112 年 國立成功大學經濟研究所《個體經濟學》

這題考驗消費者理論中，如何從效用函數與價格、所得條件，推導出補償需求函數。

解題步驟：

1. 設定拉格朗日函數：
   消費者欲最小化支出以達到固定效用 $\bar{u}$。
   最小化 $E = P_1 q_1 + P_2 q_2$
   受限於 $u(q_1, q_2) = \sqrt{q_1} + \sqrt{q_2} = \bar{u}$

   拉格朗日函數為：
   $L(q_1, q_2, \lambda) = P_1 q_1 + P_2 q_2 - \lambda (\sqrt{q_1} + \sqrt{q_2} - \bar{u})$

2. 求一階條件：
   對 $q_1$ 微分：$\frac{\partial L}{\partial q_1} = P_1 - \lambda \frac{1}{2\sqrt{q_1}} = 0 \quad \Rightarrow P_1 = \frac{\lambda}{2\sqrt{q_1}}$ (1)
   對 $q_2$ 微分：$\frac{\partial L}{\partial q_2} = P_2 - \lambda \frac{1}{2\sqrt{q_2}} = 0 \quad \Rightarrow P_2 = \frac{\lambda}{2\sqrt{q_2}}$ (2)
   對 $\lambda$ 微分：$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(\sqrt{q_1} + \sqrt{q_2} - \bar{u}) = 0 \quad \Rightarrow \sqrt{q_1} + \sqrt{q_2} = \bar{u}$ (3)

3. 求解 $q_1$ 與 $q_2$：
   將 (1) 除以 (2)：
   $\frac{P_1}{P_2} = \frac{\lambda/(2\sqrt{q_1})}{\lambda/(2\sqrt{q_2})} = \frac{\sqrt{q_2}}{\sqrt{q_1}}$
   $\sqrt{q_2} = \frac{P_1}{P_2} \sqrt{q_1}$

這題考驗生產理論中，彈性係數的計算，特別是替代彈性。

解題步驟：

1. 定義彈性係數：
   生產函數為 $q = f(L, K) = LK$。
   替代彈性 $\sigma$ 定義為：
   $\sigma = \frac{d(\ln(K/L))}{d(\ln(MP_L/MP_K))}$
   或者，使用邊際技術替代率 (MRTS) 的對數變化率與資本勞動比 (K/L) 的對數變化率之比。
   MRTS$_{LK} = \frac{MP_L}{MP_K}$

2. 計算邊際生產力：
   $MP_L = \frac{\partial f}{\partial L} = K$
   $MP_K = \frac{\partial f}{\partial K} = L$

3. 計算 MRTS：
   $MRTS_{LK} = \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{K}{L}$

4. 計算 ln(K/L) 和 ln(MRTS)：
   $\ln(K/L)$
   $\ln(MRTS_{LK}) = \ln(K/L)$

5. 計算替代彈性：
   $\sigma = \frac{d(\ln(K/L))}{d(\ln(MP_L/MP_K))} = \frac{d(\ln(K/L))}{d(\ln(K/L))}$

核心觀念

本題考的是「等價變異」$EV$（Equivalent Variation）。其定義為：在原價格下，為使消費者達到價格變動後的效用水準，所需的收入變動量。

採用標準的帶符號定義：

$$EV=e(P^0,u^1)-e(P^0,u^0)$$

其中：

• $P^0$：原價格
• $u^0$：原效用
• $u^1$：價格變動後效用
• $e(P,u)$：在價格 $P$ 下達到效用 $u$ 所需的最小支出

價格上升會使效用下降，因此標準定義下的 $EV$ 為負值。

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解題方法

效用函數為：

$$u(q_1,q_2)=\min(q_1,q_2)$$

這是完全互補偏好，最適消費必須滿足：

$$q_1=q_2$$

1. 求原價格下的效用

原收入為 $40$，原價格為：

$$(P_1^0,P_2^0)=(1,1)$$

由於 $q_1=q_2=x$，預算限制式為：

$$1x+1x=40$$

因此：

$$2x=40$$ $$x=20$$

原最適消費組合為：

$$(q_1^0,q_2^0)=(20,20)$$

原效用為：

$$u^0=\min(20,20)=20$$

2. 求價格變動後的效用

價格變動後：

$$(P_1^1,P_2^1)=(2,1)$$

仍因為是完全互補偏好，令：

$$q_1=q_2=x$$

新的預算限制式為：

$$2x+x=40$$

因此：

$$3x=40$$ $$x=\frac{40}{3}$$

價格變動後的效用為：

$$u^1=\min\left(\frac{40}{3},\frac{40}{3}\right)=\frac{40}{3}$$

核心觀念

本題考查長期總成本函數的求法。長期中勞動 $L$ 與資本 $K$ 均可調整，因此對給定產量 $q$，廠商選擇成本最低的投入組合：

$$C(q)=\min_{L,K\ge 0}\{wL+rK:f(L,K)\ge q\}.$$

由於工資率與資本租金皆為 $1$，投入成本為

$$C=L+K.$$

生產函數為

$$q=LK+L+K.$$

因為 $L$、$K$ 的邊際產量均為正，成本最小時必須恰好生產目標產量。

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解題方法

對給定產量 $q$，成本最小化問題為

$$\min_{L,K\ge 0} L+K$$

限制條件為

$$LK+L+K=q.$$

將生產函數整理為：

$$LK+L+K+1=q+1,$$

因此

$$(L+1)(K+1)=q+1.$$

令

$$x=L+1,\qquad y=K+1,$$

則 $x,y\ge 1$，且

$$xy=q+1.$$

成本為

$$L+K=(x-1)+(y-1)=x+y-2.$$

所以問題轉化為：在 $xy=q+1$ 下，使 $x+y$ 最小。由算術平均數—幾何平均數不等式：

$$x+y\ge 2\sqrt{xy}=2\sqrt{q+1}.$$

當且僅當

$$x=y=\sqrt{q+1}$$

時取得最小值。因此最適投入為

$$L^*=K^*=\sqrt{q+1}-1.$$

代回成本函數：

核心觀念

本題考查：

• Cobb–Douglas 偏好的最適消費選擇；
• Marshallian demand（馬歇爾需求）；
• Consumer surplus（消費者剩餘）變化的計算。

在價格與所得固定下，消費者剩餘變化可由需求曲線下方、兩個價格之間的面積求得：

$$\Delta CS=-\int_{P_1^{\,old}}^{P_1^{\,new}}q_1(P_1)\,dP_1$$

價格上升時，消費者剩餘必然減少。

解題方法

效用函數為：

$$u(q_1,q_2)=q_1q_2$$

預算限制為：

$$P_1q_1+P_2q_2=40$$

內部最適條件為邊際替代率等於價格比：

$$MRS_{12}=\frac{MU_1}{MU_2} =\frac{q_2}{q_1} =\frac{P_1}{P_2}$$

因此：

$$q_2=\frac{P_1}{P_2}q_1$$

代入預算限制：

$$P_1q_1+P_2\left(\frac{P_1}{P_2}q_1\right)=40$$ $$2P_1q_1=40$$

所以商品 1 的需求函數為：

$$q_1(P_1)=\frac{20}{P_1}$$

原本 $P_1=1$，需求量為：

$$q_1(1)=20$$

價格上升至 $P_1=2$ 後：

$$q_1(2)=10$$

消費者剩餘的變化為需求曲線在價格 1 至價格 2 之間的負面積：

$$\Delta CS =-\int_1^2\frac{20}{P_1}\,dP_1$$

這題考驗古諾競爭的變形，也就是史特克伯格 (Stackelberg) 模型，要求找出子賽局完美均衡 (Subgame Perfect Equilibrium, SPE)。

解題步驟：

1. 理解史特克伯格模型：
   史特克伯格模型是一個序列賽局，其中一個領導者 (leader) 先決定其產量，然後追隨者 (follower) 在觀察到領導者的產量後，再決定自己的產量。
   領導者 (Firm 1) 知道追隨者 (Firm 2) 的反應函數，並將此納入自己的決策考量。
   總產量 $Q = q_1 + q_2$。
   市場價格 $p = 100 - Q = 100 - (q_1 + q_2)$。
   兩家公司的成本函數相同：$C(q) = 2q$，所以邊際成本 $MC = 2$。

2. 追隨者 (Firm 2) 的決策：
   追隨者 (Firm 2) 的利潤函數為：
   $\pi_2(q_1, q_2) = (p - MC) q_2 = (100 - q_1 - q_2 - 2) q_2 = (98 - q_1 - q_2) q_2$
   $\pi_2(q_1, q_2) = 98q_2 - q_1q_2 - q_2^2$
   追隨者最大化其利潤，對 $q_2$ 微分並令其等於零：
   $\frac{\partial \pi_2}{\partial q_2} = 98 - q_1 - 2q_2 = 0$
   $2q_2 = 98 - q_1$
   $q_2 = 49 - \frac{1}{2}q_1$
   這是追隨者 (Firm 2) 的反應函數。

3. 領導者 (Firm 1) 的決策：
   領導者 (Firm 1) 知道 Firm 2 的反應函數，並將其代入自己的利潤函數。
   領導者 (Firm 1) 的利潤函數為：
   $\pi_1(q_1, q_2) = (p - MC) q_1 = (100 - q_1 - q_2 - 2) q_1 = (98 - q_1 - q_2) q_1$
   將 Firm 2 的反應函數 $q_2 = 49 - \frac{1}{2}q_1$ 代入 Firm 1 的利潤函數：

這題考驗一般均衡理論，特別是純粹交換經濟中的瓦拉斯均衡 (Walrasian Equilibrium)。

解題步驟：

1. 定義純粹交換經濟：
   在這個經濟體系中有兩個消費者，他們擁有初始的商品稟賦，並可以透過交易來交換商品，以達到各自的效用最大化。
   消費者 1 的初始稟賦 $e_1 = (1, 2)$ (商品 1, 商品 2)。
   消費者 2 的初始稟賦 $e_2 = (2, 3)$。
   總供給量 (或總稟賦) 為 $E = e_1 + e_2 = (1+2, 2+3) = (3, 5)$。
   這意味著市場上總共有 3 單位的商品 1 和 5 單位的商品 2。
   在均衡狀態下，市場需求量必須等於總供給量。

2. 消費者效用函數與需求函數：
   兩位消費者擁有相同的效用函數 $u(q_1, q_2) = q_1 q_2$。
   這是柯布-道格拉斯效用函數，其需求函數為：
   對於消費者 $i$ (i=1, 2)，其對商品 1 的需求 $q_{i1}$ 和對商品 2 的需求 $q_{i2}$ 滿足：
   $P_1 q_{i1} = \frac{1}{2} I_i$
   $P_2 q_{i2} = \frac{1}{2} I_i$
   其中 $I_i$ 是消費者 $i$ 的總支出 (在均衡時，總支出等於其初始稟賦的價值)。
   所以，需求函數為：
   $q_{i1} = \frac{I_i}{2P_1}$
   $q_{i2} = \frac{I_i}{2P_2}$

3. 瓦拉斯均衡的條件：
   瓦拉斯均衡是指存在一組價格 $(P_1, P_2)$ 和一組消費組合 $(q_{11}, q_{12})$ 和 $(q_{21}, q_{22})$，使得：
   (a) 每個消費者都在其預算約束下最大化其效用。
   (b) 市場需求等於市場供給。
   $q_{11} + q_{21} = E_1 = 3$
   $q_{12} + q_{22} = E_2 = 5$

4. 計算消費者的總支出 (均衡時)：
   在均衡狀態下，每個消費者的總支出 $I_i$ 等於其初始稟賦的市場價值。
   $I_1 = P_1 e_{11} + P_2 e_{12} = P_1(1) + P_2(2) = P_1 + 2P_2$
   $I_2 = P_1 e_{21} + P_2 e_{22} = P_1(2) + P_2(3) = 2P_1 + 3P_2$

5. 代入需求函數並應用市場均衡條件：
   消費者 1 的需求：
   $q_{11} = \frac{I_1}{2P_1} = \frac{P_1 + 2P_2}{2P_1}$
   $q_{12} = \frac{I_1}{2P_2} = \frac{P_1 + 2P_2}{2P_2}$
   消費者 2 的需求：
   $q_{21} = \frac{I_2}{2P_1} = \frac{2P_1 + 3P_2}{2P_1}$
   $q_{22} = \frac{I_2}{2P_2} = \frac{2P_1 + 3P_2}{2P_2}$

   市場均衡條件：
   商品 1 的市場均衡：$q_{11} + q_{21} = 3$
   $\frac{P_1 + 2P_2}{2P_1} + \frac{2P_1 + 3P_2}{2P_1} = 3$
   $\frac{P_1 + 2P_2 + 2P_1 + 3P_2}{2P_1} = 3$
   $\frac{3P_1 + 5P_2}{2P_1} = 3$
   $3P_1 + 5P_2 = 6P_1$
   $5P_2 = 3P_1$
   $\frac{P_1}{P_2} = \frac{5}{3}$

   商品 2 的市場均衡：$q_{12} + q_{22} = 5$
   $\frac{P_1 + 2P_2}{2P_2} + \frac{2P_1 + 3P_2}{2P_2} = 5$
   $\frac{P_1 + 2P_2 + 2P_1 + 3P_2}{2P_2} = 5$

這題考驗廠商理論中，獨占者 (monopolist) 的定價與產量決策，特別是關於需求彈性的概念。

解題步驟：

1. 獨占者的利潤最大化條件：
   獨占者透過選擇產量 $q$ 來最大化其利潤 $\pi(q) = TR(q) - TC(q)$。
   利潤最大化的條件是邊際收益 (Marginal Revenue, MR) 等於邊際成本 (Marginal Cost, MC)。
   $MR(q) = MC(q)$

2. 邊際收益與需求彈性的關係：
   需求曲線為 $P(q)$，總收益 $TR(q) = P(q) \cdot q$。
   邊際收益 $MR(q) = \frac{d(TR)}{dq} = P(q) + q \frac{dP}{dq}$。
   我們可以將其寫成與需求彈性 $\epsilon$ 的關係。需求彈性 $\epsilon = \frac{dP}{dq} \frac{q}{P}$。
   所以 $\frac{dP}{dq} = \frac{\epsilon P}{q}$。
   代入 MR 的表達式：
   $MR(q) = P + q \left(\frac{\epsilon P}{q}\right) = P + \epsilon P = P(1 + \epsilon)$。
   由於需求彈性 $\epsilon$ 通常是負值，我們可以寫成 $|\epsilon| = -\epsilon$。
   $MR(q) = P(1 - |\epsilon|)$。

3. 分析需求彈性的不同範圍：

   • 彈性範圍 (Elastic Range)：當 $|\epsilon| > 1$ (即 $\epsilon < -1$)。
     此時 $1 - |\epsilon| < 0$。
     所以 $MR(q) = P(1 - |\epsilon|) < 0$。
     在此範圍內，邊際收益為負。

   • 單一彈性範圍 (Unit Elastic Range)：當 $|\epsilon| = 1$ (即 $\epsilon = -1$)。
     此時 $1 - |\epsilon| = 0$。
     所以 $MR(q) = P(1 - |\epsilon|) = 0$。
     在此範圍內，邊際收益為零。

這題考驗消費者理論中，偏好關係 (preference relation) 的基本公理，以及效用函數與偏好關係之間的關係。

解題步驟：

1. 定義偏好關係：
   一個偏好關係 $\succeq$ 定義在一個商品集合 $X$ 上。對於集合中的任意兩個元素 $a, b \in X$，我們說 $a \succeq b$ 表示消費者偏好 $a$ 或對 $a$ 和 $b$ 無差別。
   這個偏好關係需要滿足一些公理才能被稱為「理性偏好」。

2. 公理一：完整性 (Completeness)：
   對於集合 $X$ 中的任意兩個元素 $a, b$，必須滿足以下三者之一：

   • $a \succeq b$ (偏好 $a$ 或無差別)
   • $b \succeq a$ (偏好 $b$ 或無差別)
   • 或者兩者都成立 ($a \sim b$，表示無差別)。
     簡單來說，就是消費者對於任何兩個選項，總是可以做出比較（偏好其中一個，或兩者無差別）。

3. 公理二：遞移性 (Transitivity)：
   對於集合 $X$ 中的任意三個元素 $a, b, c$，如果 $a \succeq b$ 且 $b \succeq c$，那麼必須得出 $a \succeq c$。
   簡單來說，如果消費者偏好 A 勝過 B，又偏好 B 勝過 C，那麼他必須偏好 A 勝過 C。

4. 效用函數與理性偏好的關係：
   一個效用函數 $u(x)$ 可以代表一個偏好關係 $\succeq$ 如果對於集合 $X$ 中的任意兩個元素 $a, b$，有 $a \succeq b$ 當且僅當 $u(a) \ge u(b)$。

這題考驗生產理論中，規模報酬 (Returns to Scale, RTS) 與規模經濟 (Economies of Scale, EOS) 之間的關係。

解題步驟：

1. 定義規模報酬 (Returns to Scale, RTS)：
   規模報酬描述了當所有生產要素同時按比例增加時，產量的增加比例。
   令生產函數為 $q = f(L, K)$。
   如果 $f(tL, tK) > t \cdot f(L, K)$ 對於 $t > 1$，則為規模報酬遞增 (Increasing Returns to Scale, IRS)。
   如果 $f(tL, tK) = t \cdot f(L, K)$ 對於 $t > 1$，則為規模報酬固定 (Constant Returns to Scale, CRS)。
   如果 $f(tL, tK) < t \cdot f(L, K)$ 對於 $t > 1$，則為規模報酬遞減 (Decreasing Returns to Scale, DRS)。

2. 定義規模經濟 (Economies of Scale, EOS)：
   規模經濟描述了當產量增加時，平均成本 (Average Cost, AC) 下降的現象。
   平均成本 $AC(q) = \frac{TC(q)}{q}$。
   如果當產量 $q$ 增加時，$AC(q)$ 下降，則存在規模經濟。
   這等價於邊際成本 (Marginal Cost, MC) 小於平均成本 (MC < AC)。

3. 規模報酬與平均成本的關係：
   在長期，當所有要素投入都增加 $t$ 倍時，總成本也會增加。
   假設成本函數為 $C(q)$，且要素價格固定。
   如果生產函數是 IRS，意味著投入 $t$ 倍的要素可以產生超過 $t$ 倍的產量。
   例如，若投入 $L_0, K_0$ 得到 $q_0 = f(L_0, K_0)$，成本為 $C_0 = wL_0 + rK_0$。
   若投入 $tL_0, tK_0$ 得到 $q_1 = f(tL_0, tK_0)$，成本為 $C_1 = w(tL_0) + r(tK_0) = t(wL_0 + rK_0) = tC_0$。
   由於 IRS，我們有 $q_1 > t q_0$。