108 年 國立成功大學經濟研究所《總體經濟學》

這是一系列關於總體經濟學基本概念的簡答題，旨在測試考生對貨幣政策、金融市場、經濟學獎項、國際收支及總體審慎政策的理解。

a. Taylor's Rule: Taylor's rule 是一個貨幣政策的經驗法則，由經濟學家 John Taylor 提出。它建議中央銀行應根據通貨膨脹率與產出缺口的變動來調整其政策利率（例如聯邦基金利率）。其基本形式為：
$i_t = i^* + \alpha(Y_t - Y^*_t) + \beta(\pi_t - \pi^*)$
其中：

• $i_t$ 是當前名目政策利率。
• $i^*$ 是目標名目政策利率（通常等於長期平均利率）。
• $\alpha > 0$ 是產出缺口對利率的敏感度係數。
• $Y_t$ 是當前實際產出。
• $Y^*_t$ 是潛在產出（或自然產出）。
• $(Y_t - Y^*_t)$ 是產出缺口（正值表示經濟過熱，負值表示經濟衰退）。
• $\beta > 0$ 是通貨膨脹率對利率的敏感度係數。
• $\pi_t$ 是當前通貨膨脹率。
• $\pi^*$ 是目標通貨膨脹率。
• $(\pi_t - \pi^*)$ 是通貨膨脹缺口。

簡單來說，Taylor's rule 指出，當通膨率高於目標或經濟成長超過潛在成長時，央行應提高利率；反之，當通膨率低於目標或經濟成長低於潛在成長時，央行應降低利率。

b. Yield Curve (殖利率曲線): 殖利率曲線是一條顯示不同到期日（或期限）的債券，在特定時間點的到期殖利率（yield to maturity, YTM）與其到期日之間關係的圖形。通常，橫軸代表到期日，縱軸代表殖利率。

• 典型形狀: 大多數情況下，殖利率曲線是向上傾斜的（正斜率），表示長期債券的殖利率高於短期債券。這反映了對長期投資的風險溢酬（如利率風險、通膨風險）以及對未來利率上升的預期。
• 其他形狀: 殖利率曲線也可能是水平的（平坦）、向下傾斜的（負斜率，通常預示著經濟衰退），或是有彎曲（humped）的。
  殖利率曲線是金融市場的重要指標，能反映市場對未來利率、通膨和經濟成長的預期。

c. 2018 Sveriges Riksbank Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel Laureates: 2018 年諾貝爾經濟學獎（瑞典央行紀念阿爾弗雷德·諾貝爾紀念獎）頒發給了 William D. Nordhaus 和 Paul M. Romer。

• William D. Nordhaus: 他因將總體經濟學分析與氣候變遷的長期動態結合而獲獎。他的研究強調了經濟活動對氣候的影響，以及政府政策（如碳稅）在減緩氣候變遷中的作用，並探討了經濟成長與環境永續性之間的權衡。
• Paul M. Romer: 他因將技術創新納入總體經濟學的長期分析而獲獎。

本題探討一個擁有無限生命週期的公司，在面臨投資調整成本時，如何決定其投資和資本累積策略。模型結合了生產函數、資本累積法則、投資購買價格以及調整成本。

a. Recursive Value Function:
公司的總價值是未來所有時期預期利潤的貼現值。由於公司是無限生命週期，我們可以使用 Bellman 方程來表達其價值函數的遞迴形式。
令 $V_t$ 為公司在 $t$ 時刻的價值。在時刻 $t$，公司決定投資 $i_t$，這將決定下一期的資本存量 $k_{t+1} = i_t$。公司的利潤 $\pi_t$ 來自當期生產，扣除投資成本和調整成本。
公司在 $t$ 時刻的利潤為：
$\pi_t = A_t k_t^\alpha - q_t i_t - \frac{\phi}{2} i_t^2$
其中 $k_t$ 是當期使用的資本。
下一期 $t+1$ 的資本存量 $k_{t+1}$ 由當期的投資 $i_t$ 決定，即 $k_{t+1} = i_t$。
公司將未來的利潤以利率 $r$ 貼現。因此，公司在 $t$ 時刻的總價值 $V_t$ 可以表示為當期利潤加上下一期公司價值的貼現值：
$V_t = \max_{i_t} \left\{ \pi_t + \frac{1}{1+r} E_t[V_{t+1}] \right\}$
將 $\pi_t$ 和 $k_{t+1} = i_t$ 代入，並考慮到 $V_{t+1}$ 的價值是基於 $k_{t+1}$ 的，我們得到：
$V_t = \max_{i_t} \left\{ A_t k_t^\alpha - q_t i_t - \frac{\phi}{2} i_t^2 + \frac{1}{1+r} E_t[V_{t+1}(k_{t+1} = i_t)] \right\}$
其中 $V_{t+1}(k_{t+1})$ 表示在 $t+1$ 時刻，當資本存量為 $k_{t+1}$ 時公司的價值。

b. Firm's Problem and FOC:
公司的問題是選擇投資 $i_t$ 來最大化其預期貼現利潤總和。
最大化問題為：
$\max_{i_t} E_t \sum_{s=t}^{\infty} \left(\frac{1}{1+r}\right)^{s-t} \left[ A_s k_s^\alpha - q_s i_s - \frac{\phi}{2} i_s^2 \right]$
其中 $k_{s+1} = i_s$。
為了找到對 $k_{t+1}$ 的一階條件 (FOC)，我們需要考慮公司如何選擇 $i_t$ 來影響未來的價值。
從遞迴價值函數：
$V_t = \max_{i_t} \left\{ A_t k_t^\alpha - q_t i_t - \frac{\phi}{2} i_t^2 + \frac{1}{1+r} E_t[V_{t+1}(k_{t+1} = i_t)] \right\}$
我們對 $i_t$ 微分並令其等於零，得到 FOC：
$-q_t - \phi i_t + \frac{1}{1+r} E_t\left[\frac{\partial V_{t+1}}{\partial k_{t+1}} \frac{\partial k_{t+1}}{\partial i_t}\right] = 0$
由於 $k_{t+1} = i_t$，所以 $\frac{\partial k_{t+1}}{\partial i_t} = 1$。
令 $\lambda_t = \frac{\partial V_t}{\partial k_t}$ 為公司在 $t$ 時刻擁有額外一單位資本的邊際價值（或稱為邊際 q）。
則 FOC 變為：
$-q_t - \phi i_t + \frac{1}{1+r} E_t[\lambda_{t+1}] = 0$
$q_t + \phi i_t = \frac{1}{1+r} E_t[\lambda_{t+1}]$
將 $i_t = k_{t+1}$ 代入：
$q_t + \phi k_{t+1} = \frac{1}{1+r} E_t[\lambda_{t+1}]$
我們還需要 $\lambda_{t+1}$ 的表達式。由價值函數的遞迴性質，我們有：

核心觀念

本題屬於**跨期消費理論（Intertemporal Consumption Choice）與社會安全制度（Social Security / 退休年金機制）**的福利分析，涉及李嘉圖等價（Ricardian Equivalence）與跨期重分配：

1. 跨期預算限制式（Intertemporal Budget Constraint, IBC）：透過折現因子將當期與未來期的流量預算限制合併為跨期存量預算限制。
2. 完全確定性下的消費跨期最適化：家計單位在終生財富限制下最大化對數效用函數（Log-utility preferences），推導出尤拉方程式（Euler Equation）與平滑消費水準。
3. 政府基金投資報酬率與李嘉圖等價：
   • 當政府基金報酬率等於市場利率（$r^g = r$）且人口存活結構完全對稱時，強制性公提金僅為「強制儲蓄」，完全被私人儲蓄所抵銷，呈現中立性（Neutrality）。
   • 當 $r^g < r$ 時，社會安全制度相當於對家計單位課徵跨期扭曲稅（或隱性純稅），造成終生財富損失。
   • 當社會存在短命者（Type S）與長命者（Type L）時，以全體人口課稅後僅補貼存活之老人（Pay-As-You-Go / 全民共同提撥），會引發跨族群的財富重分配（Wealth Redistribution）：Type S 承擔純損失，而 Type L 則獲得來自 Type S 的移轉紅利（Tontine / 死亡年金性質）。

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解題方法與完整推導

(a) 政府各期預算限制式與跨期預算限制式

假設總人口規模正規化為 $1$。第 1 期總人口中，Type S 佔比例 $\theta$，Type L 佔比例 $1-\theta$；兩類人的第 1 期所得均為 $y$，所得稅率為 $\tau$。

• 第 1 期政府預算限制式：
  政府課徵稅收總額為 $\tau y$，全數用於購買政府債券 $b^g$： $$b^g = \tau y$$
• 第 2 期政府預算限制式：
  第 2 期僅有 Type L 存活，其人口比例為 $1-\theta$。政府以第 1 期債券之本利和資產，向存活之老年人發放每人定額移轉支付 $TF$： $$(1-\theta) TF = (1 + r^g) b^g$$
• 跨期政府預算限制式（Intertemporal Government Budget Constraint）：
  將第 1 期的 $b^g = \tau y$ 代入第 2 期限制式，消除內生變數 $b^g$，並以利率 $r^g$ 折現至第 1 期現值： $$\tau y = \frac{(1-\theta) TF}{1 + r^g}$$ 若依第 2 期每人移轉支付表示，則為： $$TF = \frac{1 + r^g}{1-\theta} \tau y$$

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(b) 假設 $\theta = 0$ 且 $r^g = r$：家計問題求解與社會安全制度的效果

當 $\theta = 0$ 時，所有人皆為 Type L。

1. 家計單位分期預算限制式：
   家計單位第 1 期所得為 $y$，繳納稅額 $\tau y$，消費 $c_1$，並以淨利率 $r$ 購買私人債券 $b$：

   $$c_1 + b = (1-\tau) y$$

   第 2 期家計單位獲得所得 $y$、移轉支付 $TF$ 以及私人債券本利和 $(1+r)b$ 用於消費 $c_2$：

   $$c_2 = y + TF + (1+r) b$$

2. 跨期預算限制式推導：
   由第 2 期預算解出 $b = \frac{c_2 - y - TF}{1+r}$ 代入第 1 期式子：

   $$c_1 + \frac{c_2}{1+r} = (1-\tau)y + \frac{y + TF}{1+r}$$

   由 (a) 小題可知，當 $\theta = 0$ 且 $r^g = r$ 時，政府預算平衡要求：

   $$TF = (1+r)\tau y \implies \frac{TF}{1+r} = \tau y$$

   代入家計單位跨期預算限制式右側之終生財富現值 $W$：

   $$W = (1-\tau)y + \frac{y}{1+r} + \tau y = y + \frac{y}{1+r} = \frac{2+r}{1+r}y$$

   終生財富 $W$ 完全獨立於稅率 $\tau$ 與移轉 $TF$。

3. 求解最適消費配置 ($c_1, c_2$)：
   家計單位極大化跨期效用：

   $$\max_{c_1, c_2} \log c_1 + \beta \log c_2 \quad \text{s.t.} \quad c_1 + \frac{c_2}{1+r} = W$$

   由邊際替代率等於相對價格（尤拉方程式）：

   $$\frac{1/c_1}{\beta / c_2} = 1+r \implies c_2 = \beta(1+r)c_1$$

   代入跨期預算限制式：

   $$c_1 + \frac{\beta(1+r)c_1}{1+r} = (1+\beta)c_1 = W \implies c_1 = \frac{1}{1+\beta} W$$

   代回 $W = y\left(1 + \frac{1}{1+r}\right)$，解得：

   $$c_1^* = \frac{1}{1+\beta}\left(1 + \frac{1}{1+r}\right)y = \frac{2+r}{(1+\beta)(1+r)} y$$ $$c_2^* = \frac{\beta(1+r)}{1+\beta}\left(1 + \frac{1}{1+r}\right)y = \frac{\beta(2+r)}{1+\beta} y$$

4. 社會安全制度是否影響家計選擇？

   • 對消費配置的影響：無影響（中立性成立）。最適消費配置 $c_1^*$ 與 $c_2^*$ 完全由偏好參數 $\beta$、利率 $r$ 及原始稟賦 $y$ 決定，與稅率 $\tau$ 無關。
   • 對私人儲蓄的影響：私人家計儲蓄為： $$b^* = (1-\tau)y - c_1^* = \left(y - c_1^*\right) - \tau y$$ 強制社會安全儲蓄 $\tau y$ 會以「一對一（$1:1$）」完全排擠（Crowd out）私人儲蓄 $b$。家計單位透過等額減少私人借貸市場的儲蓄，完全抵銷了政府的強制性年金政策。

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(c) 假設 $\theta = 0$ 且 $r^g < r$：社會安全制度的效果

1. 跨期預算限制式之變化：
   當 $\theta = 0$ 時，$TF = (1+r^g)\tau y$。將此代入家計單位的終生財富現值 $W$（以私人市場利率 $r$ 折現）：

   $$W(\tau) = (1-\tau)y + \frac{y + (1+r^g)\tau y}{1+r} = y\left(1 + \frac{1}{1+r}\right) - \left(1 - \frac{1+r^g}{1+r}\right)\tau y$$ $$W(\tau) = \frac{2+r}{1+r}y - \frac{r - r^g}{1+r}\tau y$$

2. 對家計單位選擇的影響分析：

   • 終生財富縮水（負財富效果）：因為 $r^g < r$，故 $\frac{r - r^g}{1+r}\tau y > 0$。政府代為管理的基金投資報酬率劣於私人市場，使得每一單位的年金提撥在折現後產生淨虧損 $\frac{r - r^g}{1+r}y$。
   • 消費水準全面下降：

本題是一個勞動市場搜尋模型，考慮了風險中性勞動者在兩個時期內的決策。模型包含工作機會的機率、工資、失業救濟金、稅收以及勞動者對未來收入的貼現。核心問題是勞動者如何根據預期收益決定是否接受工作機會。

a. Risk-Neutral Worker's Discounted Lifetime Utility:
風險中性（risk neutral）的效用函數形式為 $u(y) = y$。
因此，對於風險中性的勞動者，其貼現終身效用為：
$U = y_1 + \beta E(y_2)$
其中 $y_1$ 是第一期的收入，$y_2$ 是第二期的預期收入，$\beta$ 是貼現因子。

b. Reservation Wages ($w_1^*$ and $w_2^*$):
保留工資（reservation wage）定義為使勞動者在接受一份工作與拒絕該工作（並繼續搜尋或領取救濟金）之間無差異的工資水平。

Reservation Wage in Period 2 ($w_2^*$):
在第二期，勞動者面臨一個工作機會，工資為 $w$（經過稅收後為 $(1-\tau)w$），或拒絕該機會，領取失業救濟金 $b$（經過稅收後為 $b$，假設救濟金不被徵稅，或者題目中的 $b$ 已經是稅後值。通常模型中救濟金也不被徵稅，或者按照題目給的 $b$ 值即可）。
如果接受工作，第二期收入為 $(1-\tau)w$。
如果拒絕工作，第二期收入為 $b$。
保留工資 $w_2^*$ 是使兩者期望效用相等的值：
$u((1-\tau)w_2^*) = u(b)$
由於勞動者是風險中性的，且 $u(y)=y$：
$(1-\tau)w_2^* = b$
$w_2^* = \frac{b}{1-\tau}$
請注意，題目中給定的條件是 $\frac{b}{1-\tau} < w_L < w_H$。這意味著在第二期，即使是最低的工資 $w_L$ 經過稅收後，也高於保留工資 $w_2^*$。因此，在第二期，勞動者總是會接受任何工作機會（$w_L$ 或 $w_H$）。

Reservation Wage in Period 1 ($w_1^*$):
在第一期，勞動者面臨兩種可能的工作機會：$w_L$（機率 $\theta$）和 $w_H$（機率 $1-\theta$）。
如果勞動者接受一份工資為 $w$ 的工作，他將在第一期獲得 $(1-\tau)w$ 的收入，並在第二期保持相同的就業狀態，獲得 $(1-\tau)w$ 的收入。
如果勞動者拒絕這份工作，他將領取失業救濟金 $b$ 作為第一期的收入，並在第二期繼續搜尋。在第二期，他將面臨新的工作機會（$w_L$ 或 $w_H$），其預期收益需要計算。

讓我們計算拒絕第一期工作機會的預期終身效用。
第一期收入為 $b$。
第二期，勞動者繼續搜尋。他會收到一個工資為 $w_L$（機率 $\theta$）或 $w_H$（機率 $1-\theta$）的機會。
由於我們已經知道在第二期，勞動者總是會接受任何工作機會（因為 $w_L > w_2^* = \frac{b}{1-\tau}$），所以他在第二期的預期收入是：
$E(y_2 | \text{rejected in period 1}) = \theta (1-\tau)w_L + (1-\theta) (1-\tau)w_H$
勞動者是風險中性的，所以拒絕第一期工作機會的預期終身效用是：
$U_{reject, 1} = b + \beta E(y_2 | \text{rejected in period 1})$
$U_{reject, 1} = b + \beta [\theta (1-\tau)w_L + (1-\theta) (1-\tau)w_H]$

現在，我們計算接受一個工資為 $w$ 的工作機會的預期終身效用。
第一期收入為 $(1-\tau)w$。
第二期收入也為 $(1-\tau)w$（因為接受工作後會保持就業）。
$U_{accept, 1}(w) = (1-\tau)w + \beta (1-\tau)w = (1-\tau)w (1+\beta)$

保留工資 $w_1^*$ 是使 $U_{accept, 1}(w_1^*) = U_{reject, 1}$ 的 $w_1^*$。