108 年 國立成功大學經濟研究所《個體經濟學》

核心觀念

本題結合三個觀念：

1. 線性效用函數下的消費者選擇：比較兩種商品的「每一元效用」。
2. 完全競爭市場的長期均衡：自由進出下，廠商長期經濟利潤為零，因此價格等於平均成本最低點。
3. 多商品市場的商品競爭：消費者會購買每一元效用較高的商品；若兩種商品均可生產，必須比較調整後的價格。

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解題方法

消費者效用為

$$u(x,y)=ax+y$$

收入為 $1，預算限制為

$$p_xx+p_yy\leq 1$$

消費一單位 X 帶來效用 $a$，每花一元購買 X 所得到的效用為

$$\frac{a}{p_x}$$

消費一單位 Y 帶來效用 $1$，每花一元購買 Y 所得到的效用為

$$\frac{1}{p_y}$$

因此，消費者只需比較 $\frac{a}{p_x}$ 與 $\frac{1}{p_y}$。

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（a）兩種商品的需求函數

情況一：X 的每元效用較高

若

$$\frac{a}{p_x}>\frac{1}{p_y}$$

等價於

$$ap_y>p_x$$

消費者將全部收入用於購買 X，因此

$$x^*=\frac{1}{p_x},\qquad y^*=0$$

情況二：Y 的每元效用較高

若

$$\frac{a}{p_x}<\frac{1}{p_y}$$

等價於

$$ap_y<p_x$$

消費者將全部收入用於購買 Y，因此

$$x^*=0,\qquad y^*=\frac{1}{p_y}$$

情況三：兩種商品的每元效用相同

若

$$\frac{a}{p_x}=\frac{1}{p_y}$$

等價於

$$p_x=ap_y$$

消費者對 X 與 Y 無差異。此時任何滿足預算線的消費組合皆可能成為最適選擇：

$$p_xx+p_yy=1,\qquad x,y\geq 0$$

因此，需求函數可表示為

$$(x^*,y^*)= \begin{cases} \left(\dfrac{1}{p_x},0\right), & p_x<ap_y,\\[1.2ex] \left(0,\dfrac{1}{p_y}\right), & p_x>ap_y,\\[1.2ex] \{(x,y):p_xx+p_yy=1,\ x,y\geq0\}, & p_x=ap_y. \end{cases}$$

由於人口規模已標準化為 1，以上個人需求量也等於市場需求量。

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（b）X 市場的長期均衡價格

題目已知 X 的需求為正，因此消費者購買 X，市場需求為

$$x_D=\frac{1}{p_x}$$

單一 X 廠商的成本函數為

$$C_x(q)=b+dq^2$$

其中 $q$ 表示單一廠商的產量。

平均成本為

$$AC_x(q)=\frac{C_x(q)}{q} =\frac{b}{q}+dq$$

長期完全競爭均衡下，自由進出使得：

$$p_x=\min AC_x(q)$$

求平均成本的最低點：

$$\frac{dAC_x}{dq} =-\frac{b}{q^2}+d=0$$

因此

$$q_x^2=\frac{b}{d}$$

單一廠商的長期均衡產量為

$$q_x^*=\sqrt{\frac{b}{d}}$$

代回平均成本：

$$p_x^* =AC_x(q_x^*) =\frac{b}{\sqrt{b/d}}+d\sqrt{\frac{b}{d}}$$

整理得

$$p_x^*=2\sqrt{bd}$$

也可利用長期均衡條件 $MC=AC$ 驗算。由

$$MC_x(q)=2dq$$

令 $MC_x=AC_x$：

$$2dq=\frac{b}{q}+dq$$

可得

$$dq^2=b$$

與上述結果一致。

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（c）僅由 Y 商品供給的條件

Y 廠商的成本函數為

$$C_y(q)=e+fq^2$$

因此其平均成本為

核心觀念

本題涉及：

• 獨占廠商的利潤極大化：$MR=MC$
• 平均成本定價（fair-return regulation）：$P=AC$
• 社會效率條件：$P=MC$
• 無謂損失（deadweight loss）
• 外部成本與 Pigouvian tax：使廠商內部化邊際外部成本

需求函數為：

$$Q=100-P$$

反需求函數為：

$$P=100-Q$$

成本函數為：

$$C(Q)=20Q+1,200$$

因此：

$$MC=20$$

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解題方法

先將需求函數改寫為反需求函數，再分別建立總收益、邊際收益與平均成本，依各小題所要求的管制方式求解。

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(a) 獨占利潤極大化

總收益為：

$$TR=P\cdot Q=(100-Q)Q=100Q-Q^2$$

邊際收益為：

$$MR=\frac{dTR}{dQ}=100-2Q$$

利潤極大化條件為：

$$MR=MC$$

因此：

$$100-2Q=20$$ $$Q_M=40$$

代回需求函數：

$$P_M=100-40=60$$

總收益：

$$TR=60(40)=2,400$$

總成本：

$$TC=20(40)+1,200=2,000$$

所以獨占利潤為：

$$\pi_M=TR-TC=2,400-2,000=400$$

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(b) 公平報酬管制價格

核心觀念

公平報酬管制要求廠商收取平均成本價格：

$$P=AC$$

如此廠商可獲得零經濟利潤，不會因管制而虧損。

平均成本為：

$$AC=\frac{C(Q)}{Q} =\frac{20Q+1,200}{Q} =20+\frac{1,200}{Q}$$

將需求價格與平均成本相等：

$$100-Q=20+\frac{1,200}{Q}$$

兩邊乘以 $Q$：

$$100Q-Q^2=20Q+1,200$$

整理得：

$$Q^2-80Q+1,200=0$$

因式分解：

$$(Q-20)(Q-60)=0$$

因此有兩個平均成本定價交點：

$$Q=20,\qquad Q=60$$

對應價格分別為：

• 若 $Q=20$：

$$P=100-20=80$$

• 若 $Q=60$：

$$P=100-60=40$$

題目要求「在廠商不虧損下，使產業盡可能有效率」，因此選擇產量較大的交點：

$$Q_R=60$$

此時：

$$P_R=40$$

驗算：

$$AC(60)=20+\frac{1,200}{60}=40$$

故廠商利潤為零，且產量比 $Q=20$ 更接近效率產量。

為何不選 $P=80$

$P=80$ 雖然也符合 $P=AC$，但其對應產量僅為 $20$，限制產量過低，社會剩餘較小。因此公平報酬管制應選擇較大的產量交點：

$$\boxed{P_R=40}$$

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核心觀念

本題考的是雙占市場的 Cournot 數量競爭模型。兩家廠商同時決定產量，市場價格由總產量決定：

$$Q=q_1+q_2,\qquad P=220-20Q$$

廠商 $i$ 的利潤為：

$$\pi_i=Pq_i-C_i(q_i)$$

固定成本不影響邊際決策，因此只需注意邊際成本：

$$MC_1=2,\qquad MC_2=1$$

Cournot 均衡的必要條件是各廠商依據對手產量最大化利潤。

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解題方法

由需求函數得總收益：

$$TR_i=Pq_i=(220-20q_i-20q_j)q_i$$

因此廠商 $i$ 的邊際收益為：

$$MR_i=220-40q_i-20q_j$$

在內部解下，利潤最大化條件為：

$$MR_i=MC_i$$

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（a）求均衡價格

廠商 1 的反應函數

$$220-40q_1-20q_2=2$$

整理得：

$$40q_1+20q_2=218$$ $$q_1=5.45-\frac{1}{2}q_2$$

廠商 2 的反應函數

$$220-40q_2-20q_1=1$$

整理得：

$$20q_1+40q_2=219$$ $$q_2=5.475-\frac{1}{2}q_1$$

聯立兩條反應函數：

$$q_1+\frac{1}{2}q_2=5.45$$ $$\frac{1}{2}q_1+q_2=5.475$$

解得：

$$q_1=\frac{217}{60},\qquad q_2=\frac{11}{3}$$

所以市場總產量為：

$$Q=q_1+q_2 =\frac{217}{60}+\frac{220}{60} =\frac{437}{60}$$

均衡價格為：

$$P=220-20Q =220-20\left(\frac{437}{60}\right)$$ $$P=220-\frac{437}{3} =\frac{223}{3} \approx 74.33$$

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核心觀念

1. 準線性效用函數（Quasi-linear Utility Function）：
   形式為 $U(C, F) = v(C) + F$（其中 $v'(C) > 0, v''(C) < 0$）。其重要特性為：在內生解（Interior Solution）下，商品 $C$ 的需求量不受所得 $M$ 影響（所得效果為 0），所有所得變動的所得效果全由線性商品 $F$ 吸收。
2. 消費者效用極大化一階條件：
   在無角隅解的前提下，最適消費組合滿足邊際替代率等於價格比： $$MRS_{CF} = \frac{MU_C}{MU_F} = \frac{p_C}{p_F}$$ 當所得不足以購買切點消費量時，將產生角隅解（Corner Solution，即 $F^* = 0$）。
3. 價格消費曲線（Price Consumption Curve, PCC）：
   在所得 $M$ 與商品 $F$ 價格 $p_F$ 固定不變下，當商品 $C$ 的自身價格 $p_C$ 連續變動時，所對應之最適消費組合 $(C^*, F^*)$ 在商品空間中的幾何軌跡。
4. PCC 斜率與需求價格彈性之關係：
   • 若商品 $C$ 的自身價格需求彈性 $\epsilon_{C, p_C} > 1$（富有彈性），$p_C$ 下降會導致對 $C$ 的總支出增加，進而排擠對 $F$ 的支出，使 $F$ 消費量減少，此時 PCC 斜率為負（$\frac{dF}{dC} < 0$）。
   • 若交叉價格效果 $\frac{\partial F}{\partial p_C} > 0$，代表兩商品為毛替代品（Gross Substitutes）。

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解題方法

(a) 推導兩商品的 demand functions

消費者的效用極大化問題為：

$$\max_{C \ge 0, F \ge 0} U(C, F) = 2C^{1/2} + F \quad \text{s.t.} \quad p_C C + p_F F \le M$$

Step 1：計算邊際效用與邊際替代率

$$MU_C = \frac{\partial U}{\partial C} = 2 \cdot \frac{1}{2} C^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{C}}$$ $$MU_F = \frac{\partial U}{\partial F} = 1$$ $$MRS_{CF} = \frac{MU_C}{MU_F} = \frac{1}{\sqrt{C}}$$

Step 2：由切點條件求解候選消費量
令 $MRS_{CF} = \frac{p_C}{p_F}$：

$$\frac{1}{\sqrt{C}} = \frac{p_C}{p_F} \implies \sqrt{C} = \frac{p_F}{p_C} \implies C = \left(\frac{p_F}{p_C}\right)^2 = \frac{p_F^2}{p_C^2}$$

Step 3：檢驗預算限制與非負條件（區分內生解與角隅解）
購買該水準之 $C$ 所需的花費為：

$$p_C C = p_C \cdot \frac{p_F^2}{p_C^2} = \frac{p_F^2}{p_C}$$

1. 內生解區間（$M \ge \frac{p_F^2}{p_C}$，即 $p_C \ge \frac{p_F^2}{M}$）：
   所得在支付 $C$ 之後仍有剩餘以購買 $F$（$F^* \ge 0$）：

   $$C^*(p_C, p_F, M) = \frac{p_F^2}{p_C^2}$$ $$F^*(p_C, p_F, M) = \frac{M - p_C C^*}{p_F} = \frac{M - \frac{p_F^2}{p_C}}{p_F} = \frac{M}{p_F} - \frac{p_F}{p_C}$$

2. 角隅解區間（$M < \frac{p_F^2}{p_C}$，即 $p_C < \frac{p_F^2}{M}$）：
   此時所得不足以支持切點所需之 $C$，在全預算線上 $MRS_{CF} > \frac{p_C}{p_F}$ 恆成立，消費者將全部所得用於購買 $C$：

   $$C^*(p_C, p_F, M) = \frac{M}{p_C}$$ $$F^*(p_C, p_F, M) = 0$$

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(b) 推導 $p_C$ 變動時的 Price Consumption Curve (PCC)

PCC 是在 $(C, F)$ 坐標平面上，消去變動參數 $p_C$ 所得到的方程式。

1. 內生解軌跡（$p_C \ge \frac{p_F^2}{M} \iff 0 < C \le \frac{M^2}{p_F^2}$）：
   由內生解之 $C = \frac{p_F^2}{p_C^2}$ 可得：

   $$\frac{p_F}{p_C} = \sqrt{C}$$

   代入 $F$ 的表示式中：

   $$F = \frac{M}{p_F} - \frac{p_F}{p_C} = \frac{M}{p_F} - \sqrt{C}$$

2. 角隅解軌跡（$p_C < \frac{p_F^2}{M} \iff C > \frac{M^2}{p_F^2}$）：
   當 $p_C$ 持續下降時，$F^* = 0$，軌跡落在橫軸上：

   $$F = 0 \quad \left(\text{其中 } C > \frac{M^2}{p_F^2}\right)$$

綜合兩段，價格消費曲線（PCC）方程式為：

$$F(C) = \begin{cases} \frac{M}{p_F} - \sqrt{C}, & 0 < C \le \frac{M^2}{p_F^2} \\ 0, & C > \frac{M^2}{p_F^2} \end{cases}$$

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(c) 計算 PCC 的斜率並討論其經濟意涵

以橫軸為 $C$、縱軸為 $F$。

核心觀念

本題考查價格上限造成短缺時，不同配給方式對資源配置效率與死重損失的影響。

需求、供給函數的反函數為：

$$P_D=40-0.1Q$$ $$P_S=0.1Q$$

其中：

• $P_D$：消費者對第 $Q$ 單位商品的最高願付價格。
• $P_S$：生產第 $Q$ 單位商品的邊際成本。
• 總剩餘：

$$TS=\text{總願付價格}-\text{總生產成本}$$

死重損失為競爭均衡總剩餘與價格上限下總剩餘之差：

$$DWL=TS^*-TS_{\text{價格上限}}$$

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先求競爭均衡與價格上限下的交易量

競爭均衡滿足需求量等於供給量：

$$400-10P=10P$$ $$P^*=20,\qquad Q^*=200$$

均衡總剩餘為：

$$TS^*=\int_0^{200}\left[(40-0.1Q)-(0.1Q)\right]dQ$$ $$=\int_0^{200}(40-0.2Q)dQ=4000$$

政府設定價格上限 $P_c=10$：

供給量為：

$$Q_s=10P_c=100$$

需求量為：

$$Q_d=400-10P_c=300$$

因此市場短缺：

$$Q_d-Q_s=300-100=200$$

實際交易量受供給量限制，為 $100$ 單位。三小題的差異，在於這 $100$ 單位商品分配給哪些消費者。

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(a) 商品分配給願付價格較高者

解題方法

願付價格較高的消費者位於需求曲線最前端，因此獲得商品的是 $Q=0$ 到 $Q=100$ 的消費者。這種配給方式會優先滿足高願付價格者，故在既定交易量 $100$ 下屬於效率最高的分配。

消費者總願付價格為：

$$\int_0^{100}(40-0.1Q)dQ =3500$$

生產前 $100$ 單位商品的總成本為：

$$\int_0^{100}0.1Q\,dQ =500$$

因此價格上限下的總剩餘為：

$$TS_a=3500-500=3000$$

死重損失為：

$$DWL_a=TS^*-TS_a=4000-3000$$ $$\boxed{DWL_a=1000}$$

亦可直接看成未交易的 $Q=100$ 至 $Q=200$ 區間，其需求價格與供給價格之間的三角形面積：

$$DWL_a=\frac{1}{2}(200-100)(20-10)=1000$$

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(b) 商品在願意以價格 $10$ 購買者中隨機分配

解題方法