108 年 國立成功大學經濟研究所《統計學》

核心觀念

本題評量**變異數（Variance, $\sigma^2$ 或 $s^2$）與標準差（Standard Deviation, $\sigma$ 或 $s$）**的定義及其數值（numerical value）關係：

1. 非負性：對於任意實數隨機變數，變異數為離均差平方的期望值，故恆滿足 $\sigma^2 \ge 0$；標準差為變異數的非負平方根，故 $\sigma = \sqrt{\sigma^2} \ge 0$。兩者均不隨母體平均數（$\mu$）的正負號而改變。
2. 數值大小的比較關係：若令標準差為 $x \ge 0$，則變異數即為 $x^2$。比較兩者的數值大小，等價於比較 $x^2$ 與 $x$：
   • 當 $x > 1$ 時，$x^2 > x$（變異數大於標準差）。
   • 當 $x = 1$ 或 $x = 0$ 時，$x^2 = x$（變異數等於標準差）。
   • 當 $0 < x < 1$ 時，$x^2 < x$（變異數小於標準差）。

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解題方法

由標準差與變異數的數學關係：

$$\text{Standard Deviation} = \sigma \ge 0, \quad \text{Variance} = \sigma^2$$

欲比較數值大小，考慮函數差值 $f(\sigma) = \sigma^2 - \sigma = \sigma(\sigma - 1)$：

1. 情境一（變異數小於標準差）：若標準差 $\sigma = 0.5$（介於 $0$ 與 $1$ 之間），則變異數 $\sigma^2 = (0.5)^2 = 0.25$。此時數值上 $\sigma^2 < \sigma$。
2. 情境二（變異數大於標準差）：若標準差 $\sigma = 2$（大於 $1$），則變異數 $\sigma^2 = 2^2 = 4$。此時數值上 $\sigma^2 > \sigma$。

因此，變異數的數值可能大於、等於或小於標準差的數值，取決於標準差是否大於、等於或小於 $1$。

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選項分析

• a. is always larger than the numerical value of the standard deviation（錯誤）

核心觀念

「離中程度」或「變異程度」衡量資料分散情形，常見指標包括：

• 全距（range）
• 四分位距（interquartile range, IQR）
• 變異數（variance）
• 標準差（standard deviation）

這些指標的共同特徵，是用一個數值描述資料分布的分散程度。數值越大，通常表示資料越分散。

相對地，「集中趨勢」是描述資料典型位置的統計量，常見指標包括：

• 平均數（mean）
• 中位數（median）
• 众數（mode）

其中，众數是資料中出現次數最多的數值，並非衡量資料分散程度的指標。

解題方法

本題只需判斷各選項屬於「離中程度」或「集中趨勢」。

可依照下列定義判斷：

1. 全距

全距為最大值與最小值之差：

$$\text{Range}=\max(X)-\min(X)$$

它直接反映資料從最小值到最大值的整體散布範圍，因此是離中程度的衡量方式。

2. 標準差

標準差是變異數的平方根。以母體為例：

$$\sigma=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}$$

它衡量資料與平均數之間的平均偏離程度，因此屬於離中程度。

3. 四分位距

四分位距定義為第三四分位數與第一四分位數之差：

本題考驗考生對機率基本公式，特別是加法法則 (addition rule) 的應用。

加法法則的公式為：
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

題目給定：
$P(A) = 0.62$
$P(B) = 0.47$
$P(A \cup B) = 0.88$

核心觀念

離散型機率函數（discrete probability function，亦稱機率質量函數）必須符合兩項基本條件：

1. 對所有可能的 $x$，

$$f(x)\ge 0$$

2. 所有可能結果的機率總和必須等於 $1$：

$$\sum_x f(x)=1$$

其中 $f(x)=P(X=x)$，代表離散隨機變數 $X$ 取值為 $x$ 的機率。

解題方法

本題直接依據離散型機率函數的定義判斷。題目詢問「必要條件」，只要選出符合上述基本條件的選項即可。

離散型隨機變數的所有可能結果互斥且完備，因此各結果機率加總後必須涵蓋整個樣本空間，總和為 $1$：

$$\sum_x P(X=x)=1$$

因此正確選項為 d。

選項分析

• a. $\Sigma f(x)=0$

  錯誤。所有可能結果的機率總和必須等於 $1$，不可能等於 $0$。總和為 $0$代表所有結果的機率皆為零，無法形成完整的機率分配。

核心觀念

本題考查二項分配的變異數與標準差。

若隨機變數 $X$ 服從二項分配：

$$X\sim B(n,p)$$

其中：

• $n$：試驗次數
• $p$：每次成功的機率
• $1-p$：每次失敗的機率

則其期望值、變異數與標準差分別為：

$$E(X)=np$$ $$\operatorname{Var}(X)=np(1-p)$$ $$\sigma_X=\sqrt{np(1-p)}$$

解題方法

題目中共有 $100$ 位學生，其中 $20\%$ 計畫攻讀研究所，因此：

$$n=100,\qquad p=0.2$$

不計畫攻讀研究所的比例為：

$$1-p=0.8$$

令 $X$ 表示計畫攻讀研究所的學生人數，則：

$$X\sim B(100,0.2)$$

二項分配的標準差為：

$$\sigma_X=\sqrt{np(1-p)}$$

代入數值：

$$\sigma_X=\sqrt{100(0.2)(0.8)}$$ $$=\sqrt{16}=4$$

因此，標準差為 $4$。

選項分析

核心觀念

對連續型隨機變數 $X$ 而言，機率密度函數 $f(x)$ 描述的是在 $x$ 處的「密度」，其圖形上的數值就是曲線在 $x$ 點的高度：

$$f(x)=\text{曲線在 }x\text{ 處的高度}$$

連續型隨機變數落在區間 $[a,b]$ 的機率，才是密度函數曲線在該區間下的面積：

$$P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx$$

此外，單一點的機率為零：

$$P(X=x)=0$$

解題方法

本題直接辨認機率密度函數的定義。對固定的 $x$，$f(x)$ 是函數圖形在該點的高度；只有對一段區間積分，才會得到機率。

因此，正確敘述是「the height of the function at $x$」。

選項分析

(a) the probability at a given value of $x$

錯誤。對連續型隨機變數而言：

$$P(X=x)=0$$

因此 $f(x)$ 不是在 $x$ 點的機率，而是該點的機率密度。

(b) the area under the curve at $x$

錯誤。單一點 $x$ 沒有具有正寬度的區間，因此不存在可代表機率的面積。面積必須對區間進行積分，例如：

核心觀念

本題考查「均勻機率分配」（uniform probability distribution）的適用對象。

統計學基礎課程所稱的均勻分配，通常是指連續均勻分配（continuous uniform distribution）。若連續隨機變數 $X$ 在區間 $[a,b]$ 上服從均勻分配，記為：

$$X \sim U(a,b)$$

其機率密度函數為：

$$f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & a\leq x\leq b,\\ 0, & \text{其他情況。} \end{cases}$$

在區間 $[a,b]$ 內，每單位長度所對應的機率密度相同，因此任意兩個等長區間的機率相等：

$$P(c\leq X\leq d)=\frac{d-c}{b-a}$$

這種分配的隨機變數屬於連續型隨機變數。

解題方法

判斷選項的關鍵，在於辨認題目所指的標準均勻機率分配，其機率是由區間長度計算，並以機率密度函數表示。因此它所搭配的是連續隨機變數。

需要區分的是：

• 連續均勻分配：定義在一段連續區間上。
• 離散均勻分配：有限個離散結果具有相同機率，通常會另外稱為 discrete uniform distribution。

因此本題依一般統計學教材對 uniform probability distribution 的標準用語，答案為選項 a。

選項分析

a. a continuous random variable

正確。連續均勻分配適用於連續隨機變數，例如隨機選取一個 $0$ 到 $1$ 之間的實數。若 $X\sim U(0,1)$，則每個等長區間具有相同機率。

b. a discrete random variable

核心觀念

本題考查「樣本平均數」與「母體平均數」的關係。

母體平均數為

$$\mu=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i$$

樣本平均數為

$$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$$

其中 $n<N$，代表樣本數小於母體大小。但「樣本數較少」只說明計算時使用的資料筆數較少，並不能決定樣本平均數一定大於、等於或小於母體平均數。

在隨機抽樣下，樣本平均數通常具有不偏性：

$$E(\bar{X})=\mu$$

這表示長期重複抽樣時，樣本平均數的期望值等於母體平均數；並不表示每一次抽出的樣本，其平均數都必定等於母體平均數。

解題方法

直接比較樣本平均數與母體平均數的可能關係即可。設母體為

$$\{1,2,3\}$$

則母體平均數為

$$\mu=\frac{1+2+3}{3}=2$$

取樣本數 $n=2$：

• 抽到 $\{1,2\}$ 時，樣本平均數為

$$\bar{x}=\frac{1+2}{2}=1.5<2$$

• 抽到 $\{1,3\}$ 時，樣本平均數為

$$\bar{x}=\frac{1+3}{2}=2=\mu$$

• 抽到 $\{2,3\}$ 時，樣本平均數為

$$\bar{x}=\frac{2+3}{2}=2.5>2$$

因此，樣本平均數可能小於、大於或等於母體平均數。

選項分析

核心觀念

本題考查「樣本平均數的標準誤」與樣本數 $n$ 的關係。

若母體標準差為 $\sigma$，樣本平均數 $\bar X$ 的標準誤定義為：

$$SE(\bar X)=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

其中：

• $\sigma$：母體標準差
• $n$：樣本數
• $SE(\bar X)$：樣本平均數的標準誤

當樣本數 $n$ 增加時，分母 $\sqrt n$ 增加，因此標準誤會減少。這表示樣本平均數會更集中於母體平均數 $\mu$ 附近，估計結果也會更加穩定。

解題方法

直接觀察公式：

$$SE(\bar X)=\frac{\sigma}{\sqrt n}$$

在母體本身不變的前提下，$\sigma$ 與 $\mu$ 都是固定的母體參數。只有樣本數 $n$ 增加，會使：

$$\sqrt n \uparrow$$

因此：

$$\frac{\sigma}{\sqrt n}\downarrow$$

所以樣本數增加時，樣本平均數的標準誤下降。

選項分析

a. standard deviation of the population decreases

錯誤。母體標準差 $\sigma$ 是描述母體資料分散程度的參數，不會因為抽取的樣本數增加而自行減少。增加樣本數通常只會讓我們更精確地估計母體標準差，而不是改變母體標準差本身。

b. population mean increases

核心觀念

本題考查以 $t$ 分配建立兩母體平均數差的區間估計，以及 $t$ 分配的適用範圍。

若兩母體平均數分別為 $\mu_1$、$\mu_2$，欲估計平均數差：

$$\mu_1-\mu_2$$

在母體變異數未知時，通常以樣本平均數差：

$$\bar X_1-\bar X_2$$

作為點估計量，並利用 $t$ 分配建立信賴區間。

兩獨立母體且假設變異數相等時，使用合併變異數：

$$(\bar X_1-\bar X_2) \pm t_{\alpha/2,\;n_1+n_2-2} S_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}$$

其中：

$$S_p^2= \frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2} {n_1+n_2-2}$$

若不假設兩母體變異數相等，則可使用 Welch $t$ 方法：

$$(\bar X_1-\bar X_2) \pm t_{\alpha/2,\;\nu} \sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}$$

因此，$t$ 分配並非只適用於小樣本；樣本數較大時也可使用，只是此時 $t$ 分配會逐漸接近標準常態分配。

解題方法

判斷本題的關鍵，在於辨認選項是否正確描述 $t$ 分配的適用範圍。

$t$ 分配常用於母體變異數未知的平均數推論，尤其在樣本數較小且母體近似常態時十分重要。當樣本數增加時，自由度提高，$t$ 分配逐漸接近標準常態分配，因此並不會因樣本數變大就失去適用性。

核心觀念

本題評量之核心觀念為中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）與兩獨立樣本平均數差的抽樣分配（Sampling Distribution of the Difference Between Two Sample Means）。

1. 中央極限定理（CLT）：
   設母體具有有限平均數 $\mu$ 與有限變異數 $\sigma^2$。當抽取的樣本數 $n$ 充分大（通常準則為 $n \ge 30$）時，不論母體原先為何種分配，樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分配皆會漸近趨近於常態分配：

   $$\bar{X} \overset{a}{\sim} N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$$

2. 兩獨立常態隨機變數的線性組合：
   若兩母體相互獨立，且分別抽取大樣本 $n_1, n_2$，則由中央極限定理可知：

   $$\bar{X}_1 \overset{a}{\sim} N\left(\mu_1, \frac{\sigma_1^2}{n_1}\right), \quad \bar{X}_2 \overset{a}{\sim} N\left(\mu_2, \frac{\sigma_2^2}{n_2}\right)$$

   常態變數線性組合仍為常態變數。因此，兩獨立樣本平均數之差 $(\bar{X}_1 - \bar{X}_2)$ 之抽樣分配會近似於常態分配：

   $$(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) \overset{a}{\sim} N\left(\mu_1 - \mu_2, \frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}\right)$$

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解題方法

由題意「two independent large samples are taken from two populations」切入分析：

1. 分配型態：
   題目強調「large samples」（大樣本），且兩樣本互相獨立。依據中央極限定理，各別樣本平均數 $\bar{X}_1$ 與 $\bar{X}_2$ 在大樣本下均近似常態分配。獨立常態變數相減後，其差值 $(\bar{X}_1 - \bar{X}_2)$ 亦近似常態分配。

核心觀念

本題考的是「兩個獨立常態母體之樣本變異數比值的抽樣分配」。

若

• $X_1,\ldots,X_{n_1}$ 來自常態母體，樣本變異數為 $S_1^2$；
• $Y_1,\ldots,Y_{n_2}$ 來自另一個常態母體，樣本變異數為 $S_2^2$；
• 兩組樣本彼此獨立；
• 兩母體變異數相等，即 $\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2$，

則有

$$\frac{(n_1-1)S_1^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n_1-1}$$

以及

$$\frac{(n_2-1)S_2^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n_2-1}.$$

由於兩組樣本獨立，上述兩個卡方隨機變數也彼此獨立。

根據 $F$ 分配的定義，若 $U\sim\chi^2_{\nu_1}$、$V\sim\chi^2_{\nu_2}$ 且 $U,V$ 相互獨立，則

$$\frac{U/\nu_1}{V/\nu_2}\sim F_{\nu_1,\nu_2}.$$

因此，兩個獨立樣本變異數的比值服從 $F$ 分配。

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解題方法

將兩個標準化樣本變異數相除：

$$\frac{\dfrac{(n_1-1)S_1^2}{\sigma^2}}{\dfrac{(n_2-1)S_2^2}{\sigma^2}} \sim F_{n_1-1,n_2-1}.$$

約去共同的母體變異數 $\sigma^2$，得到

$$\frac{(n_1-1)S_1^2}{(n_2-1)S_2^2} \sim F_{n_1-1,n_2-1}.$$

整理後可得

$$\frac{S_1^2}{S_2^2} \sim F_{n_1-1,n_2-1}.$$

所以，兩個獨立樣本變異數之比的抽樣分配為 $F$ 分配。

題目未提供樣本數，因此無法寫出具體的自由度；但分配類型可以確定為 $F$ 分配。

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選項分析

本題考驗考生根據給定的機率分佈表，計算特定事件發生的機率。

題目給定隨機變數 X 代表一個家庭擁有的汽車數量，並提供了 X 的機率分佈表：

• $P(X=0) = 0.56$ (擁有 0 輛車的機率)
• $P(X=1) = 0.23$ (擁有 1 輛車的機率)
• $P(X=2) = 0.12$ (擁有 2 輛車的機率)
• $P(X=3) = 0.09$ (擁有 3 輛車的機率)

題目要求計算「一個家庭擁有的汽車數量多於一輛」的機率。這意味著我們需要計算 $P(X > 1)$。
$P(X > 1)$ 包括家庭擁有 2 輛車或 3 輛車的機率。
因此，我們可以將 $P(X=2)$ 和 $P(X=3)$ 相加。

核心觀念

Student $t$ 分布通常由下式定義：

$$T=\frac{Z}{\sqrt{U/\nu}}$$

其中 $Z\sim N(0,1)$，$U\sim\chi^2(\nu)$，且 $Z$ 與 $U$ 相互獨立；$\nu$ 為自由度。

Student $t$ 分布具有三項重要性質：

1. 以 0 為中心且左右對稱。
2. 自由度增加時，逐漸接近標準常態分布。
3. 相較於標準常態分布，兩端尾部較厚，尾部面積較大。

解題方法

本題屬於分布性質判斷題，只要逐一檢視選項是否符合 Student $t$ 分布的基本性質即可。

選項 a：is symmetrical.

Student $t$ 分布的機率密度函數為：

$$f(t)= \frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} \left(1+\frac{t^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}$$

函數中只出現 $t^2$，因此：

$$f(t)=f(-t)$$

故其圖形以 $t=0$ 為對稱軸，選項 a 正確。

選項 b：approaches the normal distribution as the degrees of freedom increase.

由定義：

核心觀念

本題考「一致估計量」（consistent estimator）的定義。

設母體參數為 $\theta$，估計量為 $\hat{\theta}_n$，其中 $n$ 為樣本數。若樣本數增加時，估計量以機率趨近母體參數，則稱 $\hat{\theta}_n$ 為 $\theta$ 的一致估計量，記作：

$$\hat{\theta}_n \xrightarrow{p} \theta$$

其正式定義為：對任意 $\varepsilon>0$，

$$\lim_{n\to\infty}P\left(\left|\hat{\theta}_n-\theta\right|>\varepsilon\right)=0$$

意思是，當樣本數越來越大時，估計量與母體參數相差超過任意小誤差 $\varepsilon$ 的機率會趨近於零。因此，估計量會愈來愈接近真正的母體參數。

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解題方法

本題是定義辨認題。直接將各選項與一致性的定義比較即可。

一致性關注的是：

$$\hat{\theta}_n-\theta \xrightarrow{p}0$$

也就是估計量與母體參數的差距，會隨樣本數增加而以機率趨近於零。

因此，描述「樣本數增加時，估計量與母體參數的差距變小」的選項，符合一致估計量的概念。

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選項分析

(a) 正確

題目敘述：

the difference between the estimator and the population parameter grows smaller as the sample size grows larger.

其意思是：樣本數增加時，估計量與母體參數之間的差距逐漸縮小。

這正是估計量一致性的直觀描述。嚴格而言，應理解為：

$$P\left(\left|\hat{\theta}_n-\theta\right|>\varepsilon\right)\to 0$$

因此選項 (a) 正確。

(b) 錯誤

「不偏估計量」（unbiased estimator）是指：

$$E(\hat{\theta}_n)=\theta$$

不偏性只表示估計量的期望值等於母體參數，並不保證估計量會隨樣本數增加而集中在 $\theta$ 附近。

核心觀念

本題考的是「點估計（point estimate）」的限制。

點估計是利用樣本資料，以一個單一數值估計母體參數。例如，以樣本平均數 $\bar{x}$ 估計母體平均數 $\mu$：

$$\hat{\mu}=\bar{x}$$

然而，樣本只代表母體的一部分，因此 $\hat{\mu}$ 通常會因抽樣誤差而與真正的母體參數 $\mu$ 不完全相同。點估計只提供一個中心數值，無法同時表達估計的不確定程度。

區間估計則會提供估計值與誤差範圍，例如母體平均數的信賴區間：

$$\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

其中 $n$ 為樣本數。由公式可知，樣本數越大，標準誤 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 越小，估計通常越精確。

解題方法

判斷本題各選項是否正確，關鍵在於區分：

• 點估計本身只是一個數值；
• 點估計不提供誤差大小、信賴程度或估計精確度；
• 樣本數對估計精確度的影響，必須透過標準誤或信賴區間呈現。

因此，本題應逐一檢查各敘述。

選項分析

(a) it is virtually certain to be wrong.

正確。

在一般抽樣情況下，點估計值幾乎不會恰好等於母體真正參數。例如，以 $\bar{x}$ 估計 $\mu$，即使估計值很接近 $\mu$，也通常不會完全相等。因此，單一點估計值幾乎確定會與真正參數存在差異。

這裡的「wrong」不是指估計毫無價值，而是指點估計不太可能與母體參數完全相同。

(b) it doesn't have the capacity to reflect the effects of larger sample sizes.

正確。

核心觀念

信賴區間（confidence interval）是利用樣本資料，為母體參數建立一個具有特定信賴水準的區間估計。其一般形式為：

$$\text{點估計值} \pm \text{誤差界限}$$

因此，信賴區間由「下信賴限」與「上信賴限」所構成，並附帶一個信賴水準，例如 $95\%$、$99\%$。

信賴水準的正確解釋是：若重複抽樣並以相同方法建立信賴區間，長期而言約有 $95\%$ 的區間會包含真正的母體參數。

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解題方法

判斷本題的關鍵有兩點：

1. 信賴區間是由下限與上限所構成的區間。
2. 信賴水準描述的是「建立區間的方法」在長期重複抽樣下的涵蓋比例，不是母體參數落在某個已計算區間內的機率。

因此，符合標準定義的敘述為「一個與特定信賴水準相聯的下、上信賴限」。

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選項分析

(a) a point estimate plus or minus a specific confidence level.

錯誤。

信賴區間通常可寫成：

$$\text{點估計值} \pm \text{誤差界限}$$

「加減」的對象是誤差界限（margin of error），不是信賴水準。信賴水準是 $95\%$ 或 $99\%$ 等比例，不能直接與點估計值相加減。

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(b) a lower and upper confidence limit associated with a specific level of confidence.

正確。

核心觀念

本題考的是「顯著水準與拒絕域的關係」。

顯著水準 $\alpha$ 是在虛無假設 $H_0$ 為真時，錯誤拒絕 $H_0$ 的最大容許機率。常見顯著水準的嚴格程度如下：

$$0.10 > 0.05 > 0.025$$

顯著水準越小，拒絕 $H_0$ 所需的證據越強，拒絕域也越小。因此：

$$\text{在 } \alpha=0.025 \text{ 拒絕} \Rightarrow \text{在 } \alpha=0.05 \text{ 拒絕} \Rightarrow \text{在 } \alpha=0.10 \text{ 拒絕}$$

其逆否命題為：

$$\text{在 } \alpha=0.10 \text{ 不拒絕} \Rightarrow \text{在 } \alpha=0.05 \text{ 不拒絕} \Rightarrow \text{在 } \alpha=0.025 \text{ 不拒絕}$$

也可用 $p$ 值表示。若在 $0.10$ 顯著水準下不拒絕 $H_0$，表示：

$$p\text{-value}>0.10$$

由於 $p\text{-value}>0.10>0.05$，所以在 $0.05$ 顯著水準下同樣不拒絕 $H_0$。

解題方法

題目給定：

$$\text{在 } \alpha=0.10 \text{ 下不拒絕 } H_0$$

這代表目前樣本證據不足以通過較寬鬆的 $10\%$ 顯著水準門檻。

而 $5\%$ 顯著水準比 $10\%$ 更嚴格，拒絕 $H_0$ 需要更強的證據。因此，既然在 $10\%$ 下都無法拒絕 $H_0$，在 $5\%$ 下更不可能拒絕 $H_0$。

若以 $p$ 值判斷：

核心觀念

母體平均數 $\mu$ 的單一樣本假設檢定中：

• 母體標準差 $\sigma$ 已知：使用標準常態分配 $Z$。
• 母體標準差 $\sigma$ 未知：以樣本標準差 $s$ 估計 $\sigma$，使用 $t$ 分配。

檢定統計量為

$$T=\frac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt{n}}$$

其中 $\mu_0$ 是虛無假設所指定的母體平均數，$S$ 是樣本標準差。當母體為常態分配時，

$$T\sim t_{n-1}$$

因此，自由度為 $n-1$。

解題方法

樣本標準差的計算公式為

$$S^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2}{n-1}$$

分母為 $n-1$ 的原因，在於樣本平均數 $\bar X$ 已由資料估計一個參數，使得各偏差必須滿足限制：

$$\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)=0$$

核心觀念

本題考查常態母體下樣本變異數的抽樣分配。

設 $X_1,\dots,X_n$ 為來自常態母體的隨機樣本：

$$X_i \overset{\text{i.i.d.}}{\sim} N(\mu,\sigma^2)$$

樣本變異數定義為：

$$s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2$$

若母體為常態分配，則有重要定理：

$$\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1}$$

其中：

• $s^2$：樣本變異數；
• $\sigma^2$：母體變異數；
• $\chi^2_{n-1}$：自由度為 $n-1$ 的卡方分配。

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解題方法

由常態樣本的平方和分解定理：

$$\sum_{i=1}^n\frac{(X_i-\mu)^2}{\sigma^2} = \frac{n(\bar X-\mu)^2}{\sigma^2} + \frac{\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2}{\sigma^2}$$

在常態母體下，左側服從自由度為 $n$ 的卡方分配；而且根據 Cochran 定理，樣本平均數部分與樣本離均差平方和部分相互獨立。因此：

$$\frac{\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2}{\sigma^2} \sim\chi^2_{n-1}$$

又因為：

$$\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2=(n-1)s^2$$

所以：

$$\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1}$$

成立的關鍵條件是：母體必須為常態分配，且母體變異數為 $\sigma^2$。

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選項分析

a. the sample has a Student t-distribution with degrees of freedom equal to $n-1$.

錯誤。

樣本觀測值 $X_1,\dots,X_n$ 並不是服從 Student $t$ 分配。Student $t$ 分配通常出現在下列統計量：

$$\frac{\bar X-\mu}{s/\sqrt n} \sim t_{n-1}$$

也就是在母體常態且母體變異數未知時，標準化後的樣本平均數服從 $t$ 分配。

本題為簡答題，主要考驗考生對資料分佈特徵和百分位數的理解。

(a) 如果資料集的平均數小於眾數，則可以對資料的分佈得出什麼結論？

核心觀念： 平均數、中位數和眾數三者在不同分佈下的相對位置可以反映分佈的偏態 (skewness)。

• 對稱分佈 (Symmetrical Distribution)：在理想的對稱分佈中，平均數、中位數和眾數通常相等。
• 右偏分佈 (Positively Skewed / Right-Skewed Distribution)：資料集中有少數較大的極端值，將平均數向右（較大值方向）拉。此時，通常有：眾數 < 中位數 < 平均數。
• 左偏分佈 (Negatively Skewed / Left-Skewed Distribution)：資料集中有少數較小的極端值，將平均數向左（較小值方向）拉。此時，通常有：平均數 < 中位數 < 眾數。

題目給定： 平均數 < 眾數 (Mean < Mode)。

本題要求根據情境選擇最適合的統計方法，並簡述理由。

(a) 研究者想估計「Super Fit Diet」的平均體重減輕量。研究者抽取了 300 位使用該飲食法者的體重減輕量作為隨機樣本。

• 情境分析： 研究者感興趣的是「平均體重減輕量」，這是一個關於平均數的問題。他們有一個「隨機樣本」(random sample of 300 people)，並且目的是「估計」(estimate) 這個平均值。
• 適用方法：
  • 「confidence interval for a mean」：這是估計母體平均數的區間。
  • 「one sample hypothesis test of means」：這是檢定母體平均數是否等於特定值的假設。
  • 「mean」：這是計算樣本平均數，是估計的基礎。
• 最適用方法： 題目要求「估計」平均值，而非檢定一個特定數值。因此，「confidence interval for a mean」是最合適的。雖然「mean」是計算的起點，但「confidence interval for a mean」提供了更完整的估計資訊。如果題目問的是「計算平均值」，那會是 mean。但題目問的是「估計」，通常指區間估計。
• 理由： 研究者想要得到一個關於平均體重減輕量的、包含不確定性範圍的估計，而不是一個單一的點估計。信賴區間提供了一個範圍，並以一定的信心水準來表達這個範圍包含真實平均體重減輕量的可能性。樣本大小 300 很大，這也使得區間估計或假設檢定都可行，但「估計」這個詞更傾向於區間估計。

【答案】 Confidence interval for a mean。理由：研究者想估計平均體重減輕量，需要提供一個包含真實平均值的範圍，並附帶信心水準，這正是信賴區間的功能。

(b) 台灣統計局想用 1,000 人的隨機樣本來檢定「失業率高於 4%」的說法。

• 情境分析： 研究者感興趣的是「失業率」，這是一個比例 (proportion) 的問題。他們有一個「隨機樣本」，並且要「檢定」(test) 一個關於這個比例的說法（「高於 4%」）。
• 適用方法：
  • 「confidence interval for a proportion」：這是估計母體比例的區間。

本題為簡答題，涵蓋假設檢定的多個面向。

(a) 如果您正在使用假設檢定來做決策，而第一類錯誤 (Type I error) 的後果可能對人體健康產生負面影響，您應該增加還是減少 $\alpha$？

• 核心觀念： 第一類錯誤是指當虛無假設 $H_0$ 為真時，錯誤地拒絕 $H_0$。顯著水準 $\alpha$ 就是我們願意接受的第一類錯誤的機率。
• 情境分析： 後果嚴重，意味著我們必須盡量避免發生第一類錯誤。
• 推論： 為了降低第一類錯誤的發生機率，我們應該降低 $\alpha$ 的值。
• 結論： 應該減少 $\alpha$。

【答案】 減少 $\alpha$。理由：降低 $\alpha$ 可以降低第一類錯誤（錯誤地拒絕真實的虛無假設）的機率，這對於後果嚴重的決策至關重要。

(b) 什麼變數代表研究中的實際第一類錯誤？

• 核心觀念： 第一類錯誤的機率在假設檢定中被定義為顯著水準 $\alpha$。
• 情境分析： 題目問的是「實際」第一類錯誤。
• 推論： 在理論上，我們設定 $\alpha$ 作為第一類錯誤的最大容忍機率。在實際進行檢定時，如果虛無假設 $H_0$ 為真，我們拒絕 $H_0$ 的機率就是 $\alpha$。
• 結論： $\alpha$ 代表了虛無假設為真時，我們實際拒絕它的機率。

【答案】 $\alpha$ (顯著水準)。理由：顯著水準 $\alpha$ 是在虛無假設為真時，我們拒絕虛無假設的機率。

(c) 進行了兩項研究，研究 A 的檢定力 (power) 為 0.6，研究 B 的檢定力為 0.8。哪項研究更有可能支持一個真實的對立假設？

• 核心觀念： 檢定力 (power) 是指當對立假設 $H_a$ 為真時，正確地拒絕虛無假設 $H_0$ 的機率。即 $\text{Power} = P(\text{Reject } H_0 \mid H_a \text{ is true}) = 1 - \beta$，其中 $\beta$ 是第二類錯誤 (Type II error) 的機率。
• 情境分析： 題目問哪項研究「更有可能支持一個真實的對立假設」。支持真實的對立假設，就是能夠拒絕虛無假設，而這正是檢定力的定義。
• 推論： 研究 B 的檢定力 (0.8) 高於研究 A 的檢定力 (0.6)。這意味著當對立假設為真時，研究 B 更有可能檢測到這種效應並正確拒絕虛無假設。
• 結論： 研究 B 更有可能支持一個真實的對立假設。

本題為迴歸分析相關題目，包含簡單線性迴歸的參數估計與對因果關係的判斷。

(a) 對於迴歸模型 $y = \alpha + \beta x + \epsilon$，估計 $\hat{\alpha}$ 和 $\hat{\beta}$。

核心觀念： 簡單線性迴歸模型 $y = \alpha + \beta x + \epsilon$ 的參數 $\alpha$ (截距) 和 $\beta$ (斜率) 可以透過最小平方法 (Ordinary Least Squares, OLS) 來估計。
估計量 $\hat{\alpha}$ 和 $\hat{\beta}$ 的公式為：
$\hat{\beta} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2} = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}$
$\hat{\alpha} = \bar{y} - \hat{\beta}\bar{x}$

其中 $\bar{x}$ 和 $\bar{y}$ 分別是 $x$ 和 $y$ 的樣本平均數，$S_{xy} = \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ 且 $S_{xx} = \sum (x_i - \bar{x})^2$。

計算步驟：

1. 整理數據：
   給定的數據點有三個：
   $(x_1, y_1) = (50, 60)$
   $(x_2, y_2) = (150, 40)$
   $(x_3, y_3) = (250, 20)$

2. 計算平均數：
   $\bar{x} = \frac{50 + 150 + 250}{3} = \frac{450}{3} = 150$
   $\bar{y} = \frac{60 + 40 + 20}{3} = \frac{120}{3} = 40$

3. 計算 $S_{xx}$ 和 $S_{xy}$：
   $x_i - \bar{x}$:
   $50 - 150 = -100$
   $150 - 150 = 0$
   $250 - 150 = 100$

   $(x_i - \bar{x})^2$:
   $(-100)^2 = 10000$
   $0^2 = 0$
   $100^2 = 10000$
   $S_{xx} = 10000 + 0 + 10000 = 20000$

   $y_i - \bar{y}$:
   $60 - 40 = 20$
   $40 - 40 = 0$
   $20 - 40 = -20$

   $(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$:
   $(-100)(20) = -2000$
   $(0)(0) = 0$
   $(100)(-20) = -2000$
   $S_{xy} = -2000 + 0 + (-2000) = -4000$

4. 計算 $\hat{\beta}$：
   $\hat{\beta} = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{-4000}{20000} = -0.2$

5. 計算 $\hat{\alpha}$：
   $\hat{\alpha} = \bar{y} - \hat{\beta}\bar{x} = 40 - (-0.2)(150) = 40 - (-30) = 40 + 30 = 70$

估計結果：
$\hat{\alpha} = 70$
$\hat{\beta} = -0.2$

【答案】 $\hat{\alpha} = 70$, $\hat{\beta} = -0.2$。

本題考驗考生對常態分佈的線性變換性質及其累積分佈函數 (CDF) 和機率密度函數 (PDF) 的計算。

核心觀念：

1. 線性變換的期望值和變異數： 如果 $Z$ 是一個隨機變數，且 $X = aZ + b$，則 $E[X] = aE[Z] + b$ 且 $\text{Var}(X) = a^2 \text{Var}(Z)$。
2. CDF 的計算： $F_X(x) = P(X \le x)$。
3. PDF 的計算： $f_X(x) = \frac{d}{dx} F_X(x)$。

(a) 計算 X 的平均數 $\mu$ 和變異數 $\sigma^2$。

已知：
$Z \sim N(0, 1)$，所以 $E[Z] = 0$ 且 $\text{Var}(Z) = 1$。
$X = aZ + b$。

計算平均數：
$E[X] = E[aZ + b]$
根據線性變換的性質：
$E[X] = aE[Z] + b$
$E[X] = a(0) + b$
$E[X] = b$
所以，$\mu_X = b$。

計算變異數：
$\text{Var}(X) = \text{Var}(aZ + b)$
根據線性變換的性質：
$\text{Var}(X) = a^2 \text{Var}(Z)$
$\text{Var}(X) = a^2 (1)$
$\text{Var}(X) = a^2$
所以，$\sigma_X^2 = a^2$。

【答案】 $E[X] = b$ (或 $\mu = b$)，$\text{Var}(X) = a^2$ (或 $\sigma^2 = a^2$)。

(b) 用 $\Phi$ 表示 X 的 CDF $F_X(x)$，然後使用鏈式法則計算 X 的 PDF $f_X(x)$。

步驟 1：用 $\Phi$ 表示 $F_X(x)$

已知：
$Z \sim N(0, 1)$，其 CDF 為 $\Phi(z) = P(Z \le z)$。
$X = aZ + b$。

我們要求 $F_X(x) = P(X \le x)$。
將 $X = aZ + b$ 代入：
$P(aZ + b \le x)$

現在，我們需要將不等式轉換成關於 $Z$ 的形式，以便使用 $\Phi(z)$。
假設 $a > 0$：
$aZ \le x - b$
$Z \le \frac{x - b}{a}$
所以，$P(X \le x) = P(Z \le \frac{x - b}{a}) = \Phi(\frac{x - b}{a})$。

假設 $a < 0$：
$aZ \le x - b$
當我們除以一個負數 $a$ 時，不等號方向需要改變：
$Z \ge \frac{x - b}{a}$
所以，$P(X \le x) = P(Z \ge \frac{x - b}{a})$。
由於 $\Phi(z)$ 是 CDF，所以 $P(Z \ge z) = 1 - P(Z < z) = 1 - P(Z \le z) = 1 - \Phi(z)$ （因為 Z 是連續變數， $P(Z < z) = P(Z \le z)$）。
因此，$P(X \le x) = 1 - \Phi(\frac{x - b}{a})$。

一般情況（包含 $a=0$）：
如果 $a=0$，則 $X = b$ (一個常數)。
如果 $a=0$，則 $X=b$。
$F_X(x) = P(X \le x) = P(b \le x)$。
如果 $b \le x$，則 $P(b \le x) = 1$。
如果 $b > x$，則 $P(b \le x) = 0$。
這是一個階躍函數 (step function)。
在這種情況下，$a=0$，所以 $\frac{x-b}{a}$ 是無定義的。
但如果我們暫時忽略 $a=0$ 的情況，並先處理 $a \ne 0$。

考慮 $a$ 的符號：
我們通常假設 $a \ne 0$ 進行轉換。如果 $a=0$，則 $X$ 是常數 $b$，其 PDF 是 Dirac delta function，這通常不被認為是「Nice formula」。所以，我們假設 $a \ne 0$。

• 若 $a > 0$： $F_X(x) = \Phi(\frac{x - b}{a})$
• 若 $a < 0$： $F_X(x) = P(aZ+b \le x) = P(aZ \le x-b) = P(Z \ge \frac{x-b}{a}) = 1 - \Phi(\frac{x-b}{a})$

步驟 2：使用鏈式法則計算 $f_X(x)$

PDF 的計算： $f_X(x) = \frac{d}{dx} F_X(x)$。

我們知道 $\phi(z) = \frac{d}{dz} \Phi(z)$。
根據鏈式法則，若 $F_X(x) = \Phi(g(x))$，則 $f_X(x) = \Phi'(g(x)) \cdot g'(x) = \phi(g(x)) \cdot g'(x)$。

本題考驗考生對線性變換下協方差 (covariance) 和相關係數 (correlation coefficient) 的性質的理解。

核心觀念：

1. 線性變換與協方差： 如果 $X_1, X_2$ 是兩個隨機變數，且 $a, b, c, d$ 是常數，則
   $\text{Cov}(aX_1 + b, cX_2 + d) = ac \, \text{Cov}(X_1, X_2)$。
2. 線性變換與相關係數： 如果 $X_1, X_2$ 是兩個隨機變數，且 $a, b, c, d$ 是常數，且 $a, c$ 同號，則
   $\text{Corr}(aX_1 + b, cX_2 + d) = \text{Corr}(X_1, X_2)$。
   如果 $a$ 和 $c$ 異號，則相關係數會變號。
   更一般地，$\text{Corr}(aX_1 + b, cX_2 + d) = \frac{ac}{|ac|} \text{Corr}(X_1, X_2) = \text{sgn}(ac) \text{Corr}(X_1, X_2)$。

已知關係式：
攝氏 (Celsius) 轉華氏 (Fahrenheit)：$F = C \times \frac{9}{5} + 32$
華氏 (Fahrenheit) 轉攝氏 (Celsius)：$C = (F - 32) \times \frac{5}{9}$

設：
X: 台北夏季每日最高溫 (華氏)
Y: 台南夏季每日最高溫 (華氏)
U: 台北夏季每日最高溫 (攝氏)
G: 台南夏季每日最高溫 (攝氏)

根據關係式，我們有：
$U = \frac{5}{9} X - \frac{5}{9} \times 32$
$G = \frac{5}{9} Y - \frac{5}{9} \times 32$

已知條件：
$\text{Cov}(X, Y) = 4$
$\text{Corr}(X, Y) = 0.8$

計算 Cov(U, G)：

我們使用協方差的線性變換性質：
$\text{Cov}(U, G) = \text{Cov}(\frac{5}{9} X - \frac{5}{9} \times 32, \frac{5}{9} Y - \frac{5}{9} \times 32)$
令 $a = \frac{5}{9}$, $b = -\frac{5}{9} \times 32$, $c = \frac{5}{9}$, $d = -\frac{5}{9} \times 32$。
$\text{Cov}(U, G) = ac \, \text{Cov}(X, Y)$