115 年 國立成功大學經濟研究所《個體經濟學》

核心觀念

本題考察價格變動下的 Hicks 分解：

$$\text{總效果}=\text{Hicks 替代效果}+\text{所得效果}$$

Hicks 替代效果是：價格改變後，將所得調整至使消費者仍維持原先效用水準，觀察消費組合的變化。

所得效果是：在新價格下，從補償後所得恢復至原本所得，所造成的消費變化。

效用函數為完全替代品：

$$u(q_1,q_2)=4q_1+5q_2$$

比較每一元所得帶來的效用：

• 商品 1：$\dfrac{4}{p_1}$
• 商品 2：$\dfrac{5}{p_2}$

消費者會將全部所得用於每元效用較高的商品。

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解題方法

一、初始最適消費組合

初始價格為：

$$p_1=p_2=1$$

每一元購買商品 1 與商品 2 所帶來的效用分別為：

$$\frac{MU_1}{p_1}=\frac{4}{1}=4$$ $$\frac{MU_2}{p_2}=\frac{5}{1}=5$$

因為商品 2 的每元效用較高，消費者將全部所得購買商品 2：

$$q_1^0=0,\qquad q_2^0=\frac{600}{1}=600$$

原先效用為：

$$u^0=4(0)+5(600)=3000$$

因此，初始消費組合為：

$$(q_1^0,q_2^0)=(0,600)$$

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二、新價格下的最適消費組合

商品 1 的價格下降為：

$$p_1'=0.5$$

商品 2 的價格仍為：

$$p_2'=1$$

新價格下每一元所得的效用為：

$$\frac{MU_1}{p_1'}=\frac{4}{0.5}=8$$ $$\frac{MU_2}{p_2'}=\frac{5}{1}=5$$

商品 1 的每元效用較高，因此消費者將全部所得購買商品 1：

$$q_1^1=\frac{600}{0.5}=1200,\qquad q_2^1=0$$

新價格下的最終消費組合為：

$$(q_1^1,q_2^1)=(1200,0)$$

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三、Hicks 補償消費組合

Hicks 替代效果要求在新價格下維持原先效用 $u^0=3000$。

由於新價格下商品 1 的每元效用較高，達到原效用所需的最低支出會全部購買商品 1。因此：

$$4q_1^c=3000$$ $$q_1^c=750,\qquad q_2^c=0$$

補償後消費者需要的所得為：

$$Y^c=p_1'q_1^c+p_2'q_2^c$$

核心觀念

本題考的是消費者在預算限制下的效用極大化，以及「非補償需求函數」的求法。非補償需求同時受價格與所得影響，寫作

$$q_1=q_1(p_1,p_2,Y).$$

效用函數為

$$u(q_1,q_2)=8\sqrt{q_1}+4q_2,$$

預算限制為

$$p_1q_1+p_2q_2\leq Y,$$

且假設 $p_1>0$、$p_2>0$、$Y\geq 0$、$q_1,q_2\geq 0$。

解題方法

先計算兩項商品的邊際效用：

$$MU_1=\frac{\partial u}{\partial q_1} =\frac{4}{\sqrt{q_1}},$$ $$MU_2=\frac{\partial u}{\partial q_2}=4.$$

若兩項商品皆購買，內部最適解必須滿足每一元支出的邊際效用相等：

$$\frac{MU_1}{p_1}=\frac{MU_2}{p_2}.$$

代入邊際效用：

$$\frac{4/\sqrt{q_1}}{p_1}=\frac{4}{p_2}.$$

整理得

$$\frac{1}{p_1\sqrt{q_1}}=\frac{1}{p_2},$$

因此

$$p_2=p_1\sqrt{q_1},$$ $$\sqrt{q_1}=\frac{p_2}{p_1},$$ $$q_1^*=\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^2.$$

這是內部解所要求的商品 1 消費量，但仍須確認所得是否足以購買此數量。購買 $q_1^*$ 所需的支出為

$$p_1q_1^* =p_1\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^2 =\frac{p_2^2}{p_1}.$$

因此：

1. 若

$$Y\geq \frac{p_2^2}{p_1},$$

這題考驗對「補償需求函數」(Compensated Demand Function) 的理解，特別是其與希克斯 (Hicksian) 間接效用函數的關係，以及如何從中推導效用水平的範圍。

核心觀念：

• 補償需求函數：在給定價格 $(p_1, p_2)$ 和固定的效用水平 $u$ 下，使消費者獲得該效用水平所需的最少支出組合。
• 支出函數 (Expenditure Function)：$E(p_1, p_2, u)$，表示為達到效用水平 $u$ 所需的最低支出。
• Shephard's Lemma：補償需求函數可以從支出函數對價格求偏導得到：$h_i(p_1, p_2, u) = \frac{\partial E(p_1, p_2, u)}{\partial p_i}$。
• 線性效用函數：對於線性效用函數，最佳消費組合通常是角落解。

解題步驟：

1. 理解題目給定的效用函數。

   • $u(q_1, q_2) = 4\sqrt{q_1} + 4q_2$
   • 這是一個類似於準線性效用函數的結構，但 $q_1$ 的部分是 $\sqrt{q_1}$ 而非 $q_1$。

2. 推導補償需求函數 $h_2(p_1, p_2, u)$。

   • 為了求補償需求函數，我們需要先求支出函數 $E(p_1, p_2, u)$。
   • 支出函數是最小化 $p_1 q_1 + p_2 q_2$ 在約束 $4\sqrt{q_1} + 4q_2 = u$ 下得到。
   • 使用拉格朗日乘數法：
     $L(q_1, q_2, \lambda) = p_1 q_1 + p_2 q_2 - \lambda(4\sqrt{q_1} + 4q_2 - u)$
   • 一階條件：
     (1) $\frac{\partial L}{\partial q_1} = p_1 - \lambda (4 \cdot \frac{1}{2} q_1^{-1/2}) = p_1 - \frac{2\lambda}{\sqrt{q_1}} = 0 \implies p_1 = \frac{2\lambda}{\sqrt{q_1}}$
     (2) $\frac{\partial L}{\partial q_2} = p_2 - \lambda (4) = 0 \implies p_2 = 4\lambda$
     (3) $\frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(4\sqrt{q_1} + 4q_2 - u) = 0 \implies 4\sqrt{q_1} + 4q_2 = u$
   • 由 (2) 得 $\lambda = \frac{p_2}{4}$。
   • 將 $\lambda$ 代入 (1)：$p_1 = \frac{2(p_2/4)}{\sqrt{q_1}} = \frac{p_2/2}{\sqrt{q_1}}$
   • $\sqrt{q_1} = \frac{p_2}{2p_1}$
   • $q_1 = \left(\frac{p_2}{2p_1}\right)^2 = \frac{p_2^2}{4p_1^2}$。
   • 這表明，對於財貨 1 的需求，它不依賴於效用水平 $u$！這與準線性效用函數的情形相似。
   • 將 $q_1$ 代入約束 (3)：$4\left(\frac{p_2}{2p_1}\right) + 4q_2 = u$
   • $4\left(\frac{p_2}{2p_1}\right) + 4q_2 = u$
   • $4\frac{p_2}{2p_1} + 4q_2 = u$
   • $\frac{2p_2}{p_1} + 4q_2 = u$
   • $4q_2 = u - \frac{2p_2}{p_1}$
   • $q_2 = \frac{u}{4} - \frac{p_2}{2p_1}$。
   • 這就是補償需求函數 for good 2：$h_2(p_1, p_2, u) = \frac{u}{4} - \frac{p_2}{2p_1}$。
   • 補償需求函數的性質要求 $q_1 \ge 0$ 且 $q_2 \ge 0$。
   • $q_1 = \frac{p_2^2}{4p_1^2}$ 恆為非負。
   • $q_2 = \frac{u}{4} - \frac{p_2}{2p_1} \ge 0$ 要求 $\frac{u}{4} \ge \frac{p_2}{2p_1} \implies u \ge \frac{2p_2}{p_1}$。
   • 所以，對於財貨 2 的補償需求函數 $h_2(p_1, p_2, u) = \frac{u}{4} - \frac{p_2}{2p_1}$，它成立的條件是 $u \ge \frac{2p_2}{p_1}$。
   • 如果 $u < \frac{2p_2}{p_1}$，那麼消費者會選擇角落解，即 $q_2=0$。此時，為了達到效用 $u$，所有支出都用於財貨 1。
     • $4\sqrt{q_1} = u \implies \sqrt{q_1} = u/4 \implies q_1 = (u/4)^2 = u^2/16$。
     • 此時的支出為 $p_1 q_1 = p_1 \frac{u^2}{16}$。
     • 此角落解發生的條件是，MRS $\frac{2\lambda}{\sqrt{q_1}} / 4\lambda = \frac{p_1}{p_2}$ 且 $q_2=0$。
     • MRS = $\frac{1}{2\sqrt{q_1}}$。

這題考驗對壟斷市場的理解，特別是利潤最大化條件、勒納指數 (Lerner Index) 的計算，以及常彈性需求曲線的應用。

核心觀念：

• 利潤最大化條件：邊際收益 (Marginal Revenue, MR) 等於邊際成本 (Marginal Cost, MC)。
• 勒納指數 (Lerner Index)：衡量壟斷者市場勢力的指標，定義為 $\frac{P-MC}{P}$ 或 $-\frac{1}{\epsilon_d}$，其中 $\epsilon_d$ 是需求彈性。
• 常彈性需求曲線：形式為 $Q(p) = A p^{-\epsilon}$，其中 $A$ 是常數，$\epsilon$ 是需求彈性（通常為正值，表示彈性的絕對值）。
• 邊際收益 (MR)：對於一條反需求函數 $p(Q)$，MR 為 $p(Q) + Q \frac{dp}{dQ}$。若需求函數為 $Q(p) = A p^{-\epsilon}$，則反需求函數為 $p(Q) = A^{-1/\epsilon} Q^{-1/\epsilon}$。
  • $MR(Q) = A^{-1/\epsilon} Q^{-1/\epsilon} + Q (-\frac{1}{\epsilon}) A^{-1/\epsilon} Q^{-1/\epsilon - 1}$
  • $MR(Q) = A^{-1/\epsilon} Q^{-1/\epsilon} (1 - \frac{1}{\epsilon})$
  • $MR(Q) = p(Q) (1 - \frac{1}{\epsilon})$

解題步驟：

1. 計算邊際成本 (MC)。

   • 成本函數：$c(q) = q^2 + 16$
   • 邊際成本：$MC(q) = \frac{dc(q)}{dq} = 2q$

2. 利用勒納指數和利潤最大化條件。

   • 利潤最大化條件：$MR(q^*) = MC(q^*)$
   • 勒納指數：$LI = \frac{p^* - MC(q^*)}{p^*} = \frac{1}{2}$
   • 由勒納指數定義，$p^* - MC(q^*) = \frac{1}{2} p^*$
   • $\frac{1}{2} p^* = MC(q^*)$
   • $p^* = 2 MC(q^*)$
   • 代入 $MC(q^*) = 2q^*$：$p^* = 2 (2q^*) = 4q^*$。
   • 這表示在利潤最大化點，價格是邊際成本的兩倍。

3. 利用常彈性需求曲線找到 $p^*$ 和 $q^*$ 的關係。

   • 需求函數 $Q(p)$ 具有常彈性 $\epsilon$。形式為 $Q(p) = A p^{-\epsilon}$。
   • 反需求函數為 $p(Q) = A^{-1/\epsilon} Q^{-1/\epsilon}$。
   • 邊際收益 (MR)：$MR(Q) = p(Q) \left(1 - \frac{1}{\epsilon}\right) = A^{-1/\epsilon} Q^{-1/\epsilon} \left(1 - \frac{1}{\epsilon}\right)$。
   • 在利潤最大化點 $q^*$, $p^* = p(q^*) = A^{-1/\epsilon} (q^*)^{-1/\epsilon}$。
   • $MR(q^*) = p^* \left(1 - \frac{1}{\epsilon}\right)$。
   • 利潤最大化條件 $MR(q^*) = MC(q^*)$ 變為：$p^* \left(1 - \frac{1}{\epsilon}\right) = MC(q^*)$。
   • 將 $MC(q^*) = 2q^*$ 和 $p^* = 4q^*$ 代入：
   • $4q^* \left(1 - \frac{1}{\epsilon}\right) = 2q^*$

核心觀念

本題考查生產要素的替代彈性（elasticity of substitution）。其定義為：

$$\sigma = \frac{d\ln(K/L)}{d\ln MRTS_{LK}}$$

其中：

• $L$：勞動投入
• $K$：資本投入
• $MRTS_{LK}=\dfrac{MP_L}{MP_K}$：以資本替代勞動時，廠商願意放棄的資本數量

對 Cobb-Douglas 生產函數而言，只要生產函數具有下列形式：

$$q=A L^\alpha K^\beta$$

其替代彈性恒為：

$$\sigma=1$$

本題仍須透過定義推導確認。

解題方法

給定生產函數：

$$q=L^2K^3$$

1. 求勞動與資本的邊際產量

勞動的邊際產量為：

$$MP_L=\frac{\partial q}{\partial L} =2LK^3$$

資本的邊際產量為：

$$MP_K=\frac{\partial q}{\partial K} =3L^2K^2$$

2. 求邊際技術替代率

這題考驗的是純交換經濟中的契約曲線 (Contract Curve) 和核心 (Core) 的概念。

核心觀念：

• 純交換經濟：經濟體系中只有消費者，沒有生產者，商品由消費者持有並進行交換。
• 契約曲線 (Contract Curve)：所有可能實現的、對雙方都有利的交換結果的集合。在契約曲線上，任一點的邊際替代率 (MRS) 在兩個消費者之間相等，且無法透過進一步交換來提高任一消費者的效用而不損害另一方。
• 核心 (Core)：經濟體系中所有「穩健」的配置的集合。核心中的配置是任何子群體（包括單個消費者或所有消費者）都無法透過自己之間的交換來改善的狀態。核心是契約曲線的子集，它排除了那些可能被任何子群體壟斷或破壞的配置。

解題步驟：

A. 計算初始總供給。

• 總商品 1 供給：$X_1^{total} = \omega_{11} + \omega_{21} = 10 + 50 = 60$。
• 總商品 2 供給：$X_2^{total} = \omega_{12} + \omega_{22} = 30 + 20 = 50$。
• 因此，任何可達到的消費組合 $(x_{11}, x_{12})$ 和 $(x_{21}, x_{22})$ 必須滿足：
  • $x_{11} + x_{21} = 60$
  • $x_{12} + x_{22} = 50$
  • 且 $x_{11}, x_{12}, x_{21}, x_{22} \ge 0$。

B. 計算邊際替代率 (MRS)。

• 消費者 1 的效用函數：$U_1(x_{11}, x_{12}) = x_{11}x_{12}$。
  • $MU_{11} = x_{12}$
  • $MU_{12} = x_{11}$
  • $MRS_{1} = \frac{MU_{11}}{MU_{12}} = \frac{x_{12}}{x_{11}}$。
• 消費者 2 的效用函數：$U_2(x_{21}, x_{22}) = x_{21}x_{22}$。
  • $MU_{21} = x_{22}$
  • $MU_{22} = x_{21}$
  • $MRS_{2} = \frac{MU_{21}}{MU_{22}} = \frac{x_{22}}{x_{21}}$。

(1) 計算契約曲線。

• 契約曲線上的點，MRS 必須相等：$MRS_1 = MRS_2$。
• $\frac{x_{12}}{x_{11}} = \frac{x_{22}}{x_{21}}$。
• 我們需要將 $x_{21}$ 和 $x_{22}$ 用 $x_{11}$ 和 $x_{12}$ 來表示，並使用總供給約束。
• 從總供給約束：
  • $x_{21} = 60 - x_{11}$
  • $x_{22} = 50 - x_{12}$
• 代入 MRS 相等的條件：
  • $\frac{x_{12}}{x_{11}} = \frac{50 - x_{12}}{60 - x_{11}}$
• 交叉相乘：
  • $x_{12}(60 - x_{11}) = x_{11}(50 - x_{12})$
  • $60x_{12} - x_{11}x_{12} = 50x_{11} - x_{11}x_{12}$
  • $60x_{12} = 50x_{11}$
  • $x_{12} = \frac{50}{60} x_{11} = \frac{5}{6} x_{11}$。
• 這條線 $x_{12} = \frac{5}{6} x_{11}$ 代表了所有可能達到帕雷托效率的消費組合。
• 然而，我們還需要考慮邊界情況。
  • 消費組合必須在 Edgeworth Box 內。Edgeworth Box 的範圍是：
    • $0 \le x_{11} \le 60$
    • $0 \le x_{12} \le 50$
  • 當 $x_{11}=0$ 時，$x_{12}=0$。這表示消費者 1 什麼都不要。這時消費者 2 擁有所有商品 $(x_{21}=60, x_{22}=50)$。MRS$_2 = 50/60 = 5/6$. MRS$_1$ 在 $x_{11}=0$ 時是無窮大（或未定義）。
  • 當 $x_{12}=0$ 時，$x_{11}=0$。
  • 考慮另一種情況：如果消費者 1 擁有所有商品 $(x_{11}=60, x_{12}=50)$。MRS$_1 = 50/60 = 5/6$.
  • 如果消費者 2 擁有所有商品 $(x_{21}=60, x_{22}=50)$。MRS$_2 = 50/60 = 5/6$.
  • 在 Edgeworth Box 的邊界上，MRS 可能不相等，但這些點也可能是契約曲線的一部分。
  • 契約曲線通常是從一個角點連接到另一個角點。
  • 契約曲線的起點和終點是當一個消費者獲得所有商品的情況。
  • 如果消費者 1 獲得所有商品 $(60, 50)$，則消費者 2 擁有 $(0,0)$。
  • 如果消費者 2 獲得所有商品 $(60, 50)$，則消費者 1 擁有 $(0,0)$。
  • Edgeworth Box 的範圍是 $x_{11} \in [0, 60]$ 且 $x_{12} \in [0, 50]$。
  • 我們推導出的關係是 $x_{12} = \frac{5}{6} x_{11}$。
  • 這個關係在 $x_{11}$ 從 0 到 60 時，會產生 $x_{12}$ 從 0 到 $\frac{5}{6} \times 60 = 50$。
  • 所以，契約曲線是從點 $(0,0)$ 到點 $(60,50)$ 的直線段 $x_{12} = \frac{5}{6} x_{11}$。
  • 這表示消費者 1 的消費組合 $(x_{11}, x_{12})$ 必須滿足 $x_{12} = \frac{5}{6} x_{11}$，其中 $0 \le x_{11} \le 60$。
  • 或者，用消費者 2 的消費組合表示：
    • $x_{21} = 60 - x_{11}$
    • $x_{22} = 50 - x_{12} = 50 - \frac{5}{6} x_{11}$
    • $x_{11} = 60 - x_{21}$
    • $x_{12} = \frac{5}{6} (60 - x_{21}) = 50 - \frac{5}{6} x_{21}$
    • $x_{22} = 50 - (50 - \frac{5}{6} x_{21}) = \frac{5}{6} x_{21}$。
  • 所以，契約曲線也可以表示為消費者 2 的消費組合滿足 $x_{22} = \frac{5}{6} x_{21}$，其中 $0 \le x_{21} \le 60$。

(2) 計算核心。

• 核心的條件是：任何子群體的成員不能透過自身之間的交換來改善其福利。
• 在只有兩個消費者的純交換經濟中，核心就是那些對雙方都有利的交換結果，這些結果不能被任何一個單獨的消費者破壞。
• 核心的條件是：
  1. 配置必須是可達的 (Enforceable)。
  2. 配置必須是穩健的 (Robust)，即不能被任何一個子群體壟斷或破壞。
• 對於兩個人經濟，核心的條件是：
  • 對於消費者 1：其消費組合 $(x_{11}, x_{12})$ 必須至少等於其初始稟賦 $(10, 30)$ 的效用水平。
    • $U_1(x_{11}, x_{12}) \ge U_1(\omega_1) = 10 \times 30 = 300$。
    • $x_{11} x_{12} \ge 300$。

核心觀念

本題考查「偏好凸性」與「偏好連續性」是否具有必然關係。

• 偏好關係 $\succsim$ 為凸偏好，表示對任意基準消費束 $z$，其上輪廓集合
  $U(z)=\{x\in X:x\succsim z\}$
  是凸集合。經濟意義是：若消費者偏好兩個消費束的平均組合，則不會比兩者中較差者更差。
• 偏好關係為連續，表示當一系列消費束 $x_n,y_n$ 滿足
  $x_n\succsim y_n\quad\text{對所有 }n,$
  且
  $x_n\to x,\qquad y_n\to y,$
  則極限消費束仍滿足
  $x\succsim y.$

題目敘述中的「$x\succsim y_n$」與後文的「$\lim x_n=x$」應視為筆誤；連續性的標準定義應為 $x_n\succsim y_n$。

解題方法

僅由偏好凸性，無法推出偏好連續性。最直接的方法是提出一個「凸但不連續」的偏好關係作為反例。

令消費集合為

$X=\mathbb{R}_+^2,$

並定義 John's 偏好為字典序偏好（lexicographic preference）：

$x\succsim y$

若且唯若：

1. $x_1>y_1$；或
2. $x_1=y_1$ 且 $x_2\ge y_2$。

也就是說，John 優先比較第一種商品；只有當第一種商品數量相同時，才比較第二種商品。

一、證明此偏好具有凸性

固定任意消費束 $z=(z_1,z_2)$，其上輪廓集合為

$U(z)=\{x:x_1>z_1\}\cup\{x:x_1=z_1,\ x_2\ge z_2\}.$

取任意 $a,b\in U(z)$，以及 $t\in[0,1]$，考慮其凸組合

$c=ta+(1-t)b.$

分情況說明：

核心觀念

本題考查消費者理論中的 Slutsky 方程式，重點是將價格變動對需求量的影響分解為：

1. 替代效果：在效用固定下，價格相對改變所造成的需求變化。
2. 所得效果：價格改變使實質購買力改變，進而造成的需求變化。

題目中的兩種需求函數為：

• 非補償需求函數（Marshallian demand）：
  $q_1=q_1(p_1,p_2,Y)$

• 補償需求函數（Hicksian demand）：
  $h_1=h_1(p_1,p_2,u)$

在基準點 $(p^*,Y^*,u^*)$，兩者相同：

$$h_1(p_1^*,p_2^*,u^*)=q_1(p_1^*,p_2^*,Y^*)=q_1$$

所需定義為：

$$\epsilon=\frac{\partial q_1}{\partial p_1}\frac{p_1}{q_1}$$ $$\epsilon^*=\frac{\partial h_1}{\partial p_1}\frac{p_1}{q_1}$$ $$\theta=\frac{p_1q_1}{Y}$$ $$\xi=\frac{\partial q_1}{\partial Y}\frac{Y}{q_1}$$

其中，$\epsilon$ 是非補償價格彈性，$\epsilon^*$ 是補償價格彈性，$\theta$ 是商品 1 的預算支出占比，$\xi$ 是所得彈性。

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解題方法：先推導微分形式的 Slutsky 方程式

價格 $p_1$ 發生微小變化 $dp_1$ 時，補償需求要求效用維持在 $u^*$。

在原最適消費組合下，若 $p_1$ 增加 $dp_1$，為使消費者仍能購買原本的組合，所需增加的所得為：

$$dY^c=q_1\,dp_1$$

這是因為原本購買 $q_1$ 單位商品 1，價格每單位增加 $dp_1$，總支出增加 $q_1dp_1$。

因此，固定所得下的非補償需求變化，可以分解為：

$$dq_1 = \left(\frac{\partial h_1}{\partial p_1}\right)dp_1 - q_1\left(\frac{\partial q_1}{\partial Y}\right)dp_1$$

整理後得到微分形式的 Slutsky 方程式：

$$\frac{\partial q_1}{\partial p_1} = \frac{\partial h_1}{\partial p_1} - q_1\frac{\partial q_1}{\partial Y}$$

其經濟意義是：

• $\frac{\partial h_1}{\partial p_1}$：固定效用下的替代效果；
• $-q_1\frac{\partial q_1}{\partial Y}$：由於價格上升降低實質所得所造成的所得效果。

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轉換為價格彈性形式

將微分形式乘上 $\frac{p_1}{q_1}$：

$$\frac{\partial q_1}{\partial p_1}\frac{p_1}{q_1} = \left( \frac{\partial h_1}{\partial p_1} - q_1\frac{\partial q_1}{\partial Y} \right) \frac{p_1}{q_1}$$

左邊即為非補償價格彈性：