111 年 國立清華大學計量財務金融研究所財務工程組《統計學》

本題考驗對 Bernoulli 分佈的期望值、變異數性質的理解，以及樣本比例的期望值與變異數計算。

首先，我們知道 $X_i$ 服從 Bernoulli($\pi$) 分佈，因此：
$E[X_i] = \pi$
$Var(X_i) = \pi(1-\pi)$

樣本比例 $p$ 的定義為：
$p = \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}$
其中 $\sum_{i=1}^n X_i$ 是 $n$ 個獨立 Bernoulli 隨機變數的總和，服從二項分佈 $B(n, \pi)$。

計算 $p$ 的期望值：
$E[p] = E\left[\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}\right] = \frac{1}{n} E\left[\sum_{i=1}^n X_i\right] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E[X_i] = \frac{1}{n} (n\pi) = \pi$
所以，樣本比例的期望值等於母體比例 $\pi$。

接下來，我們需要計算 $p(1-p)$ 的期望值。為了計算 $E[p(1-p)]$，我們需要先知道 $Var(p)$。
由於 $X_i$ 是獨立同分佈的，因此：

核心觀念

• 抽樣分配 (sampling distribution)：在固定樣本大小且抽樣方式已確定的情況下，所有可能樣本統計量(如樣本均值)所形成的分布。
• 樣本均值的期望：若抽樣方式為「不放回抽樣」且樣本來自有限母體，樣本均值的期望等於母體均值，此性質稱為 無偏性 (unbiasedness)。
• 組合計算：從 $N=8$ 個觀測值中抽取 $n=3$ 個不放回樣本的總樣本數為 $\binom{8}{3}=56$，利用組合式計算不同組成的樣本數。

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解題方法

1. 列舉樣本組成
   原始資料只有兩種取值：$0$ (4 個) 與 $1$ (4 個)。樣本大小 $n=3$，因此樣本內 $1$ 的個數 $k$ 只能是 $0,1,2,3$。

   • $k=0$：全為 $0$ → 樣本均值 $\bar X =0$。
   • $k=1$：1 個 $1$、2 個 $0$ → $\bar X =\dfrac13$。
   • $k=2$：2 個 $1$、1 個 $0$ → $\bar X =\dfrac23$。
   • $k=3$：全為 $1$ → $\bar X =1$。

2. 計算每種組成的樣本數（利用組合）

$\text{樣本數}(k)=\binom{4}{k}\binom{4}{3-k}$

• $k=0$: $\binom{4}{0}\binom{4}{3}=1\times4=4$
• $k=1$: $\binom{4}{1}\binom{4}{2}=4\times6=24$
• $k=2$: $\binom{4}{2}\binom{4}{1}=6\times4=24$
• $k=3$: $\binom{4}{3}\binom{4}{0}=4\times1=4$

總計 $4+24+24+4=56$，與 $\binom{8}{3}=56$ 相符。

3. 構成抽樣分配

核心觀念

• 常態分配的線性組合：若 $X_i\sim N(\mu,\sigma^2)$，則 $Y_i:=X_i-\mu\sim N(0,\sigma^2)$，且任意線性組合仍是常態分布。
• 期望與共變：$E[Y_i]=0,\;E[Y_iY_j]=0\;(i\neq j),\;E[Y_i^2]=\sigma^2$。
• 樣本變異數：對任意估計量 $\hat\mu$，
  $\hat\sigma^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\hat\mu)^2$
  的期望可寫成
  $E[\hat\sigma^2]=\frac{1}{n-1}\Bigl(E\!\left[\sum(Y_i)^2\right]-2E[(\hat\mu-\mu)\sum Y_i]+n\,E[(\hat\mu-\mu)^2]\Bigr).$

解題方法

1. 置換中心化變數：令 $Y_i=X_i-\mu\;(i=1,\dots,n)$，則 $Y_i\stackrel{iid}{\sim}N(0,\sigma^2)$，$\hat\mu_1-\mu=\dfrac{Y_1+2Y_2+Y_3}{4}$。
2. 分別計算三項期望
   • 第一項：$E\!\left[\sum_{i=1}^n Y_i^2\right]=\sum_{i=1}^nE[Y_i^2]=n\sigma^2$。
   • 第二項：

$$\begin{aligned} E\big[(\hat\mu_1-\mu)\sum_{i=1}^n Y_i\big] &=\frac1{4}\Bigl(E[Y_1\!\sum Y_i]+2E[Y_2\!\sum Y_i]+E[Y_3\!\sum Y_i]\Bigr)\\ &=\frac1{4}\bigl(\sigma^2+2\sigma^2+\sigma^2\bigr)=\sigma^2. \end{aligned}$$

 故 $-2$ 倍後為 $-2\sigma^2$。  

• 第三項：先求 $\hat\mu_1-\mu$ 的變異數

$$\operatorname{Var}(\hat\mu_1-\mu)=\sigma^2\frac{1^2+2^2+1^2}{4^2} =\sigma^2\frac{6}{16} =\frac{3}{8}\sigma^2.$$

 因 $\hat\mu_1$ 為無偏估計，$E[(\hat\mu_1-\mu)^2]=\operatorname{Var}=3\sigma^2/8$。  
 乘上 $n$ 得 $n\cdot\frac{3}{8}\sigma^2$。  

3. 合併

核心觀念

• 適合度卡方檢定 (Goodness‑of‑fit test)：檢驗觀測頻率是否與理論分配（此處為二項分配）相符。
• 假設設定
  • $H_0$: 銷售量每日服從二項分配 $B(n=4,\ \pi=0.30)$。
  • $H_1$: 銷售量每日不服從此二項分配。
• 卡方統計量
  $\chi^2=\sum_{i=1}^{k}\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$
  其中 $O_i$ 為觀測頻率，$E_i=n\cdot P(X=i)$ 為期望頻率。
• 自由度
  $df = k-1-m$
  $k$ 為分類數（合併後），$m$ 為在模型中估計的參數數量（本題已給定 $n,\pi$，故 $m=0$）。
• 顯著水準 $\alpha=0.05$，拒絕域由 $\chi^2_{df,0.95}$ 決定。

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解題步驟

$x$	$P(X=x)=\binom{4}{x}0.3^{x}0.7^{4-x}$	期望頻率 $E_i=200P(X=x)$	觀測頻率 $O_i$
0	$0.7^{4}=0.2401$	$48.02$	$50$
1	$4(0.3)(0.7^{3})=0.4116$	$82.32$	$60$
2	$6(0.3^{2})(0.7^{2})=0.2646$	$52.92$	$40$
3	$4(0.3^{3})(0.7)=0.0756$	$15.12$	$30$
4	$0.3^{4}=0.0081$	$1.62$	$20$

1. 合併期望過小的類別
卡方檢定要求每個期望頻率 $\ge5$。

• $x=3$ 與 $x=4$ 的期望分別為 $15.12$、$1.62$，其中 $E_4<5$。
• 合併為「$3$ 或 $4$ 件」：
  • $E_{3+4}=15.12+1.62=16.74$
  • $O_{3+4}=30+20=50$

此時分類數 $k=4$（$0,1,2,3\!+\!4$）。

2. 計算卡方統計量

本題考驗獨立性檢定 (Test of Independence)，使用卡方檢定來判斷兩個類別變數之間是否獨立。

1. 建立假設 (Hypotheses)
我們要檢定的假設是，車主是否願意「再次購買」的意願與汽車品牌是相互獨立的。

• 虛無假設 ($H_0$)：車主再次購買的意願與汽車品牌是獨立的。
• 對立假設 ($H_1$)：車主再次購買的意願與汽車品牌不是獨立的 (即存在關聯性)。

2. 計算期望頻率 (Expected Frequencies)
在獨立性檢定中，期望頻率 $E_{ij}$ 的計算公式為：
$E_{ij} = \frac{(\text{第 } i \text{ 列總計}) \times (\text{第 } j \text{ 行總計})}{\text{總樣本數}}$
總樣本數為 300。

Purchase Again	Chevrolet Impala (86)	Ford Taurus (72)	Honda Accord (78)	Toyota Camry (64)	Row Total
Yes (200)	$E_{11}$	$E_{12}$	$E_{13}$	$E_{14}$	200
No (100)	$E_{21}$	$E_{22}$	$E_{23}$	$E_{24}$	100
Column Total	86	72	78	64	300

計算期望頻率：

• $E_{11} = \frac{200 \times 86}{300} = \frac{17200}{300} \approx 57.33$
• $E_{12} = \frac{200 \times 72}{300} = \frac{14400}{300} = 48.00$
• $E_{13} = \frac{200 \times 78}{300} = \frac{15600}{300} = 52.00$
• $E_{14} = \frac{200 \times 64}{300} = \frac{12800}{300} \approx 42.67$
• $E_{21} = \frac{100 \times 86}{300} = \frac{8600}{300} \approx 28.67$
• $E_{22} = \frac{100 \times 72}{300} = \frac{7200}{300} = 24.00$
• $E_{23} = \frac{100 \times 78}{300} = \frac{7800}{300} = 26.00$
• $E_{24} = \frac{100 \times 64}{300} = \frac{6400}{300} \approx 21.33$

3. 計算卡方統計量 (Chi-squared Statistic)
卡方統計量計算公式為 $\chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$。

| Cell (i,j) | $O_{ij}$ | $E_{ij}$ | $(O_{ij} - E_{ij})$ | $(O_{ij} - E_{ij})^2$ | $\frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$ |

本題考驗單一口子檢定 (One-sample Z-test) 的假設建立，以及第二類錯誤 (Type II error) 的機率計算。

1. 建立假設 (Hypotheses)
公司假設平均閒置時間 (mean idle time) $\mu$ 是 75 分鐘或更少。
我們要檢定的假設是：

• 虛無假設 ($H_0$)：母體平均閒置時間 $\mu \le 75$ 分鐘。
• 對立假設 ($H_1$)：母體平均閒置時間 $\mu > 75$ 分鐘。

這是一個右尾檢定 (right-tailed test)，因為我們想檢定平均閒置時間是否「超過」75 分鐘。

2. 計算第二類錯誤的機率 ($\beta$)
第二類錯誤 (Type II error) 是指當對立假設 ($H_1$) 為真時，我們卻未能拒絕虛無假設 ($H_0$)。
題目要求計算當母體平均閒置時間為 $\mu = 80$ 分鐘時，發生第二類錯誤的機率。
我們需要知道檢定的臨界值 (critical value) 或決策規則。

檢定統計量是 $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$，其中 $\mu_0 = 75$ (來自 $H_0$)。
$\sigma = 24$ (母體標準差)。
$n = 36$ (樣本大小)。
$\sigma/\sqrt{n} = 24 / \sqrt{36} = 24 / 6 = 4$。

所以，檢定統計量為 $Z = \frac{\bar{X} - 75}{4}$。

我們需要一個顯著水準 $\alpha$ 來決定臨界值。題目沒有明確給出 $\alpha$，但通常在計算 Type II error 時，會假設一個 $\alpha$ 值（例如 0.05）。然而，題目也可能是在問，在「某個」臨界值下，當 $\mu=80$ 時的 $\beta$ 是多少。
但是，通常這種題目會假設一個 $\alpha$。如果沒有給定 $\alpha$，我們無法確定臨界值。
假設題目遺漏了 $\alpha$ 值，我們暫時無法計算 $\beta$。

重新閱讀題目： 題目沒有給 $\alpha$。這表示我們可能需要表達 $\beta$ 作為 $\alpha$ 的函數，或者題目有其他隱含的資訊。
"State the hypotheses to be tested. What is the probability of making a Type II error when the population mean idle time is 80 minutes?"

如果我們假設題目是想問，在「拒絕 $H_0$ 的臨界樣本平均值」下，當母體平均值是 80 時的 $\beta$。
但這仍然需要一個 $\alpha$ 來定義臨界值。

另一種可能性： 題目可能是在考驗，當我們設定一個顯著水準 $\alpha$ 時，如何計算 $\beta$。
假設我們選擇 $\alpha = 0.05$ (這是常見的顯著水準)。
由於是右尾檢定，臨界值 $z_{\alpha}$ 使得 $P(Z > z_{\alpha}) = \alpha$。
對於 $\alpha = 0.05$， $z_{0.05} \approx 1.645$。
拒絕 $H_0$ 的條件是：$\bar{X} > \mu_0 + z_{\alpha} (\sigma/\sqrt{n})$。
臨界樣本平均值 $\bar{x}_{crit} = 75 + 1.645 \times 4 = 75 + 6.58 = 81.58$。
所以，當 $\bar{X} > 81.58$ 時，我們拒絕 $H_0$。

現在，我們計算 Type II error 的機率 $\beta$。
$\beta = P(\text{Fail to reject } H_0 \mid H_1 \text{ is true})$
$\beta = P(\bar{X} \le \bar{x}_{crit} \mid \mu = 80)$
$\beta = P\left(Z \le \frac{\bar{x}_{crit} - \mu_{H_1}}{\sigma/\sqrt{n}}\right)$
$\beta = P\left(Z \le \frac{81.58 - 80}{4}\right)$