111 年 國立成功大學經濟研究所《總體經濟學》

核心觀念

本題考查 Solow 成長模型中的資本報酬遞減，以及如何選擇變數，將成長中的技術水準轉換成穩態分析。

生產函數為 $Y=AK^\alpha L^{1-\alpha}$，其中 $0<\alpha<1$。資本累積方程為 $\dot K=sY-\delta K$，勞動人口成長率為 $n$。若技術水準 $A$ 固定，資本累積會使人均產出暫時成長，但因資本報酬遞減，人均產出最終收斂至穩態。

a) 固定技術下，人均 GDP 能否持續成長？

令每位勞工的資本與產出分別為 $k=K/L$、$y=Y/L$。當 $A$ 固定時：

$$y=Ak^\alpha$$

資本每位勞工的動態為：

$$\dot k=sk^\alpha-(n+\delta)k$$

因為 $0<\alpha<1$，當 $k$ 增加時，每增加一單位資本所帶來的產出增量會遞減。模型存在穩態資本：

$$k^*=\left(\frac{s}{n+\delta}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}}$$

在穩態下 $\dot k=0$，因此人均產出 $y=Ak^\alpha$ 也固定。資本與總產出仍可隨人口成長而增加，但人均 GDP 不會持續成長。

**答案：**在技術水準固定的情況下，這項技術本身無法支持人均 GDP 的持續成長；人均 GDP 只會在經濟朝穩態調整的過程中暫時成長。

b) 將模型轉換為具有穩態的形式

現在令技術水準以固定成長率 $g$ 成長，即 $\dot A/A=g$。原生產函數中的 $A$ 是增進所有生產要素效率的技術。為了讓生產函數轉成每單位「有效勞工」的形式，定義勞動增進型技術：

$$E=A^{\frac{1}{1-\alpha}}$$

於是：

$$Y=K^\alpha(EL)^{1-\alpha}$$

由於 $\dot A/A=g$，技術 $E$ 的成長率為：

$$\frac{\dot E}{E}=\frac{g}{1-\alpha}$$

因此有效勞工 $EL$ 的成長率為：

$$\frac{\dot{(EL)}}{EL}=n+\frac{g}{1-\alpha}$$

定義每單位有效勞工的資本與產出：

$$\tilde k=\frac{K}{EL}, \qquad \tilde y=\frac{Y}{EL}$$

生產函數便化為：

$$\tilde y=\tilde k^\alpha$$

轉換後的技術狀態不再出現在生產函數中，資本與產出能以穩態值表示。

c) 寫出轉換後的資本動態

由資本累積式：

$$\dot K=sY-\delta K$$

以及 $\tilde k=K/(EL)$，對時間微分可得：

$$\dot{\tilde k} = \frac{\dot K}{EL} - \tilde k\frac{\dot{(EL)}}{EL}$$

本題為一個包含消費、資本、貨幣與債券的動態隨機一般均衡模型（DSGE），要求推導代表性個體的最適條件、均衡利率，以及債券市場與貨幣市場的均衡條件。

核心觀念：

1. 代表性個體在跨期消費決策中，會考量跨期邊際替代率（Intertemporal Marginal Rate of Substitution, IMRS）與相對價格（利率）的關係。
2. 資本的投資決策涉及現期產出與未來資本回報的權衡。
3. 債券市場與貨幣市場的均衡條件是總體經濟模型的重要組成部分。
4. 政府（或央行）的貨幣與債券供給會影響市場均衡。

解題過程：
a) 代表性個體的一階條件 (First-Order Conditions, FOCs)

代表性個體的目標是最大化跨期總效用，同時遵守跨期預算約束。
效用函數：$U = \sum_{t=0}^{\infty} \beta^t \frac{C_t^{1-\sigma}}{1-\sigma}$
預算約束：$C_t + K_t + M_t + B_t = Y_t + (1+r_t) K_{t-1} + M_{t-1} + (1+r_t) B_{t-1}$
生產函數：$Y_t = A K_{t-1}^\alpha L^{1-\alpha}$

首先，我們將預算約束改寫成更方便處理的形式。注意 $K_t$, $M_t$, $B_t$ 是現期（t 期）的資產持有量，它們是決策變數，而 $(1+r_t) K_{t-1}$, $M_{t-1}$, $(1+r_t) B_{t-1}$ 是來自上一期（t-1 期）的資產總回報。
預算約束可以寫成：
$C_t + K_t + M_t + B_t = Y_t + R_{K,t} K_{t-1} + R_{M,t} M_{t-1} + R_{B,t} B_{t-1}$
其中 $R_{K,t} = 1+r_t$, $R_{M,t} = 1$, $R_{B,t} = 1+r_t$。
（注意：題目中 $M_{t-1}$ 的回報率沒有明確給出，一般情況下貨幣不生息，即回報率為 0，但預算約束寫法暗示 $M_{t-1}$ 價值保留，即回報率為 1。我們假設貨幣回報率為 0，則預算約束應為 $C_t + K_t + M_t + B_t = Y_t + (1+r_t) K_{t-1} + M_{t-1} + (1+r_t) B_{t-1}$，此處 $M_{t-1}$ 應為 $M_{t-1}$ 的價值，不是回報。假設貨幣本身沒有回報，所以 $M_{t-1}$ 的價值就是 $M_{t-1}$，而不是 $(1+i_{M,t})M_{t-1}$。如果題目假設貨幣有回報率 $i_M$，那麼 $M_{t-1}$ 應為 $(1+i_{M,t})M_{t-1}$。在此，我們依據題目寫法，假設 $M_{t-1}$ 的回報價值就是 $M_{t-1}$，即貨幣不生息。）

拉格朗日函數為：
$\mathcal{L} = \sum_{t=0}^{\infty} \beta^t \left( \frac{C_t^{1-\sigma}}{1-\sigma} - \lambda_t (C_t + K_t + M_t + B_t - Y_t - (1+r_t) K_{t-1} - M_{t-1} - (1+r_t) B_{t-1}) \right)$

對 $C_t, K_t, M_t, B_t$ 以及 $\lambda_t$ 取偏導數，並令其為零。

1.  **對 $C_t$ 取一階條件：**
    $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial C_t} = \beta^t C_t^{-\sigma} - \lambda_t = 0 \implies \lambda_t = \beta^t C_t^{-\sigma}$
    這表示邊際效用與拉格朗日乘數的關係。

2.  **對 $K_t$ 取一階條件 (資本累積)：**
    $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial K_t} = -\lambda_t + \beta^{t+1} \lambda_{t+1} (1+r_{t+1}) = 0$
    $\lambda_t = \beta^{t+1} \lambda_{t+1} (1+r_{t+1})$
    將 $\lambda_t = \beta^t C_t^{-\sigma}$ 和 $\lambda_{t+1} = \beta^{t+1} C_{t+1}^{-\sigma}$ 代入：
    $\beta^t C_t^{-\sigma} = \beta^{t+1} C_{t+1}^{-\sigma} (1+r_{t+1})$
    $C_t^{-\sigma} = \beta C_{t+1}^{-\sigma} (1+r_{t+1})$
    $\frac{C_t^{-\sigma}}{C_{t+1}^{-\sigma}} = \beta (1+r_{t+1})$
    $\left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\right)^{\sigma} = \frac{1}{\beta (1+r_{t+1})}$
    $\frac{C_{t+1}}{C_t} = \left( \frac{1}{\beta (1+r_{t+1})} \right)^{1/\sigma}$
    這是一個跨期消費決策的 Euler 方程。它表明現期消費相對於下一期消費的成長率，取決於預期利率和時間偏好。

3.  **對 $M_t$ 取一階條件 (貨幣持有)：**
    $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial M_t} = -\lambda_t + \beta^{t+1} \lambda_{t+1} (1) = 0$
    $\lambda_t = \beta^{t+1} \lambda_{t+1}$
    將 $\lambda_t$ 和 $\lambda_{t+1}$ 代入：
    $\beta^t C_t^{-\sigma} = \beta^{t+1} C_{t+1}^{-\sigma}$
    $C_t^{-\sigma} = \beta C_{t+1}^{-\sigma}$
    $\left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\right)^{\sigma} = \frac{1}{\beta}$
    $\frac{C_{t+1}}{C_t} = \left(\frac{1}{\beta}\right)^{1/\sigma}$
    這個條件說明，如果貨幣持有是無回報的（回報率為 1，即 $M_{t-1}$ 價值就是 $M_{t-1}$），那麼貨幣的持有量不會影響消費的跨期選擇，除非貨幣具有其他功能（例如交易媒介的便利性，這在該效用函數中沒有體現）。通常，貨幣持有的一階條件會涉及貨幣的回報率 $i_t$ 和存款利率 $r_t$。例如，若貨幣持有 $M_t$ 的邊際效用與其機會成本（失去的債券回報）相權衡，則會出現類似凱因斯流動性偏好理論的結果。
    在此模型中，如果將 $M_t$ 的回報率視為 $i_t$，而債券的回報率為 $r_t$，則應有 $1+i_t = 1+r_t$（若貨幣與債券回報率相同）或 $1+i_t < 1+r_t$（若貨幣回報率低於債券）。
    在題目給的預算約束下，$M_{t-1}$ 的回報是 $M_{t-1}$，這意味著貨幣不生息。那麼，對 $M_t$ 的 FOC 是 $\lambda_t = \beta^{t+1} \lambda_{t+1}$，即 $C_{t+1}/C_t = (1/\beta)^{1/\sigma}$。這表示消費的成長率僅由時間偏好決定，與利率無關。這暗示了只要貨幣不生息，個體就不會持有貨幣，除非有其他原因。然而，通常情況下，模型會包含貨幣的交易效用，或者貨幣的回報率與利率不同。
    **根據題目寫法，我們嚴格按照 FOC 進行。**

4.  **對 $B_t$ 取一階條件 (債券持有)：**
    $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial B_t} = -\lambda_t + \beta^{t+1} \lambda_{t+1} (1+r_{t+1}) = 0$
    $\lambda_t = \beta^{t+1} \lambda_{t+1} (1+r_{t+1})$
    這與對 $K_t$ 的一階條件完全相同。這表示債券和資本在獲取下一期回報時，其邊際效用是相同的。

**總結一階條件：**
*   **跨期消費選擇 (Euler Equation)：** $\left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\right)^{\sigma} = \frac{1}{\beta (1+r_{t+1})}$
*   **貨幣持有：** $\lambda_t = \beta^{t+1} \lambda_{t+1}$，即 $C_{t+1}/C_t = (1/\beta)^{1/\sigma}$ (若貨幣不生息且無交易效用)。
*   **資本與債券持有：** 決定了 $C_{t+1}/C_t$ 的成長路徑，並與 $r_{t+1}$ 相關。

**實際操作中，貨幣持有通常需要更細緻的處理。** 假設模型中貨幣有交易效用，或者題目假設貨幣與債券的利率不同。
**如果題目假設貨幣持有 $M_t$ 的回報率是 $i_t$，那麼對 $M_t$ 的 FOC 會是 $\lambda_t = \beta^{t+1} \lambda_{t+1} (1+i_t)$。**
**在題目給的預算約束下，$M_{t-1}$ 的回報價值就是 $M_{t-1}$。這意味著 $i_t = 0$。**
**所以，貨幣持有的一階條件是 $\lambda_t = \beta^{t+1} \lambda_{t+1}$。**
**這意味著消費的成長率由時間偏好決定，不受利率影響，這似乎不太尋常。**
**我們將嚴格按照題目給的預算約束來推導。**

**FOCs 總結：**
1.  $\lambda_t = \beta^t C_t^{-\sigma}$ (拉格朗日乘數的定義)
2.  $\lambda_t = \beta^{t+1} \lambda_{t+1} (1+r_{t+1})$ (資本與債券持有)
3.  $\lambda_t = \beta^{t+1} \lambda_{t+1}$ (貨幣持有)

將 (1) 和 (2) 結合得到 Euler Equation: $\left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\right)^{\sigma} = \frac{1}{\beta (1+r_{t+1})}$
將 (1) 和 (3) 結合得到貨幣持有條件: $C_{t+1}/C_t = (1/\beta)^{1/\sigma}$

**注意：** 如果貨幣市場和債券市場要同時有效均衡，那麼個體在做資產配置決策時，會同時考量 $K, M, B$ 的邊際效用。
若 $M_t$ 的邊際效用是 $\lambda_t$，其機會成本是失去的 $B_t$ 的回報 $\beta^{t+1} \lambda_{t+1} (1+r_{t+1})$。
如果 $M_t$ 的回報是 $i_t$，則 FOC 對 $M_t$ 是 $\lambda_t = \beta^{t+1} \lambda_{t+1} (1+i_t)$。
在題目中，貨幣的回報率沒有明確給出，但預算約束的寫法暗示 $M_{t-1}$ 的回報價值為 $M_{t-1}$。
若要使貨幣市場均衡，通常需要 $i_t < r_t$。
**在此，我們假設題目意圖是 $M_t$ 的回報率為 $i_t$。**
**若題目嚴格按照 $M_{t-1}$ 的回報價值為 $M_{t-1}$，則 $i_t = 0$。**
**那麼，FOC (3) 應為 $\lambda_t = \beta^{t+1} \lambda_{t+1}$。**
**這意味著個體持有貨幣的邊際效用等於下一期持有債券的邊際效用（忽略利率 $r_{t+1}$），這是不尋常的。**
**通常，模型會設定 $i_t$。**
**假設題目意圖是：個體持有貨幣的邊際效用 $\lambda_t$ 必須等於持有債券的邊際回報 $\beta^{t+1} \lambda_{t+1} (1+r_{t+1})$，以及持有資本的邊際回報 $\beta^{t+1} \lambda_{t+1} (1+r_{t+1})$。**
**而貨幣持有本身，如果沒有回報，則其邊際效用為 $\lambda_t$。**
**如果貨幣持有 $M_t$ 的回報率為 $i_t$，則 FOC 對 $M_t$ 是 $\lambda_t = \beta^{t+1} \lambda_{t+1} (1+i_t)$。**
**如果 $i_t=0$，則 $\lambda_t = \beta^{t+1} \lambda_{t+1}$。**

**我們按照題目給定的預算約束來推導：**
*   **對 $K_t$：** $\lambda_t = \beta^{t+1} \lambda_{t+1} (1+r_{t+1})$
*   **對 $M_t$：** $\lambda_t = \beta^{t+1} \lambda_{t+1}$ (因為 $M_{t-1}$ 的回報價值是 $M_{t-1}$)
*   **對 $B_t$：** $\lambda_t = \beta^{t+1} \lambda_{t+1} (1+r_{t+1})$

**整合：**
從 $K_t$ 和 $B_t$ 的 FOC，我們得到：

本題考驗勞動經濟學中關於工作搜尋與決策的問題。代表性勞動者面臨每期收到一個工作機會（工資為 $w$）的機率，並需決定是否接受。由於沒有失業救濟金，且存在被解僱的風險，勞動者會根據預期終生效用來做決策。

核心觀念：

1. 動態規劃問題：勞動者需要最大化其預期終生效用。
2. 工作搜尋模型：勞動者在工資分布中搜尋，並根據預期回報決定是否接受。
3. 價值函數：定義在不同狀態（例如，就業中或失業中）下的預期終生效用。
4. 失業救濟金的影響：分析政府政策對勞動者決策的改變。

解題過程：
a) 最適決策方程

這個問題可以被建模為一個動態規劃問題。勞動者的狀態可以分為兩類：
1.  **失業 (Unemployed, U)：** 處於這個狀態的勞動者正在搜尋工作，並每期收到一個工資提議 $w$。
2.  **就業 (Employed, E)：** 處於這個狀態的勞動者正在工作，並獲得工資 $w_t$。

我們需要定義兩個價值函數：
*   $V_U$：代表性失業勞動者在失業狀態下的預期終生效用。
*   $V_E(w_t)$：代表性就業勞動者在獲得工資為 $w_t$ 的工作時的預期終生效用。

**1. 失業狀態的價值函數 $V_U$：**
當勞動者處於失業狀態時，他會收到一個工資提議 $w$，該工資從分布 $F(w)$ 中抽取，支持集為 $[0, B]$。
勞動者會根據這個提議的工資 $w$ 做出決策：
*   如果接受工作：他進入就業狀態，其預期終生效用為 $V_E(w)$。
*   如果拒絕工作：他繼續處於失業狀態，並在下一期繼續收到一個新的工資提議。由於他拒絕了當期工作，當期沒有消費，效用為 $u(0)$ (假設沒有工資提議就沒有消費)。下一期的預期效用來自於繼續搜尋工作，即 $V_U$。

由於勞動者是理性的，他會選擇最大化其當期效用加上下一期預期效用的折現值。
在這個模型中，勞動者「消費所有收入」，並且沒有失業救濟金。這表示如果他拒絕工作，當期沒有收入，也就沒有消費，效用為 $u(0)$。
如果他接受工作，則當期消費為 $w$，效用為 $u(w)$。
因此，在收到工資提議 $w$ 後，他的決策規則是：
*   如果 $u(w) + \beta V_E(w) > u(0) + \beta V_U$，則接受工作。
*   否則，拒絕工作。

由於 $w$ 是隨機的，我們需要計算接受工作的預期效用。
我們定義一個「保留工資」(Reservation Wage) $w^*$，使得：
$u(w^*) + \beta V_E(w^*) = u(0) + \beta V_U$
如果收到的工資 $w \ge w^*$，則接受；否則拒絕。

失業狀態的預期終生效用 $V_U$ 是基於所有可能的工資提議 $w$ 的期望值：
$V_U = E[ \max(u(w) + \beta V_E(w), u(0) + \beta V_U) ]$
$V_U = \int_0^B \max(u(w) + \beta V_E(w), u(0) + \beta V_U) dF(w)$
$V_U = \int_0^{w^*} (u(0) + \beta V_U) dF(w) + \int_{w^*}^B (u(w) + \beta V_E(w)) dF(w)$
$V_U = F(w^*) (u(0) + \beta V_U) + \int_{w^*}^B (u(w) + \beta V_E(w)) dF(w)$

**2. 就業狀態的價值函數 $V_E(w_t)$：**
當勞動者就業並獲得工資 $w_t$ 時，他會消費 $c_t = w_t$。
在下一期，他有 $\pi$ 的機率被解僱，進入失業狀態，其預期效用為 $V_U$。
他有 $1-\pi$ 的機率繼續就業，並獲得新的工資提議 $w_{t+1}$。
這裡的假設是，即使就業中，下一期也可能收到新的工資提議。
**如果題目意思是「就業中，下一期會收到新的工資提議 $w_{t+1}$」，那麼 $V_E(w_t)$ 的定義就變成：**
$V_E(w_t) = u(w_t) + \beta E[ \text{下一期狀態的預期效用} ]$
下一期狀態是：
*   以機率 $\pi$ 進入失業狀態 $U$，預期效用 $V_U$。
*   以機率 $1-\pi$ 進入就業狀態，收到新的工資提議 $w_{t+1}$，預期效用 $V_E(w_{t+1})$。
所以，$E[ \text{下一期狀態的預期效用} ] = \pi V_U + (1-\pi) E[V_E(w_{t+1})]$。
$V_E(w_t) = u(w_t) + \beta (\pi V_U + (1-\pi) E[V_E(w_{t+1})])$

**但是，題目中的描述「 an unemployed worker will receive a job offer every period」可能暗示只有失業時才會收到新的提議。**
**如果就業後，就不再收到新的提議，而是繼續持有當前工作，直到被解僱或主動離職。**
**在這種情況下，如果就業，則當期消費 $c_t = w_t$。下一期：**
*   以機率 $\pi$ 被解僱，進入失業狀態 $U$，預期效用 $V_U$。
*   以機率 $1-\pi$ 繼續保有當前工作，則當期消費 $c_{t+1} = w_t$，預期效用為 $V_E(w_t)$ (因為工資不變)。
**這種情況下，就業狀態的價值函數是：**
$V_E(w_t) = u(w_t) + \beta [\pi V_U + (1-\pi) V_E(w_t)]$
$V_E(w_t) (1 - \beta(1-\pi)) = u(w_t) + \beta \pi V_U$
$V_E(w_t) = \frac{u(w_t) + \beta \pi V_U}{1 - \beta(1-\pi)}$

**我們採用第二種解釋，即就業後工資固定，直到被解僱。**
**現在，我們將 $V_E(w_t)$ 代入 $V_U$ 的方程。**
$V_U = F(w^*) (u(0) + \beta V_U) + \int_{w^*}^B (u(w) + \beta \frac{u(w) + \beta \pi V_U}{1 - \beta(1-\pi)}) dF(w)$

**保留工資 $w^*$ 的定義：**
$u(w^*) + \beta V_E(w^*) = u(0) + \beta V_U$
$u(w^*) + \beta \frac{u(w^*) + \beta \pi V_U}{1 - \beta(1-\pi)} = u(0) + \beta V_U$
$u(w^*) (1 + \frac{\beta}{1 - \beta(1-\pi)}) = u(0) + \beta V_U (1 - \frac{\beta \pi}{1 - \beta(1-\pi)})$
$u(w^*) \frac{1 - \beta(1-\pi) + \beta}{1 - \beta(1-\pi)} = u(0) + \beta V_U \frac{1 - \beta(1-\pi) - \beta \pi}{1 - \beta(1-\pi)}$
$u(w^*) (1 - \beta + \beta\pi + \beta) = u(0) + \beta V_U (1 - \beta + \beta\pi - \beta\pi)$
$u(w^*) (1 + \beta\pi) = u(0) + \beta V_U (1 - \beta)$

**這是一個關於 $V_U$ 和 $w^*$ 的聯立方程組。**
**為了得到 $w^*$，我們還需要 $V_U$。**
**從 $V_U$ 的定義式：**
$V_U = F(w^*) (u(0) + \beta V_U) + \int_{w^*}^B u(w) dF(w) + \beta \int_{w^*}^B V_E(w) dF(w)$
$V_U = F(w^*) u(0) + \beta F(w^*) V_U + \int_{w^*}^B u(w) dF(w) + \beta \int_{w^*}^B \frac{u(w) + \beta \pi V_U}{1 - \beta(1-\pi)} dF(w)$
$V_U (1 - \beta F(w^*)) = F(w^*) u(0) + \int_{w^*}^B u(w) dF(w) + \frac{\beta}{1 - \beta(1-\pi)} \int_{w^*}^B (u(w) + \beta \pi V_U) dF(w)$

**這兩個方程組相當複雜。我們回到問題 a) 的要求："Derive an equation (or equations) which characterized the optimal solution"。**
**最核心的特徵是保留工資 $w^*$。**
**保留工資 $w^*$ 的定義是：當收到工資 $w^*$ 時，接受工作的預期效用等於拒絕工作的預期效用。**
**接受工作的預期效用：$u(w^*) + \beta V_E(w^*)$**
**拒絕工作的預期效用：$u(0) + \beta V_U$**
**因此，$w^*$ 滿足：$u(w^*) + \beta V_E(w^*) = u(0) + \beta V_U$**

**其中：**
*   $V_U$ 是失業狀態下的預期終生效用。
*   $V_E(w^*)$ 是就業狀態下，獲得工資 $w^*$ 的預期終生效用。

**我們需要定義 $V_U$ 和 $V_E(w)$。**
**$V_E(w) = \frac{u(w) + \beta \pi V_U}{1 - \beta(1-\pi)}$** (就業後的價值函數，假設工資固定)
**$V_U = \int_0^B \max(u(w) + \beta V_E(w), u(0) + \beta V_U) dF(w)$**

**將 $V_E(w^*)$ 和 $V_U$ 的定義代入 $w^*$ 的方程：**

本題要求構建一個經濟模型，解釋在當前疫情（Pandemic）背景下，人們消費模式的改變，例如更多地使用外送服務和線上購物。這需要我們將疫情的特殊性納入模型，並分析其對消費行為的影響。

核心觀念：

1. 疫情對消費的衝擊：隔離、社交距離、對實體接觸的擔憂、實體商店關閉或容量受限。
2. 消費替代：人們轉向線上消費和服務，以滿足基本需求和娛樂需求。
3. 模型構建：需要一個能夠捕捉這些變化的框架，例如考慮時間、場景、或商品類型的異質性。

解題思路：
我們可以從凱因斯或新古典的消費函數框架出發，但需要引入疫情的關鍵因素。一個簡單的模型可以從以下幾個方面入手：

模型框架：
考慮一個代表性家庭，其效用函數取決於不同類型的消費。為了簡化，我們可以將消費分為幾類：

1. 實體商品消費 (Physical Goods Consumption, $C_P$)： 傳統的實體店購物。
2. 線上商品消費 (Online Goods Consumption, $C_O$)： 網購。
3. 外出餐飲消費 (Restaurant/Dine-out Consumption, $C_R$)： 在餐廳用餐。
4. 外送餐飲消費 (Food Delivery Consumption, $C_D$)： 透過外送平台訂餐。

疫情的影響：
疫情（Pandemic, $P$) 是一個外生衝擊，它會影響不同消費類型的可行性和效用。

• 實體商品消費 ($C_P$) 和外出餐飲消費 ($C_R$)： 疫情會直接限制這些消費。例如，封鎖措施、社交距離要求、對病毒傳播的恐懼，都會降低這些消費的可行性或吸引力。我們可以將疫情的影響建模為對這些消費的「交易成本」或「負效用」的增加。

  • 例如，實體消費的實際效用可以表示為 $u(C_P, P) = \phi(P) C_P$，其中 $\phi(P)$ 是一個隨疫情強度 $P$ 遞減的函數（例如 $\phi(P) = 1 - \gamma P$, $\gamma>0$）。
  • 或者，外出用餐的效用會因為擔心感染而降低，可以表示為 $u(C_R, P) = \psi(P) C_R$，其中 $\psi(P) < 1$ 且隨 $P$ 增加而減小。

• 線上商品消費 ($C_O$) 和外送餐飲消費 ($C_D$)： 疫情反而會刺激這些消費。由於實體消費受限，人們會轉向線上選項。線上購物和外送服務的可獲得性（supply）和偏好（demand）都可能增加。

  • 線上消費的實際效用可以表示為 $u(C_O, P) = \eta(P) C_O$，其中 $\eta(P) > 1$ 且隨 $P$ 增加而增加（代表線上服務的普及和接受度提高）。
  • 外送餐飲的效用也可能增加，因為它提供了在無法外出用餐時獲得餐飲的途徑。

預算約束：
代表性家庭面臨一個預算約束，總支出不能超過總收入（工資、政府補貼等）。
$P_{P} C_P + P_{O} C_O + P_{R} C_R + P_{D} C_D \le Y$
其中 $P_i$ 是各類消費的價格，$Y$ 是總收入。
疫情可能會影響價格（例如，某些商品短缺導致價格上漲）和收入（例如，失業導致收入下降）。

模型簡化與分析：
為了「Sketch an economic model」，我們不需要一個完整的 DSGE 模型，而是一個能說明核心機制的框架。

模型要素：

1. 效用函數： 包含不同類型的消費，並且受疫情狀態影響。
   $U = u(C_P, C_O, C_R, C_D; P)$
   其中 $u$ 是一個遞增函數，且 $P$ (疫情指數) 影響不同消費項的邊際效用。
   例如，假設 $u = f(C_P, P) + g(C_O, P) + h(C_R, P) + k(C_D, P)$。

   • $f(C_P, P)$ 隨 $P$ 增加而下降。
   • $g(C_O, P)$ 隨 $P$ 增加而上升。
   • $h(C_R, P)$ 隨 $P$ 增加而下降。
   • $k(C_D, P)$ 隨 $P$ 增加而上升。

2. 預算約束： 總支出受限。
   $P_P C_P + P_O C_O + P_R C_R + P_D C_D \le Y$

3. 疫情衝擊 (P)： 疫情指數 $P$ 是一個外生變數（例如，感染人數、封鎖程度、人們對病毒的擔憂程度）。

模型分析：
假設疫情強度 $P$ 從 0 上升到一個較高水平。

• 實體消費 ($C_P, C_R$)： 由於疫情的負面影響（例如，外出受限、風險增加），這些消費的可得性降低或效用下降。在預算約束下，為維持總效用最大化，這些消費會減少。
• 線上消費 ($C_O, C_D$)： 由於實體消費的替代品變得更有吸引力（或必需），且線上服務的普及性提高，人們會將支出從 $C_P, C_R$ 轉移到 $C_O, C_D$。
• 價格與收入影響： 疫情也可能影響價格（例如，線上服務需求增加可能導致 $P_O, P_D$ 上漲）和收入（例如，封鎖導致失業，收入 $Y$ 下降）。如果收入下降，人們可能會優先滿足基本需求，但由於線上服務的普及，即使收入下降，人們也可能優先保障線上購物和外送。

具體例子：
假設效用函數為：
$U = \ln(C_P) \cdot \phi(P) + \ln(C_O) \cdot \eta(P) + \ln(C_R) \cdot \psi(P) + \ln(C_D) \cdot \kappa(P)$