109 年 國立清華大學計量財務金融研究所財務工程組《統計學》

核心觀念

本題考查樣本變異數的無偏性，以及常態樣本的離均差平方和分配。

樣本變異數定義為

$$s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2.$$

其中分母是 $n-1$，因為估計母平均數 $\mu$ 時使用了樣本平均數 $\bar X$，使離均差平方和的期望少了 1 個自由度。若 $X_1,\ldots,X_n$ 為來自 $N(\mu,\sigma^2)$ 的獨立同分配樣本，則有

$$\frac{\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1}.$$

解題方法

(a) 證明 $E(s^2)=\sigma^2$

利用下列平方和分解：

$$\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2 = \sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2-n(\bar X-\mu)^2.$$

此式可由 $X_i-\bar X=(X_i-\mu)-(\bar X-\mu)$ 展開，並利用 $\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)=n(\bar X-\mu)$ 得到。

兩側取期望。由於 $E[(X_i-\mu)^2]=\sigma^2$，因此

$$E\left[\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2\right] =n\sigma^2.$$

又因為 $\bar X$ 的變異數為 $\operatorname{Var}(\bar X)=\sigma^2/n$，且 $E(\bar X)=\mu$，所以

$$E\left[n(\bar X-\mu)^2\right] =n\operatorname{Var}(\bar X) =\sigma^2.$$

因此

這題主要考驗對線性組合的期望值、變異數計算，以及協方差與相關係數的理解。

核心觀念：

1. 線性組合的期望值：若 $Y = a_1 X_1 + \dots + a_n X_n$，則 $E(Y) = a_1 E(X_1) + \dots + a_n E(X_n)$。
2. 線性組合的變異數：若 $X_i$ 獨立，則 $Var(Y) = a_1^2 Var(X_1) + \dots + a_n^2 Var(X_n)$。
3. 兩個線性組合的協方差：若 $Y = a_1 X_1 + \dots + a_n X_n$ 且 $Z = b_1 X_1 + \dots + b_n X_n$，且 $X_i$ 獨立，則 $Cov(Y, Z) = a_1 b_1 Var(X_1) + \dots + a_n b_n Var(X_n)$。
4. 相關係數：$\rho(Y, Z) = \frac{Cov(Y, Z)}{\sqrt{Var(Y)Var(Z)}}$。

前提條件：
$X_1, X_2, \dots, X_n$ 獨立且同分布於 $N(\mu, \sigma^2)$。
因此，$E(X_i) = \mu$ 且 $Var(X_i) = \sigma^2$ 對於所有 $i=1, \dots, n$。
由於 $X_i$ 獨立，所以 $Cov(X_i, X_j) = 0$ 對於 $i \neq j$。
題目中提到 $\hat{\mu}_1$ 和 $\hat{\mu}_2$ 是 $\mu$ 的無偏估計量。這表示 $E(\hat{\mu}_1) = \mu$ 且 $E(\hat{\mu}_2) = \mu$。我們可以驗證一下，但題目已給定，通常不需要再驗證。

計算過程：

1. 計算 $\hat{\mu}_1$ 和 $\hat{\mu}_2$ 的變異數：
   $\hat{\mu}_1 = \frac{1}{4}X_1 + \frac{0.5}{4}X_2 + \frac{1.5}{4}X_3 + \frac{1}{4}X_4$
   $Var(\hat{\mu}_1) = Var\left(\frac{1}{4}X_1 + \frac{1}{8}X_2 + \frac{3}{8}X_3 + \frac{1}{4}X_4\right)$
   由於 $X_i$ 獨立，
   $Var(\hat{\mu}_1) = \left(\frac{1}{4}\right)^2 Var(X_1) + \left(\frac{1}{8}\right)^2 Var(X_2) + \left(\frac{3}{8}\right)^2 Var(X_3) + \left(\frac{1}{4}\right)^2 Var(X_4)$
   $Var(\hat{\mu}_1) = \frac{1}{16}\sigma^2 + \frac{1}{64}\sigma^2 + \frac{9}{64}\sigma^2 + \frac{1}{16}\sigma^2$
   $Var(\hat{\mu}_1) = \left(\frac{4}{64} + \frac{1}{64} + \frac{9}{64} + \frac{4}{64}\right)\sigma^2 = \frac{18}{64}\sigma^2 = \frac{9}{32}\sigma^2$

   $\hat{\mu}_2 = \frac{0.5}{4}X_1 + \frac{1}{4}X_2 + \frac{1}{4}X_3 + \frac{1.5}{4}X_4$
   $Var(\hat{\mu}_2) = Var\left(\frac{1}{8}X_1 + \frac{1}{4}X_2 + \frac{1}{4}X_3 + \frac{3}{8}X_4\right)$
   由於 $X_i$ 獨立，
   $Var(\hat{\mu}_2) = \left(\frac{1}{8}\right)^2 Var(X_1) + \left(\frac{1}{4}\right)^2 Var(X_2) + \left(\frac{1}{4}\right)^2 Var(X_3) + \left(\frac{3}{8}\right)^2 Var(X_4)$

這題主要考驗對二項分配及其常態近似的應用，以及樣本比例的中央極限定理。

核心觀念：

1. 二項分配 (Binomial Distribution)：成功機率為 $p$，獨立試驗 $n$ 次，成功次數 $k$ 的機率為 $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$。
2. 常態近似二項分配：當 $n$ 夠大 ($np \ge 5$ 且 $n(1-p) \ge 5$) 時，二項分配可用常態分配近似。平均值為 $np$，標準差為 $\sqrt{np(1-p)}$。
3. 樣本比例的中央極限定理：對於足夠大的樣本數 $n$，樣本比例 $\hat{p}$ 的分布近似於常態分配，其平均值為母體比例 $p$，標準差為 $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$。

前提假設：
根據題意，學生無法區分兩種飲料，因此隨機猜測正確的機率為 $p = 0.5$。

(a) 計算樣本比例在 50% 到 60% 之間的機率

樣本大小 $n=100$。
母體比例 $p=0.5$。
成功次數 $X$ 服從二項分配 $B(n=100, p=0.5)$。
由於 $np = 100 \times 0.5 = 50 \ge 5$ 且 $n(1-p) = 100 \times 0.5 = 50 \ge 5$，我們可以進行常態近似。
近似的常態分配參數為：
平均值 $\mu = np = 50$
標準差 $\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{100 \times 0.5 \times 0.5} = \sqrt{25} = 5$。
所以，$X \approx N(\mu=50, \sigma^2=25)$。

我們要求樣本中有 50% 到 60% 的識別正確。這意味著成功次數在 $100 \times 0.50 = 50$ 到 $100 \times 0.60 = 60$ 之間。
我們要計算 $P(50 \le X \le 60)$。
使用常態近似時，需要進行連續性修正 (continuity correction)。
$P(50 \le X \le 60)$ 近似於 $P(49.5 \le X_{normal} \le 60.5)$。

現在將 $X_{normal}$ 標準化為 Z 分數：
$Z_1 = \frac{49.5 - \mu}{\sigma} = \frac{49.5 - 50}{5} = \frac{-0.5}{5} = -0.1$
$Z_2 = \frac{60.5 - \mu}{\sigma} = \frac{60.5 - 50}{5} = \frac{10.5}{5} = 2.1$

我們要求 $P(-0.1 \le Z \le 2.1)$。
這等於 $P(Z \le 2.1) - P(Z \le -0.1)$。
查標準常態分配表：
$P(Z \le 2.1) \approx 0.9821$
$P(Z \le -0.1) = P(Z \ge 0.1) = 1 - P(Z \le 0.1) \approx 1 - 0.5398 = 0.4602$

所以，機率為 $0.9821 - 0.4602 = 0.5219$。

另一種計算方式 (使用樣本比例)：
樣本比例 $\hat{p} = X/n$。
$E(\hat{p}) = p = 0.5$
$Var(\hat{p}) = \frac{p(1-p)}{n} = \frac{0.5 \times 0.5}{100} = \frac{0.25}{100} = 0.0025$
標準差 $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{0.0025} = 0.05$。
$\hat{p}$ 近似於 $N(0.5, 0.0025)$。

我們要求 $P(0.50 \le \hat{p} \le 0.60)$。
進行連續性修正：$P(0.495 \le \hat{p} \le 0.605)$。
標準化：
$Z_1 = \frac{0.495 - 0.5}{0.05} = \frac{-0.005}{0.05} = -0.1$
$Z_2 = \frac{0.605 - 0.5}{0.05} = \frac{0.105}{0.05} = 2.1$
結果與上面相同，$P(-0.1 \le Z \le 2.1) \approx 0.5219$。

【答案】
約為 0.5219。

(b) 計算 90% 的對稱信賴區間

我們尋找一個區間 $[p - \delta, p + \delta]$，使得 $P(p - \delta \le \hat{p} \le p + \delta) = 0.90$。
其中 $p=0.5$ 是母體比例，$\hat{p}$ 是樣本比例。
由於 $\hat{p}$ 近似於 $N(p, \frac{p(1-p)}{n})$，我們可以使用 Z 分數。
$P(-z_{\alpha/2} \le Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha$。
在這裡，我們希望 $1 - \alpha = 0.90$，所以 $\alpha = 0.10$，$\alpha/2 = 0.05$。

這題是一個典型的假設檢定問題，涉及單一樣本平均數的檢定，並探討了 Type I 和 Type II 錯誤的意義與控制方法。

核心觀念：

1. 假設檢定 (Hypothesis Testing)：設定虛無假設 ($H_0$) 和對立假設 ($H_1$)，透過樣本資料來判斷是否拒絕 $H_0$。
2. 單一樣本平均數檢定：當母體標準差未知時，通常使用 t 檢定；若樣本數夠大或母體已知為常態分配，也可考慮 Z 檢定。
3. Type I 錯誤：拒絕了真實的 $H_0$。其機率為顯著水準 $\alpha$。
4. Type II 錯誤：未能拒絕虛假的 $H_0$。其機率為 $\beta$。
5. 檢定力 (Power)：$1 - \beta$，即當 $H_1$ 為真時，正確拒絕 $H_0$ 的機率。

情境分析：

• 母體平均顧客數 (先前)：$\mu_0 = 900$。
• 樣本大小：$n = 36$。
• 樣本平均顧客數：$\bar{x} = 964$。
• 樣本標準差：$s = 105$。
• 顯著水準：$\alpha = 0.05$。

(a) 虛無與對立假設，以及 Type I 和 Type II 錯誤的意義

• 虛無假設 ($H_0$)： 降低咖啡價格並未增加平均顧客數。也就是說，新的平均顧客數 $\mu$ 等於或小於 900。
  $H_0: \mu \le 900$
  （嚴格來說，在檢定中我們通常將 $H_0$ 設定為等號，即 $H_0: \mu = 900$，因為這是我們尋找證據來反駁的基準點。）

• 對立假設 ($H_1$)： 降低咖啡價格確實增加了平均顧客數。也就是說，新的平均顧客數 $\mu$ 大於 900。
  $H_1: \mu > 900$
  這是一個右尾檢定 (right-tailed test)。

• Type I 錯誤的意義：
  Type I 錯誤發生在我們拒絕了真實的虛無假設。在這個情境下，這意味著我們得出結論：降低咖啡價格能顯著增加顧客數，但實際上，平均顧客數並沒有增加 (或者說，增加的幅度是隨機變異造成的，並沒有達到統計上的顯著性)。
  其機率為顯著水準 $\alpha = 0.05$。

• Type II 錯誤的意義：
  Type II 錯誤發生在我們未能拒絕虛假的虛無假設。在這個情境下，這意味著我們未能發現統計上的顯著證據來支持「降低咖啡價格能增加顧客數」，即使實際上這個策略確實是有效的 (即平均顧客數真的增加了)。
  其機率我們用 $\beta$ 表示。

(b) 在 $\alpha = 0.05$ 的顯著水準下，是否有證據顯示降低咖啡價格是個好策略？

由於母體標準差 $\sigma$ 未知，我們使用 t 檢定。樣本大小 $n=36$ 雖然不算非常大，但通常認為 $n \ge 30$ 時，t 分布近似於常態分布，或者我們直接使用 t 分布。
自由度 $df = n-1 = 36-1 = 35$。
顯著水準 $\alpha = 0.05$。
對立假設是右尾檢定，所以我們需要找右尾機率為 0.05 的臨界值 $t_{\alpha, df} = t_{0.05, 35}$。
查 t 分布表，當 $df=35$ 時，$t_{0.05, 35} \approx 1.690$。

計算檢定統計量 t：
$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{964 - 900}{105/\sqrt{36}}$
$t = \frac{64}{105/6} = \frac{64}{17.5}$
$t \approx 3.657$

決策規則：
如果計算出的 t 值大於臨界值 $t_{0.05, 35}$ (即 $t > 1.690$)，則拒絕 $H_0$。
如果計算出的 t 值小於等於臨界值 (即 $t \le 1.690$)，則未能拒絕 $H_0$。

結論：
因為我們計算出的 $t \approx 3.657$，遠大於臨界值 $1.690$。
因此，我們在 $\alpha = 0.05$ 的顯著水準下，拒絕虛無假設 $H_0$。
這表示有足夠的統計證據顯示，降低咖啡價格確實是個能顯著增加平均顧客數的好策略。

【答案】
有證據顯示降低咖啡價格是個好策略。

(c) 使用常態分布近似，計算 Type II 錯誤的機率 (若真實平均值為 950)

題目要求： 使用常態分布 (Z 分布) 來近似，而不是 t 分布。
給定條件：

• 原來的 $H_0: \mu = 900$。
• 我們假設一個 $\mu$ 的值，這個值在對立假設 $H_1: \mu > 900$ 之下，稱為「真實平均值」或「特定對立值」。這裡給定為 $\mu_{true} = 950$。
• 樣本大小 $n=36$，樣本標準差 $s=105$。

計算 Type II 錯誤的機率 $\beta$：
Type II 錯誤發生在當真實情況是 $H_1$ 為真時，我們卻未能拒絕 $H_0$。
在本題中，當真實的母體平均值 $\mu = 950$ 時，我們卻根據樣本資料，沒有拒絕 $H_0: \mu \le 900$。

使用 Z 分布近似時，我們需要知道用於決策的臨界值。在 $\alpha = 0.05$ 的右尾檢定下，臨界的 Z 值為 $z_{0.05} \approx 1.645$。
我們用樣本標準差 $s$ 來估計母體標準差 $\sigma$。
檢定統計量 (使用 Z 近似)：$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma_{est}/\sqrt{n}}$。
在這裡，我們將 $\sigma_{est}$ 用 $s=105$ 來代表。

核心觀念

本題考查「列聯表的獨立性檢定」，用來判斷：

• 虛無假設 $H_0$：甜點種類與主餐種類相互獨立，兩者沒有關係。
• 對立假設 $H_1$：甜點種類與主餐種類不獨立，兩者有關係。

Pearson 卡方統計量為

$$\chi^2=\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{c} \frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}},$$

其中：

• $O_{ij}$：第 $i$ 列、第 $j$ 欄的觀察次數。
• $E_{ij}$：在兩變數獨立假設下的期望次數。
• $r$：列數。
• $c$：欄數。

每一格的期望次數為

$$E_{ij}= \frac{(\text{第 }i\text{ 列合計})(\text{第 }j\text{ 欄合計})}{\text{總樣本數}}.$$

本題有 $4$ 種甜點與 $4$ 種主餐，因此自由度為

$$(r-1)(c-1)=(4-1)(4-1)=9.$$

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解題方法

1. 計算各格期望次數

以「冰淇淋、牛肉」為例：

$$E_{11}=\frac{47\times243}{630}=18.13.$$

依相同公式計算全部期望次數如下：

甜點＼主餐	Beef	Poultry	Fish	Pasta
Ice cream	18.13	9.55	14.62	4.70
Cake	55.93	29.46	45.11	14.50
Fruit	10.03	5.28	8.09	2.60
None	159.09	83.71	128.18	41.20

例如蛋糕配牛肉的期望次數為