109 年 國立成功大學經濟研究所《統計學》

本題主要在於釐清機率論中「互斥事件」與「獨立事件」的定義與關係。

a. 互斥事件與獨立事件的定義

• 互斥事件 (Mutually Exclusive Events):
  兩個事件稱為互斥，是指它們不能同時發生。換句話說，如果其中一個事件發生了，另一個事件就絕對不會發生。在集合論的觀點來看，這表示兩個事件的交集為空集合。
  在機率符號上，若事件 A 和事件 B 互斥，則它們同時發生的機率為零：
  $P(A \cap B) = 0$

  • 舉例說明： 投擲一枚骰子，事件 A 為「出現 1 點」，事件 B 為「出現 2 點」。這兩個事件是互斥的，因為一次投擲不可能同時出現 1 點和 2 點。

• 獨立事件 (Independent Events):
  兩個事件稱為獨立，是指一個事件的發生與否，不會影響另一個事件發生的機率。換句話說，知道其中一個事件發生的資訊，對預測另一個事件發生的機率沒有幫助。
  在機率符號上，若事件 A 和事件 B 獨立，則它們同時發生的機率等於各自機率的乘積：
  $P(A \cap B) = P(A)P(B)$
  或者，更一般地，條件機率的定義下，若 $P(B) > 0$，則 $P(A|B) = P(A)$；

本題考驗的是貝氏定理 (Bayes' Theorem) 的應用，需要計算在已知某事件（讀報紙）發生的情況下，推斷另一事件（支持某政黨）發生的條件機率。

核心概念：
貝氏定理用於根據新的證據更新先驗機率，計算後驗機率。

解題步驟：

1. 定義事件：

   • 令 $X$ 為事件：該天才支持政黨 X。
   • 令 $Y$ 為事件：該天才支持政黨 Y。
   • 令 $Z$ 為事件：該天才支持政黨 Z。
   • 令 $D$ 為事件：該天才閱讀《The Dummy Times》。

2. 列出已知資訊 (先驗機率與條件機率)：

   • 總天才人數 = 100。
   • 支持政黨 X 的人數 = 50，所以 $P(X) = \frac{50}{100} = 0.5$。
   • 支持政黨 Y 的人數 = 40，所以 $P(Y) = \frac{40}{100} = 0.4$。
   • 支持政黨 Z 的人數 = 10，所以 $P(Z) = \frac{10}{100} = 0.1$。
   • 支持政黨 X 的人閱讀《The Dummy Times》的機率：$P(D|X) = 0.30$。
   • 支持政黨 Y 的人閱讀《The Dummy Times》的機率：$P(D|Y) = 0.60$。
   • 支持政黨 Z 的人閱讀《The Dummy Times》的機率：$P(D|Z) = 0.40$。

本題主要考驗對聯合機率密度函數 (Joint Probability Density Function, PDF) 的理解，包括邊際機率密度函數 (Marginal PDF) 的計算、條件機率密度函數 (Conditional PDF) 的計算，以及機率的計算。

a. 計算 $P(x > 0.5)$ 和 $P(y < 0.5)$

首先，我們需要檢查給定的聯合 PDF 是否為一個有效的 PDF。這意味著其積分值必須為 1。
$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{12}{5}x(2-x-y) \, dy \, dx$
先對 $y$ 積分：
$\int_{0}^{1} \frac{12}{5}x \left[ 2y - \frac{xy^2}{2} - \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{1} \, dx$
$\int_{0}^{1} \frac{12}{5}x \left( 2 - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \right) \, dx$
$\int_{0}^{1} \frac{12}{5}x \left( \frac{3}{2} - \frac{x}{2} \right) \, dx$
$\int_{0}^{1} \frac{12}{5} \left( \frac{3}{2}x - \frac{x^2}{2} \right) \, dx$
再對 $x$ 積分：
$\frac{12}{5} \left[ \frac{3}{4}x^2 - \frac{x^3}{6} \right]_{0}^{1}$
$\frac{12}{5} \left( \frac{3}{4} - \frac{1}{6} \right)$
$\frac{12}{5} \left( \frac{9-2}{12} \right) = \frac{12}{5} \left( \frac{7}{12} \right) = \frac{7}{5}$
積分結果不是 1。這表示原始題目給定的 PDF 函數在定義域 $(0,1) \times (0,1)$ 上積分值為 $\frac{7}{5}$，而不是 1。這可能是一個印刷錯誤。
在這種情況下，我們有兩種處理方式：

1. 假設題目給定的 PDF 是一個比例常數，並計算出正確的常數使得總積分為 1。
2. 直接使用題目給定的 PDF，並假設其積分值確實為 $\frac{7}{5}$，然後再進行機率計算（這在統計學中較不常見，通常 PDF 必須積分為 1）。

我們假設題目意圖給定一個正確的 PDF，因此我們會先計算出正確的常數。
令正確的 PDF 為 $c \cdot x(2-x-y)$。
$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} c \cdot x(2-x-y) \, dy \, dx = 1$
我們已經計算出 $x(2-x-y)$ 在 $(0,1) \times (0,1)$ 上的積分是 $\frac{7}{5}$。
所以，$c \cdot \frac{7}{5} = 1 \implies c = \frac{5}{7}$。
正確的 PDF 應該是 $f(x,y) = \frac{5}{7}x(2-x-y)$，其中 $0 < x < 1, 0 < y < 1$。
然而，題目明確寫了 $\frac{12}{5}$。為了嚴格按照題目給出的數字，我們將暫時假設題目是想讓 $f(x,y) = \frac{12}{5}x(2-x-y)$ 並且其積分值是 $\frac{7}{5}$。
在實際考試時，若遇到這種情況，建議向監考老師反應或在試卷上註記。
在此，我將假設題目給定的 $\frac{12}{5}$ 是正確的比例常數，並直接使用它來計算機率，這意味著我們計算出的機率值可能需要進一步調整，或者題目本身存在瑕疵。
重要提示： 嚴格來說，這不是一個有效的 PDF。然而，我們將按照題目給定的函數進行計算，並假設這是一個「相對」的機率密度。

計算 $P(x > 0.5)$：
為了計算 $P(x > 0.5)$，我們需要計算 $x$ 的邊際機率密度函數 $f_X(x)$。
$f_X(x) = \int_{0}^{1} f(x,y) \, dy = \int_{0}^{1} \frac{12}{5}x(2-x-y) \, dy$
$f_X(x) = \frac{12}{5}x \left[ (2-x)y - \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{1}$
$f_X(x) = \frac{12}{5}x \left( (2-x)(1) - \frac{1^2}{2} \right)$
$f_X(x) = \frac{12}{5}x \left( 2-x - \frac{1}{2} \right)$
$f_X(x) = \frac{12}{5}x \left( \frac{3}{2}-x \right) = \frac{12}{5} \left( \frac{3}{2}x - x^2 \right)$
這是 $x$ 的邊際 PDF，定義域為 $0 < x < 1$。

現在計算 $P(x > 0.5)$：
$P(x > 0.5) = \int_{0.5}^{1} f_X(x) \, dx = \int_{0.5}^{1} \frac{12}{5} \left( \frac{3}{2}x - x^2 \right) \, dx$
$P(x > 0.5) = \frac{12}{5} \left[ \frac{3}{4}x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0.5}^{1}$
$P(x > 0.5) = \frac{12}{5} \left[ \left( \frac{3}{4}(1)^2 - \frac{(1)^3}{3} \right) - \left( \frac{3}{4}(0.5)^2 - \frac{(0.5)^3}{3} \right) \right]$
$P(x > 0.5) = \frac{12}{5} \left[ \left( \frac{3}{4} - \frac{1}{3} \right) - \left( \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{3} \right) \right]$
$P(x > 0.5) = \frac{12}{5} \left[ \left( \frac{9-4}{12} \right) - \left( \frac{3}{16} - \frac{1}{24} \right) \right]$
$P(x > 0.5) = \frac{12}{5} \left[ \frac{5}{12} - \left( \frac{9-2}{48} \right) \right]$
$P(x > 0.5) = \frac{12}{5} \left[ \frac{5}{12} - \frac{7}{48} \right]$
$P(x > 0.5) = \frac{12}{5} \left[ \frac{20-7}{48} \right] = \frac{12}{5} \left[ \frac{13}{48} \right]$
$P(x > 0.5) = \frac{1}{5} \left[ \frac{13}{4} \right] = \frac{13}{20}$

計算 $P(y < 0.5)$：
為了計算 $P(y < 0.5)$，我們需要計算 $y$ 的邊際機率密度函數 $f_Y(y)$。
$f_Y(y) = \int_{0}^{1} f(x,y) \, dx = \int_{0}^{1} \frac{12}{5}x(2-x-y) \, dx$
$f_Y(y) = \frac{12}{5} \int_{0}^{1} (2-y)x - x^2 \, dx$
$f_Y(y) = \frac{12}{5} \left[ (2-y)\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}$
$f_Y(y) = \frac{12}{5} \left[ (2-y)\frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right]$

本題主要考驗對假設檢定 (Hypothesis Testing) 中基本概念的理解，特別是與檢定錯誤、檢定水準、信賴區間等相關的術語。

a. 顯著水準 (Level of Significance) 與信賴係數 (Confidence Coefficient)

這兩個術語都與機率有關，但它們分別應用於假設檢定和信賴區間，並且描述的是不同類型的錯誤機率或正確機率。

• 顯著水準 (Level of Significance), $\alpha$：

  • 定義： 顯著水準 $\alpha$ 是在虛無假設 (Null Hypothesis, $H_0$) 為真時，拒絕虛無假設的機率。這也稱為第一類錯誤 (Type I Error) 的機率。
  • 數學表示： $\alpha = P(\text{Reject } H_0 | H_0 \text{ is true})$
  • 應用： 在進行假設檢定時，研究者會預先設定一個顯著水準 $\alpha$ (例如 0.05 或 0.01)。如果檢定統計量落入拒絕域，且其對應的 p-value 小於或等於 $\alpha$，則我們拒絕虛無假設。
  • 目標： 顯著水準反映了我們願意承擔的「誤判」風險，即錯誤地認為某個效應存在，而實際上它並不存在。

• 信賴係數 (Confidence Coefficient), $1-\alpha$：

  • 定義： 信賴係數是指在重複抽樣的情況下，由樣本構造的信賴區間 (Confidence Interval) 能夠包含真實母體參數的比例。它通常表示為 $1-\alpha$。
  • 數學表示： $1-\alpha = P(\text{The interval contains the true parameter})$
  • 應用： 當我們計算一個信賴區間時，例如 95% 的信賴區間，這意味著信賴係數是 0.95。這表示如果我們從同一母體中重複抽取無限多個樣本，並為每個樣本計算一個信賴區間，那麼大約有 95% 的這些區間會包含真實的母體參數。
  • 目標： 信賴係數反映了我們對信賴區間涵蓋真實參數的信心程度。

• 兩者之間的關係：
  這兩個概念緊密相關，通常使用相同的機率值 $\alpha$。

  • 若信賴區間的信賴係數為 $1-\alpha$，則對應的假設檢定（例如，檢定母體參數是否等於信賴區間的中心點）的顯著水準也是 $\alpha$。
  • 例如，一個 95% 的信賴區間 (信賴係數 $1-\alpha = 0.95$) 對應於一個顯著水準 $\alpha = 0.05$ 的雙尾檢定。
  • 區別： 顯著水準關注的是「拒絕虛無假設的機率」，而信賴係數關注的是「包含真實參數的區間的機率」。

b. 第二類錯誤 (Type II Error) 與檢定的功效 (Power of a Test)

這兩個概念同樣與假設檢定有關，並且是相互對立的。

本題為一開放性問答題，要求考生針對科學家提出的「戀愛導致肥胖」的論點，根據提供的數據與圖表，提出同意或不同意的看法，並給予充分的理由。這考驗的不是計算能力，而是統計思維、邏輯推理和對研究設計的批判性分析能力。

題旨分析：
科學家觀察到，處於「In a relationship」或「Married」狀態的人，其體重似乎比「Single」狀態的人來得重。他提出的機制是：進入穩定關係後，人們不再需要維持吸引力來尋找伴侶，因此飲食上可能變得更放鬆，導致體重增加。他進一步收集了「大量數據」並繪製了散佈圖，圖中顯示了「Fitted values」和「Body weight」的關係，且看起來「Body weight」與「Relationship status」之間有正相關。基於這些觀察，他及其同僚提出了「Falling in love causes you fat」的結論。

回答架構建議：
考生可以選擇同意或不同意。無論選擇哪一方，都需要提供至少兩個理由，並詳細解釋邏輯。

若選擇同意：
需要解釋為什麼圖表和數據支持這個結論，以及科學家提出的機制是否合理。

• 理由一：數據與圖表的直接支持

  • 數據分析： 雖然只有 12 個樣本，但我們可以初步觀察：
    • Single 的體重範圍：130-160 磅。
    • In a relationship 的體重範圍：180-210 磅。
    • Married 的體重範圍：230-360 磅。
      從這些數據來看，平均體重確實呈現 Single < In a relationship < Married 的趨勢。
  • 圖表分析： 雖然圖中標示的是「Fitted values」和「Body weight」，且「Fitted values」可能指的是回歸直線，但整體趨勢線（從 Single 到 Married）顯示體重是上升的。點的散佈也顯示，越往右（代表越進入穩定關係），點的垂直位置（體重）似乎越高。
  • 邏輯解釋： 這些觀察結果與科學家的主張一致，即處於更穩定關係（戀愛/婚姻）的人，平均體重較重。

• 理由二：機制的可行性 (Mechanism's Plausibility)

  • 心理與行為學角度： 在尋找伴侶的階段，人們通常會更加注重外表和健康形象，透過飲食控制、運動等方式來維持吸引力。一旦進入穩定的關係，這種外部壓力會減輕。人們可能因此感到更自在，減少對飲食的嚴格控制，增加了攝取高熱量食物的機會，進而導致體重增加。
  • 生活習慣改變： 進入關係後，生活模式可能改變，例如：一起用餐的頻率增加，或者伴侶間的飲食習慣相互影響，可能都傾向於較為放鬆或高熱量的選擇。

若選擇不同意：
需要指出科學家論證中的潛在問題，例如混淆因果關係、未考慮其他因素等，並提出可解釋數據的替代性因素。

• 理由一：混淆因果關係 (Correlation vs. Causation) 與反向因果

  • 統計學觀點： 觀察到相關性（關係狀態與體重相關）不等於因果關係（關係狀態「導致」體重增加）。
  • 反向因果： 可能是體重較重的人，反而更容易進入或維持一段關係，而不是反過來。例如，體重較重的人可能在社交上更為開放，或者在尋找伴侶時，體重不是決定性因素，而他們也更容易找到願意接納他們體重的伴侶。
  • 邏輯解釋： 科學家的論證是單向的（關係 -> 體重），但實際情況可能是雙向的，甚至因果方向相反。

• 理由二：忽略了重要的混淆因子 (Confounding Factors)

  • 年齡 (Age)： 隨著年齡增長，人們的新陳代謝率通常會下降，體重也更容易增加。

核心觀念

標準差衡量隨機變數偏離平均數的程度：

$$\sigma_X=\sqrt{\operatorname{Var}(X)},\qquad \operatorname{Var}(X)=E[(X-\mu)^2]$$

三個圖形的機率質量函數皆以 $x=3$ 為中心且左右對稱，因此：

$$\mu=E(X)=3$$

所以只要比較變異數即可。距離平均數越遠的 $x=1,5$，對變異數的貢獻越大。

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解題方法與計算

（A）

圖形 A 在 $x=1,2,3,4,5$ 的機率相同，因此

$$P(X=x)=\frac15$$

變異數為

$$\begin{aligned} \operatorname{Var}(X) &=\sum (x-3)^2P(X=x)\\ &=\frac15\left[(-2)^2+(-1)^2+0^2+1^2+2^2\right]\\ &=\frac{10}{5}=2 \end{aligned}$$

因此

$$\sigma_A=\sqrt{2}\approx 1.414$$

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（B）

由圖形可讀出各柱高比例為

$$1:2:4:2:1$$

總比例為 $10$，故各點機率為

$$\left(\frac1{10},\frac2{10},\frac4{10},\frac2{10},\frac1{10}\right)$$

變異數為

$$\begin{aligned} \operatorname{Var}(X) &=4\left(\frac1{10}\right) +1\left(\frac2{10}\right) +0\left(\frac4{10}\right) +1\left(\frac2{10}\right) +4\left(\frac1{10}\right)\\ &=\frac{12}{10}=\frac65 \end{aligned}$$