114 年 國立成功大學經濟研究所《總體經濟學》

本題主要在測試考生對於標準 Solow 成長模型的理解，包含圖形繪製、穩態分析、以及技術進步對經濟成長的影響。

核心觀念： Solow 成長模型、Cobb-Douglas 生產函數、穩態條件、總要素生產力 (TFP) 變動。

a) Solow Diagram

Solow Diagram 繪製的是人均資本 $k$ 的動態變化。生產函數為 $y = Ak^\alpha$，其中 $y = Y/L$ 為人均產出，而 $k = K/L$ 為人均資本。
資本的累積方程式為 $\dot{k} = sy - (n+\delta)k$。
其中，$sy$ 為儲蓄（投資），$(n+\delta)k$ 為維持人均資本不變所需的投資（用於折舊與人口成長）。
在 Solow Diagram 中，橫軸為人均資本 $k$，縱軸為人均投資 $sy$ 與維持穩態所需的投資 $(n+\delta)k$。
$sy = sAk^\alpha$ 是一條向上傾斜但邊際報酬遞減的曲線（因為 $\alpha < 1$）。
$(n+\delta)k$ 是一條從原點出發的直線，斜率為 $n+\delta$。
穩態 $k^*$ 出現在 $sy = (n+\delta)k$ 的交點。
Diagram 繪製如下：

• 橫軸：$k$ (人均資本)
• 縱軸：人均產出/投資
• 一條向上傾斜的曲線代表 $sy = sAk^\alpha$。
• 一條從原點出發的直線代表 $(n+\delta)k$。
• 兩條線的交點即為穩態人均資本 $k^*$。
• 在 $k < k^*$ 時，$sy > (n+\delta)k$，表示人均資本會增加。
• 在 $k > k^*$ 時，$sy < (n+\delta)k$，表示人均資本會減少。

b) 穩態人均資本勞動比 $k$

穩態條件為資本累積的淨變動為零，即 $\dot{k} = 0$。
$sy = (n+\delta)k$
將生產函數 $y = Ak^\alpha$ 代入：
$sAk^\alpha = (n+\delta)k$
為了求出 $k$，我們將等式兩邊同除以 $k$：
$sAk^{\alpha-1} = n+\delta$
移項得到：
$k^{\alpha-1} = \frac{n+\delta}{sA}$
由於 $\alpha-1$ 是負的，我們可以將其寫為 $k^{1-\alpha} = \frac{sA}{n+\delta}$。
將兩邊取 $\frac{1}{1-\alpha}$ 次方：
$k^* = \left(\frac{sA}{n+\delta}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}}$
這就是穩態人均資本勞動比 $k$。

c) 總要素生產力 $A$ 增加至 $A'$ 後的新穩態產出

當總要素生產力 $A$ 增加到 $A'$ 時，生產函數變為 $Y' = A'K^\alpha L^{1-\alpha}$，或人均形式 $y' = A'k^\alpha$。
穩態條件變為 $sy' = (n+\delta)k$。
$sA'k^{\alpha} = (n+\delta)k$
類似地，我們可以推導出新的穩態人均資本 $k'^*$：
$k'^* = \left(\frac{sA'}{n+\delta}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}}$
新的穩態人均產出 $y'^*$ 為：
$y'^* = A'(k'^* )^\alpha = A'\left(\left(\frac{sA'}{n+\delta}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}}\right)^\alpha$
$y'^* = A'\left(\frac{sA'}{n+\delta}\right)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}$
$y'^* = (A')^{1 + \frac{\alpha}{1-\alpha}} \left(\frac{s}{n+\delta}\right)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}$
$y'^* = (A')^{\frac{1}{1-\alpha}} \left(\frac{s}{n+\delta}\right)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}$
穩態總產出 $Y^*$ 為 $Y^* = L \cdot y^*$。若人口 $L$ 在此期間保持不變，則總產出為 $Y'^* = L \cdot y'^*$。
若人口以率 $n$ 成長，則穩態總產出 $Y^*$ 的成長率為 $n$。
穩態人均產出的成長率為 0。

d) 經濟成長分解與 Solow 殘差

經濟成長會計 (Growth Accounting) 通常將人均產出的成長分解為資本、勞動的貢獻以及總要素生產力 (TFP) 的貢獻。
對於人均生產函數 $y = Ak^\alpha$，我們可以對其取對數並微分，得到成長率的關係：
$\ln y = \ln A + \alpha \ln k$
$\frac{\dot{y}}{y} = \frac{\dot{A}}{A} + \alpha \frac{\dot{k}}{k}$
其中，$\frac{\dot{y}}{y}$ 是人均產出的成長率，$\frac{\dot{A}}{A}$ 是 TFP 的成長率，$\frac{\dot{k}}{k}$ 是人均資本的成長率。
在 Solow 模型中，穩態下人均資本 $k$ 的成長率為零，即 $\frac{\dot{k}}{k} = 0$。
因此，穩態下人均產出 $y$ 的成長率等於 TFP 的成長率：$\frac{\dot{y}}{y} = \frac{\dot{A}}{A}$。

然而，題目問的是「在 part (c) 的經濟成長」，並且提到了「Solow 殘差」。
Part (c) 提到 A 增加到 A'，這代表 TFP 的一個「跳躍式」增加，而非持續成長。
若我們考慮的是從舊穩態到新穩態的過程，人均資本會從 $k^*$ 成長到 $k'^*$，人均產出則從 $y^* = A(k^*)^\alpha$ 成長到 $y'^* = A'(k'^* )^\alpha$。
在此過程中，人均資本的成長率 $\frac{\dot{k}}{k}$ 並非零。

Solow 殘差 (Solow Residual) 通常指的是 TFP 的成長率，即 $\frac{\dot{A}}{A}$，它代表了由模型中未包含的因素（如技術進步、效率提升、制度改善等）所解釋的經濟成長部分。

在 part (c) 的情境下，A 從 A 增加到 A'，這是 TFP 的一個一次性提升。
如果我們將經濟成長的變動視為從舊穩態到新穩態的結果，那麼人均產出的成長可以分解為：
$\Delta (\ln y) = \Delta (\ln A) + \alpha \Delta (\ln k)$
其中 $\Delta$ 表示從舊穩態到新穩態的變化量。
在穩態下，人均資本成長率為零。然而，A 的提升會改變穩態，導致資本重新累積。
從舊穩態 $k^*$ 到新穩態 $k'^*$ 的過程中，人均資本是成長的。

本題為動態隨機一般均衡 (DSGE) 模型中的動態規劃問題，考察跨期消費決策、Bellman 方程式、價值函數迭代等核心概念。

核心觀念： 動態規劃、跨期選擇、Euler 方程式、Bellman 方程式、價值函數。

a) Euler 方程式

Euler 方程式描述了個體在不同時期之間的消費決策。我們需要最大化 lifetime utility $U = \sum_{t=0}^{\infty} \beta^t \log c_t$，同時滿足資源約束 $c_t + k_{t+1} = A\sqrt{k_t} + (1-\delta)k_t$。
為了推導 Euler 方程式，我們使用拉格朗日乘數法。
拉格朗日函數為：
$L = \sum_{t=0}^{\infty} \beta^t \log c_t + \sum_{t=0}^{\infty} \lambda_t [A\sqrt{k_t} + (1-\delta)k_t - c_t - k_{t+1}]$
其中 $\lambda_t$ 是第 $t$ 期資源約束的影子價格。

對 $c_t$ 的一階條件：
$\frac{\partial L}{\partial c_t} = \beta^t \frac{1}{c_t} - \lambda_t = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda_t = \frac{\beta^t}{c_t}$

對 $k_{t+1}$ 的一階條件：
$\frac{\partial L}{\partial k_{t+1}} = \lambda_t [0 - 1] + \lambda_{t+1} [A\frac{1}{2\sqrt{k_{t+1}}} + (1-\delta)] = 0$
$-\lambda_t + \lambda_{t+1} \left(\frac{A}{2\sqrt{k_{t+1}}} + 1-\delta\right) = 0$
$\lambda_{t+1} \left(\frac{A}{2\sqrt{k_{t+1}}} + 1-\delta\right) = \lambda_t$

將 $\lambda_t = \frac{\beta^t}{c_t}$ 代入上式：
$\frac{\beta^{t+1}}{c_{t+1}} \left(\frac{A}{2\sqrt{k_{t+1}}} + 1-\delta\right) = \frac{\beta^t}{c_t}$
$\frac{\beta}{c_{t+1}} \left(\frac{A}{2\sqrt{k_{t+1}}} + 1-\delta\right) = \frac{1}{c_t}$
$c_t = \beta c_{t+1} \left(\frac{A}{2\sqrt{k_{t+1}}} + 1-\delta\right)^{-1}$
$c_t = \frac{\beta c_{t+1}}{\frac{A}{2\sqrt{k_{t+1}}} + 1-\delta}$
或者寫成：
$\frac{c_{t+1}}{c_t} = \beta \left(\frac{A}{2\sqrt{k_{t+1}}} + 1-\delta\right)$
這就是 Euler 方程式。它表明，在最優決策下，邊際效用現值相等。左邊是下一期消費相對於本期消費的比率，右邊是跨期消費的邊際替代率，由時間偏好率 $\beta$ 和下一期資本的回報率決定。

b) Recursive Form and Bellman Equation

將問題轉化為遞迴形式（動態規劃），我們需要定義一個價值函數 $V(k_t)$，代表在 $t$ 期擁有 $k_t$ 資本時，從現在到未來所有時期的總效用。
$V(k_t) = \max_{c_t, k_{t+1}} \left\{ \log c_t + \beta V(k_{t+1}) \right\}$
同時，我們必須滿足資源約束：
$c_t + k_{t+1} = A\sqrt{k_t} + (1-\delta)k_t$
我們可以將 $c_t$ 表達為：
$c_t = A\sqrt{k_t} + (1-\delta)k_t - k_{t+1}$
將此代入價值函數的表達式：
$V(k_t) = \max_{k_{t+1}} \left\{ \log (A\sqrt{k_t} + (1-\delta)k_t - k_{t+1}) + \beta V(k_{t+1}) \right\}$
這個方程就是 Bellman 方程式。它表示，在給定當前資本 $k_t$ 的情況下，個體選擇下一期的資本 $k_{t+1}$（從而確定當前消費 $c_t$），以最大化當前這一期消費的效用加上未來所有時期（從下一期開始）的總效用現值。

c) Guess a value function and verify

我們需要猜測一個價值函數的形式，並驗證它是否滿足 Bellman 方程式。
考慮一個形式為 $V(k) = B \log k$ 的價值函數。
將其代入 Bellman 方程式的右側：
$B \log k_t = \max_{k_{t+1}} \left\{ \log (A\sqrt{k_t} + (1-\delta)k_t - k_{t+1}) + \beta B \log k_{t+1} \right\}$
為了找到最大值，我們對 $k_{t+1}$ 微分：
$\frac{\partial}{\partial k_{t+1}} \left[ \log (A\sqrt{k_t} + (1-\delta)k_t - k_{t+1}) + \beta B \log k_{t+1} \right] = 0$
$\frac{-1}{A\sqrt{k_t} + (1-\delta)k_t - k_{t+1}} + \frac{\beta B}{k_{t+1}} = 0$
$\frac{1}{c_t} = \frac{\beta B}{k_{t+1}}$
$k_{t+1} = \beta B c_t$
這是最優的 $k_{t+1}$ 選擇。將 $c_t = A\sqrt{k_t} + (1-\delta)k_t - k_{t+1}$ 代入：
$k_{t+1} = \beta B (A\sqrt{k_t} + (1-\delta)k_t - k_{t+1})$
$k_{t+1} (1 + \beta B) = \beta B (A\sqrt{k_t} + (1-\delta)k_t)$

本題要求運用總體經濟學模型分析貿易限制（關稅、配額等）對中美兩國經濟的影響。這裡可以運用開放經濟下的總體經濟模型，例如 IS-LM-BP 模型或更簡化的 AD-AS 模型，並考慮匯率、國際收支、消費、投資、產出等變數的變化。

核心觀念： 關稅、貿易限制、開放經濟模型、總體經濟影響。

模型選擇：
為了簡潔且能涵蓋主要影響，我們採用開放經濟下的 AD-AS 模型。

• AD 曲線：$Y = C(Y-T) + I(r) + G + NX(e)$，其中 $e$ 是實際匯率。
• AS 曲線：短期向上傾斜，長期垂直。

情境設定：
美國對中國商品加徵關稅，這意味著從中國進口的商品對美國消費者和企業來說變得更貴。這會影響美國的進口，進而影響其淨出口 (NX)。

對美國經濟的影響：

1. 淨出口 (NX) 下降： 關稅提高了中國商品的價格，導致美國對中國商品的需求減少，進口下降。假設美國對其他國家的進口和出口不受直接影響，則美國的淨出口 $NX$ 將會增加（進口減少，出口不變）。

   • $NX = EX - IM$
   • 關稅使中國商品對美國更貴，若其他國家商品價格不變，則美國人會減少購買中國商品，增加購買國內商品或來自其他國家的商品。
   • 如果假設關稅主要針對中國商品，且替代性不高，則進口 $IM$ 會下降。
   • 因此，淨出口 $NX$ 會上升。

2. 總需求 (AD) 右移： 淨出口 $NX$ 的增加會直接推動美國總需求曲線 (AD) 右移。

   • $AD = C+I+G+NX$
   • $NX \uparrow \Rightarrow AD \uparrow$

3. 產出 (Y) 和物價水平 (P) 上升： AD 曲線右移，在短期內會導致美國的總產出 $Y$ 增加，同時物價水平 $P$ 也會上升。

   • 新的均衡點在更高的 $Y$ 和 $P$ 上。

4. 潛在影響：

   • 國內生產增加： 為了滿足增加的總需求，國內企業會增加生產。
   • 就業增加： 產出增加通常伴隨著就業增加。
   • 通貨膨脹壓力： 物價水平上升可能帶來通貨膨脹。
   • 匯率影響： 淨出口增加可能導致美元升值（如果資本流動不完全抵消的話），這會使得進口商品更便宜，並可能削弱出口競爭力，對長期均衡產生影響。
   • 消費者福利： 消費者面臨更高的物價，並且可能需要購買替代品（國內或來自其他國家），這可能降低消費者的福利。

對中國經濟的影響：

1. 淨出口 (NX) 下降： 美國對中國商品加徵關稅，導致美國對中國商品的進口需求下降。這將直接導致中國的出口下降，從而使中國的淨出口 $NX$ 下降。

   • 中國的出口 $EX_{China \rightarrow US}$ 下降。
   • $NX_{China} \downarrow$。

2. 總需求 (AD) 左移： 淨出口 $NX$ 的下降會導致中國總需求曲線 (AD) 左移。

   • $AD = C+I+G+NX$
   • $NX \downarrow \Rightarrow AD \downarrow$