第 1 期：

$$C_1+\frac{C_2-\theta_2Y_2}{q} =\theta_1Y_1.$$

整理後得到生命週期預算限制：

$$C_1+\frac{C_2}{1+r} = \theta_1Y_1+\frac{\theta_2Y_2}{1+r}.$$

定義終身財富

$$W=\theta_1Y_1+\frac{\theta_2Y_2}{1+r},$$

則

$$C_1+\frac{C_2}{1+r}=W.$$

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d) 最適消費 $C_1$ 與經常帳 $CA_1$

家庭最大化：

$$\max_{C_1,C_2}\log C_1+\beta\log C_2$$

subject to

$$C_1+\frac{C_2}{q}=W.$$

拉格朗日式為

$$\mathcal{L} = \log C_1+\beta\log C_2 +\lambda\left(W-C_1-\frac{C_2}{q}\right).$$

一階條件：

$$\frac{1}{C_1}=\lambda$$

以及

$$\frac{\beta}{C_2}=\frac{\lambda}{q}.$$

消去 $\lambda$：

$$C_2=\beta q C_1.$$

代回生命週期預算限制：

$$C_1+\frac{\beta qC_1}{q}=W.$$

因此

$$(1+\beta)C_1=W.$$

所以最適第 1 期消費為

$$\boxed{ C_1^* = \frac{1}{1+\beta} \left( \theta_1Y_1+\frac{\theta_2Y_2}{1+r} \right) }.$$

經常帳定義為對外收入減去國內消費：

$$CA_1=\theta_1Y_1-C_1.$$

因此

$$CA_1^* = \theta_1Y_1 - \frac{1}{1+\beta} \left( \theta_1Y_1+\frac{\theta_2Y_2}{1+r} \right).$$

整理得

$$\boxed{ CA_1^* = \frac{\beta\theta_1Y_1-\dfrac{\theta_2Y_2}{1+r}} {1+\beta} }.$$

由於 $B_0=0$，第 1 期經常帳也等於第 1 期期末外國債券持有量：

$$CA_1=B_1.$$

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e) 第 1 期交換條件惡化對 $C_1$ 的影響

第 1 期交換條件惡化表示

$$\theta_1\downarrow.$$

由最適消費函數：

$$C_1^* = \frac{1}{1+\beta} \left( \theta_1Y_1+\frac{\theta_2Y_2}{1+r} \right),$$

可得

$$\frac{\partial C_1^*}{\partial\theta_1} = \frac{Y_1}{1+\beta}>0.$$

因此：

$$\boxed{\theta_1\downarrow \quad\Longrightarrow\quad C_1^*\downarrow}.$$

經濟直覺

交換條件惡化代表原油出口收入相對於小麥進口成本下降。同樣數量的原油只能換回較少的小麥，因此國家的實質所得下降。

家庭會進行消費平滑，不會把所得減少全部反映在第 1 期消費，而是同時降低第 1 期與第 2 期消費。因此第 1 期消費下降幅度為所得損失的 $\frac{1}{1+\beta}$。

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f) 第 1 期交換條件惡化對 $CA_1$ 的影響

由

$$CA_1^*=\theta_1Y_1-C_1^*,$$

可得

$$\frac{\partial CA_1^*}{\partial\theta_1} = Y_1-\frac{Y_1}{1+\beta} = \frac{\beta Y_1}{1+\beta}>0.$$

因此：

$$\boxed{\theta_1\downarrow \quad\Longrightarrow\quad CA_1^*\downarrow}.$$

注意方向：交換條件惡化時，$\theta_1$ 下降，因此 $CA_1$ 也下降。

經濟直覺

第 1 期出口收入下降，家庭消費也會下降，但消費下降幅度只有

$$\frac{Y_1}{1+\beta}$$

乘上交換條件變動，低於出口收入下降幅度 $Y_1$。因此：

• 出口收入下降幅度較大
• 消費下降幅度較小
• 出口收入減消費的經常帳因而惡化

家庭透過借款或減少儲蓄來平滑消費，所以第 1 期經常帳下降。

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關稅下的分析

關稅完全轉嫁給家庭，因此第 $t$ 期家庭面對的小麥消費價格為

$$(1+T_t)P_t^M.$$

以小麥國際價格為計價基準後，第 $t$ 期消費支出為

$$(1+T_t)C_t.$$

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g) 關稅下的逐期預算限制

第 1 期

$$(1+T_1)C_1+B_1 = \theta_1Y_1+\tau_1+qB_0.$$

由於 $B_0=0$：

$$\boxed{ (1+T_1)C_1+B_1 = \theta_1Y_1+\tau_1 }.$$

第 2 期

由於 $B_2=0$：

$$\boxed{ (1+T_2)C_2 = \theta_2Y_2+\tau_2+qB_1 }.$$

其中：

• $T_t$ 是關稅率
• $\tau_t$ 是政府返還給家庭的定額移轉支付

政府的關稅收入為

$$\tau_t=T_tC_t$$