113 年 國立成功大學經濟研究所《個體經濟學》

本題考驗消費者對完美替代品的偏好表示。完美替代品的效用函數通常表示為線性組合，形式為 $u(x,y) = ax + by$，其中 $a$ 和 $b$ 是代表商品 $x$ 和 $y$ 相對於彼此的邊際替代率的係數。

由於 Emma 對於 (10,6) 和 (5,16) 這兩種消費組合是無差異的，表示這兩種組合能提供相同的效用水平。因此，我們可以得到以下方程式：
$10a + 6b = 5a + 16b$

本題考驗市場總需求函數的計算。市場總需求是所有個別消費者需求量的總和。

首先，我們需要確定市場總需求函數 $Q(p)$。由於市場只有兩位消費者，因此市場總需求為兩位消費者需求函數的總和：
$Q(p) = Q_1(p) + Q_2(p)$
$Q(p) = (120 - 2p) + (100 - p)$

本題考驗消費者在預算限制下的最適消費選擇，屬於效用最大化問題。David 的效用函數是 Cobb-Douglas 型式。

David 的效用函數為 $u(q_1, q_2) = \sqrt{q_1 q_2}$。
他的所得為 $Y = 300$。
商品 1 的價格為 $p_1 = 3$。
商品 2 的價格為 $p_2 = 5$。

消費者面臨的預算限制式為：
$p_1 q_1 + p_2 q_2 = Y$
$3q_1 + 5q_2 = 300$

對於 Cobb-Douglas 型效用函數 $u(q_1, q_2) = q_1^\alpha q_2^\beta$，其最优消費點滿足：
$\frac{MU_1}{MU_2} = \frac{p_1}{p_2}$
且 $\frac{\alpha}{\alpha+\beta} Y = p_1 q_1$
且 $\frac{\beta}{\alpha+\beta} Y = p_2 q_2$

在此題中，$\alpha = 1/2$ 且 $\beta = 1/2$。因此 $\alpha + \beta = 1$。
最適消費點滿足：
$\frac{1/2}{\sqrt{q_1 q_2}} q_2 \times \frac{1}{3} = \frac{1/2}{\sqrt{q_1 q_2}} q_1 \times \frac{1}{5}$
$\frac{q_2}{3} = \frac{q_1}{5} \implies q_1 = \frac{5}{3} q_2$

本題考驗消費者在預算限制下的最適消費選擇，特別是當其中一種商品的消費量為零時的邊界解情況。

Sophia 的效用函數為 $u(q_1, q_2) = 2\sqrt{q_1} + q_2$。
價格為 $p_1 = 2$ 且 $p_2 = 10$。
所得為 $Y$。
預算限制式為 $2q_1 + 10q_2 = Y$。

已知 Sophia 的最佳消費數量 $q_2 = 0$。這表示她將所有所得都花費在商品 1 上。
將 $q_2 = 0$ 代入預算限制式：
$2q_1 + 10(0) = Y$
$2q_1 = Y$
$q_1 = Y/2$

在邊際效用遞減的假設下，如果消費者選擇消費某種商品，則該商品給予的邊際效用與其價格的比率應該大於或等於其他商品的邊際效用與其價格的比率。
首先，計算邊際效用：
$MU_1 = \frac{\partial u}{\partial q_1} = 2 \times \frac{1}{2\sqrt{q_1}} = \frac{1}{\sqrt{q_1}}$
$MU_2 = \frac{\partial u}{\partial q_2} = 1$

最適消費點（內點解）的條件是 $\frac{MU_1}{MU_2} = \frac{p_1}{p_2}$。
$\frac{1/\sqrt{q_1}}{1} = \frac{2}{10}$
$\frac{1}{\sqrt{q_1}} = \frac{1}{5}$
$\sqrt{q_1} = 5$
$q_1 = 25$

本題考驗消費者在預算限制下的最適消費選擇，特別是當其中一種商品的消費量為零時的邊界解情況。John 的效用函數是修正的 Cobb-Douglas 型式。

John 的效用函數為 $u(q_1, q_2) = (q_1 + 8)(q_2 + 15)$。
所得為 $Y$。
商品 1 的價格為 $p_1 = 5$。
商品 2 的價格為 $p_2 = p$。
John 的最適消費組合是 $(q_1, q_2) = (40, 0)$。
John 花費了所有所得，所以預算限制式為 $p_1 q_1 + p_2 q_2 = Y$。
$5 \times 40 + p \times 0 = Y$
$200 = Y$
所以 John 的所得是 $Y=200$。

因為 $(40, 0)$ 是最適組合，且 $q_2 = 0$ 是邊界解，這意味著在這種情況下，商品 2 相對於商品 1 而言，其邊際效用與價格的比率較低。
首先計算邊際效用：
$MU_1 = \frac{\partial u}{\partial q_1} = (q_2 + 15)$
$MU_2 = \frac{\partial u}{\partial q_2} = (q_1 + 8)$

在最適點 $(40, 0)$ 處，邊際效用為：
$MU_1(40, 0) = 0 + 15 = 15$
$MU_2(40, 0) = 40 + 8 = 48$

本題考驗支出函數的計算。Sophia 的效用函數是列昂惕夫型式 (Leontief type)，代表完全互補品。

Sophia 的效用函數為 $u(q_1, q_2) = \min(7q_1, 9q_2)$。
對於列昂惕夫型效用函數，消費者總會在 $aq_1 = bq_2$ 的線上進行消費，其中 $a$ 和 $b$ 是由效用函數決定的常數。
在此題中，消費者會在 $7q_1 = 9q_2$ 的線上進行消費。
因此，最適消費組合滿足：
$q_1 = \frac{9}{7} q_2$ 或 $q_2 = \frac{7}{9} q_1$。

此時，效用水平 $u$ 為：
$u = 7q_1 = 9q_2$

支出函數 $E(p_1, p_2, u)$ 代表在給定效用水平 $u$ 和價格 $p_1, p_2$ 下，維持此效用水平所需的最低支出。

本題考驗短期成本函數的計算。短期成本函數包含固定成本和變動成本。

公司的生產函數為 $f(L,K) = LK + L$。
工資率為 $w = 3$。
資本租賃率為 $r = 5$。
在短期內，資本是固定的，即 $K = 9$。

因此，短期生產函數變為：
$q = f(L, 9) = L \times 9 + L = 9L + L = 10L$

從短期生產函數 $q = 10L$ 中，我們可以表示勞動投入 $L$ 為產出 $q$ 的函數：
$L = \frac{q}{10}$

本題考驗希克斯替代效果的計算。替代效果衡量的是在相同效用水平下，因相對價格改變而導致的消費量變化。

首先，計算初始狀態下的最適消費組合。
效用函數 $u(q_1, q_2) = \sqrt{q_1 q_2}$，所得 $Y=12$，價格 $(p_1, p_2) = (1,1)$。
預算限制式：$1q_1 + 1q_2 = 12 \implies q_1 + q_2 = 12$。
邊際效用：$MU_1 = \frac{1}{2\sqrt{q_1 q_2}} q_2 = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{q_2}{q_1}}$，$MU_2 = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{q_1}{q_2}}$。
最適條件：$\frac{MU_1}{MU_2} = \frac{p_1}{p_2} \implies \frac{q_2}{q_1} = \frac{1}{1} \implies q_1 = q_2$。
代入預算限制式：$q_1 + q_1 = 12 \implies 2q_1 = 12 \implies q_1 = 6$。
所以初始最適組合為 $(q_1, q_2) = (6, 6)$。
初始效用水平 $u^* = \sqrt{6 \times 6} = 6$。

接著，計算價格變動後的新的最適消費組合（補償所得下的）。
價格變為 $(p_1', p_2') = (2,1)$。
為了計算替代效果，我們需要找到一個補償所得 $Y'$，使得在新的價格下，效用水平維持在初始的 $u^* = 6$。
支出函數 $E(p_1, p_2, u) = 2\sqrt{p_1 p_2} u$。

本題考驗計算馬歇爾需求函數（未補償需求函數），並在給定特定價格下的值。

Emma 的效用函數為 $u(q_1, q_2) = 2\sqrt{q_1} + 2\sqrt{q_2}$。
此效用函數為準線性效用函數的一種變形，或者可以看作是 $u(x,y) = \sqrt{x} + \sqrt{y}$ 的變形。
邊際效用：
$MU_1 = \frac{\partial u}{\partial q_1} = 2 \times \frac{1}{2\sqrt{q_1}} = \frac{1}{\sqrt{q_1}}$
$MU_2 = \frac{\partial u}{\partial q_2} = 2 \times \frac{1}{2\sqrt{q_2}} = \frac{1}{\sqrt{q_2}}$

最適條件：$\frac{MU_1}{MU_2} = \frac{p_1}{p_2}$
$\frac{1/\sqrt{q_1}}{1/\sqrt{q_2}} = \frac{p_1}{p_2}$
$\sqrt{\frac{q_2}{q_1}} = \frac{p_1}{p_2}$
$\frac{q_2}{q_1} = (\frac{p_1}{p_2})^2$

本題考驗古諾 (Cournot) 雙占模型下的納許均衡計算。在古諾模型中，廠商同時決定產量。

市場逆需求函數為 $p = 80 - Q$，其中 $Q = q_1 + q_2$ 是總產量。
廠商 1 的邊際成本 $MC_1 = 4$。
廠商 2 的邊際成本 $MC_2 = 6$。

廠商 1 的利潤函數為 $\pi_1 = (p - MC_1) q_1 = (80 - (q_1 + q_2) - 4) q_1 = (76 - q_2 - q_1) q_1 = 76q_1 - q_2 q_1 - q_1^2$。
廠商 1 的反應函數是最大化其利潤，對 $q_1$ 微分並令其為零：
$\frac{\partial \pi_1}{\partial q_1} = 76 - q_2 - 2q_1 = 0$
$2q_1 = 76 - q_2$
$q_1 = 38 - \frac{1}{2} q_2$ (廠商 1 的反應函數)

廠商 2 的利潤函數為 $\pi_2 = (p - MC_2) q_2 = (80 - (q_1 + q_2) - 6) q_2 = (74 - q_1 - q_2) q_2 = 74q_2 - q_1 q_2 - q_2^2$。
廠商 2 的反應函數是最大化其利潤，對 $q_2$ 微分並令其為零：

本題考驗廠商在短期生產下的邊際產出計算，以及邊際成本的定義。

題目要求計算 $\frac{d}{dL} f(L, 18)$。這表示在資本固定為 $K=18$ 的情況下，勞動投入 $L$ 對產出的邊際貢獻，即勞動的邊際產量 (Marginal Product of Labor, $MP_L$)。

已知工資率 $w = 30$。
資本租賃率 $r = 5$。
資本固定在 $K = 18$。
廠商的邊際成本 (MC) 是 15。

在一般情況下，廠商的短期總成本函數 $C(q)$，其對產量 $q$ 的導數是邊際成本 $MC(q)$。
$MC(q) = \frac{dC}{dq}$。

短期總成本由變動成本 (TVC) 和固定成本 (TFC) 組成。TVC = $w \times L(q)$，TFC = $r \times K$。
$C(q) = w L(q) + r K$。

本題考驗完全競爭廠商的長期供給函數計算。

廠商的長期成本函數為 $c(q) = 2\sqrt{2}q^2$。
在完全競爭市場中，廠商的供給函數由其邊際成本 (MC) 曲線決定，且必須大於或等於平均總成本 (ATC) 的最低點。

首先，計算邊際成本 (MC)：
$MC(q) = \frac{dc}{dq} = \frac{d}{dq} (2\sqrt{2}q^2) = 4\sqrt{2}q$。

接下來，計算平均總成本 (ATC)：
$ATC(q) = \frac{c(q)}{q} = \frac{2\sqrt{2}q^2}{q} = 2\sqrt{2}q$。

完全競爭廠商的長期供給函數是其邊際成本曲線，前提是價格 (P) 大於等於最低平均總成本。
我們需要找到最低 ATC。
ATC 是 $2\sqrt{2}q$，這是一個線性函數，其最小值在 $q=0$ 時取得，但廠商在 $q=0$ 時不生產，且價格為 0。
然而，對於 $c(q) = 2\sqrt{2}q^2$，其 MC 是 $4\sqrt{2}q$。
MC 與 ATC 的關係：
$MC(q) = 4\sqrt{2}q$
$ATC(q) = 2\sqrt{2}q$
在此函數形式下，MC 始終大於 ATC (當 $q>0$)。

在完全競爭市場中，廠商的供給量由 $p = MC(q)$ 決定。
所以，$p = 4\sqrt{2}q$。
為了得到供給函數 $S(p)$，我們需要將 $q$ 表示為 $p$ 的函數：
$q = \frac{p}{4\sqrt{2}}$。
這就是廠商的供給函數 $S(p)$。

核心觀念

本題考查「補償需求函數（Hicksian demand）」及其價格彈性。補償需求是在效用水準 $u$ 固定下，消費者面對價格變動時，為達成該效用水準所需求的商品數量。

題目要求：

$$\frac{\partial H}{\partial p_1}\frac{p_1}{H}$$

此式即為商品 1 的補償需求價格彈性。

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解題方法

消費者的效用函數為 Cobb-Douglas 型：

$$u(q_1,q_2)=q_1^a q_2^b,\qquad a,b>0$$

在效用固定為 $u$ 的情況下，消費者選擇成本最小的消費組合：

$$\min_{q_1,q_2} p_1q_1+p_2q_2$$

subject to

$$q_1^a q_2^b=u$$

內部最適解滿足邊際替代率等於價格比：

$$\frac{MU_1}{MU_2}=\frac{p_1}{p_2}$$

其中

$$MU_1=aq_1^{a-1}q_2^b,\qquad MU_2=bq_1^a q_2^{b-1}$$

因此：

$$\frac{MU_1}{MU_2} = \frac{a}{b}\frac{q_2}{q_1} = \frac{p_1}{p_2}$$

整理得：

$$q_2=\frac{bp_1}{ap_2}q_1$$

代回效用限制式：

$$u=q_1^a \left(\frac{bp_1}{ap_2}q_1\right)^b$$

核心觀念

本題考查：

1. 無異曲線下的補償需求（Hicksian demand）。
2. 價格變動的總效果。
3. 由補償需求計算支出函數變化，進而求補償變動（Compensating Variation, CV）。

價格上升時，CV 是消費者為維持原效用水準，於新價格下所需增加的所得：

$$CV=e(p_1',p_2,u)-e(p_1,p_2,u)$$

其中 $e(p_1,p_2,u)$ 為達到效用 $u$ 所需的最小支出。

題目中「補償需求函數」的分子應為效用水準 $u$，因此記為：

$$x_1^h(p_1,p_2,u)=\frac{u}{p_1+3}$$

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解題方法

一、先由總效果求所得 $Y$

在 $p_2=2$ 時，商品 1 的無補償需求為：

$$x_1(p_1,Y)=\frac{Y}{p_1+3}$$

初始價格為 $p_1=1$，所以：

$$x_1^0=\frac{Y}{1+3}=\frac{Y}{4}$$

價格上升至 $p_1'=2$ 後：

$$x_1^1=\frac{Y}{2+3}=\frac{Y}{5}$$

題目給定總效果為 $-5$：

$$x_1^1-x_1^0=-5$$

因此：

$$\frac{Y}{5}-\frac{Y}{4}=-5$$ $$-\frac{Y}{20}=-5$$ $$Y=100$$

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二、求初始效用水準 $u$

在初始價格 $(p_1,p_2)=(1,2)$ 下，消費者的無補償需求與補償需求必須相同，因為補償需求是在「達到該所得所產生的效用水準」下計算。

因此：

$$x_1^h(1,2,u)=x_1(1,100)$$

左側為：

核心觀念

本題考查純交換經濟中的：

• 個人需求函數；
• Cobb–Douglas 型效用函數的所得分配比例；
• 總超額需求的定義：

$$z_1(p_1,p_2) = \text{商品1總需求} - \text{商品1總禀賦}.$$

兩人的效用函數皆為

$$u(q_1,q_2)=\sqrt{q_1q_2} =q_1^{1/2}q_2^{1/2}.$$

因此，每位消費者會將所得的一半用於購買商品 1，另一半用於購買商品 2。

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解題方法

設商品價格分別為 $p_1>0$ 與 $p_2>0$。

個人面對的預算限制為

$$p_1q_1+p_2q_2=m.$$

由 Cobb–Douglas 效用函數的需求比例，商品 1 的需求為

$$q_1=\frac{1}{2}\frac{m}{p_1}.$$

David 的商品 1 需求

David 的禀賦為 $(1,0)$，其所得為禀賦的市場價值：

$$m_D=p_1.$$

因此 David 對商品 1 的需求為

$$q_{1D} = \frac{1}{2}\frac{p_1}{p_1} = \frac{1}{2}.$$

Emma 的商品 1 需求

Emma 的禀賦為 $(0,1)$，其所得為

$$m_E=p_2.$$

因此 Emma 對商品 1 的需求為

$$q_{1E} = \frac{1}{2}\frac{p_2}{p_1}.$$

商品 1 的總需求

兩人的商品 1 總需求為

核心觀念

1. 替代彈性（Elasticity of Substitution, $\sigma$）：
   衡量在產出維持不變（沿著同一條等產量曲線）的情況下，邊際技術替代率（$MRTS$）變動百分之一時，要素投入比例（$K/L$）變動的百分比。其定義公式為：

   $$\sigma = \frac{\% \Delta (K/L)}{\% \Delta MRTS_{LK}} = \frac{d\ln(K/L)}{d\ln MRTS_{LK}} = \frac{d(K/L)}{d MRTS_{LK}} \cdot \frac{MRTS_{LK}}{K/L}$$

   其中，邊際技術替代率 $MRTS_{LK} = \frac{MP_L}{MP_K} = -\left.\frac{dK}{dL}\right|_{q=\bar{q}}$。

2. 完全替代型生產函數（Linear Production Function / Perfect Substitutes）：
   生產函數形式為 $q = aL + bK$（本題 $a=1, b=1$），其等產量曲線為斜率固定的直線，意味著兩要素彼此為完全替代品。

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解題方法

本題要求計算等產量線 $q = L + K$ 的替代彈性，可由公式嚴謹推導或由經濟幾何直觀說明：

步驟一：求邊際產量與邊際技術替代率

對生產函數 $f(L, K) = L + K$ 分別對勞動 $L$ 與資本 $K$ 微分：

• 勞動邊際產量： $$MP_L = \frac{\partial f}{\partial L} = 1$$
• 資本邊際產量： $$MP_K = \frac{\partial f}{\partial K} = 1$$

因此，邊際技術替代率 $MRTS_{LK}$ 為：

$$MRTS_{LK} = \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{1}{1} = 1$$

由上式可知，無論要素組合 $(L, K)$ 如何變動，等產量線上的 $MRTS_{LK}$ 恆為常數 $1$。

步驟二：推導替代彈性

等產量曲線為負斜率直線：$K = q - L$。
當要素投入比例由 $(K/L)_1$ 變動至 $(K/L)_2$ 時，要素比例的變動量 $d(K/L) \neq 0$；